В математике , правило Паскаля (или формула Паскаля ) является комбинаторное тождество о биномиальных коэффициентов . В нем говорится, что для положительных натуральных чисел n и k ,
где - биномиальный коэффициент; одно толкование которого является коэффициент х K члена в разложении по (1 + х ) п . Там нет ограничений на относительных размеров п и к , [1] , так как, если п < K значение биномиального коэффициента равен нулю и тождество остается в силе.
Правило Паскаля также можно рассматривать как утверждение, что формула
решает линейное двумерное разностное уравнение
над натуральными числами. Таким образом, правило Паскаля - это также утверждение о формуле для чисел, появляющихся в треугольнике Паскаля .
Правило Паскаля также можно обобщить для применения к полиномиальным коэффициентам .
Правило Паскаля имеет интуитивно-комбинаторное значение, которое ясно выражено в этом доказательстве подсчета. [2]
Доказательство . Напомним, чторавно количеству подмножеств с k элементами из набора с n элементами. Предположим, что один конкретный элемент однозначно помечен X в наборе из n элементов.
Чтобы построить подмножество из k элементов, содержащее X , включите X и выберите k - 1 элемент из оставшихся n - 1 элементов в наборе. Есть такие подмножества.
Чтобы построить подмножество из k элементов, не содержащих X , выберите k элементов из оставшихся n - 1 элементов в наборе. Есть такие подмножества.
Каждое подмножество из k элементов либо содержит X, либо нет. Общее количество подмножеств с k элементами в наборе из n элементов является суммой количества подмножеств, содержащих X, и количества подмножеств, которые не содержат X ,.
Это равно ; следовательно,.
В качестве альтернативы следует алгебраический вывод биномиального случая.
Правило Паскаля можно обобщить на полиномиальные коэффициенты. [3] Для любого целого числа p такого, что, а также ,
где коэффициент при срок в расширении .
Алгебраический вывод для этого общего случая следующий. [3] Пусть p - такое целое число, что, а также . потом
Эта статья включает в себя материал из треугольника Паскаля на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
Эта статья включает материал из доказательства правил Паскаля на PlanetMath , которое находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .