Полиномиальное разложение

В математике , разложение продукта сумм выражается в виде суммы произведений, используя тот факт , что умножение распределяет над дополнением. Расширение полиномиального выражения может быть получено путем многократной замены подвыражений, которые умножают два других подвыражения, по крайней мере, одно из которых является сложением, на эквивалентную сумму произведений, продолжаясь до тех пор, пока выражение не станет суммой (повторяющихся) произведений. Во время расширения также могут применяться такие упрощения, как группировка одинаковых терминов или аннулирование терминов. Вместо умножения шаги расширения могут также включать замену степеней суммы членов эквивалентным выражением, полученным из биномиальной формулы; это сокращенная форма того, что произошло бы, если бы мощность рассматривалась как многократное умножение и многократно расширялась. Принято повторно вводить полномочия в конечном результате, когда термины включают продукты идентичных символов.

Простыми примерами полиномиальных разложений являются хорошо известные правила

{\ displaystyle (x + y) ^ {2} = x ^ {2} + 2xy + y ^ {2}}

{\ Displaystyle (х + у) (ху) = х ^ {2} -y ^ {2}}

при использовании слева направо. Более общее пошаговое разложение представит все произведения члена одной из сумм, умноженного на член другой:

{\ displaystyle (a + b + c + d) (x + y + z) = ax + ay + az + bx + by + bz + cx + cy + cz + dx + dy + dz}

Расширение, которое включает в себя несколько вложенных шагов перезаписи, - это разработка схемы Хорнера до (расширенного) полинома, который она определяет, например

{\ displaystyle 1 + x (-3 + x (4 + x (0 + x (-12 + x \ cdot 2)))) = 1-3x + 4x ^ {2} -12x ^ {4} + 2x ^ {5}}

.

Противоположный процесс попытки записать расширенный многочлен как произведение называется полиномиальной факторизацией .

Расширение многочлена, записанного в факторизованной форме [ править ]

Два выражения можно перемножить с помощью закона коммутативности, закона ассоциации и закона распределения. (Чтобы умножить более 2 выражений, просто умножьте 2 за раз)

Чтобы умножить два фактора, каждый член первого фактора должен быть умножен на каждый член другого фактора. Если оба фактора являются биномами , можно использовать правило FOIL , которое означает « F irst O uter I nner L ast», ссылаясь на термины, которые умножаются вместе. Например, расширение

{\ Displaystyle (х + 2) (2х-5) \,}

дает

{\ displaystyle 2x ^ {2} -5x + 4x-10 = 2x ^ {2} -x-10.}

Расширение (x + y) ⁿ[ править ]

При расширении существует особая взаимосвязь между коэффициентами членов, записанными в порядке убывания степеней x и возрастающих степеней y . Коэффициенты будут числами в ( n + 1) -й строке треугольника Паскаля . ${\ Displaystyle (х + у) ^ {п}}$