Биномиальная теорема

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Биномиальная теорема»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июнь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

${\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}}$

В биномиальных коэффициентов выступает в качестве Ь - й записи в п - й строке треугольника Паскаля (начинает отсчет в 0 ). Каждая запись представляет собой сумму двух вышеупомянутых.${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$

В элементарной алгебре , то бином Ньютона (или биномиальное разложение ) описывает алгебраическое расширение полномочий одного бинома . Согласно теореме, можно разложить многочлен ( x + y ) ⁿ в сумму, включающую члены вида ax ^b y ^c , где показатели b и c - неотрицательные целые числа с b + c = n , а коэффициент акаждого члена - это конкретное положительное целое число, зависящее от n и b . Например (для n = 4 ),

${\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.}$

Коэффициент a в термине ax ^b y ^c известен как биномиальный коэффициент или (оба имеют одинаковое значение). Эти коэффициенты для изменения n и b можно расположить так, чтобы сформировать треугольник Паскаля . Эти цифры также возникают в комбинаторике , где дает число различных комбинаций из Ь элементов , которые могут быть выбраны из п - элементного множества . Поэтому часто произносится как « n выберите b ».${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$${\displaystyle {\tbinom {n}{c}}}$${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$

История [ править ]

Частные случаи биномиальной теоремы были известны по крайней мере с 4 века до нашей эры, когда греческий математик Евклид упомянул частный случай биномиальной теоремы для показателя степени  2 . ^{[1] [2]} Есть свидетельства того, что биномиальная теорема для кубов была известна в Индии в VI веке нашей эры. ^{[1] [2]}

Биномиальные коэффициенты, как комбинаторные величины, выражающие количество способов выбора k объектов из n без замены, интересовали древнеиндийских математиков. Самая ранняя известная ссылка на эту комбинаторную проблему - это Чандамшастра индийского лирика Пингалы (ок. 200 г. до н. Э.), В которой содержится метод ее решения. ^{[3] : 230} Комментатор Халаюдха из 10 века нашей эры объясняет этот метод, используя то, что сейчас известно как треугольник Паскаля . ^[3] К VI веку нашей эры индийские математики, вероятно, знали, как выразить это как частное , ^[4]${\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}}$и четкое изложение этого правила можно найти в тексте 12 - го века Lilavati по Бхаскару . ^[4]

Первую формулировку биномиальной теоремы и таблицу биномиальных коэффициентов, насколько нам известно, можно найти в работе аль-Караджи , которую цитирует аль-Самав'ал в его «аль-Бахир». ^{[5] [6] [7]} Аль-Караджи описал треугольную структуру биномиальных коэффициентов ^[8], а также представил математическое доказательство как биномиальной теоремы, так и треугольника Паскаля, используя раннюю форму математической индукции . ^[8] Персидский поэт и математик Омар Хайям, вероятно, был знаком с этой формулой до высших порядков, хотя многие из его математических работ утеряны. ^[2] Биномиальные разложения малых степеней были известны в математических работах 13 века Ян Хуэй ^[9], а также Чу Ши-Цзе . ^[2] Ян Хуэй приписывает этот метод гораздо более раннему тексту Цзя Сяня XI века , хотя эти записи теперь также утеряны. ^{[3] : 142}

В 1544 году , Михаэль Штифель ввел термин «бином коэффициент» и показал , как использовать их , чтобы выразить в терминах , с помощью «треугольник Паскаля». ^[10] Блез Паскаль всесторонне изучил одноименный треугольник в своей работе Traité dus Triangle Arithmétique . ^[11] Однако последовательность чисел была уже известна европейским математикам позднего Возрождения, включая Стифеля, Никколо Фонтана Тарталья и Саймона Стевина . ^[10]${\displaystyle (1+a)^{n}}$${\displaystyle (1+a)^{n-1}}$

Исааку Ньютону обычно приписывают обобщенную биномиальную теорему, справедливую для любого рационального показателя. ^{[10] [12]}

Заявление [ править ]

Согласно теореме, любую неотрицательную степень x + y можно разложить в сумму вида

${\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},}$

где - целое число, а каждое - положительное целое число, известное как биномиальный коэффициент . (Когда показатель степени равен нулю, соответствующее выражение степени принимается равным 1, и этот мультипликативный коэффициент часто опускается в члене. Поэтому часто можно увидеть, что правая часть записывается как .) Эта формула также упоминается как биномиальная формула или биномиальная идентичность . Используя обозначения суммирования , это можно записать как${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$${\displaystyle {\binom {n}{0}}x^{n}+\ldots }$

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.}$

Окончательное выражение следует из предыдущего из-за симметрии x и y в первом выражении, и из сравнения следует, что последовательность биномиальных коэффициентов в формуле симметрична. Простой вариант биномиальной формулы получается заменой 1 на y , так что он включает только одну переменную . В таком виде формула выглядит так:

${\displaystyle (1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},}$

или эквивалентно

${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.}$

Примеры [ править ]

Вот несколько первых случаев биномиальной теоремы:

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{0}&=1,\\[8pt](x+y)^{1}&=x+y,\\[8pt](x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7},\\[8pt](x+y)^{8}&=x^{8}+8x^{7}y+28x^{6}y^{2}+56x^{5}y^{3}+70x^{4}y^{4}+56x^{3}y^{5}+28x^{2}y^{6}+8xy^{7}+y^{8}.\end{aligned}}}$

В общем, для расширения ( x + y ) ⁿ с правой стороны в n- й строке (пронумерованной так, чтобы верхняя строка была 0-й строкой):

• показатели x в членах равны n , n −1, ..., 2, 1, 0 (последний член неявно содержит x ⁰ = 1 );
• показатели y в членах равны 0, 1, 2, ..., n - 1, n (первый член неявно содержит y ⁰ = 1 );
• коэффициенты образуют n- ю строку треугольника Паскаля;
• перед объединением одинаковых терминов в расширении есть 2 ⁿ терминов x ⁱ y ^j (не показаны);
• после объединения одинаковых членов получается n + 1 член, а их коэффициенты в сумме составляют 2 ⁿ .

Пример, иллюстрирующий два последних пункта:

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy&(2^{3}\;\mathrm {terms} )\\&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}&(3+1\;\mathrm {terms} )\end{aligned}}}$

с .${\displaystyle 1+3+3+1=2^{3}}$

Простой пример с конкретным положительным значением y :

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+2)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(2)+3x(2)^{2}+2^{3}\\&=x^{3}+6x^{2}+12x+8.\end{aligned}}}$

Простой пример с конкретным отрицательным значением y :

${\displaystyle {\begin{aligned}(x-2)^{3}&=x^{3}-3x^{2}(2)+3x(2)^{2}-2^{3}\\&=x^{3}-6x^{2}+12x-8.\end{aligned}}}$

Геометрическое объяснение [ править ]

Для положительных значений a и b биномиальная теорема с n = 2 является геометрически очевидным фактом, что квадрат со стороной a + b можно разрезать на квадрат со стороной a , квадрат со стороной b и два прямоугольника со сторонами a и б . При n = 3 теорема утверждает, что куб со стороной a + b можно разрезать на куб со стороной a , куб со стороной b , три прямоугольных блока a × a × b и трипрямоугольные коробки a × b × b .

В исчислении эта картина также дает геометрическое доказательство производной ^[13]. Если задать и интерпретировать b как бесконечно малое изменение в a , то эта картина показывает бесконечно малое изменение объема n -мерного гиперкуба , где коэффициент при линейный член (дюйм ) - это площадь n граней, каждая из которых имеет размер n - 1 :${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}:}$${\displaystyle a=x}$${\displaystyle b=\Delta x,}$${\displaystyle (x+\Delta x)^{n},}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle nx^{n-1},}$

${\displaystyle (x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\binom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .}$

Подстановка этого в определение производной через коэффициент разности и принятие пределов означает, что члены более высокого порядка и выше становятся незначительными, и дает формулу, интерпретируемую как${\displaystyle (\Delta x)^{2}}$${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1},}$

«бесконечно малая скорость изменения объема n- куба при изменении длины стороны есть площадь n его ( n - 1) -мерных граней».

Если интегрировать эту картину, которая соответствует применению фундаментальной теоремы исчисления , можно получить квадратурную формулу Кавальери , интеграл - см. Подробности в доказательстве квадратурной формулы Кавальери . ^[13]${\displaystyle \textstyle {\int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}}}$

Биномиальные коэффициенты [ править ]

Коэффициенты, которые появляются в биномиальном разложении, называются биномиальными коэффициентами . Обычно они пишутся и произносятся как « n select k ».${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}$

Формулы [ править ]

Коэффициент при x ^{n - k} y ^k определяется формулой

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\;(n-k)!}},}$

который определяется в терминах факториальной функции n ! . Эквивалентно эту формулу можно записать

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}=\prod _{\ell =0}^{k-1}{\frac {n-\ell }{k-\ell }}}$

с k множителями как в числителе, так и в знаменателе дроби . Хотя эта формула включает дробь, биномиальный коэффициент на самом деле является целым числом .${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

Комбинаторная интерпретация [ править ]

Биномиальный коэффициент можно интерпретировать как количество способов выбрать k элементов из n -элементного набора. Это связано с биномами по следующей причине: если мы запишем ( x + y ) ⁿ как произведение${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

${\displaystyle (x+y)(x+y)(x+y)\cdots (x+y),}$

тогда, согласно закону распределения , в разложении будет один член для каждого выбора x или y из каждого из биномов произведения. Например, будет только один член x ⁿ , соответствующий выбору x из каждого бинома. Однако будет несколько членов вида x ^{n −2} y ² , по одному для каждого способа выбора ровно двух биномов, дающих вклад в y . Следовательно, после объединения одинаковых членов коэффициент при x ^{n −2} y ² будет равен количеству способов выбрать точно2 элемента из n -элементного набора.

Доказательства [ править ]

Комбинаторное доказательство [ править ]

Пример [ править ]

Коэффициент при xy ² в

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=(x+y)(x+y)(x+y)\\&=xxx+xxy+xyx+{\underline {xyy}}+yxx+{\underline {yxy}}+{\underline {yyx}}+yyy\\&=x^{3}+3x^{2}y+{\underline {3xy^{2}}}+y^{3}\end{aligned}}}$

равно, потому что есть три строки x , y длины 3 с ровно двумя y s, а именно,${\displaystyle {\tbinom {3}{2}}=3}$

${\displaystyle xyy,\;yxy,\;yyx,}$

соответствующие трем 2-элементным подмножествам {1, 2, 3} , а именно,

${\displaystyle \{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\},}$

где каждое подмножество определяет позиции y в соответствующей строке.

Общий случай [ править ]

Раскрытие ( x + y ) ⁿ дает сумму 2 ⁿ произведений в форме e ₁ e ₂ ... e _n, где каждый e _i равен x или  y . Перестановка коэффициентов показывает, что каждый продукт равен x ^{n - k} y ^k для некоторого k от 0 до  n . Для данного k последовательно доказываются следующие равенства:

• количество копий x ^{n - k} y ^k в расширении
• количество n -символов x , y строк, имеющих y ровно в k позициях
• количество k -элементных подмножеств {1, 2, ..., n }
• ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}$либо по определению, либо с помощью короткого комбинаторного аргумента, если кто-то определяет как${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$${\displaystyle {\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}.}$

Это доказывает биномиальную теорему.

Индуктивное доказательство [ править ]

Индукция дает еще одно доказательство биномиальной теоремы. Когда n = 0 , обе стороны равны 1 , поскольку x ⁰ = 1 и Предположим теперь, что равенство выполняется для данного n ; мы докажем это для n + 1 . Для j , k ≥ 0 , пусть [ f ( x , y )] _{j , k} обозначает коэффициент при x ^j y ^k в полиноме f ( x , y )${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}=1.}$. По предположению индукции ( x + y ) ⁿ - это многочлен от x и y, такой что [( x + y ) ⁿ ] _{j , k} равно, если j + k = n , и 0 в противном случае. Личность${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

${\displaystyle (x+y)^{n+1}=x(x+y)^{n}+y(x+y)^{n}}$

показывает, что ( x + y ) ^{n +1} также является многочленом от x и y , и

${\displaystyle [(x+y)^{n+1}]_{j,k}=[(x+y)^{n}]_{j-1,k}+[(x+y)^{n}]_{j,k-1},}$

поскольку если j + k = n + 1 , то ( j - 1) + k = n и j + ( k - 1) = n . Теперь правая часть

${\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}},}$

по идентичности Паскаля . ^[14] С другой стороны, если j + k ≠ n + 1 , то ( j - 1) + k ≠ n и j + ( k - 1) ≠ n , поэтому мы получаем 0 + 0 = 0 . Таким образом

${\displaystyle (x+y)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{n+1-k}y^{k},}$

что является индуктивной гипотезой с заменой n на n + 1 и завершает индуктивный шаг.

Обобщения [ править ]

Обобщенная биномиальная теорема Ньютона [ править ]

Около 1665 года Исаак Ньютон обобщил биномиальную теорему, чтобы разрешить вещественные показатели, отличные от неотрицательных целых чисел. (То же обобщение применимо и к комплексным показателям.) В этом обобщении конечная сумма заменяется бесконечным рядом . Для этого нужно придать смысл биномиальным коэффициентам с произвольным верхним индексом, что невозможно сделать с помощью обычной формулы с факториалами. Однако для произвольного числа r можно определить

${\displaystyle {r \choose k}={\frac {r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {(r)_{k}}{k!}},}$

где - символ Поххаммера , обозначающий падающий факториал . Это согласуется с обычными определениями, когда r - неотрицательное целое число. Тогда, если x и y - действительные числа с | х | > | y | , ^{[Примечание 1]} и r - любое комплексное число,${\displaystyle (\cdot )_{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}}$

Когда r - неотрицательное целое число, биномиальные коэффициенты для k > r равны нулю, поэтому это уравнение сводится к обычной биномиальной теореме, и имеется не более r + 1 ненулевых членов. Для других значений r в ряду обычно бесконечно много ненулевых членов.

Например, r = 1/2 дает следующий ряд для квадратного корня:

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots }$

Взяв r = −1 , обобщенный биномиальный ряд дает формулу геометрического ряда , справедливую для | х | <1 :

${\displaystyle (1+x)^{-1}={\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\cdots }$

В более общем смысле, с r = - s :

${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}x^{k}.}$

Так, например, когда s = 1/2 ,

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots }$

Дальнейшие обобщения [ править ]

Обобщенную биномиальную теорему можно распространить на случай, когда x и y - комплексные числа. Для этой версии следует снова предположить | х | > | y | ^{[Примечание 1]} и определите степени x + y и x, используя голоморфную ветвь журнала, определенную на открытом диске радиуса | х | с центром в x . Обобщенная теорема бинома справедлива и для элементов х и у одного банаховой алгебры , как долго , как х = ух, и x обратимо, и || у / х || <1 .

Версия биномиальной теоремы верна для следующего символьного семейства многочленов Похгаммера : для данной действительной константы c определите и${\displaystyle x^{(0)}=1}$

${\displaystyle x^{(n)}=\prod _{k=1}^{n}[x+(k-1)c]}$

для Then ^[15]${\displaystyle n>0.}$

${\displaystyle (a+b)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{(n-k)}b^{(k)}.}$

Случай c = 0 восстанавливает обычную биномиальную теорему.

В более общем смысле, последовательность многочленов называется биномиальной, если${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$

• ${\displaystyle \deg p_{n}=n}$для всех ,${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle p_{0}(0)=1}$, и
• ${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}$для всех , и .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle n}$

Оператор в пространстве многочленов называется базисным оператором последовательности тогда и для всех . Последовательность биномиальна тогда и только тогда, когда ее базисный оператор является дельта-оператором . ^[16] Запись для сдвига на оператора, операторы Delta , соответствующий приведенному выше «Похгаммера» семейств полиномов в обратном направлении разница для , обычная производная для и вперед разница для .${\displaystyle Q}$${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$${\displaystyle Qp_{0}=0}$${\displaystyle Qp_{n}=np_{n-1}}$${\displaystyle n\geqslant 1}$${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$${\displaystyle E^{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle I-E^{-c}}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle c=0}$${\displaystyle E^{-c}-I}$${\displaystyle c<0}$

Полиномиальная теорема [ править ]

Биномиальную теорему можно обобщить, включив в нее степени сумм с более чем двумя членами. Общая версия

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}},}$

где суммирование ведется по всем последовательностям неотрицательных целочисленных индексов с k ₁ по k _m, таким что сумма всех k _i равна  n . (Для каждого члена в разложении показатели должны в сумме равняться  n ). Коэффициенты известны как полиномиальные коэффициенты и могут быть вычислены по формуле${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$

${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}.}$

Комбинаторно, полиномиальной коэффициент подсчитывает количество различных способов разбиения п - элементного множества на непересекающиеся подмножества размеров K ₁ , ..., K _м .${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$

Многобиномиальная теорема [ править ]

При работе с большим количеством измерений часто бывает полезно иметь дело с произведениями биномиальных выражений. По биномиальной теореме это равно

${\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\dotsc {\binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.}$

Это можно записать более кратко, используя многоиндексную нотацию , как

${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$

Общее правило Лейбница [ править ]

Общее правило Лейбница дает n- ю производную произведения двух функций в форме, аналогичной форме биномиальной теоремы: ^[17]

${\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).}$

Здесь верхний индекс ( n ) указывает n- ю производную функции. Если установить f ( x ) = e ^ax и g ( x ) = e ^bx , а затем убрать общий множитель e ^{( a + b ) x} с обеих сторон результата, то обычная биномиальная теорема будет восстановлена. ^[18]

Приложения [ править ]

Многоугловые тождества [ править ]

Для комплексных чисел биномиальную теорему можно объединить с формулой де Муавра, чтобы получить многоугловые формулы для синуса и косинуса . Согласно формуле Де Муавра,

${\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.}$

Используя биномиальную теорему, выражение справа можно расширить, а затем взять действительную и мнимую части, чтобы получить формулы для cos ( nx ) и sin ( nx ) . Например, поскольку

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x,}$

Формула Де Муавра говорит нам, что

${\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,}$

которые являются обычными двухугловыми тождествами. Аналогично, поскольку

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,}$

Формула Де Муавра дает

${\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.}$

В целом,

${\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{k/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x}$

и

${\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{(k-1)/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.}$

Серия для е [ править ]

Число е часто определяется по формуле

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

Применение биномиальной теоремы к этому выражению дает обычный бесконечный ряд для e . Особенно:

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{n \choose 1}{\frac {1}{n}}+{n \choose 2}{\frac {1}{n^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{n \choose n}{\frac {1}{n^{n}}}.}$

К терм е этой суммы

${\displaystyle {n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}$

При n → ∞ рациональное выражение справа стремится к 1 , и, следовательно,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.}$

Это означает, что е можно записать в виде ряда:

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .}$

В самом деле, поскольку каждый член биномиального разложения является возрастающей функцией от n , из теоремы о монотонной сходимости рядов следует, что сумма этого бесконечного ряда равна  e .

Вероятность [ править ]

Биномиальная теорема тесно связана с функцией массы вероятности отрицательного биномиального распределения . Вероятность (счетного) набора независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха всего, что не произойдет, равна${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in S}}$${\displaystyle p\in [0,1]}$

${\displaystyle P\left(\bigcap _{t\in S}X_{t}^{C}\right)=(1-p)^{|S|}=\sum _{n=0}^{|S|}{|S| \choose n}(-p)^{n}.}$

Полезная оценка сверху для этой величины ^[19]${\displaystyle e^{-p|S|}.}$

В абстрактной алгебре [ править ]

Биномиальная теорема верна в более общем случае для двух элементов x и y в кольце или даже полукольце при условии, что xy = yx . Например, это справедливо для двух матриц размера n × n при условии, что эти матрицы коммутируют; это полезно при вычислении мощности матрицы. ^[20]

Биномиальную теорему можно сформулировать, сказав, что полиномиальная последовательность {1, x , x ² , x ³ , ...} имеет биномиальный тип .

В популярной культуре [ править ]

• Биномиальная теорема упоминается в песне генерал-майора комической оперы «Пираты Пензанса» .
• Шерлок Холмс описывает профессора Мориарти как автора трактата по биномиальной теореме .
• Португальский поэт Фернандо Песоа , используя гетероним Альваро де Кампос , писал, что «бином Ньютона так же прекрасен, как Венера Милосская . На самом деле мало кто замечает это». ^[21]
• В фильме 2014 года «Игра в имитацию» Алан Тьюринг ссылается на работу Исаака Ньютона над биномиальной теоремой во время его первой встречи с командующим Деннистоном в Блетчли-парке.

См. Также [ править ]

• Биномиальное приближение
• Биномиальное распределение
• Биномиальная обратная теорема
• Приближение Стирлинга

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Сумка, Амуля Кумар (1966). «Биномиальная теорема в древней Индии». Индийский J. History Sci . 1 (1): 68–74.
• Грэм, Рональд; Кнут, Дональд; Паташник, Орен (1994). «(5) Биномиальные коэффициенты». Конкретная математика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. стр.  153 -256. ISBN 978-0-201-55802-9. OCLC  17649857 .

Внешние ссылки [ править ]

В Викибуке Комбинаторика есть страница по теме: Биномиальная теорема

• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Бином Ньютона» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Бином от Стивена Вольфрама , и «бином (шаг за шагом)» Брюс Коллетти и Джефф Брайант, Wolfram Demonstrations Project 2007.

Эта статья включает в себя материал из индуктивного доказательства биномиальной теоремы на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .