Треугольник Паскаля

${\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\\\end{array}}}$

Диаграмма, показывающая первые восемь рядов треугольника Паскаля, пронумерованные от 0 до 7.

В математике , треугольник Паскаля является треугольным массивом из биномиальных коэффициентов , возникающих в теории вероятностей, комбинаторике и алгебре. В большей части западного мира он назван в честь французского математика Блеза Паскаля , хотя другие математики изучали его за несколько столетий до него в Индии, ^[1] Персии , ^[2] Китае, Германии и Италии. ^[3]

Строки треугольника Паскаля обычно нумеруются, начиная со строки вверху (0-я строка). Записи в каждой строке нумеруются слева, начиная с, и обычно располагаются в шахматном порядке относительно номеров в соседних строках. Треугольник может быть построен следующим образом: в строке 0 (самая верхняя строка) есть уникальная ненулевая запись 1. Каждая запись каждой последующей строки строится путем добавления числа вверху и слева с номером вверху и к справа, обрабатывая пустые записи как 0. Например, начальное число в первой (или любой другой) строке равно 1 (сумма 0 и 1), тогда как числа 1 и 3 в третьей строке складываются для получения цифра 4 в четвертом ряду.${\displaystyle n=0}$${\displaystyle k=0}$

Формула [ править ]

В треугольнике Паскаля каждое число представляет собой сумму двух чисел прямо над ним.

Обозначается запись в -й строке и -м столбце треугольника Паскаля . Например, уникальной ненулевой записью в самой верхней строке является . С этими обозначениями конструкция предыдущего абзаца может быть записана следующим образом:${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {n \choose k}}$${\displaystyle {0 \choose 0}=1}$

${\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}$,

для любого неотрицательного целого и любого целого числа . ^[4] Это повторение биномиальных коэффициентов известно как правило Паскаля .${\displaystyle n}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$

Треугольник Паскаля имеет более высокие размерные обобщения. Трехмерная версия называется пирамидой Паскаля или тетраэдром Паскаля , а общие версии называются симплексами Паскаля .

История [ править ]

मेरु प्रस्तार (Мера Prastaara), который используется в индийских рукописях, полученных из Пингала формул «ы. Рукопись из библиотеки Рагхунатха J&K; 755 г. н.э.

Ян Хуэй треугольник «s, как показано китайцами с помощью стержневых цифр , появляется в математической работе по Чжу Шицзе , от 1303. Название гласит : „Старый метод Схему квадратов Семь мультиплицирующих“(китайский:古法七乘方圖; четвертый символ 椉 в названии изображения архаичен).

Схема чисел, образующих треугольник Паскаля, была известна задолго до Паскаля. Паскаль ввел новшество во многие ранее не подтвержденные применения чисел треугольника, применения, которые он подробно описал в самом раннем известном математическом трактате, специально посвященном треугольнику, в его арифметической работе над треугольником (1654; опубликовано в 1665 году). Много веков назад обсуждение чисел возникло в контексте индийских исследований комбинаторики и биномиальных чисел, а также греков , изучавших фигуральные числа . ^[5]

Из более поздних комментариев следует, что биномиальные коэффициенты и аддитивная формула для их генерации были известны Пингале во II веке до нашей эры или раньше. ^{[6] [7]} Хотя работа Пингалы сохранилась только фрагментами, комментатор Варахамихира , около 505 г., дал четкое описание аддитивной формулы ^[7], а более подробное объяснение того же правила было дано Халаюдхой около 975 г. Халаюда также объяснил неясные ссылки на Меру-прастара , Лестницу на гору Меру , дав первое сохранившееся описание расположения этих чисел в треугольнике. ^{[7] [8]}${\displaystyle {n \choose r}={n-1 \choose r}+{n-1 \choose r-1}}$Примерно в 850 году джайнский математик Махавира дал другую формулу для биномиальных коэффициентов, используя умножение, эквивалентную современной формуле . ^[7] В 1068 году четыре столбца первых шестнадцати строк были даны математиком Бхаттотпала , который был первым зарегистрированным математиком, который приравнял аддитивные и мультипликативные формулы для этих чисел. ^[7]${\displaystyle {n \choose r}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}}$

Примерно в то же время персидский математик Аль-Караджи (953–1029) написал ныне утерянную книгу, содержащую первое описание треугольника Паскаля. ^{[9] [10] [11]} Позднее его повторил персидский поэт-астроном-математик Омар Хайям (1048–1131); таким образом, треугольник также называют треугольником Хайяма в Иране. ^[12] Было известно несколько теорем, связанных с треугольником, включая биномиальную теорему . Хайям использовал метод нахождения корней n- й степени, основанный на биномиальном разложении и, следовательно, на биномиальных коэффициентах. ^[2]

Треугольник Паскаля был известен в Китае в начале 11 века благодаря работам китайского математика Цзя Сяня (1010–1070). В 13 веке Ян Хуэй (1238–1298) представил треугольник, и поэтому в Китае его до сих пор называют треугольником Ян Хуэя (杨辉 三角;楊輝 三角). ^[13]

На западе треугольник Паскаля впервые появляется в арифметике Йордана де Немора (13 век). ^[14] Биномиальные коэффициенты были рассчитаны Герсонидом в начале 14 века, используя для них мультипликативную формулу. ^[7] Петер Апиан (1495-1552) опубликовал полный треугольник на фронтоне его книги по бизнес - расчетам в 1527 году ^[15] Михаэль Штифель опубликовал часть треугольника (от секунды до средней колонки в каждой строке) в 1544, описывая его как таблицу фигурных чисел . ^[7] В Италии треугольник Паскаля называют треугольником Тартальи., названный в честь итальянского алгебраиста Никколо Фонтана Тарталья (1500–1577), который опубликовал шесть строк треугольника в 1556 году. ^[7] Джероламо Кардано также опубликовал треугольник, а также аддитивные и мультипликативные правила его построения в 1570 году. ^[7]

Паскаля Трактат ая треугольник arithmétique ( Трактат о Арифметическом треугольники ) была опубликована в 1655 году в этом, Паскаль собрал несколько результатов , то известно о треугольнике, и использовал их для решения задач теории вероятностей . Позднее Треугольник был назван в честь Паскаля Пьером Раймоном де Монмором (1708 г.), который назвал его «Таблица де М. Паскаль для комбинаций» (французский язык: Таблица г-на Паскаля для комбинаций) и Абрахамом де Муавром (1730 г.), который назвал его « Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM »(лат.« Арифметический треугольник Паскаля »), ставшее современным западным названием. ^[16]

Биномиальные разложения [ править ]

Треугольник Паскаля определяет коэффициенты, которые возникают в биномиальных разложениях . Например, рассмотрим расширение

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=\mathbf {1} x^{2}y^{0}+\mathbf {2} x^{1}y^{1}+\mathbf {1} x^{0}y^{2}}$.

Коэффициенты числа во второй строке треугольника Паскаля: , , .${\displaystyle {2 \choose 0}=1}$${\displaystyle {2 \choose 1}=2}$${\displaystyle {2 \choose 2}=1}$

В общем, когда бином вроде возводится в степень положительного целого числа , мы имеем:${\displaystyle x+y}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{n-k}y^{k}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\ldots +a_{n-1}xy^{n-1}+a_{n}y^{n}}$,

где коэффициенты в этом разложении - это в точности числа в строке треугольника Паскаля. Другими словами,${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle a_{k}={n \choose k}}$.

Это биномиальная теорема .

Вся правая диагональ треугольника Паскаля соответствует коэффициенту в этих биномиальных разложениях, а следующая диагональ соответствует коэффициенту и т. Д.${\displaystyle y^{n}}$${\displaystyle xy^{n-1}}$

Чтобы увидеть, как биномиальная теорема связана с простым построением треугольника Паскаля, рассмотрим задачу вычисления коэффициентов разложения через соответствующие коэффициенты (настройка для простоты). Предположим тогда, что${\displaystyle (x+y)^{n+1}}$${\displaystyle (x+1)^{n}}$${\displaystyle y=1}$

${\displaystyle (x+1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}$.

Сейчас же

${\displaystyle (x+1)^{n+1}=(x+1)(x+1)^{n}=x(x+1)^{n}+(x+1)^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i+1}+\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}.}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\binom {0}{0}}\\{\binom {1}{0}}\quad {\binom {1}{1}}\\{\binom {2}{0}}\quad {\binom {2}{1}}\quad {\binom {2}{2}}\\{\binom {3}{0}}\quad {\binom {3}{1}}\quad {\binom {3}{2}}\quad {\binom {3}{3}}\\{\binom {4}{0}}\quad {\binom {4}{1}}\quad {\binom {4}{2}}\quad {\binom {4}{3}}\quad {\binom {4}{4}}\\{\binom {5}{0}}\quad {\binom {5}{1}}\quad {\binom {5}{2}}\quad {\binom {5}{3}}\quad {\binom {5}{4}}\quad {\binom {5}{5}}\end{array}}}$

Шесть строк треугольника Паскаля как биномиальные коэффициенты

Два суммирования можно реорганизовать следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k+1}+\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}&=\sum _{k=1}^{n+1}a_{k-1}x^{k}+\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\\[4pt]&=\sum _{k=1}^{n}a_{k-1}x^{k}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}x^{k}+a_{0}x^{0}+a_{n}x^{n+1}\\[4pt]&=\sum _{k=1}^{n}(a_{k-1}+a_{k})x^{k}+a_{0}x^{0}+a_{n}x^{n+1}\\[4pt]&=\sum _{k=1}^{n}(a_{k-1}+a_{k})x^{k}+x^{0}+x^{n+1}\end{aligned}}}$

(из-за того, как работает возведение многочлена в степень ).${\displaystyle a_{0}=a_{n}=1}$

Теперь у нас есть выражение для многочлена в терминах коэффициентов (это s), что нам нужно, если мы хотим выразить строку в терминах строки над ней. Напомним, что все члены на диагонали, идущей от верхнего левого угла к нижнему правому, соответствуют одной и той же степени , и что -члены являются коэффициентами многочлена , и мы определяем коэффициенты . Теперь для любого данного коэффициента при члене многочлена равен . Это действительно простое правило построения треугольника Паскаля строка за строкой.${\displaystyle (x+1)^{n+1}}$${\displaystyle (x+1)^{n}}$${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle (x+1)^{n}}$${\displaystyle (x+1)^{n+1}}$${\displaystyle 0<k<n+1}$${\displaystyle x^{k}}$${\displaystyle (x+1)^{n+1}}$${\displaystyle a_{k-1}+a_{k}}$

Этот аргумент нетрудно превратить в доказательство (с помощью математической индукции ) биномиальной теоремы.

Поскольку коэффициенты идентичны в разложении общего случая.${\displaystyle (a+b)^{n}=b^{n}\left({\frac {a}{b}}+1\right)^{n}}$

Интересное следствие биномиальной теоремы получается, если обе переменные и равны единице. В данном случае мы это знаем , поэтому${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (1+1)^{n}=2^{n}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}={n \choose 0}+{n \choose 1}+\cdots +{n \choose n-1}+{n \choose n}=2^{n}.}$

Другими словами, сумма элементов в й строке треугольника Паскаля является й степени 2. Это эквивалентно утверждению , что число подмножеств (-мощность множества мощности ) из - элементного множества , как можно увидеть, наблюдая, что количество подмножеств является суммой количества комбинаций каждой из возможных длин, которые варьируются от нуля до .${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle n}$

Комбинации [ править ]

Второе полезное применение треугольника Паскаля - вычисление комбинаций . Например, количество комбинаций вещей, взятых за раз (называемых n select k ), можно найти с помощью уравнения${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mathbf {C} (n,k)=\mathbf {C} _{k}^{n}={_{n}C_{k}}={n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$.

Но это также формула для ячейки треугольника Паскаля. Вместо того, чтобы выполнять вычисления, можно просто найти соответствующую запись в треугольнике. Если у нас есть первая строка и первая запись в строке с номером 0, ответ будет расположен в записи в строке . Например, предположим, что в баскетбольной команде 10 игроков, и она хочет знать, сколько способов выбрать 8. Ответ - запись 8 в строке 10, что составляет 45; то есть 10 выберите 8 - это 45.${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

Связь с биномиальным распределением и свертками [ править ]

При делении на th строка треугольника Паскаля становится биномиальным распределением в симметричном случае, когда . Согласно центральной предельной теореме это распределение приближается к нормальному с ростом. Это также можно увидеть, применив формулу Стирлинга к факториалам, входящим в формулу для комбинаций.${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle n}$

Это связано с операцией дискретной свертки двояко. Во-первых, полиномиальное умножение в точности соответствует дискретной свертке, так что многократная свертка последовательности с самой собой соответствует взятию степеней и, следовательно, генерации строк треугольника. Во-вторых, повторная свертка функции распределения для случайной величины с самой собой соответствует вычислению функции распределения для суммы n независимых копий этой переменной; это как раз та ситуация, к которой применима центральная предельная теорема и, следовательно, приводит к нормальному распределению в пределе.${\displaystyle \{\ldots ,0,0,1,1,0,0,\ldots \}}$${\displaystyle x+1}$

Шаблоны и свойства [ править ]

Треугольник Паскаля обладает множеством свойств и содержит множество шаблонов чисел.

Строки [ править ]

• Сумма элементов одной строки в два раза больше суммы предшествующей ей строки. Например, строка 0 (самая верхняя строка) имеет значение 1, строка 1 имеет значение 2, строка 2 имеет значение 4 и т. Д. Это потому, что каждый элемент в строке создает два элемента в следующей строке: один слева и один справа. Сумма элементов строки  равна .${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}}$
• Принимая произведение элементов в каждой строке, последовательность продуктов (последовательность A001142 в OEIS ) связана с основанием натурального логарифма, е . ^{[17] [18] В} частности, определите последовательность для всех следующим образом${\displaystyle s_{n}}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle s_{n}=\prod _{k=0}^{n}{n \choose k}=\prod _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$

Тогда соотношение последовательных рядов продуктов равно

${\displaystyle {\frac {s_{n+1}}{s_{n}}}={\frac {\displaystyle (n+1)!^{n+2}\prod _{k=0}^{n+1}{\frac {1}{k!^{2}}}}{\displaystyle n!^{n+1}\prod _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!^{2}}}}}={\frac {(n+1)^{n}}{n!}}}$

и отношение этих соотношений равно

${\displaystyle {\frac {s_{n+1}\cdot s_{n-1}}{s_{n}^{2}}}=\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n},~n\geq 1}$.

Правая часть приведенного выше уравнения принимает форму предельного определения ${\displaystyle e}$

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$.

• ${\displaystyle \pi }$можно найти в треугольнике Паскаля через бесконечный ряд Нилакантхи . ^[19]

${\displaystyle \pi =3+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {2n+1 \choose 1}{{2n+1 \choose 2}{2n+2 \choose 2}}}}$

• Значение строки , если каждая запись считается десятичным разрядом (и соответственно переносятся числа больше 9), является степенью 11 ( 11 ⁿ для строки  n ). Таким образом, в строке 2 1, 2, 1⟩ становится 11 ² , а ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ в пятой строке становится (после переноса) 161 051, что составляет 11 ⁵ . Это свойство объясняется установкой x = 10 в биномиальном разложении ( x + 1) ⁿ и корректировкой значений в десятичной системе. Но можно выбрать x , чтобы строки могли представлять значения в любой базе .
  • В базе 3 : 1 2 1 ₃ = 4 ² (16)
  • ⟨1, 3, 3, 1⟩ → 2 1 0 1 ₃ = 4 ³ (64)
  • В базе 9 : 1 2 1 ₉ = 10 ² (100)
  •               1 3 3 1 ₉ = 10 ³ (1000)
  • ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ → 1 6 2 1 5 1 ₉ = 10 ⁵ (100000)

  В частности (см. Предыдущее свойство), для x = 1 разрядное значение остается постоянным (1 ^место = 1). Таким образом, записи можно просто добавлять при интерпретации значения строки.

• Некоторые числа в треугольнике Паскаля соответствуют числам в треугольнике Лозанича .
• Сумма квадратов элементов строки  n равна среднему элементу строки  2 n . Например, 1 ²  + 4 ²  + 6 ²  + 4 ²  + 1 ² = 70. В общем виде:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}.}$

• В любой строке  n , где n четно, средний член за вычетом терма, двух пятен слева, равен каталонскому числу , в частности ( n / 2 + 1) -м каталонскому числу. Например: в строке 4 6 - 1 = 5 , что является 3-м каталонским числом, и 4/2 + 1 = 3 .
• В строке  р , где р представляет собой простое число , все члены в этой строке , за исключением 1s являются кратными из  р . Это легко доказать, так как если , то p не имеет множителей, кроме 1 и самого себя. Каждая запись в треугольнике является целым числом, поэтому по определению и являются множителями . Однако невозможно указать p в знаменателе, поэтому в числителе необходимо оставить p (или несколько его значений), в результате чего вся запись будет кратна p .${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\displaystyle (p-k)!}$${\displaystyle k!}$${\displaystyle p!\,}$
• Четность : чтобы подсчитать нечетные члены в строке  n , преобразуйте n в двоичное . Пусть x будет количеством единиц в двоичном представлении. Тогда количество нечетных членов будет 2 ^х . Эти числа являются значениями в последовательности Гулда . ^[20]
• Каждая запись в строке 2 ⁿ -1, n ≥ 0, нечетная. ^[21]
• Полярность : когда элементы строки треугольника Паскаля добавляются и вычитаются последовательно, каждая строка со средним числом, то есть строки с нечетным числом целых чисел, дает в результате 0. Например, строка 4 - 1 4 6 4 1, поэтому формула будет иметь вид 6 - (4 + 4) + (1 + 1) = 0; а строка 6 - 1 6 15 20 15 6 1, поэтому формула будет иметь вид 20 - (15 + 15) + (6 + 6) - (1 + 1) = 0. Таким образом, каждая четная строка треугольника Паскаля равна 0, когда вы берете среднее число, затем вычитаете целые числа непосредственно рядом с центром, затем складываете следующие целые числа, затем вычитаете и т. д. и т. д., пока не дойдете до конца строки.

Диагонали [ править ]

Диагонали треугольника Паскаля содержат фигурные числа симплексов:

• Диагонали, идущие по левому и правому краям, содержат только единицы.
• Диагонали рядом с диагоналями краев содержат по порядку натуральные числа .
• Двигаясь внутрь, следующая пара диагоналей содержит по порядку треугольные числа .
• Следующая пара диагоналей содержит тетраэдрические числа по порядку, а следующая пара - числа пентатопов .

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}(n)&=P_{d}(0)=1,\\P_{d}(n)&=P_{d}(n-1)+P_{d-1}(n)\\&=\sum _{i=0}^{n}P_{d-1}(i)=\sum _{i=0}^{d}P_{i}(n-1).\end{aligned}}}$

Симметрия треугольника означает, что n- ^е d-мерное число равно d- ^му n -мерному числу.

Альтернативная формула, не использующая рекурсию, выглядит следующим образом:

${\displaystyle P_{d}(n)={\frac {1}{d!}}\prod _{k=0}^{d-1}(n+k)={n^{(d)} \over d!}={\binom {n+d-1}{d}}}$

где n ^{( d )} - возрастающий факториал .

Геометрический смысл функции P _d : P _d (1) = 1 для всех d . Постройте d - мерный треугольник (трехмерный треугольник - это тетраэдр ), разместив дополнительные точки под начальной точкой, что соответствует P _d (1) = 1. Поместите эти точки аналогично размещению чисел в треугольнике Паскаля. . Чтобы найти P _d ( x ), имейте в общей сложности x точек, составляющих целевую форму. P _d ( x) тогда равняется общему количеству точек в форме. 0-мерный треугольник - это точка, а одномерный треугольник - это просто линия, и поэтому P ₀ ( x ) = 1 и P ₁ ( x ) = x , что представляет собой последовательность натуральных чисел. Количество точек в каждом слое соответствует P _{d  - 1} ( x ).

Самостоятельное вычисление ряда или диагонали [ править ]

Существуют простые алгоритмы для вычисления всех элементов в строке или диагонали без вычисления других элементов или факториалов.

Для вычисления строки с элементами , ..., начните с . Для каждого последующего элемента значение определяется путем умножения предыдущего значения на дробь с медленно меняющимися числителем и знаменателем:${\displaystyle n}$${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}}$${\displaystyle {\tbinom {n}{1}}}$${\displaystyle {\tbinom {n}{n}}}$${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1}$

${\displaystyle {n \choose k}={n \choose k-1}\times {\frac {n+1-k}{k}}.}$

Например, для вычисления строки 5, фракции  ,  ,  ,  и , и , следовательно, элементы  ,   ,   и т.д. (Остальные элементы наиболее легко получены с помощью симметрии.)${\displaystyle {\tfrac {5}{1}}}$${\displaystyle {\tfrac {4}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$${\displaystyle {\tbinom {5}{0}}=1}$${\displaystyle {\tbinom {5}{1}}=1\times {\tfrac {5}{1}}=5}$${\displaystyle {\tbinom {5}{2}}=5\times {\tfrac {4}{2}}=10}$

Для того, чтобы вычислить диагональ , содержащие элементы , , , ..., мы снова начинаем с и получить последующие элементы умножения определенных фракций:${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}}$${\displaystyle {\tbinom {n+1}{1}}}$${\displaystyle {\tbinom {n+2}{2}}}$${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1}$

${\displaystyle {n+k \choose k}={n+k-1 \choose k-1}\times {\frac {n+k}{k}}.}$

Например, чтобы вычислить диагональ начало в , фракции являются  ,  ,  ..., и элементы ,   ,   и т.д. В силу симметрии эти элементы равны , , и т.д.${\displaystyle {\tbinom {5}{0}}}$${\displaystyle {\tfrac {6}{1}}}$${\displaystyle {\tfrac {7}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {8}{3}}}$${\displaystyle {\tbinom {5}{0}}=1}$${\displaystyle {\tbinom {6}{1}}=1\times {\tfrac {6}{1}}=6}$${\displaystyle {\tbinom {7}{2}}=6\times {\tfrac {7}{2}}=21}$${\displaystyle {\tbinom {5}{5}}}$${\displaystyle {\tbinom {6}{5}}}$${\displaystyle {\tbinom {7}{5}}}$

Общие закономерности и свойства [ править ]

• Узор, полученный раскрашиванием только нечетных чисел в треугольнике Паскаля, очень напоминает фрактал, называемый треугольником Серпинского . Это сходство становится все более точным по мере того, как рассматривается больше строк; в пределе, когда количество строк приближается к бесконечности, результирующий узор представляет собой треугольник Серпинского, предполагающий фиксированный периметр. ^{[22] В} более общем смысле числа могут быть окрашены по-разному в зависимости от того, кратны ли они 3, 4 и т. Д .; это приводит к другим подобным образцам.

• В треугольной части сетки (как на изображениях ниже) количество кратчайших путей сетки от заданного узла до верхнего узла треугольника является соответствующей записью в треугольнике Паскаля. На игровом поле Plinko в форме треугольника это распределение должно давать вероятности выигрыша различных призов.

• Если строки треугольника Паскаля выровнены по левому краю, диагональные полосы (обозначенные ниже цветом) суммируются с числами Фибоначчи .

1
1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1
1	6	15	20	15	6	1
1	7	21 год	35 год	35 год	21 год	7	1

Построение в виде экспоненциальной матрицы [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp {\begin{pmatrix}.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.\\.&2&.&.&.\\.&.&3&.&.\\.&.&.&4&.\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&.&.&.&.\\1&1&.&.&.\\1&2&1&.&.\\1&3&3&1&.\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}\\e^{counting}&=binomial\end{aligned}}}$

Биномиальная матрица как матричная экспонента. Все точки обозначают 0.

Благодаря простой конструкции с помощью факториалов, можно дать очень простое представление треугольника Паскаля в терминах экспоненты матрицы : треугольник Паскаля - это экспонента матрицы, которая имеет последовательность 1, 2, 3, 4, ... поддиагональ и ноль везде.

Связи с геометрией многогранников [ править ]

Треугольник Паскаля можно использовать в качестве таблицы поиска для количества элементов (например, ребер и углов) внутри многогранника (например, треугольника, тетраэдра, квадрата и куба).

Количество элементов симплексов [ править ]

Давайте начнем с рассмотрения третьей строки треугольника Паскаля со значениями 1, 3, 3, 1. Двумерный треугольник имеет один двумерный элемент (сам), три одномерных элемента (линии или ребра) и три 0-мерные элементы ( вершины или углы). Значение последней цифры (1) объяснить сложнее (но см. Ниже). Продолжая наш пример, тетраэдримеет один трехмерный элемент (сам), четыре двумерных элемента (грани), шесть одномерных элементов (ребер) и четыре 0-мерных элемента (вершины). Снова складывая последнюю 1, эти значения соответствуют 4-й строке треугольника (1, 4, 6, 4, 1). Линия 1 соответствует точке, а линия 2 соответствует отрезку (диаде). Этот образец продолжается до гипер-тетраэдров произвольной большой размерности (известных как симплексы ).

Чтобы понять, почему существует этот шаблон, нужно сначала понять, что процесс построения n -симплекса из ( n - 1) -симплекса состоит из простого добавления к последнему новой вершины, расположенной так, чтобы эта новая вершина лежала вне пространство исходного симплекса и соединяя его со всеми исходными вершинами. В качестве примера рассмотрим случай построения тетраэдра из треугольника, последний из элементов которого пронумерован строкой 3 треугольника Паскаля: 1 грань, 3 ребра и 3 ребра.вершины (значение последней единицы будет объяснено в ближайшее время). Чтобы построить тетраэдр из треугольника, мы располагаем новую вершину над плоскостью треугольника и соединяем эту вершину со всеми тремя вершинами исходного треугольника.

Номер данного размерного элемента в тетраэдре теперь представляет собой сумму двух чисел: сначала номер этого элемента, найденного в исходном треугольнике, плюс количество новых элементов, каждый из которых построен на элементах на одно меньшее измерение от исходного. оригинальный треугольник . Таким образом, в тетраэдре количество ячеек (полиэдрических элементов) равно 0 + 1 = 1 ; количество граней 1 + 3 = 4 ; количество ребер 3 + 3 = 6 ; количество новых вершин 3 + 1 = 4. Этот процесс суммирования количества элементов данного измерения с элементами меньшего измерения, чтобы получить количество первых, найденных в следующем более высоком симплексе, эквивалентен процессу суммирования двух соседних чисел в строке треугольника Паскаля, чтобы получить номер ниже. Таким образом, значение последнего числа (1) в строке треугольника Паскаля становится понятным как представляющее новую вершину, которая должна быть добавлена ​​к симплексу, представленному этой строкой, чтобы получить следующий более высокий симплекс, представленный следующей строкой. Эта новая вершина присоединяется к каждому элементу в исходном симплексе, чтобы получить новый элемент одного более высокого измерения в новом симплексе, и это источник шаблона, который оказался идентичным узору в треугольнике Паскаля. "Дополнительный" 1 в строке можно представить как симплекс -1,уникальный центр симплекса, который всегда порождает новую вершину и новое измерение, порождая новый симплекс с новым центром.

Количество элементов гиперкубов [ править ]

Аналогичная картина наблюдается в отношении квадратов , а не треугольников. Чтобы найти образец, нужно построить аналог треугольника Паскаля, элементы которого являются коэффициентами ( x + 2) номера ^строки вместо ( x + 1) номера ^строки . Есть несколько способов сделать это. Более простой вариант - начать с строки 0 = 1 и строки 1 = 1, 2. Приступайте к построению аналоговых треугольников в соответствии со следующим правилом:

${\displaystyle {n \choose k}=2\times {n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}.}$

То есть выберите пару чисел в соответствии с правилами треугольника Паскаля, но перед сложением удвойте число слева. Это приводит к:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{ 1}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 2}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 4}}\quad {\text{ 4}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 6}}\quad {\text{ 12}}\quad {\text{ 8}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 8}}\quad {\text{ 24}}\quad {\text{ 32}}\quad {\text{ 16}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 10}}\quad {\text{ 40}}\quad {\text{ 80}}\quad {\text{ 80}}\quad {\text{ 32}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 12}}\quad {\text{ 60}}\quad 160\quad 240\quad 192\quad {\text{ 64}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 14}}\quad {\text{ 84}}\quad 280\quad 560\quad 672\quad 448\quad 128\end{matrix}}}$

Другой способ изготовления этого треугольника - начать с треугольника Паскаля и умножить каждую запись на 2 ^k , где k - позиция в строке данного числа. Например, второе значение в строке 4 треугольника Паскаля равно 6 (наклон единиц соответствует нулевой записи в каждой строке). Чтобы получить значение, которое находится в соответствующей позиции в аналоговом треугольнике, умножьте 6 на 2. ^{Число позиций} = 6 × 2 ² = 6 × 4 = 24 . Теперь, когда аналоговый треугольник построен, количество элементов любого измерения, составляющих куб произвольного размера (называемый гиперкубом) можно прочитать из таблицы аналогично треугольнику Паскаля. Например, количество 2-мерных элементов в 2-мерном кубе (квадрате) равно единице, количество 1-мерных элементов (сторон или линий) равно 4, а количество 0-мерных элементов (точек, или вершин) равно 4. Это соответствует второй строке таблицы (1, 4, 4). Куб имеет 1 куб, 6 граней, 12 ребер и 8 вершин, что соответствует следующей строке аналогового треугольника (1, 6, 12, 8). Этот образец продолжается бесконечно.

Чтобы понять, почему существует этот шаблон, сначала осознайте, что построение n -куба из ( n - 1) -куба выполняется простым дублированием исходной фигуры и смещением ее на некоторое расстояние (для обычного n -куба длина ребра ), ортогональной пространству исходной фигуры, затем соединяя каждую вершину новой фигуры с соответствующей ей вершиной оригинала. Этот начальный процесс дублирования является причиной того, почему для перечисления размерных элементов n-куб, нужно удвоить первое из пары чисел в строке этого аналога треугольника Паскаля, прежде чем суммировать, чтобы получить число, указанное ниже. Таким образом, начальное удвоение дает количество «исходных» элементов, которые можно найти в следующем более высоком n -кубе, и, как и прежде, новые элементы строятся на элементах меньшего размера (ребра на вершинах, грани на ребрах и т. Д.). Опять же, последнее число в строке представляет количество новых вершин, которые должны быть добавлены для создания следующего более высокого n -куба.

В этом треугольнике сумма элементов строки m равна 3 ^m . Опять же, чтобы использовать элементы строки 4 в качестве примера: 1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81 , что равно .${\displaystyle 3^{4}=81}$

Подсчет вершин в кубе по расстоянию [ править ]

Каждая строка треугольника Паскаля дает количество вершин на каждом расстоянии от фиксированной вершины в n- мерном кубе. Например, в трех измерениях третья строка (1 3 3 1) соответствует обычному трехмерному кубу : фиксируя вершину V , одна вершина находится на расстоянии 0 от V (то есть сама V ), три вершины на расстояние 1, три вершины на расстоянии √ 2 и одна вершина на расстоянии √ 3 (вершина напротив V ). Вторая строка соответствует квадрату, а строки с большими номерами соответствуют гиперкубам в каждом измерении.

Преобразование Фурье sin ( x ) ^{n +1} / x [ править ]

Как было сказано ранее, коэффициенты при ( x  + 1) ⁿ являются ⁿ -й строкой треугольника. Теперь коэффициенты при ( x  - 1) ⁿ те же самые, за исключением того, что знак меняется с +1 на -1 и обратно. После подходящей нормализации тот же образец чисел встречается в преобразовании Фурье sin ( x ) ^{n +1} / x . Точнее: если n четно, возьмите действительную часть преобразования, а если n нечетно, возьмите мнимую часть . Тогда результатом будет ступенчатая функция, значения которой (подходящим образом нормированные) даются n- й строкой треугольника с чередующимися знаками. ^[23] Например, значения ступенчатой ​​функции, которая получается из:

${\displaystyle \,{\mathfrak {Re}}\left({\text{Fourier}}\left[{\frac {\sin(x)^{5}}{x}}\right]\right)}$

составить 4-й ряд треугольника, чередуя знаки. Это обобщение следующего основного результата (часто используемого в электротехнике ):

${\displaystyle \,{\mathfrak {Re}}\left({\text{Fourier}}\left[{\frac {\sin(x)^{1}}{x}}\right]\right)}$

- функция товарного вагона . ^[24] Соответствующей строкой треугольника является строка 0, которая состоит только из числа 1.

