Биномиальное распределение

Биномиальное распределение

Вероятностная функция масс
Кумулятивная функция распределения
Обозначение	${\ Displaystyle В (п, р)}$
Параметры	${\ Displaystyle п \ в \ {0,1,2, \ ldots \}}$- количество испытаний - вероятность успеха для каждого испытания ${\ displaystyle p \ in [0,1]}$ ${\ Displaystyle д = 1-р}$
Поддерживать	${\ Displaystyle к \ в \ {0,1, \ ldots, п \}}$ - количество успехов
PMF	${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} p ^ {k} q ^ {nk}}$
CDF	${\ displaystyle I_ {q} (nk, 1 + k)}$
Иметь в виду	${\ displaystyle np}$
Медиана	${\ Displaystyle \ lfloor np \ rfloor}$ или же ${\ displaystyle \ lceil np \ rceil}$
Режим	${\ Displaystyle \ lfloor (п + 1) п \ rfloor}$ или же ${\ Displaystyle \ lceil (п + 1) п \ rceil -1}$
Дисперсия	${\ displaystyle npq}$
Асимметрия	${\ displaystyle {\ frac {qp} {\ sqrt {npq}}}}$
Бывший. эксцесс	${\ displaystyle {\ frac {1-6pq} {npq}}}$
Энтропия	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ log _ {2} (2 \ pi enpq) + O \ left ({\ frac {1} {n}} \ right)}$ в шаннонах . Для натсов используйте в журнале натуральный журнал.
MGF	${\ Displaystyle (д + пе ^ {т}) ^ {п}}$
CF	${\displaystyle (q+pe^{it})^{n}}$
PGF	${\displaystyle G(z)=[q+pz]^{n}}$
Информация Fisher	${\displaystyle g_{n}(p)={\frac {n}{pq}}}$ (для фиксированного )${\displaystyle n}$

Биномиальное распределение для с n и k, как в треугольнике Паскаля . Вероятность того, что мяч в ящике Гальтона с 8 слоями ( n  = 8  ) окажется в центральном контейнере ( k = 4), равна .${\displaystyle p=0.5}$


${\displaystyle 70/256}$

В теории вероятностей и статистике , в биномиальном распределении с параметрами п и р является дискретным распределением вероятностей числа успехов в последовательности п независимых опытов , каждый Задавая да-нет вопроса , и каждый со своим собственными булевым -значным результатом : успех (с вероятностью p ) или неудача (с вероятностью q  = 1 -  p ). Единичный эксперимент успеха / неудачи также называетсяИспытание Бернулли или эксперимент Бернулли, а последовательность результатов называется процессом Бернулли ; для одного испытания, т. е. n  = 1, биномиальное распределение является распределением Бернулли . Биномиальное распределение является основой для популярного биномиального теста на статистическую значимость .

Биномиальное распределение часто используется для моделирования числа успехов в выборке размера п обращается с заменой из популяции размера N . Если выборка выполняется без замены, розыгрыши не являются независимыми, и поэтому результирующее распределение является гипергеометрическим распределением , а не биномиальным. Однако для N, намного большего, чем n , биномиальное распределение остается хорошим приближением и широко используется.

Определения [ править ]

Вероятностная функция масс [ править ]

В общем случае, если случайная величина X подчиняется биномиальному распределению с параметрами n ∈ ℕ и p ∈ [0,1], мы пишем X  ~ B ( n ,  p ). Вероятность получить ровно k успехов в n независимых испытаниях Бернулли определяется функцией массы вероятности :

${\displaystyle f(k,n,p)=\Pr(k;n,p)=\Pr(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$

для k  = 0, 1, 2, ...,  n , где

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$

- биномиальный коэффициент , отсюда и название распределения. Формулу можно понять так: k успехов происходят с вероятностью p ^k и n  -  k неудач происходят с вероятностью (1 -  p ) ^{n  -  k} . Однако k успешных результатов могут произойти где угодно среди n попыток, и существуют разные способы распределения k успехов в последовательности из n попыток.${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$

При создании справочных таблиц для вероятностей биномиального распределения обычно таблица заполняется до n / 2 значений. Это связано с тем, что для k  >  n / 2 вероятность может быть вычислена путем его дополнения как

${\displaystyle f(k,n,p)=f(n-k,n,1-p).}$

Если посмотреть на выражение f ( k ,  n ,  p ) как функцию от k , найдется значение k, которое максимизирует его. Это значение k можно найти, вычислив

${\displaystyle {\frac {f(k+1,n,p)}{f(k,n,p)}}={\frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}}$

и сравнивая его с 1. Всегда существует целое число M , удовлетворяющее ^[1]

${\displaystyle (n+1)p-1\leq M<(n+1)p.}$

f ( k ,  n ,  p ) монотонно возрастает при k  <  M и монотонно убывает при k  >  M , за исключением случая, когда ( n  + 1) p является целым числом. В этом случае есть два значения, для которых f является максимальным: ( n  + 1) p и ( n  + 1) p  - 1. M является наиболее вероятным исходом (то есть наиболее вероятным, хотя это все еще может быть маловероятным. в целом) испытаний Бернулли и называется режимом .

Пример [ править ]

Предположим, при подбрасывании монеты выпадает орел с вероятностью 0,3. Вероятность увидеть ровно 4 решки за 6 бросков равна

${\displaystyle f(4,6,0.3)={\binom {6}{4}}0.3^{4}(1-0.3)^{6-4}=0.059535.}$

Кумулятивная функция распределения [ править ]

Интегральная функция распределения может быть выражена как:

${\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i},}$

где "этаж" под k , т. е. наибольшее целое число, меньшее или равное k .${\displaystyle \lfloor k\rfloor }$

Его также можно представить в терминах регуляризованной неполной бета-функции следующим образом: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}F(k;n,p)&=\Pr(X\leq k)\\&=I_{1-p}(n-k,k+1)\\&=(n-k){n \choose k}\int _{0}^{1-p}t^{n-k-1}(1-t)^{k}\,dt.\end{aligned}}}$

которая эквивалентна интегральной функции распределения от F -распределения : ^[3]

${\displaystyle F(k;n,p)=F_{F{\text{-distribution}}}\left(x={\frac {1-p}{p}}{\frac {k+1}{n-k}};d_{1}=2(n-k),d_{2}=2(k+1)\right).}$

Некоторые оценки в закрытой форме для кумулятивной функции распределения приведены ниже .

Свойства [ править ]

Ожидаемое значение и отклонение [ править ]

Если X ~ B ( п , р ), то есть, Х представляет собой биномиально распределенная случайная величина, п быть общее число экспериментов и р вероятность каждого эксперимента , получа положительный результат, то ожидаемое значение из X является: ^{[4 ]}

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=np.}$

Это следует из линейности ожидаемого значения и того факта, что X представляет собой сумму n идентичных случайных величин Бернулли, каждая из которых имеет ожидаемое значение p . Другими словами, если идентичны (и независимы) случайные величины Бернулли с параметром p , то и${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle X=X_{1}+\cdots +X_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [X_{1}+\cdots +X_{n}]=\operatorname {E} [X_{1}]+\cdots +\operatorname {E} [X_{n}]=p+\cdots +p=np.}$

Дисперсия является:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=np(1-p).}$

Это аналогично следует из того факта, что дисперсия суммы независимых случайных величин является суммой дисперсий.

Высшие моменты [ править ]

Первые 6 центральных моментов , определяемые как , задаются формулой ${\displaystyle \mu _{c}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{c}\right]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=0,\\\mu _{2}&=np(1-p),\\\mu _{3}&=np(1-p)(1-2p),\\\mu _{4}&=np(1-p)(1+(3n-6)p(1-p)),\\\mu _{5}&=np(1-p)(1-2p)(1+(10n-12)p(1-p)),\\\mu _{6}&=np(1-p)(1-30p(1-p)(1-4p(1-p))+5np(1-p)(5-26p(1-p))+15n^{2}p^{2}(1-p)^{2}).\end{aligned}}}$

Режим [ править ]

Обычно режим биномиального распределения B ( n ,  p ) равен , где - минимальная функция . Однако, когда ( n  + 1) p является целым числом и p не равно ни 0, ни 1, тогда распределение имеет два режима: ( n  + 1) p и ( n  + 1) p  - 1. Когда p равно 0 или 1 режим будет 0 и n соответственно. Эти случаи можно резюмировать следующим образом:${\displaystyle \lfloor (n+1)p\rfloor }$${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$

${\displaystyle {\text{mode}}={\begin{cases}\lfloor (n+1)\,p\rfloor &{\text{if }}(n+1)p{\text{ is 0 or a noninteger}},\\(n+1)\,p\ {\text{ and }}\ (n+1)\,p-1&{\text{if }}(n+1)p\in \{1,\dots ,n\},\\n&{\text{if }}(n+1)p=n+1.\end{cases}}}$

Доказательство: Пусть

${\displaystyle f(k)={\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}.}$

Для только имеет значение отличное от нуля с . Ибо мы находим и для . Это доказывает, что режим равен 0 для и для .${\displaystyle p=0}$${\displaystyle f(0)}$${\displaystyle f(0)=1}$${\displaystyle p=1}$${\displaystyle f(n)=1}$${\displaystyle f(k)=0}$${\displaystyle k\neq n}$${\displaystyle p=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p=1}$

Пусть . Мы нашли${\displaystyle 0<p<1}$

${\displaystyle {\frac {f(k+1)}{f(k)}}={\frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}}$.

Из этого следует

${\displaystyle {\begin{aligned}k>(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)<f(k)\\k=(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)=f(k)\\k<(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)>f(k)\end{aligned}}}$

Итак, когда - целое число, тогда и - это режим. В этом случае только режим. ^[5]${\displaystyle (n+1)p-1}$${\displaystyle (n+1)p-1}$${\displaystyle (n+1)p}$${\displaystyle (n+1)p-1\notin \mathbb {Z} }$${\displaystyle \lfloor (n+1)p-1\rfloor +1=\lfloor (n+1)p\rfloor }$

Медиана [ править ]

В общем, не существует единой формулы для нахождения медианы для биномиального распределения, и оно может даже быть неуникальным. Однако было установлено несколько особых результатов:

• Если np является целым числом, то среднее значение, медиана и мода совпадают и равны np . ^{[6] [7]}
• Любая медиана m должна лежать в интервале ⌊ np ⌋ ≤  m  ≤ ⌈ np ⌉. ^[8]
• Медиана m не может находиться слишком далеко от среднего: | м - нп | ≤ min {ln 2, max { p , 1 - p }  }. ^[9]
• Медиана уникальна и равна m  =  round ( np ), когда | м  -  нп | ≤ min { p , 1 -  p } (кроме случая, когда p  = 1/2и n нечетное). ^[8]
• Когда p  = 1/2 и n нечетно, любое число m в интервале1/2( п  - 1) ≤  м  ≤ 1/2( n  + 1) - медиана биномиального распределения. Если p  = 1/2 и n четно, то m  =  n / 2 - единственная медиана.

Границы хвоста [ править ]

Для k ≤ np верхние границы могут быть получены для нижнего хвоста кумулятивной функции распределения - вероятности того, что имеется не более k успешных результатов. Поскольку эти границы можно также рассматривать как границы верхнего хвоста кумулятивной функции распределения при k ≥ np .${\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)}$${\displaystyle \Pr(X\geq k)=F(n-k;n,1-p)}$

Неравенство Хёффдинга дает простую оценку

${\displaystyle F(k;n,p)\leq \exp \left(-2n\left(p-{\frac {k}{n}}\right)^{2}\right),\!}$

что, однако, не очень плотно. В частности, для p = 1 мы имеем, что F ( k ; n , p ) = 0 (для фиксированного k , n с k  <  n ), но оценка Хёффдинга дает положительную константу.

Более точная оценка может быть получена из оценки Чернова : ^[10]

${\displaystyle F(k;n,p)\leq \exp \left(-nD\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)\right)}$

где D ( a || p ) - относительная энтропия между a -coin и p -coin (т.е. между распределением Бернулли ( a ) и Бернулли ( p )):

${\displaystyle D(a\parallel p)=(a)\log {\frac {a}{p}}+(1-a)\log {\frac {1-a}{1-p}}.\!}$

Асимптотически это ограничение достаточно жесткое; подробности см. в ^[10] .

Можно также получить нижние границы на хвосте , известные как границы антиконцентрации. Аппроксимируя биномиальный коэффициент формулой Стирлинга, можно показать, что ^[11]${\displaystyle F(k;n,p)}$

${\displaystyle F(k;n,p)\geq {\frac {1}{\sqrt {8n{\tfrac {k}{n}}(1-{\tfrac {k}{n}})}}}\exp \left(-nD\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)\right),}$

что влечет более простую, но более слабую оценку

${\displaystyle F(k;n,p)\geq {\frac {1}{\sqrt {2n}}}\exp \left(-nD\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)\right).}$

Для p = 1/2 и k ≥ 3 n / 8 для четного n знаменатель можно сделать постоянным: ^[12]

${\displaystyle F(k;n,{\tfrac {1}{2}})\geq {\frac {1}{15}}\exp \left(-16n\left({\frac {1}{2}}-{\frac {k}{n}}\right)^{2}\right).\!}$

Статистический вывод [ править ]

Оценка параметров [ править ]

Когда n известно, параметр p может быть оценен с использованием доли успехов: эта оценка находится с использованием оценки максимального правдоподобия, а также метода моментов . Эта оценка является несмещенной и равномерно с минимальной дисперсией , что доказано с помощью теоремы Лемана – Шеффе , поскольку она основана на минимальной достаточной и полной статистике (например, x ). Он также согласован как по вероятности, так и по MSE .${\displaystyle {\widehat {p}}={\frac {x}{n}}.}$

Байесовская оценка в закрытой форме для p также существует при использовании бета-распределения в качестве сопряженного априорного распределения . При использовании общего , как до, то задняя средняя оценка является: . Байесовская оценка асимптотически эффективна, и по мере приближения размера выборки к бесконечности ( n → ∞) она приближается к решению MLE . Оценка Байеса смещена (насколько зависит от априорных значений), допустима и непротиворечива по вероятности.${\displaystyle \operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle {\widehat {p_{b}}}={\frac {x+\alpha }{n+\alpha +\beta }}}$

Для особого случая использования стандартного равномерного распределения в качестве неинформативного априорного ( ) апостериорная средняя оценка становится ( апостериорная мода должна просто вести к стандартной оценке). Этот метод называется правилом преемственности , которое было введено в 18 веке Пьером-Симоном Лапласом .${\displaystyle \operatorname {Beta} (\alpha =1,\beta =1)=U(0,1)}$${\displaystyle {\widehat {p_{b}}}={\frac {x+1}{n+2}}}$

При оценке p с очень редкими событиями и малым n (например: если x = 0) использование стандартной оценки приводит к тому, что иногда нереально и нежелательно. В таких случаях существуют различные альтернативные оценки. ^[13] Один из способов - использовать байесовскую оценку, что приводит к:) . Другой способ заключается в использовании верхней границы доверительного интервала , полученном с использованием правила трех : )${\displaystyle {\widehat {p}}=0,}$${\displaystyle {\widehat {p_{b}}}={\frac {1}{n+2}}}$${\displaystyle {\widehat {p_{\text{rule of 3}}}}={\frac {3}{n}}}$

Доверительные интервалы [ править ]

Даже для довольно больших значений n фактическое распределение среднего существенно ненормально. ^[14] Из-за этой проблемы было предложено несколько методов оценки доверительных интервалов.

В приведенных ниже уравнениях для доверительных интервалов переменные имеют следующее значение:

• n ₁ - количество успехов из n , общее количество попыток
• ${\displaystyle {\widehat {p\,}}={\frac {n_{1}}{n}}}$ доля успехов
• ${\displaystyle z}$это квантиль из стандартного нормального распределения (т.е. пробит ) , соответствующей целевой частоты появления ошибок . Например, для уровня достоверности 95% ошибка  = 0,05, поэтому  = 0,975 и  = 1,96.${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{2}}\alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{2}}\alpha }$${\displaystyle z}$

Метод Вальда [ править ]

${\displaystyle {\widehat {p\,}}\pm z{\sqrt {\frac {{\widehat {p\,}}(1-{\widehat {p\,}})}{n}}}.}$

Коррекции непрерывности 0,5 / п могут быть добавлены. ^{[ требуется разъяснение ]}

Метод Агрести – Коулла [ править ]

^[15]

${\displaystyle {\tilde {p}}\pm z{\sqrt {\frac {{\tilde {p}}(1-{\tilde {p}})}{n+z^{2}}}}.}$

Здесь оценка p изменена на

${\displaystyle {\tilde {p}}={\frac {n_{1}+{\frac {1}{2}}z^{2}}{n+z^{2}}}}$

Метод арксинуса [ править ]

^[16]

${\displaystyle \sin ^{2}\left(\arcsin \left({\sqrt {\widehat {p\,}}}\right)\pm {\frac {z}{2{\sqrt {n}}}}\right).}$

Метод Уилсона (оценка) [ править ]

Обозначения в формуле ниже отличаются от предыдущих формул в двух отношениях: ^[17]

• Во-первых, z _x имеет несколько иную интерпретацию в формуле ниже: он имеет свое обычное значение « x- й квантиль стандартного нормального распределения», а не является сокращением для «(1 -  x ) -го квантиля».
• Во-вторых, в этой формуле не используется знак «плюс-минус» для определения двух границ. Вместо этого можно использовать для получения нижней границы или использовать для получения верхней границы. Например: для уровня достоверности 95% ошибка  = 0,05, поэтому нижнюю границу можно получить с помощью , а верхнюю - с помощью .${\displaystyle z=z_{\alpha /2}}$${\displaystyle z=z_{1-\alpha /2}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle z=z_{\alpha /2}=z_{0.025}=-1.96}$${\displaystyle z=z_{1-\alpha /2}=z_{0.975}=1.96}$

${\displaystyle {\frac {{\widehat {p\,}}+{\frac {z^{2}}{2n}}+z{\sqrt {{\frac {{\widehat {p\,}}(1-{\widehat {p\,}})}{n}}+{\frac {z^{2}}{4n^{2}}}}}}{1+{\frac {z^{2}}{n}}}}}$^[18]

Сравнение [ править ]

Точный метод ( Клоппера – Пирсона ) является наиболее консервативным. ^[14]

Метод Вальда, хотя его часто рекомендуют в учебниках, является наиболее предвзятым. ^{[ требуется разъяснение ]}

Связанные дистрибутивы [ править ]

Суммы биномов [ править ]

Если X  ~ B ( n ,  p ) и Y  ~ B ( m ,  p ) - независимые биномиальные переменные с одинаковой вероятностью p , то X  +  Y снова является биномиальной переменной; его распределение Z = X + Y  ~ B ( n + m ,  p ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (Z=k)&=\sum _{i=0}^{k}\left[{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}\right]\left[{\binom {m}{k-i}}p^{k-i}(1-p)^{m-k+i}\right]\\&={\binom {n+m}{k}}p^{k}(1-p)^{n+m-k}\end{aligned}}}$

Однако, если X и Y не имеют одинаковой вероятности p , тогда дисперсия суммы будет меньше, чем дисперсия биномиальной переменной, распределенной как${\displaystyle B(n+m,{\bar {p}}).\,}$

Соотношение двух биномиальных распределений [ править ]

Этот результат был впервые получен Кацем с соавторами в 1978 г. ^[19]

Пусть X  ~ B ( n , p ₁ ) и Y  ~ B ( m , p ₂ ) независимы. Пусть T = ( X / n ) / ( Y / m ).

Тогда log ( T ) приблизительно нормально распределен со средним логарифмом ( p ₁ / p ₂ ) и дисперсией ((1 / p ₁ ) - 1) / n  + ((1 / p ₂ ) - 1) / m .

Условные биномы [ править ]

Если X  ~ B ( n ,  p ) и Y  |  X  ~ B ( X ,  q ) (условное распределение Y , заданное  X ), тогда Y - простая биномиальная случайная величина с распределением Y  ~ B ( n ,  pq ).

Например, представьте себе , бросая п шары в корзину U _X и принимая шары, удар и бросать их в другую корзину U _Y . Если р есть вероятность того , достиг U _X , то Х  \ В ( п ,  р ) является количеством шаров , которые поражают U _X . Если q - вероятность попасть в U _Y, то количество шаров, попавших в U _Y, равно Y  ~ B ( X ,  q ) и, следовательно, Y  ~ B ( n , pq ).

Распределение Бернулли [ править ]

Распределение Бернулли является частным случаем биномиального распределения, где n  = 1. Символически X  ~ B (1,  p ) имеет то же значение, что и X  ~ Bernoulli ( p ). И наоборот, любое биномиальное распределение, B ( n ,  p ), является распределением суммы n испытаний Бернулли, Бернулли ( p ), каждое с одинаковой вероятностью p . ^[20]

Биномиальное распределение Пуассона [ править ]

Биномиальное распределение - это частный случай биномиального распределения Пуассона или общего биномиального распределения , которое представляет собой распределение суммы n независимых неидентичных испытаний Бернулли B ( p _i ). ^[21]

Нормальное приближение [ править ]

Если n достаточно велико, то перекос распределения не слишком велик. В этом случае разумное приближение к B ( n ,  p ) дается нормальным распределением

${\displaystyle {\mathcal {N}}(np,\,np(1-p)),}$

и это базовое приближение можно просто улучшить, используя подходящую поправку на непрерывность . Базовое приближение обычно улучшается при увеличении n (не менее 20) и лучше, когда p не близко к 0 или 1. ^[22] Можно использовать различные практические правила, чтобы решить, достаточно ли n , а p достаточно далеко от крайности нуля или единицы:

• Одно правило ^[22] состоит в том, что для n > 5 нормальное приближение является адекватным, если абсолютное значение асимметрии строго меньше 1/3; то есть, если

${\displaystyle {\frac {|1-2p|}{\sqrt {np(1-p)}}}={\frac {1}{\sqrt {n}}}\left|{\sqrt {\frac {1-p}{p}}}-{\sqrt {\frac {p}{1-p}}}\,\right|<{\frac {1}{3}}.}$

• Более сильное правило гласит, что нормальное приближение подходит только в том случае, если все в пределах 3 стандартных отклонений от его среднего находится в пределах диапазона возможных значений; то есть, только если

${\displaystyle \mu \pm 3\sigma =np\pm 3{\sqrt {np(1-p)}}\in (0,n).}$

Это правило трех стандартных отклонений эквивалентно следующим условиям, которые также подразумевают первое правило выше.

${\displaystyle n>9\left({\frac {1-p}{p}}\right)\quad {\text{and}}\quad n>9\left({\frac {p}{1-p}}\right).}$

• Другое часто используемое правило состоит в том, что оба значения и должны быть больше или равны 5. Однако конкретное число варьируется от источника к источнику и зависит от того, насколько хорошее приближение требуется. В частности, если использовать 9 вместо 5, правило подразумевает результаты, указанные в предыдущих параграфах.${\displaystyle np}$${\displaystyle n(1-p)}$

Ниже приводится пример применения коррекции непрерывности . Предположим , что кто -то желает вычислить Pr ( X  ≤ 8) для бином случайная величина Х . Если Y имеет распределение, заданное нормальным приближением, то Pr ( X  ≤ 8) аппроксимируется Pr ( Y  ≤ 8.5). Добавление 0,5 - это поправка на непрерывность; неисправленное нормальное приближение дает значительно менее точные результаты.

Это приближение, известное как теорема де Муавра – Лапласа , значительно экономит время при выполнении вычислений вручную (точные вычисления с большим n очень обременительны); исторически это было первое использование нормального распределения, введенное в книге Абрахама де Муавра « Доктрина шансов» в 1738 году. В настоящее время его можно рассматривать как следствие центральной предельной теоремы, поскольку B ( n ,  p ) является сумма n независимых, одинаково распределенных переменных Бернулли с параметром  p . Этот факт является основанием для проверки гипотезы , «z-критерия пропорции», для значенияp с использованием x / n , доли выборки и оценки p в общей тестовой статистике . ^[23]

Например, предположим, что кто-то произвольно выбирает n человек из большой совокупности и спрашивает их, согласны ли они с определенным утверждением. Доля согласных, конечно, будет зависеть от выборки. Если бы группы из n человек отбирались повторно и действительно случайным образом, пропорции следовали бы приблизительному нормальному распределению со средним значением, равным истинной пропорции p согласия в совокупности, и со стандартным отклонением.${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}}$

Приближение Пуассона [ править ]

Биномиальное распределение сходится к распределению Пуассона, когда количество попыток стремится к бесконечности, в то время как произведение np остается фиксированным или, по крайней мере, p стремится к нулю. Следовательно, распределение Пуассона с параметром λ = np можно использовать в качестве приближения к B ( n , p ) биномиального распределения, если n достаточно велико, а p достаточно мало. Согласно двум практическим правилам, это приближение хорошо, если n  ≥ 20 и p  ≤ 0,05, или если n  ≥ 100 и np  ≤ 10. ^[24]

Относительно точности пуассоновского приближения см. Новак, ^[25] гл. 4 и ссылки в нем.

Ограничение распространения [ править ]

• Предельная теорема Пуассона : когда n приближается к ∞, а p приближается к 0 прификсированномпроизведении np , биномиальное ( n ,  p ) распределение приближается к распределению Пуассона с математическим ожиданием λ = np . ^[24]
• Теорема де Муавра – Лапласа : когда n приближается к ∞, а p остается фиксированным, распределение

${\displaystyle {\frac {X-np}{\sqrt {np(1-p)}}}}$

приближается к нормальному распределению с ожидаемым значением 0 и дисперсией  1. ^{[ править ]} Этот результат иногда слабо говорилось, говоря , что распределение X является асимптотически нормальным с ожидаемым значением  нп и дисперсией  нп (1 -  р ). Этот результат является частным случаем центральной предельной теоремы .

Бета-распространение [ править ]

Биномиальное распределение и бета-распределение - это разные взгляды на одну и ту же модель повторных испытаний Бернулли. Биномиальное распределение является PMF из K успехов заданных п независимых событий каждого с вероятностью р успеха. Математически, когда α = k + 1 и β = n - k + 1 , бета-распределение и биномиальное распределение связаны коэффициентом n + 1 :

${\displaystyle \operatorname {Beta} (p;\alpha ;\beta )=(n+1)\operatorname {Binom} (k;n;p)}$

Бета-распределения также предоставляют семейство априорных распределений вероятностей для биномиальных распределений в байесовском выводе : ^[26]

${\displaystyle P(p;\alpha ,\beta )={\frac {p^{\alpha -1}(1-p)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}.}$

При однородном априорном распределении апостериорного распределения вероятности успеха p при n независимых событиях с k наблюдаемыми успехами является бета-распределением. ^[27]

Вычислительные методы [ править ]

Генерация биномиальных случайных величин [ править ]

Методы генерации случайных чисел, в которых маргинальное распределение является биномиальным распределением, хорошо известны. ^{[28] [29]}

Один из способов генерировать случайные выборки из биномиального распределения - использовать алгоритм инверсии. Для этого необходимо вычислить вероятность того, что Pr ( X = k ) для всех значений k от 0 до n . (Эти вероятности должны быть суммированы до значения, близкого к единице, чтобы охватить все пространство отсчетов.) Затем, используя генератор псевдослучайных чисел для генерации отсчетов равномерно между 0 и 1, можно преобразовать вычисленные отсчеты в дискретные числа с помощью вероятности, рассчитанные на первом этапе.

История [ править ]

Это распределение было получено Якобом Бернулли . Он рассмотрел случай, когда p = r / ( r  +  s ), где p - вероятность успеха, а r и s - положительные целые числа. Блез Паскаль ранее рассматривал случай, когда p  = 1/2.

См. Также [ править ]

• Логистическая регрессия
• Полиномиальное распределение
• Отрицательное биномиальное распределение
• Бета-биномиальное распределение
• Биномиальная мера, пример мультифрактальной меры . ^[30]
• Статистическая механика

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Хирш, Вернер З. (1957). «Биномиальное распределение - успех или неудача, насколько они вероятны?» . Введение в современную статистику . Нью-Йорк: Макмиллан. С. 140–153.
• Нетер, Джон; Вассерман, Уильям; Уитмор, Джорджия (1988). Прикладная статистика (Третье изд.). Бостон: Аллин и Бэкон. С. 185–192. ISBN 0-205-10328-6.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с биномиальным распределением .

• Интерактивная графика: одномерные отношения распределения
• Калькулятор формулы биномиального распределения
• Разница двух биномиальных переменных: XY или | XY |
• Запрос биномиального распределения вероятностей в WolframAlpha