Серия Тейлор

По мере увеличения степени полинома Тейлора он приближается к правильной функции. Это изображение показывает sin x и его приближения Тейлора многочленами степени 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 и 13 при x = 0 .

В математике , то ряд Тейлора из функции является бесконечной суммой терминов , которые выражены в терминах функции в производных в одной точке. Для большинства обычных функций функция и сумма ее ряда Тейлора вблизи этой точки равны. Серии Тейлора названы в честь Брука Тейлора, который представил их в 1715 году.

Если ноль - это точка, в которой рассматриваются производные, ряд Тейлора также называется рядом Маклорена в честь Колина Маклорена , который широко использовал этот частный случай ряда Тейлора в 18 веке.

Частичная сумма , образованный первым п + 1 членов ряда Тейлора является многочлен степени п , что называется п - й многочлен Тейлора функции. Полиномы Тейлора - это приближения функции, которые обычно становятся лучше с увеличением n . Теорема Тейлора дает количественные оценки ошибки, вносимой использованием таких приближений. Если ряд Тейлора функции является сходится , его сумма является пределом от бесконечной последовательностиполиномов Тейлора. Функция может отличаться от суммы ее ряда Тейлора, даже если ее ряд Тейлора сходится. Функция является аналитической в точке x, если она равна сумме своего ряда Тейлора в некотором открытом интервале (или открытом диске в комплексной плоскости ), содержащем x . Это означает, что функция аналитична в каждой точке интервала (или круга).

Определение [ править ]

Ряд Тейлора действительной или комплексной функции f  ( x ) , бесконечно дифференцируемой в действительном или комплексном числе a, является степенным рядом

${\ displaystyle f (a) + {\ frac {f '(a)} {1!}} (xa) + {\ frac {f' '(a)} {2!}} (xa) ^ {2} + {\ frac {f '' '(a)} {3!}} (xa) ^ {3} + \ cdots,}$

где п ! обозначает факториал числа n . В более компактной сигма-нотации это можно записать как

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!}} (xa) ^ {n},}$

где F ^{( п )} ( ) обозначает п - й производной от F вычисляется в точке а . (Производная нулевого порядка функции f определяется как сама f , а ( x - a ) ⁰ и 0! Оба определены как 1. )

Когда a = 0 , серию также называют рядом Маклорена . ^[1]

Примеры [ править ]

Ряд Тейлора для любого многочлена - это сам многочлен.

Серия Маклорена для 1/1 - хэто геометрическая прогрессия

${\ Displaystyle 1 + х + х ^ {2} + х ^ {3} + \ cdots,}$

поэтому серия Тейлора для 1/Икспри = 1 является

${\ displaystyle 1- (x-1) + (x-1) ^ {2} - (x-1) ^ {3} + \ cdots.}$

Интегрируя указанный выше ряд Маклорена, мы находим ряд Маклорена для ln (1 - x ) , где ln обозначает натуральный логарифм :

${\ displaystyle -x - {\ tfrac {1} {2}} x ^ {2} - {\ tfrac {1} {3}} x ^ {3} - {\ tfrac {1} {4}} x ^ {4} - \ cdots.}$

Соответствующий ряд Тейлора для ln x при a = 1 равен

${\displaystyle (x-1)-{\tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\tfrac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots ,}$

и в более общем виде соответствующий ряд Тейлора для ln x в произвольной ненулевой точке a имеет вид:

${\displaystyle \ln a+{\frac {1}{a}}(x-a)-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\left(x-a\right)^{2}}{2}}+\cdots .}$

Ряд Маклорена для экспоненциальной функции e ^x имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}&={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \\&=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\end{aligned}}}$

Вышеупомянутое расширение справедливо, потому что производная e ^x по x также равна e ^x , а e ⁰ равно 1. Это оставляет члены ( x - 0) ⁿ в числителе и n ! в знаменателе для каждого члена в бесконечной сумме.

История [ править ]

Греческий философ Зенон рассматривал проблему суммирования бесконечного ряда для достижения конечного результата, но отвергал ее как невозможную; ^[2] в результате возник парадокс Зенона . Позже Аристотель предложил философское разрешение парадокса, но математическое содержание, очевидно , оставалось неразрешенным до тех пор, пока его не подхватил Архимед , как это было до Аристотеля досократическим атомистом Демокритом . Именно с помощью метода исчерпания Архимеда можно было выполнить бесконечное количество последовательных подразделений для достижения конечного результата. ^[3] Лю Хуэй независимо использовал подобный метод несколько столетий спустя.^[4]

В 14 веке самые ранние примеры использования рядов Тейлора и близких к ним методов были даны Мадхавой из Сангамаграмы . ^{[5] [6]} Хотя нет никаких записей о своей работе выживает, труды позже индийских математиков свидетельствуют о том , что он обнаружил ряд частных случаев ряд Тейлора, в том числе для тригонометрических функций от синуса , косинуса , тангенса и арктангенс . Кералы Школа астрономии и математик дальнейшего расширения его работы с различными разложениями и рациональными приближениями вплоть до 16 - го века.

В 17 веке Джеймс Грегори также работал в этой области и опубликовал несколько серий Маклорена. Он не был до 1715 , однако , что общий метод построения этих рядов для всех функций , для которых они существуют , были , наконец , обеспечивается Брук Тейлор , ^[7] , после которого в серии теперь называется.

Серия Maclaurin была названа в честь Колина Маклорена , профессора из Эдинбурга, который опубликовал частный случай результата Тейлора в 18 веке.

Аналитические функции [ править ]

Если f  ( x ) задается сходящимся степенным рядом в открытом диске (или интервале в вещественной прямой) с центром в точке b на комплексной плоскости, она называется аналитической в этом круге. Таким образом, для x в этом круге f задается сходящимся степенным рядом

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-b)^{n}.}$

Дифференцируя приведенную выше формулу по x n раз, тогда установка x = b дает:

${\displaystyle {\frac {f^{(n)}(b)}{n!}}=a_{n}}$

и поэтому разложение в степенной ряд согласуется с рядом Тейлора. Таким образом, функция является аналитической в ​​открытом диске с центром в точке b тогда и только тогда, когда ее ряд Тейлора сходится к значению функции в каждой точке круга.

Если f  ( x ) равна сумме своего ряда Тейлора для всех x в комплексной плоскости, он называется целым . Многочлены, экспоненциальная функция e ^x и тригонометрические функции синус и косинус являются примерами целых функций. Примеры функций, которые не включают в себя весь в корень квадратный , то логарифм , то тригонометрические функции тангенс и ее инверсию, ArcTan . Для этих функций ряды Тейлора не сходятся, если x далеко от b. То есть ряд Тейлора расходится в точке x, если расстояние между x и b больше, чем радиус сходимости . Ряд Тейлора можно использовать для вычисления значения всей функции в каждой точке, если значение функции и всех ее производных известно в одной точке.

Использование ряда Тейлора для аналитических функций включает:

1. Частичные суммы ( полиномы Тейлора ) ряда могут использоваться как приближения функции. Эти приближения хороши, если включено достаточно много членов.
2. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов может выполняться последовательно по каждому члену, что делает его особенно простым.
3. Аналитическая функция однозначно продолжается до голоморфной функции на открытом круге в комплексной плоскости . Это делает доступным оборудование комплексного анализа .
4. (Усеченный) ряд может использоваться для численного вычисления значений функции (часто путем преобразования полинома в форму Чебышева и вычисления его с помощью алгоритма Кленшоу ).
5. Алгебраические операции можно легко проделать с представлением степенного ряда; например, формула Эйлера следует из разложений в ряд Тейлора для тригонометрических и экспоненциальных функций. Этот результат имеет фундаментальное значение в такой области, как гармонический анализ .
6. Аппроксимации с использованием первых нескольких членов ряда Тейлора могут сделать неразрешимые в противном случае проблемы возможными для ограниченной области; этот подход часто используется в физике.

Ошибка аппроксимации и сходимость [ править ]

На картинке справа показано точное приближение sin x вокруг точки x = 0 . Розовая кривая - многочлен седьмой степени:

${\displaystyle \sin \left(x\right)\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.\!}$

Погрешность этого приближения не более | х | ⁹/9!. В частности, для −1 < x <1 ошибка меньше 0,000003.

Напротив, также показано изображение функции натурального логарифма ln (1 + x ) и некоторых ее многочленов Тейлора вокруг a = 0 . Эти приближения сходятся к функции только в области −1 < x ≤ 1 ; вне этой области полиномы Тейлора более высокой степени являются худшими приближениями для функции.

Ошибки , понесенные при аппроксимации функции его п - й степень полинома Тейлора называются остаточной или остаточные и обозначаются функция R _п ( х ) . Теорема Тейлора может быть использована для оценки размера остатка .

В общем, ряды Тейлора вообще не обязательно должны быть сходящимися . И в самом деле множество функций с сходящимися рядами Тейлора является скудным набором в Фреше из гладких функций . И даже если ряд Тейлора функции f действительно сходится, его предел не обязательно должен быть равен значению функции f  ( x ) . Например, функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$

является бесконечно дифференцируемой при х = 0 , и имеет нуль есть все производные. Следовательно, ряд Тейлора функции f  ( x ) относительно x = 0 тождественно равен нулю. Однако f  ( x ) не является нулевой функцией, поэтому не равна ее ряду Тейлора вокруг начала координат. Таким образом, f  ( x ) является примером неаналитической гладкой функции .

В реальном анализе этот пример показывает, что существуют бесконечно дифференцируемые функции f  ( x ) , ряд Тейлора которых не равен f  ( x ), даже если они сходятся. Напротив, голоморфные функции, изучаемые в комплексном анализе, всегда обладают сходящимся рядом Тейлора, и даже ряд Тейлора мероморфных функций , которые могут иметь особенности, никогда не сходятся к значению, отличному от самой функции. Однако комплексная функция e ^{−1 / z 2} не стремится к 0, когда zстремится к 0 вдоль мнимой оси, поэтому он не является непрерывным в комплексной плоскости, и его ряд Тейлора не определен в 0.

В более общем смысле, каждая последовательность действительных или комплексных чисел может появляться как коэффициенты в ряду Тейлора бесконечно дифференцируемой функции, определенной на вещественной прямой, что является следствием леммы Бореля . В результате радиус сходимости ряда Тейлора может быть равен нулю. Существуют даже бесконечно дифференцируемые функции, определенные на вещественной прямой, ряды Тейлора которых всюду имеют радиус сходимости 0. ^[8]

Функцию нельзя записать в виде ряда Тейлора с центром в особенности ; в этих случаях часто все же можно добиться разложения в ряд, если допустить также отрицательные степени переменной x ; см. серию Лорана . Например, f  ( x ) = e ^{−1 / x 2} можно записать в виде ряда Лорана.

Обобщение [ править ]

Однако существует обобщение ^{[9] [10]} ряда Тейлора, которое сходится к значению самой функции для любой ограниченной непрерывной функции на (0, ∞) с использованием исчисления конечных разностей . В частности, один имеет следующую теорему, из - Хилле , что для любого т > 0 ,

${\displaystyle \lim _{h\to 0^{+}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {\Delta _{h}^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t).}$

Здесь Δ^п
_ч- n- й конечно-разностный оператор с шагом h . Этот ряд в точности совпадает с рядом Тейлора, за исключением того, что вместо дифференциации появляются разделенные различия: ряд формально подобен ряду Ньютона . Когда функция f является аналитической в a , члены ряда сходятся к членам ряда Тейлора и в этом смысле обобщают обычный ряд Тейлора.

В общем, для любой бесконечной последовательности a _i выполняется следующее тождество степенного ряда:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n!}}\Delta ^{n}a_{i}=e^{-u}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}.}$

Так, в частности,

${\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}e^{-{\frac {t}{h}}}\sum _{j=0}^{\infty }f(a+jh){\frac {\left({\frac {t}{h}}\right)^{j}}{j!}}.}$

Ряд справа представляет собой ожидаемую величину из F  ( а + X ) , где X представляет собой Пуассон-распределенная случайная величина , которая принимает значение JH с вероятностью е ^{- т / час} ·( т / ч ) ^j/j !. Следовательно,

${\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }f(a+x)dP_{{\frac {t}{h}},h}(x).}$

Закон больших чисел следует , что имеет место тождество. ^[11]

Список некоторых общих функций из серии Маклорена [ править ]

Далее следуют несколько важных расширений серии Maclaurin. ^[12] Все эти разложения верны для сложных аргументов x .

Экспоненциальная функция [ править ]

Экспоненциальная функция (с базой е ) имеет ряд Маклорена${\displaystyle e^{x}}$

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }$.

Он сходится для всех x .

Натуральный логарифм [ править ]

Натуральный логарифм (с основанием е ) имеет ряд Маклорена

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\\\ln(1+x)&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots .\end{aligned}}}$

Они сходятся за . (Кроме того, ряд для ln (1 - x ) сходится при x = −1 , а ряд для ln (1 + x ) сходится при x = 1. )${\displaystyle |x|<1}$

Геометрические ряды [ править ]

В геометрической прогрессии и его производные имеют ряд Маклорена

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{1-x}}&=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\\{\frac {1}{(1-x)^{2}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\\{\frac {1}{(1-x)^{3}}}&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.\end{aligned}}}$

Все сходятся . Это частные случаи биномиального ряда, приведенного в следующем разделе.${\displaystyle |x|<1}$

Биномиальный ряд [ править ]

Биномиальный ряд является степенным рядом

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}}$

коэффициенты которого являются обобщенными биномиальными коэффициентами

${\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.}$

(Если n = 0 , этот продукт является пустым продуктом и имеет значение 1.) Он сходится для любого действительного или комплексного числа α . ${\displaystyle |x|<1}$

Когда α = −1 , это, по сути, бесконечный геометрический ряд, упомянутый в предыдущем разделе. Частные случаи α =1/2и α = -1/2дать функцию квадратного корня и ее обратную :

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\frac {1}{2}}&=1+{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{8}}x^{2}+{\tfrac {1}{16}}x^{3}-{\tfrac {5}{128}}x^{4}+{\tfrac {7}{256}}x^{5}-\ldots ,\\(1+x)^{-{\frac {1}{2}}}&=1-{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {3}{8}}x^{2}-{\tfrac {5}{16}}x^{3}+{\tfrac {35}{128}}x^{4}-{\tfrac {63}{256}}x^{5}+\ldots .\end{aligned}}}$

Когда сохраняется только линейный член , это упрощается до биномиального приближения .

Тригонометрические функции [ править ]

Обычные тригонометрические функции и их обратные имеют следующий ряд Маклорена:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}}$

Все углы выражены в радианах . Числа B _k, появляющиеся в разложениях tan x, являются числами Бернулли . Е _к в разложении сек х являются числа Эйлера .

Гиперболические функции [ править ]

В гиперболических функциях имеют ряд Маклорена , тесно связанный с серией для соответствующих тригонометрических функций:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}\left(4^{n}-1\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\operatorname {arsinh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\operatorname {artanh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm 1\end{aligned}}}$

Числа B _k, входящие в ряд для tanh x, являются числами Бернулли .

Расчет ряда Тейлора [ править ]

Существует несколько методов вычисления ряда Тейлора большого числа функций. Можно попытаться использовать определение ряда Тейлора, хотя это часто требует обобщения формы коэффициентов в соответствии с очевидной закономерностью. В качестве альтернативы можно использовать такие манипуляции, как подстановка, умножение или деление, сложение или вычитание стандартных рядов Тейлора, чтобы построить ряд Тейлора функции, поскольку ряд Тейлора является степенным рядом. В некоторых случаях можно также получить ряд Тейлора, многократно применяя интегрирование по частям . Особенно удобно использование систем компьютерной алгебры для вычисления рядов Тейлора.

Первый пример [ править ]

Чтобы вычислить полином Маклорена 7-й степени для функции

${\displaystyle f(x)=\ln(\cos x),\quad x\in \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}$ ,

сначала можно переписать функцию как

${\displaystyle f(x)=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\!}$.

Ряд Тейлора для натурального логарифма равен (с использованием нотации большой O )

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{O}\left(x^{4}\right)\!}$

а для косинусной функции

${\displaystyle \cos x-1=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+{O}\left(x^{8}\right)\!}$.

Последнее разложение в ряд имеет нулевой постоянный член , что позволяет нам подставить вторую серию в первую и легко опустить члены более высокого порядка, чем 7-я степень, используя нотацию большого O :

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\\&=(\cos x-1)-{\tfrac {1}{2}}(\cos x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(\cos x-1)^{3}+{O}\left((\cos x-1)^{4}\right)\\&=\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+{O}\left(x^{8}\right)\right)-{\frac {1}{2}}\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{O}\left(x^{6}\right)\right)^{2}+{\frac {1}{3}}\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+O\left(x^{4}\right)\right)^{3}+{O}\left(x^{8}\right)\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}-{\frac {x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{48}}-{\frac {x^{6}}{24}}+O\left(x^{8}\right)\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{12}}-{\frac {x^{6}}{45}}+O\left(x^{8}\right).\end{aligned}}\!}$

Поскольку косинус является четной функцией , коэффициенты для всех нечетных степеней x , x ³ , x ⁵ , x ⁷ , ... должны быть равны нулю.

Второй пример [ править ]

Предположим, нам нужен ряд Тейлора в 0 функции

${\displaystyle g(x)={\frac {e^{x}}{\cos x}}.\!}$

Для экспоненциальной функции

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \!}$

и, как в первом примере,

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \!}$

Предположим, что степенной ряд равен

${\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots \!}$

Тогда умножение на знаменатель и подстановка ряда косинуса дает

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots \right)\cos x\\&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots \right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)\\&=c_{0}-{\frac {c_{0}}{2}}x^{2}+{\frac {c_{0}}{4!}}x^{4}+c_{1}x-{\frac {c_{1}}{2}}x^{3}+{\frac {c_{1}}{4!}}x^{5}+c_{2}x^{2}-{\frac {c_{2}}{2}}x^{4}+{\frac {c_{2}}{4!}}x^{6}+c_{3}x^{3}-{\frac {c_{3}}{2}}x^{5}+{\frac {c_{3}}{4!}}x^{7}+c_{4}x^{4}+\cdots \end{aligned}}\!}$

Сбор условий до четвертого порядка доходности

${\displaystyle e^{x}=c_{0}+c_{1}x+\left(c_{2}-{\frac {c_{0}}{2}}\right)x^{2}+\left(c_{3}-{\frac {c_{1}}{2}}\right)x^{3}+\left(c_{4}-{\frac {c_{2}}{2}}+{\frac {c_{0}}{4!}}\right)x^{4}+\cdots \!}$

Значения можно найти путем сравнения коэффициентов с верхним выражением для , что дает:${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle e^{x}}$

${\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=1+x+x^{2}+{\frac {2x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{2}}+\cdots .\!}$

Третий пример [ править ]

Здесь мы используем метод, называемый «косвенное расширение», чтобы расширить данную функцию. В этом методе используется известное разложение Тейлора экспоненциальной функции. Чтобы разложить (1 + x ) e ^x как ряд Тейлора по x , мы используем известный ряд Тейлора функции e ^x :

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots .}$

Таким образом,

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)e^{x}&=e^{x}+xe^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{n!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{n!}}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(n-1)!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n!}}+{\frac {1}{(n-1)!}}\right)x^{n}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+1}{n!}}x^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n+1}{n!}}x^{n}.\end{aligned}}}$

Серии Тейлора как определения [ править ]

Классически алгебраические функции определяются алгебраическим уравнением, а трансцендентные функции (включая те, что обсуждались выше) определяются некоторым свойством, которое выполняется для них, например, дифференциальным уравнением . Например, экспоненциальная функция - это функция, которая везде равна своей производной и принимает значение 1 в начале координат. Однако с равным успехом можно определить аналитическую функцию ее рядом Тейлора.

Ряды Тейлора используются для определения функций и « операторов » в различных областях математики. В частности, это верно в тех областях, где классические определения функций не работают. Например, используя ряды Тейлора, можно расширить аналитические функции на наборы матриц и операторов, такие как экспоненциальная матрица или матричный логарифм .

В других областях, таких как формальный анализ, удобнее работать непосредственно с самими степенными рядами . Таким образом, можно определить решение дифференциального уравнения как степенной ряд, который, как мы надеемся доказать, является рядом Тейлора искомого решения.

Ряд Тейлора в нескольких переменных [ править ]

Ряд Тейлора можно также обобщить на функции более чем одной переменной с помощью ^{[13] [14]}

${\displaystyle {\begin{aligned}T(x_{1},\ldots ,x_{d})&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\ldots ,a_{d})\\&=f(a_{1},\ldots ,a_{d})+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{\frac {1}{2!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}{\frac {\partial ^{2}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{3!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}\sum _{l=1}^{d}{\frac {\partial ^{3}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l})+\cdots \end{aligned}}}$

Например, для функции, которая зависит от двух переменных, x и y , ряд Тейлора второго порядка относительно точки ( a , b ) равен${\displaystyle f(x,y)}$

${\displaystyle f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{\frac {1}{2!}}{\Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b){\Big )}}$

где нижние индексы обозначают соответствующие частные производные .

Разложение в ряд Тейлора второго порядка скалярнозначной функции более чем одной переменной можно компактно записать как

${\displaystyle T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}Df(\mathbf {a} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}\left\{D^{2}f(\mathbf {a} )\right\}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots ,}$

где D F  ( ) является градиент из F оценивали при х = с и D ² F  ( ) является матрица Гессе . Применяя многоиндексную нотацию, ряд Тейлора для нескольких переменных принимает вид

${\displaystyle T(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}{\alpha !}}\left({\mathrm {\partial } ^{\alpha }}f\right)(\mathbf {a} ),}$

который следует понимать как еще более сокращенную многоиндексную версию первого уравнения этого параграфа с полной аналогией со случаем одной переменной.

Пример [ править ]

Чтобы вычислить разложение в ряд Тейлора второго порядка вокруг точки ( a , b ) = (0, 0) функции

${\displaystyle f(x,y)=e^{x}\ln(1+y),}$

сначала вычисляются все необходимые частные производные:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{y}&={\frac {e^{x}}{1+y}}\\[6pt]f_{xx}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{yy}&=-{\frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}}\\[6pt]f_{xy}&=f_{yx}={\frac {e^{x}}{1+y}}.\end{aligned}}}$

Оценка этих производных в начале координат дает коэффициенты Тейлора

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(0,0)&=0\\f_{y}(0,0)&=1\\f_{xx}(0,0)&=0\\f_{yy}(0,0)&=-1\\f_{xy}(0,0)&=f_{yx}(0,0)=1.\end{aligned}}}$

Подставляя эти значения в общую формулу

${\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)=&f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)\\&{}+{\frac {1}{2!}}\left((x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b)\right)+\cdots \end{aligned}}}$

производит

${\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{\frac {1}{2}}{\Big (}0(x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{\Big )}+\cdots \\&=y+xy-{\frac {y^{2}}{2}}+\cdots \end{aligned}}}$

Поскольку ln (1 + y ) аналитична в | y | <1 , имеем

${\displaystyle e^{x}\ln(1+y)=y+xy-{\frac {y^{2}}{2}}+\cdots ,\qquad |y|<1.}$

Сравнение с рядами Фурье [ править ]

Тригонометрический ряд Фурье позволяет выразить периодическую функцию (или функцию, определенную на отрезке [ a , b ] ) как бесконечную сумму тригонометрических функций ( синусов и косинусов ). В этом смысле ряд Фурье аналогичен ряду Тейлора, поскольку последний позволяет выразить функцию в виде бесконечной суммы степеней . Тем не менее, две серии отличаются друг от друга в нескольких важных моментах:

• Конечные усечения ряда Тейлора функции f  ( x ) относительно точки x = a все в точности равны f в точке a . Напротив, ряд Фурье вычисляется путем интегрирования по всему интервалу, поэтому, как правило, нет такой точки, где все конечные усечения ряда являются точными.
• Вычисление ряда Тейлора требует знания функции в произвольной малой окрестности точки, тогда как вычисление ряда Фурье требует знания функции на всем интервале ее определения . В определенном смысле можно сказать, что ряд Тейлора «локален», а ряд Фурье - «глобален».
• Ряд Тейлора определен для функции, которая имеет бесконечно много производных в одной точке, тогда как ряд Фурье определен для любой интегрируемой функции . В частности, функция не могла быть дифференцируемой. (Например, f  ( x ) может быть функцией Вейерштрасса .)
• Сходимость обоих рядов имеет очень разные свойства. Даже если ряд Тейлора имеет положительный радиус сходимости, полученный ряд может не совпадать с функцией; но если функция аналитическая, то ряд сходится к функции поточечно и равномерно на каждом компактном подмножестве интервала сходимости. Что касается ряда Фурье, если функция интегрируема с квадратом, то ряд сходится в среднем квадратичном , но необходимы дополнительные требования для обеспечения поточечной или равномерной сходимости (например, если функция является периодической и имеет класс C ^1, то сходимость равна униформа).
• Наконец, на практике нужно аппроксимировать функцию конечным числом членов, например, многочленом Тейлора или частичной суммой тригонометрического ряда соответственно. В случае ряда Тейлора ошибка очень мала в окрестности точки, в которой она вычисляется, в то время как она может быть очень большой в удаленной точке. В случае ряда Фурье ошибка распределяется по области определения функции.

См. Также [ править ]

• Асимптотическое разложение
• Производящая функция
• Серия Мадхава
• Интерполяция разделенной разности Ньютона
• Аппроксимация Паде
• Серия Puiseux
• Оператор сдвига

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. (1970), Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , Нью-Йорк: Dover Publications , девятое издание
• Thomas, George B., Jr; Финни, Росс Л. (1996), Исчисление и аналитическая геометрия (9-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 0-201-53174-7
• Гринберг, Майкл (1998), Высшая инженерная математика (2-е изд.), Прентис Холл, ISBN 0-13-321431-1

Внешние ссылки [ править ]

• "Ряд Тейлора" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Серия Тейлора» . MathWorld .
• Многочлен Тейлора - практическое введение
• Мадхава Сангамаграммы
• « обсуждение метода Паркера-Сохацкого »
• Еще одна визуализация Тейлора - где вы можете выбрать точку приближения и количество производных
• Серия Тейлора, пересмотренная для численных методов в Numerical Methods для студентов STEM
• Золушка 2: расширение Тейлора
• Серия Тейлор
• Обратные тригонометрические функции Ряд Тейлора
• «Суть исчисления: серия Тейлора» - через YouTube .