Если n конгруэнтно 2 или 3 по модулю 4, то знаки начинаются с -1. Фактически, последовательность (нормализованных) первых членов соответствует степеням i , которые циклически повторяются вокруг пересечения осей с единичной окружностью в комплексной плоскости:

${\displaystyle \,+i,-1,-i,+1,+i,\ldots \,}$

Элементарный клеточный автомат [ править ]

Образец, созданный элементарным клеточным автоматом с использованием правила 60, в точности представляет собой треугольник Паскаля биномиальных коэффициентов, приведенный по модулю 2 (черные ячейки соответствуют нечетным биномиальным коэффициентам). ^[25] Правило 102 также создает этот шаблон, когда завершающие нули опущены. Правило 90 создает тот же образец, но с пустой ячейкой, разделяющей каждую запись в строках.

Расширения [ править ]

Треугольник Паскаля можно расширить до отрицательных номеров строк.

Сначала напишите треугольник в следующем виде:

Затем вытяните столбец единиц вверх:

Теперь правило:

${\displaystyle {n \choose m}={n-1 \choose m-1}+{n-1 \choose m}}$

можно изменить на:

${\displaystyle {n-1 \choose m}={n \choose m}-{n-1 \choose m-1}}$

что позволяет вычислить другие записи для отрицательных строк:

Это расширение сохраняет свойство, состоящее в том, что значения в m- м столбце, рассматриваемые как функция от n , соответствуют многочлену порядка m , а именно

${\displaystyle {n \choose m}={\frac {1}{m!}}\prod _{k=0}^{m-1}(n-k)={\frac {1}{m!}}\prod _{k=1}^{m}(n-k+1)}$.

Это расширение также сохраняет свойство, что значения в n- й строке соответствуют коэффициентам (1 +  x ) ⁿ :

${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{n \choose k}x^{k}\quad |x|<1}$

Например:

${\displaystyle (1+x)^{-2}=1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots \quad |x|<1}$

Если рассматривать как серию, строки отрицательного n расходятся. Однако они по-прежнему суммируемы по Абелю , и суммирование дает стандартные значения 2 ⁿ . (Фактически,  строка n = -1 приводит к ряду Гранди, который «суммируется» до 1/2, а  строка n = -2 приводит к другому хорошо известному ряду, в котором сумма Абеля равна 1/4.)

Другой вариант расширения треугольника Паскаля на отрицательные строки - это удлинение второй строки единиц:

Применение того же правила, что и раньше, приводит к

Это расширение также обладает такими же свойствами, как

${\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.\\.&2&.&.&.\\.&.&3&.&.\\.&.&.&4&.\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&.&.&.&.\\1&1&.&.&.\\1&2&1&.&.\\1&3&3&1&.\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}},}$

у нас есть

${\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-4&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&-3&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&-2&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&-1&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&0&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&1&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&2&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&3&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&4&.\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-4&1&.&.&.&.&.&.&.&.\\6&-3&1&.&.&.&.&.&.&.\\-4&3&-2&1&.&.&.&.&.&.\\1&-1&1&-1&1&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&1&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&1&1&.&.&.\\.&.&.&.&.&1&2&1&.&.\\.&.&.&.&.&1&3&3&1&.\\.&.&.&.&.&1&4&6&4&1\end{pmatrix}}}$

Точно так же, как суммирование по диагонали от нижнего левого угла к верхнему правому диагонали матрицы Паскаля дает числа Фибоначчи , этот второй тип расширения по-прежнему суммируется с числами Фибоначчи для отрицательного индекса.

Любое из этих расширений может быть достигнуто, если мы определим

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}\equiv {\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (n-k+1)\Gamma (k+1)}}}$

и принимать определенные пределы гамма - функции , .${\displaystyle \Gamma (z)}$

См. Также [ править ]

• Бобовый автомат , "quincunx" Фрэнсиса Гальтона
• Треугольник колокола
• Треугольник Бернулли
• Биномиальное разложение
• Треугольник Эйлера
• Треугольник Флойда
• Биномиальный коэффициент Гаусса
• Гармонический треугольник Лейбница
• Кратности вхождений в треугольнике Паскаля (гипотеза Сингмастера)
• Матрица Паскаля
• Пирамида паскаля
• Симплекс Паскаля
• Протонный ЯМР , одно применение треугольника Паскаля
• (2,1) -Треугольник Паскаля
• Теорема о звезде Давида
• Трехчленное разложение
• Трехчленный треугольник

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с треугольником Паскаля .

• "Треугольник Паскаля" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Треугольник Паскаля» . MathWorld .
• Схема семи квадратов умножения по старинному методу (из Ссу Юань Юй Цзянь из Чу Ши-Цзе, 1303 г., изображающая первые девять рядов треугольника Паскаля)
• Трактат Паскаля об арифметическом треугольнике (изображения страниц трактата Паскаля, 1654 г .; резюме )