Ожидаемое значение

«E (X)» перенаправляется сюда. Для функции см. Экспоненциальная функция .${\displaystyle e^{x}}$

В теории вероятностей , к ожидаемой величине из более случайной величины , обозначать или , ^{[1] [2]} является обобщением средневзвешенного , и является интуитивно средним арифметическим из большого числа независимых реализаций в . Ожидаемое значение также называется ожиданием , математическим ожиданием , средним , средним или первым моментом . Ожидаемая стоимость - ключевое понятие в экономике , финансах и многих других предметах.${\displaystyle X}$${\displaystyle E(X)}$${\displaystyle E[X]}$ ${\displaystyle X}$

По определению, ожидаемое значение постоянной случайной величины равно . ^[3] Ожидаемое значение случайной величины с равновероятными исходами определяется как среднее арифметическое значений условий. Если некоторые из вероятностей отдельного результата не равны, то ожидаемое значение определяется как средневзвешенное значение s. , то есть сумма произведений . ^[4] Ожидаемое значение общей случайной величины включает интегрирование в смысле Лебега .${\displaystyle X=c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{c_{1},\ldots ,c_{n}\}}$${\displaystyle c_{i}.}$${\displaystyle \Pr \,(X=c_{i})}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle c_{i}\cdot \Pr \,(X=c_{i})}$

История [ править ]

Идея математического ожидания возникла в середине 17 века в результате изучения так называемой проблемы очков , которая направлена ​​на справедливое разделение ставок между двумя игроками, которые должны закончить свою игру, прежде чем она будет должным образом. законченный. ^[5] Эта проблема обсуждалась веками, и за эти годы было предложено множество противоречивых предложений и решений, когда она была поставлена Блезу Паскалю французским писателем и математиком-любителем Шевалье де Мере.в 1654 году. Мере утверждал, что эту проблему невозможно решить и что она показала, насколько несовершенной была математика, когда дело доходило до ее применения в реальном мире. Паскаль, будучи математиком, был спровоцирован и полон решимости решить проблему раз и навсегда.

Он начал обсуждать проблему в уже известной серии писем Пьеру де Ферма . Вскоре они оба независимо друг от друга придумали решение. Они решили проблему разными вычислительными способами, но их результаты были идентичны, потому что их вычисления были основаны на одном и том же фундаментальном принципе. Принцип состоит в том, что стоимость будущей прибыли должна быть прямо пропорциональна шансам на ее получение. Этот принцип казался им обоим естественным. Они были очень довольны тем фактом, что они нашли по существу такое же решение, и это, в свою очередь, сделало их абсолютно убежденными в том, что они решили проблему окончательно; однако они не опубликовали свои выводы. Они сообщили об этом лишь небольшому кругу общих научных друзей в Париже. ^[6]

Три года спустя, в 1657 году, голландский математик Христиан Гюйгенс , только что посетивший Париж, опубликовал трактат (см. Гюйгенс (1657) ) « De ratiociniis in ludo ale » по теории вероятностей. В этой книге он рассмотрел проблему точек и представил решение, основанное на том же принципе, что и решения Паскаля и Ферма. Гюйгенс также расширил концепцию ожидания, добавив правила расчета ожиданий в более сложных ситуациях, чем исходная задача (например, для трех или более игроков). В этом смысле эту книгу можно рассматривать как первую успешную попытку заложить основы теории вероятностей .

В предисловии к своей книге Гюйгенс писал:

Следует также сказать, что в течение некоторого времени некоторые из лучших математиков Франции занимались этим видом исчисления, так что никто не должен приписывать мне честь первого изобретения. Это не принадлежит мне. Но эти ученые, хотя и подвергали друг друга испытанию, предлагая друг другу множество трудных для решения вопросов, скрыли свои методы. Поэтому мне пришлось исследовать и глубоко изучить этот вопрос, начиная с элементов, и по этой причине я не могу утверждать, что я даже начал с того же принципа. Но в конце концов я обнаружил, что мои ответы во многих случаях не отличаются от их.

-  Эдвардс (2002)

Так, Гюйгенс узнал о проблеме де Мере в 1655 г. во время своего визита во Францию; позже, в 1656 г. из его переписки с Каркави, он узнал, что его метод по сути такой же, как и у Паскаля; так что еще до того, как его книга поступила в печать в 1657 году, он знал о приоритете Паскаля в этом вопросе.

Этимология [ править ]

Ни Паскаль, ни Гюйгенс не использовали термин «ожидание» в его современном смысле. В частности, Гюйгенс пишет: ^[7]

Что любой шанс или ожидание выиграть какую-либо вещь стоит именно такой суммы, которую вы бы добыли за тот же шанс и ожидание при честной игре. ... Если я ожидаю a или b и имею равные шансы получить их, мое ожидание стоит (a + b) / 2.

Более чем через сто лет, в 1814 году, Пьер-Симон Лаплас опубликовал свой трактат « Аналитическая теория вероятностей », в котором понятие ожидаемой стоимости было определено явно: ^[8]

… Это преимущество в теории случайностей является произведением ожидаемой суммы на вероятность ее получения; это частичная сумма, которая должна быть получена, если мы не хотим рисковать событием, предполагая, что деление производится пропорционально вероятностям. Это разделение является единственно справедливым, когда устранены все странные обстоятельства; потому что равная степень вероятности дает равное право на получение ожидаемой суммы. Мы будем называть это преимущество математической надеждой .

Обозначения [ править ]

Использование буквы для обозначения ожидаемого значения восходит к У. А. Уитворту в 1901 году. ^[9] С тех пор этот символ стал популярным среди английских писателей. На немецком языке это означает «Erwartungswert», на испанском - «Esperanza matemática», а на французском - «Espérance mathématique». ^[10]${\displaystyle \mathop {\hbox{E}} }$${\displaystyle \mathop {\hbox{E}} }$

Еще одно популярное обозначение - тогда как обычно используется в физике и в русскоязычной литературе.${\displaystyle \mu _{X}}$${\displaystyle \langle X\rangle }$${\displaystyle \mathop {\hbox{M}} (X)}$

Определение [ править ]

Конечный регистр [ править ]

Позвольте быть случайной величиной с конечным числом конечных результатов, происходящих с вероятностями соответственно. Ожидания от определяется как${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}}$${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k},}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{i=1}^{k}x_{i}\,p_{i}=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots +x_{k}p_{k}.}$ ^[4]

Так как ожидаемое значение является взвешенной суммой из значений, с вероятностями как весы.${\displaystyle p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{k}=1,}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$

Если все исходы являются равновероятными (то есть ), то средневзвешенные превращается в простой средней . С другой стороны, если результаты не равновероятны, тогда простое среднее значение необходимо заменить средневзвешенным, которое учитывает тот факт, что некоторые исходы более вероятны, чем другие.${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle p_{1}=p_{2}=\cdots =p_{k}}$${\displaystyle x_{i}}$

Примеры [ править ]

• Пусть представляют собой результат рулона ярмарки шестистороннего умирают . Точнее, количество пипсов, отображаемых на верхней грани кубика после подбрасывания. Возможные значения : 1, 2, 3, 4, 5 и 6, все из которых одинаково вероятны с вероятностью${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$1/6. Ожидание IS${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}=3.5.}$

Если бросить кубик и вычислить среднее ( среднее арифметическое ) результатов, то по мере роста среднее почти наверняка сходится к ожидаемому значению, факт, известный как строгий закон больших чисел .${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

• Игра в рулетку состоит из маленького шарика и колеса с 38 пронумерованными лузами по краю. Когда колесо вращается, шарик хаотично раскачивается, пока не окажется в одном из карманов. Предположим, что случайная величина представляет собой (денежный) результат ставки в 1 доллар на одно число (ставка «прямо вверх»). Если ставка выиграет (что с вероятностью${\displaystyle X}$1/38в американской рулетке) выигрыш - 35 долларов; в противном случае игрок теряет ставку. Ожидаемая прибыль от такой ставки составит

${\displaystyle \operatorname {E} [\,{\text{gain from }}\$1{\text{ bet}}\,]=-\$1\cdot {\frac {37}{38}}+\$35\cdot {\frac {1}{38}}=-\${\frac {1}{19}}.}$

То есть ставка в 1 доллар проиграет , поэтому ее ожидаемое значение равно${\displaystyle -\${\frac {1}{19}}}$${\displaystyle -\${\frac {1}{19}}.}$

Счетно бесконечный регистр [ править ]

Интуитивно ожидание случайной величины, принимающей значения в счетном наборе результатов, определяется аналогично как взвешенная сумма значений результатов, где веса соответствуют вероятностям реализации этого значения. Однако проблемы сходимости, связанные с бесконечной суммой, требуют более тщательного определения. Строгое определение сначала определяет математическое ожидание неотрицательной случайной величины, а затем адаптирует его к общим случайным величинам.

Позвольте быть неотрицательной случайной величиной со счетным набором результатов, происходящих с вероятностями соответственно. По аналогии с дискретным случаем, математическое ожидание определяется как ряд${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,}$${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i}.}$

Обратите внимание, что, поскольку бесконечная сумма определена правильно и не зависит от порядка, в котором она вычисляется. В отличие от конечного случая, здесь математическое ожидание может быть равно бесконечности, если указанная выше бесконечная сумма неограниченно увеличивается.${\displaystyle x_{i}p_{i}\geq 0}$

Для общей (не обязательно неотрицательной) случайной величины со счетным числом результатов установите и . По определению,${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{+}(\omega )=\max(X(\omega ),0)}$${\displaystyle X^{-}(\omega )=-\min(X(\omega ),0)}$

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [X^{+}]-\operatorname {E} [X^{-}].}$

Как и в случае неотрицательных случайных величин , опять же, может быть конечным или бесконечным. Третий вариант здесь вообще не гарантирует, что он будет четко определен. Последнее случается всякий раз .${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X^{+}]=\operatorname {E} [X^{-}]=\infty }$

Примеры [ править ]

• Предположим, что и для , где ( являясь натуральным логарифмом ) - масштабный коэффициент такой, что сумма вероятностей равна 1. Тогда, используя прямое определение неотрицательных случайных величин, мы имеем${\displaystyle x_{i}=i}$${\displaystyle p_{i}={\frac {k}{i2^{i}}},}$${\displaystyle i=1,2,3,\ldots }$${\displaystyle k={\frac {1}{\ln 2}}}$${\displaystyle \ln }$

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{i}x_{i}p_{i}=1\left({\frac {k}{2}}\right)+2\left({\frac {k}{8}}\right)+3\left({\frac {k}{24}}\right)+\dots ={\frac {k}{2}}+{\frac {k}{4}}+{\frac {k}{8}}+\dots =k.}$

• Пример бесконечного ожидания возникает в контексте петербургского парадокса . Пусть и для . Еще раз, поскольку случайная величина неотрицательна, расчет ожидаемого значения дает${\displaystyle x_{i}=2^{i}}$${\displaystyle p_{i}={\frac {1}{2^{i}}}}$${\displaystyle i=1,2,3,\ldots }$

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i}=2\cdot {\frac {1}{2}}+4\cdot {\frac {1}{4}}+8\cdot {\frac {1}{8}}+16\cdot {\frac {1}{16}}+\cdots =1+1+1+1+\cdots \,=\infty .}$

• В качестве примера, где математическое ожидание не определено четко, предположим, что случайная величина принимает значения с соответствующими вероятностями , ..., где - нормализующая константа, которая обеспечивает суммирование вероятностей до единицы.${\displaystyle X}$${\displaystyle k=1,-2,3,-4,\cdots }$${\displaystyle {\frac {c}{1^{2}}},{\frac {c}{2^{2}}},{\frac {c}{3^{2}}},{\frac {c}{4^{2}}}}$${\displaystyle c={\frac {6}{\pi ^{2}}}}$

Затем следует, что принимает значение с вероятностью для и принимает значение с оставшейся вероятностью. Точно так же принимает значение с вероятностью для и принимает значение с оставшейся вероятностью. Используя определение неотрицательных случайных величин, можно показать, что и и (см. Гармонический ряд ). Следовательно, ожидание не является четко определенным.${\displaystyle X^{+}}$${\displaystyle (2k-1)}$${\displaystyle c/(2k-1)^{2}}$${\displaystyle k=1,2,3,\cdots }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X^{-}}$${\displaystyle 2k}$${\displaystyle c/(2k)^{2}}$${\displaystyle k=1,2,3,\cdots }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \operatorname {E} [X^{+}]=\infty }$${\displaystyle \operatorname {E} [X^{-}]=\infty }$${\displaystyle X}$

Абсолютно непрерывный случай [ править ]

Если случайная величина с функцией плотности вероятности из , то ожидаемое значение определяется как интеграл Лебега${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx,}$

где значения с обеих сторон хорошо определены или не определены одновременно.

Пример. Случайная величина, имеющая распределение Коши ^[11], имеет функцию плотности, но ожидаемое значение не определено, так как распределение имеет большие «хвосты» .

Общий случай [ править ]

В общем, если - случайная величина, определенная в вероятностном пространстве , то ожидаемое значение , обозначенное как , определяется как интеграл Лебега${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\operatorname {P} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{\Omega }X(\omega )\,d\operatorname {P} (\omega ).}$

Для многомерных случайных величин их ожидаемое значение определяется для каждого компонента. То есть,

${\displaystyle \operatorname {E} [(X_{1},\ldots ,X_{n})]=(\operatorname {E} [X_{1}],\ldots ,\operatorname {E} [X_{n}])}$

и для случайной матрицы с элементами ,${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{ij}}$${\displaystyle (\operatorname {E} [X])_{ij}=\operatorname {E} [X_{ij}].}$

Основные свойства [ править ]

Приведенные ниже основные свойства (и их названия выделены жирным шрифтом) воспроизводят или непосредственно следуют из свойств интеграла Лебега . Обратите внимание, что буквы «as» означают « почти наверняка » - центральное свойство интеграла Лебега. По сути, говорят, что неравенство вроде почти наверняка верно, когда мера вероятности приписывает нулевую массу дополнительному событию .${\displaystyle X\geq 0}$${\displaystyle \left\{X<0\right\}}$

• Для общей случайной величины определите, как и раньше, и и обратите внимание, что с обоими и неотрицательными значениями:${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{+}(\omega )=\max(X(\omega ),0)}$${\displaystyle X^{-}(\omega )=-\min(X(\omega ),0)}$${\displaystyle X=X^{+}-X^{-}}$${\displaystyle X^{+}}$${\displaystyle X^{-}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\begin{cases}\operatorname {E} [X^{+}]-\operatorname {E} [X^{-}]&{\text{if }}\operatorname {E} [X^{+}]<\infty {\text{ and }}\operatorname {E} [X^{-}]<\infty ;\\\infty &{\text{if }}\operatorname {E} [X^{+}]=\infty {\text{ and }}\operatorname {E} [X^{-}]<\infty ;\\-\infty &{\text{if }}\operatorname {E} [X^{+}]<\infty {\text{ and }}\operatorname {E} [X^{-}]=\infty ;\\{\text{undefined}}&{\text{if }}\operatorname {E} [X^{+}]=\infty {\text{ and }}\operatorname {E} [X^{-}]=\infty .\end{cases}}}$

• Пусть обозначим индикаторную функцию в качестве события , то${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A}}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {E} [{\mathbf {1} }_{A}]=1\cdot \operatorname {P} (A)+0\cdot \operatorname {P} (\Omega \setminus A)=\operatorname {P} (A).}$
• Формулы в терминах CDF: если - кумулятивная функция распределения вероятностной меры и - случайная величина, то${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle \operatorname {P} ,}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{\overline {\mathbb {R} }}x\,dF(x),}$

где значения на обеих сторонах хорошо определены или не определены одновременно, а интеграл взят в смысле Лебега-Стилтьеса . Вот расширенная реальная линия.${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=[-\infty ,+\infty ]}$

Кроме того,

${\displaystyle \displaystyle \operatorname {E} [X]=\int \limits _{0}^{\infty }(1-F(x))\,dx-\int \limits _{-\infty }^{0}F(x)\,dx,}$

с интегралами, взятыми по Лебегу.

Доказательство второй формулы следует.

Доказательство.

Для произвольного ${\displaystyle \omega \in \Omega ,}$ ${\displaystyle \displaystyle X^{-}(\omega )=\int \limits _{-X^{-}(\omega )}^{0}dx=\int \limits _{-\infty }^{0}{\mathbf {1} }{\{x\mid X^{-}(\omega )\geq -x\}}\,dx=\int \limits _{-\infty }^{0}{\mathbf {1} }{\{(\omega ,x)\mid X(\omega )\leq x\}}\,dx.}$ Последнее равенство выполняется, потому что из того факта, что где следует это, и, следовательно, наоборот, если где, то и${\displaystyle X^{-}(\omega )\geq -x,}$${\displaystyle x\leq 0,}$${\displaystyle X^{+}(\omega )=0}$${\displaystyle X(\omega )\leq x.}$${\displaystyle X(\omega )\leq x,}$${\displaystyle x\leq 0,}$${\displaystyle X^{+}(\omega )=0}$${\displaystyle X^{-}(\omega )\geq -x.}$ Подынтегральное выражение в приведенном выше выражении для неотрицательно, поэтому применима теорема Тонелли , и порядок интегрирования можно переключать без изменения результата. У нас есть${\displaystyle X^{-}(\omega )}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{-})&=\int \limits _{\Omega }\left(\int \limits _{-\infty }^{0}{\mathbf {1} }{\{(\omega ,x)\mid X(\omega )\leq x\}}\,dx\right)d\operatorname {P} \\&=\int \limits _{-\infty }^{0}\left(\int \limits _{\Omega }{\mathbf {1} }{\{\omega \mid X(\omega )\leq x\}}\,d\operatorname {P} \right)dx\\&=\int \limits _{-\infty }^{0}\operatorname {P} (X\leq x)\,dx=\int \limits _{-\infty }^{0}F(x)\,dx.\end{aligned}}}$ Рассуждая, как указано выше, ${\displaystyle \displaystyle X^{+}(\omega )=\int \limits _{0}^{\infty }{\mathbf {1} }{\{(\omega ,x)\mid X(\omega )>x\}}\,dx,}$ и ${\displaystyle \displaystyle \operatorname {E} (X^{+})=\int \limits _{0}^{\infty }\operatorname {P} (X>x)\,dx=\int \limits _{0}^{\infty }(1-F(x))\,dx.}$ Напомним, что доказательство завершено.${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (X^{+})-\operatorname {E} (X^{-})}$

• Неотрицательность: Если (как), то .${\displaystyle X\geq 0}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]\geq 0}$
• Линейность ожидания: ^[3] Оператор математического ожидания (или оператор ожидания ) является линейным в том смысле, что для любых случайных величин и , и константы ,${\displaystyle \operatorname {E} [\cdot ]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X+Y]&=\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [Y],\\\operatorname {E} [aX]&=a\operatorname {E} [X],\end{aligned}}}$

всякий раз, когда правая часть определена корректно. Это означает, что ожидаемое значение суммы любого конечного числа случайных величин является суммой ожидаемых значений отдельных случайных величин, а ожидаемое значение линейно масштабируется с мультипликативной константой.

• Монотонность: Если (как) и то и другое и существуют, то .${\displaystyle X\leq Y}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$${\displaystyle \operatorname {E} [Y]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]\leq \operatorname {E} [Y]}$

Доказательство следует из линейности и свойства неотрицательности для , поскольку (as).${\displaystyle Z=Y-X}$${\displaystyle Z\geq 0}$

• Отсутствие мультипликативности: в целом ожидаемое значение не является мультипликативным, т.е. не обязательно равно . Если и являются независимыми , то можно показать , что . Если случайные величины являются зависимыми , то обычно , хотя в особых случаях зависимости равенство может выполняться.${\displaystyle \operatorname {E} [XY]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]\cdot \operatorname {E} [Y]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {E} [XY]=\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]}$${\displaystyle \operatorname {E} [XY]\neq \operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]}$
• Закон бессознательного статистика : Ожидаемое значение измеримой функции,, учитываячтоимеет функцию плотности вероятности, задаются скалярным произведением ви:${\displaystyle X}$${\displaystyle g(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]=\int _{\mathbb {R} }g(x)f(x)\,dx.}$ ^[3]

Эта формула верна и в многомерном случае, когда является функцией нескольких случайных величин, а является их совместной плотностью . ^{[3] [12]}${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$

• Невырожденность: Если , то (как).${\displaystyle \operatorname {E} [|X|]=0}$${\displaystyle X=0}$
• Для случайной величины с хорошо определенным ожиданием: .${\displaystyle X}$${\displaystyle |\operatorname {E} [X]|\leq \operatorname {E} |X|}$
• Следующие утверждения относительно случайной величины эквивалентны:${\displaystyle X}$
  • ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ существует и конечно.
  • Оба и конечно.${\displaystyle \operatorname {E} [X^{+}]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X^{-}]}$
  • ${\displaystyle \operatorname {E} [|X|]}$ конечно.

По указанным выше причинам выражения « интегрируемый» и «ожидаемое значение конечно» используются в этой статье как синонимы.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

• Если то (как) . Аналогично, если то (как) .${\displaystyle \operatorname {E} [X]<+\infty }$${\displaystyle X<+\infty }$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X]>-\infty }$${\displaystyle X>-\infty }$
• Если и тогда${\displaystyle \operatorname {E} |X^{\beta }|<\infty }$${\displaystyle 0<\alpha <\beta ,}$${\displaystyle \operatorname {E} |X^{\alpha }|<\infty .}$
• Если (как) , то . Другими словами, если X и Y - случайные величины, которые принимают разные значения с нулевой вероятностью, то математическое ожидание X будет равняться ожиданию Y.${\displaystyle X=Y}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [Y]}$
• Если (as) для некоторой константы , то . В частности, для случайной величины с четко определенным математическим ожиданием . Хорошо определенное ожидание подразумевает, что существует одно число или, скорее, одна константа, определяющая ожидаемое значение. Отсюда следует, что ожидание этой константы - это просто исходное ожидаемое значение.${\displaystyle X=c}$ ${\displaystyle c\in [-\infty ,+\infty ]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=c}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X]]=\operatorname {E} [X]}$
• Для неотрицательной целочисленной случайной величины ${\displaystyle X:\Omega \to \{0,1,2,3,\ldots ,+\infty \},}$

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {P} (X>n).}$

Доказательство.

Если тогда С другой стороны,${\displaystyle \operatorname {P} (X=+\infty )>0,}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=+\infty .}$ ${\displaystyle \operatorname {P} (X>n)\geq \operatorname {P} (X=+\infty )>0,}$ так что ряд справа расходится на и равенство выполняется.${\displaystyle +\infty ,}$ Если тогда${\displaystyle \operatorname {P} (X=+\infty )=0,}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {P} (X>n)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{j=n+1}^{\infty }\operatorname {P} (X=j).}$ Определим бесконечную верхнетреугольную матрицу ${\displaystyle M={\begin{bmatrix}\operatorname {P} (X=1)&\operatorname {P} (X=2)&\operatorname {P} (X=3)&\cdots &\operatorname {P} (X=n)&\cdots \\&\operatorname {P} (X=2)&\operatorname {P} (X=3)&\cdots &\operatorname {P} (X=n)&\cdots \\&&\operatorname {P} (X=3)&\cdots &\operatorname {P} (X=n)&\cdots \\&&&\ddots &\vdots &\\&&&&\operatorname {P} (X=n)&\cdots \\&&&&&\ddots \end{bmatrix}}.}$ Двойной ряд - это сумма элементов, если суммирование производится построчно. Поскольку каждое слагаемое неотрицательно, ряд либо сходится абсолютно, либо расходится к. В обоих случаях изменение порядка суммирования не влияет на сумму. Изменение порядка суммирования от строки к строке к столбцу за столбцом дает нам${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=i}^{\infty }\operatorname {P} (X=j)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle +\infty .}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{j=n+1}^{\infty }\operatorname {P} (X=j)&=\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{n=0}^{j-1}\operatorname {P} (X=j)\\&=\sum _{j=1}^{\infty }j\operatorname {P} (X=j)\\&=\sum _{j=0}^{\infty }j\operatorname {P} (X=j)\\&=\operatorname {E} [X].\end{aligned}}}$

Использование и приложения [ править ]

Ожидание случайной величины играет важную роль в различных контекстах. Например, в теории принятия решений часто предполагается, что агент, делающий оптимальный выбор в контексте неполной информации, максимизирует ожидаемое значение своей функции полезности . Для другого примера, в статистике , где ищут оценки неизвестных параметров на основе доступных данных, оценка сама по себе является случайной величиной. В таких условиях желательным критерием «хорошей» оценки является ее непредвзятость ; то есть ожидаемое значение оценки равно истинному значению базового параметра.

Можно построить ожидаемое значение, равное вероятности события, взяв ожидаемое значение индикаторной функции , равное единице, если событие произошло, и нулю в противном случае. Это соотношение можно использовать для перевода свойств ожидаемых значений в свойства вероятностей, например, используя закон больших чисел для обоснования оценки вероятностей по частотам .

Ожидаемые значения степеней X называются моменты из X ; в моменты относительно среднего значения из X , как ожидается , значение степеней X - E [ X ]. Моменты некоторых случайных величин можно использовать для задания их распределений с помощью их функций, производящих моменты .

Чтобы эмпирически оценить ожидаемое значение случайной величины, нужно многократно измерять наблюдения переменной и вычислять среднее арифметическое результатов. Если ожидаемое значение существует, эта процедура оценивает истинное ожидаемое значение беспристрастным образом и имеет свойство минимизировать сумму квадратов остатков (сумма квадратов разностей между наблюдениями и оценкой ). Закон больших чисел показывает (при достаточно мягких условиях) , что, поскольку размер в образце становится больше, то дисперсия этой оценки становится все меньше.

Это свойство часто используется в самых разных приложениях, включая общие задачи статистической оценки и машинного обучения , для оценки (вероятностных) представляющих интерес величин с помощью методов Монте-Карло , поскольку большинство представляющих интерес величин можно записать в терминах математического ожидания, например : где - индикаторная функция множества .${\displaystyle \operatorname {P} ({X\in {\mathcal {A}}})=\operatorname {E} [{\mathbf {1} }_{\mathcal {A}}]}$${\displaystyle {\mathbf {1} }_{\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

В классической механике , то центр масс аналогичная концепция ожидания. Например, предположим, что X - дискретная случайная величина со значениями x _i и соответствующими вероятностями p _i . Теперь рассмотрим невесомый стержень, на котором в точках x _i вдоль стержня размещены грузы, имеющий массы p _i (сумма которых равна единице). Точка балансировки стержня - E [ X ].

Ожидаемые значения также можно использовать для вычисления дисперсии с помощью формулы вычисления дисперсии.

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [X^{2}]-(\operatorname {E} [X])^{2}.}$

Очень важное применение математического ожидания находится в области квантовой механики . Среднее значение квантовомеханического оператора, оперирующего вектором квантового состояния, записывается как . Неопределенность в можно вычислить по следующей формуле .${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle }$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle (\Delta A)^{2}=\langle {\hat {A}}^{2}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle ^{2}}$

Меняя пределы и ожидания [ править ]

В общем, это не так, несмотря на точечную. Таким образом, нельзя поменять местами пределы и ожидания без дополнительных условий на случайные величины. Чтобы убедиться в этом, позвольте быть случайной величиной, равномерно распределенной на . Для определения последовательности случайных величин${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n}]\to \operatorname {E} [X]}$${\displaystyle X_{n}\to X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle n\geq 1,}$

${\displaystyle X_{n}=n\cdot \mathbf {1} \left\{U\in \left[0,{\tfrac {1}{n}}\right]\right\},}$

с функцией индикатора события . Тогда следует, что (as). Но для каждого . Следовательно,${\displaystyle {\mathbf {1} }\{A\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X_{n}\to 0}$${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n}]=n\cdot \operatorname {P} \left(U\in \left[0,{\tfrac {1}{n}}\right]\right)=n\cdot {\tfrac {1}{n}}=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {E} [X_{n}]=1\neq 0=\operatorname {E} \left[\lim _{n\to \infty }X_{n}\right].}$

Аналогично, для общей последовательности случайных величин оператор ожидаемого значения не является аддитивным, т.е.${\displaystyle \{Y_{n}:n\geq 0\}}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{n=0}^{\infty }Y_{n}\right]\neq \sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {E} [Y_{n}].}$

Пример легко получить, задав и для , где , как в предыдущем примере.${\displaystyle Y_{0}=X_{1}}$${\displaystyle Y_{n}=X_{n+1}-X_{n}}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle X_{n}}$

Ряд результатов сходимости задают точные условия, которые позволяют менять пределы и ожидания, как указано ниже.

• Теорема о монотонной сходимости : Позвольте быть последовательность случайных величин, с (как) для каждой . Кроме того, пусть поточечно. Тогда теорема о монотонной сходимости утверждает, что${\displaystyle \{X_{n}:n\geq 0\}}$${\displaystyle 0\leq X_{n}\leq X_{n+1}}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle X_{n}\to X}$${\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} [X_{n}]=\operatorname {E} [X].}$

Используя теорему о монотонной сходимости, можно показать, что математическое ожидание действительно удовлетворяет счетной аддитивности для неотрицательных случайных величин. В частности, пусть быть неотрицательными случайными величинами. Из теоремы о монотонной сходимости следует, что${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=0}^{\infty }}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{i=0}^{\infty }X_{i}\right]=\sum _{i=0}^{\infty }\operatorname {E} [X_{i}].}$

• Лемма Фату : Позвольте быть последовательность неотрицательных случайных величин. Лемма Фату утверждает, что${\displaystyle \{X_{n}\geq 0:n\geq 0\}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\liminf _{n}X_{n}]\leq \liminf _{n}\operatorname {E} [X_{n}].}$

Следствие. Пусть приютит для всех . Если (as), то${\displaystyle X_{n}\geq 0}$${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n}]\leq C}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle X_{n}\to X}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]\leq C.}$

Доказательство заключается в наблюдении за этим (as) и применении леммы Фату.${\displaystyle \textstyle X=\liminf _{n}X_{n}}$

• Теорема о преобладающей сходимости : Позвольте быть последовательность случайных величин. Если поточечно (как), (как) и . Тогда согласно теореме о мажорируемой сходимости${\displaystyle \{X_{n}:n\geq 0\}}$${\displaystyle X_{n}\to X}$ ${\displaystyle |X_{n}|\leq Y\leq +\infty }$${\displaystyle \operatorname {E} [Y]<\infty }$
  • ${\displaystyle \operatorname {E} |X|\leq \operatorname {E} [Y]<\infty }$;
  • ${\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} [X_{n}]=\operatorname {E} [X]}$
  • ${\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} |X_{n}-X|=0.}$
• Равномерная интегрируемость : В некоторых случаях, равенство имеет место , когда последовательность является равномерно интегрируема .${\displaystyle \displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} [X_{n}]=\operatorname {E} [\lim _{n}X_{n}]}$${\displaystyle \{X_{n}\}}$

Неравенства [ править ]

Существует ряд неравенств, связанных с ожидаемыми значениями функций случайных величин. Следующий список включает некоторые из наиболее простых.

• Неравенство Маркова : для неотрицательной случайной величины и неравенство Маркова утверждает, что${\displaystyle X}$${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} [X]}{a}}.}$

• Неравенство Биенайме-Чебышева : Позвольте быть произвольной случайной величиной с конечным ожидаемым значением и конечной дисперсией . Неравенство Bienaymé-Чебышева утверждает , что для любого действительного числа ,${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ ${\displaystyle \operatorname {Var} [X]\neq 0}$${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle \operatorname {P} {\Bigl (}{\Bigl |}X-\operatorname {E} [X]{\Bigr |}\geq k{\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}{\Bigr )}\leq {\frac {1}{k^{2}}}.}$

• Неравенство Йенсена : Позвольте быть выпуклой функцией Бореля и случайной величиной, такой что . потом${\displaystyle f:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {E} |X|<\infty }$

${\displaystyle f(\operatorname {E} (X))\leq \operatorname {E} (f(X)).}$

Правая часть определена правильно, даже если принимает не конечные значения. В самом деле, как отмечалось выше, конечность подразумевает, что конечна как; таким образом определяется как.${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {E} |X|}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(X)}$

• Неравенство Ляпунова: ^[13] Пусть . Неравенство Ляпунова утверждает, что${\displaystyle 0<s<t}$

${\displaystyle \left(\operatorname {E} |X|^{s}\right)^{1/s}\leq \left(\operatorname {E} |X|^{t}\right)^{1/t}.}$

Доказательство. Применяя неравенство Дженсена к и , получаем . Выявление корней из каждой стороны завершает доказательство.${\displaystyle |X|^{s}}$${\displaystyle g(x)=|x|^{t/s}}$${\displaystyle {\Bigl |}\operatorname {E} |X^{s}|{\Bigr |}^{t/s}\leq \operatorname {E} |X^{s}|^{t/s}=\operatorname {E} |X|^{t}}$${\displaystyle t^{th}}$

• Неравенство Коши – Буняковского – Шварца : Неравенство Коши – Буняковского – Шварца утверждает, что

${\displaystyle (\operatorname {E} [XY])^{2}\leq \operatorname {E} [X^{2}]\cdot \operatorname {E} [Y^{2}].}$

• Неравенство Гельдера : Пусть и удовлетворяют условию , и . Неравенство Гёльдера утверждает, что${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$${\displaystyle 1\leq q\leq \infty }$${\displaystyle 1/p+1/q=1}$

${\displaystyle \operatorname {E} |XY|\leq (\operatorname {E} |X|^{p})^{1/p}(\operatorname {E} |Y|^{q})^{1/q}.}$

• Неравенство Минковского : Позвольте быть положительное вещественное число, удовлетворяющее . Пусть, кроме того, и . Тогда согласно неравенству Минковского и${\displaystyle p}$${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$${\displaystyle \operatorname {E} |X|^{p}<\infty }$${\displaystyle \operatorname {E} |Y|^{p}<\infty }$${\displaystyle \operatorname {E} |X+Y|^{p}<\infty }$

${\displaystyle {\Bigl (}\operatorname {E} |X+Y|^{p}{\Bigr )}^{1/p}\leq {\Bigl (}\operatorname {E} |X|^{p}{\Bigr )}^{1/p}+{\Bigl (}\operatorname {E} |Y|^{p}{\Bigr )}^{1/p}.}$

Ожидаемые значения обычных распределений [ править ]

Распределение	Обозначение	Среднее E (X)
Бернулли	${\displaystyle X\sim ~b(1,p)}$	${\displaystyle p}$
Биномиальный	${\displaystyle X\sim B(n,p)}$	${\displaystyle np}$
Пуассон	${\displaystyle X\sim Po(\lambda )}$	${\displaystyle \lambda }$
Геометрический	${\displaystyle X\sim Geometric(p)}$	${\displaystyle 1/p}$
Униформа	${\displaystyle X\sim U(a,b)}$	${\displaystyle (a+b)/2}$
Экспоненциальный	${\displaystyle X\sim \exp(\lambda )}$	${\displaystyle 1/\lambda }$
Нормальный	${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$	${\displaystyle \mu }$
Стандарт Нормальный	${\displaystyle X\sim N(0,1)}$	${\displaystyle 0}$
Парето	${\displaystyle X\sim Par(\alpha )}$	${\displaystyle \alpha /(\alpha +1)}$ если ${\displaystyle \alpha >1}$
Коши	${\displaystyle X\sim Cauchy(x_{0},\gamma )}$	неопределенный

Связь с характеристической функцией [ править ]

Функция плотности вероятности скалярной случайной величины связана с ее характеристической функцией формулой обращения:${\displaystyle f_{X}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi _{X}}$

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }e^{-itx}\varphi _{X}(t)\,dt.}$

Для ожидаемого значения (где - функция Бореля ) мы можем использовать эту формулу обращения, чтобы получить${\displaystyle g(X)}$${\displaystyle g:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }}$

${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }g(x)\left[\int _{\mathbb {R} }e^{-itx}\varphi _{X}(t)\,dt\right]\,dx.}$

Если конечно, меняя порядок интегрирования, получим, согласно теореме Фубини – Тонелли ,${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]}$

${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }G(t)\varphi _{X}(t)\,dt,}$

куда

${\displaystyle G(t)=\int _{\mathbb {R} }g(x)e^{-itx}\,dx}$

является преобразованием Фурье . Выражение для также следует непосредственно из теоремы Планшереля .${\displaystyle g(x).}$${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]}$

См. Также [ править ]

• Центр массы
• Основная тенденция
• Неравенство Чебышева (неравенство по параметрам расположения и масштаба)
• Условное ожидание
• Ожидание (общий термин)
• Ожидание (квантовая механика)
• Закон полного ожидания -The ожидаемое значение условного ожидаемого значения X данной Y такой же , как ожидаемое значение X .
• Момент (математика)
• Нелинейное ожидание (обобщение математического ожидания )
• Уравнение Вальда - уравнение для вычисления математического ожидания случайного числа случайных величин.

Ссылки [ править ]

Литература [ править ]