Дополнительное мероприятие

Теория вероятности
Часть серии по статистике

Вероятность Аксиомы вероятности Детерминизм Индетерминизм Случайность
Вероятностное пространство Образец пространства Мероприятие Коллективно исчерпывающие события Элементарное мероприятие Взаимная эксклюзивность Исход Синглтон Эксперимент Бернулли суд Распределение вероятностей Распределение Бернулли Биномиальное распределение Нормальное распределение Вероятностная мера Случайная переменная Процесс Бернулли Непрерывный или дискретный Ожидаемое значение Цепь Маркова Наблюдаемое значение Случайная прогулка Стохастический процесс
Дополнительное мероприятие Совместная вероятность Предельная вероятность Условная возможность
Независимость Условная независимость Закон полной вероятности Закон больших чисел Теорема Байеса Неравенство Буля
Диаграмма Венна Древовидная диаграмма
v т е

В теории вероятностей , то дополнение любого события А это событие [не ], то есть события , которые не происходит. ^[1] Событие A и его дополнение [не A ] являются взаимоисключающими и исчерпывающими . Как правило, существует только одно событие B, такое что A и B являются взаимоисключающими и исчерпывающими; это событие является дополнением A . Дополнение к событию A обычно обозначается как A ′ , A ^c, Или . Учитывая событие, событие и дополнительное к нему событие определяют испытание Бернулли : произошло это событие или нет? ${\ displaystyle \ neg}$

Например, если бросается обычная монета и предполагается, что она не может приземлиться на край, то она может приземлиться либо с «орлом», либо с «решкой». Поскольку эти два исхода являются взаимоисключающими (т. Е. Монета не может одновременно отображать и орел, и решка) и в совокупности исчерпывающими (т. Е. Нет других возможных исходов, не представленных между этими двумя), они, следовательно, дополняют друг друга. Это означает, что [орлы] логически эквивалентны [не решкам], а [хвосты] эквивалентны [не орлам].

Правило дополнения [ править ]

В случайном эксперименте вероятности всех возможных событий ( пространство выборки ) должны в сумме равняться 1, то есть какой-то результат должен происходить в каждом испытании. Чтобы два события дополняли друг друга, они должны быть исчерпывающими в совокупности, заполняя все пространство выборки. Следовательно, вероятность дополнения события должна быть равна единице минус вероятность события. ^[2] То есть для события A ,

{\ Displaystyle P (A ^ {c}) = 1-P (A).}

Эквивалентно, вероятности события и его дополнения всегда должны быть равны 1. Это, однако, не означает, что любые два события, чьи вероятности равны 1, являются дополнениями друг друга; дополнительные мероприятия также должны соответствовать условию взаимной исключительности .

Пример полезности этой концепции [ править ]

Предположим, кто-то бросает обычный шестигранный кубик восемь раз. Какова вероятность того, что кто-то хотя бы раз увидит «1»?

Может возникнуть соблазн сказать, что

Pr ([«1» в 1-м испытании] или [«1» во 2-м испытании] или ... или [«1» в 8-м испытании])

= Pr («1» в 1-м испытании) + Pr («1» во 2-м испытании) + ... + P («1» в 8-м испытании)

= 1/6 + 1/6 + ... + 1/6.

= 8/6 = 1,3333 ... (... и это явно неверно.)

Это не может быть правильным, потому что вероятность не может быть больше 1. Этот метод неверен, потому что восемь событий, вероятности которых были добавлены, не исключают друг друга.

Можно разрешить это перекрытие с помощью принципа включения-исключения , или в этом случае вместо этого можно проще найти вероятность дополнительного события и вычесть ее из 1, таким образом:

Pr (хотя бы одна "1") = 1 - Pr (нет "1")

= 1 - Pr ([нет «1» в 1-м испытании] и [нет «1» во 2-м испытании] и ... и [нет «1» в 8-м испытании])

= 1 - Pr (нет «1» в 1-м испытании) × Pr (нет «1» во 2-м испытании) × ... × Pr (нет «1» в 8-м испытании)

= 1 - (5/6) × (5/6) × ... × (5/6)

= 1 - (5/6) ⁸

= 0,7674 ...

См. Также [ править ]

Логическое дополнение
Исключительная дизъюнкция
Биномиальная вероятность

Ссылки [ править ]

^ Роберт Р. Джонсон, Патриция Дж. Куби: Элементарная статистика . Cengage Learning 2007, ISBN 978-0-495-38386-4 , стр. 229 ( ограниченная копия в Интернете , стр. 229, в Google Книгах )
^ Йейтс, Дэниел С .; Мур, Дэвид С .; Старнес, Дарен С. (2003). Практика статистики (2-е изд.). Нью-Йорк: Фриман . ISBN 978-0-7167-4773-4. Архивировано из оригинала на 2005-02-09 . Проверено 18 июля 2013 .

Внешние ссылки [ править ]

Дополнительные события - (бесплатная) страница из книги вероятностей МакГроу-Хилла

[1] Роберт Р. Джонсон, Патриция Дж. Куби: Элементарная статистика . Cengage Learning 2007, ISBN 978-0-495-38386-4 , стр. 229 ( ограниченная копия в Интернете , стр. 229, в Google Книгах )

[yates-2] Йейтс, Дэниел С .; Мур, Дэвид С .; Старнес, Дарен С. (2003). Практика статистики (2-е изд.). Нью-Йорк: Фриман . ISBN 978-0-7167-4773-4. Архивировано из оригинала на 2005-02-09 . Проверено 18 июля 2013 .