Элементарная алгебра

${\ displaystyle {\ overset {} {\ underset {} {x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}}}}$

Квадратичная формула , которая является решением квадратного уравнения где . Здесь символы a, b, c обозначают произвольные числа, а x - переменная, которая представляет решение уравнения.${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$${\ displaystyle a \ neq 0}$

Двумерный график (красная кривая) алгебраического уравнения ${\ displaystyle y = x ^ {2} -x-2}$

Элементарная алгебра охватывает некоторые из основных понятий алгебры , одного из основных разделов математики . Его обычно преподают учащимся средней школы, и он основан на их понимании арифметики . В то время как арифметика имеет дело с заданными числами, ^[1] алгебра вводит величины без фиксированных значений, известные как переменные. ^[2] Такое использование переменных влечет за собой использование алгебраических обозначений и понимание общих правил операторов, введенных в арифметике. В отличие от абстрактной алгебры , элементарная алгебра не занимается алгебраическими структурами вне областидействительные и комплексные числа .

Использование переменных для обозначения количеств позволяет формально и лаконично выразить общие отношения между величинами и, таким образом, позволяет решать более широкий круг проблем. Многие количественные соотношения в науке и математике выражаются в виде алгебраических уравнений .

Алгебраические обозначения [ править ]

Алгебраическая нотация описывает правила и соглашения для написания математических выражений , а также терминологию, используемую для описания частей выражений. Например, выражение имеет следующие компоненты:${\ displaystyle 3x ^ {2} -2xy + c}$

1. Показатель степени (степень),
2. Коэффициент ,
3. термин ,
4. оператор ,
5. константа , x, y  : переменные

Коэффициент представляет собой числовое значение, или буква , представляющая собой численную константу, которая умножает переменный (оператор опущен). Термин является слагаемого или слагаемым , группа коэффициентов, переменных, констант и показателей , которые могут быть отделены от других условий на плюс и минус операторов. ^[3] Буквы обозначают переменные и константы. По соглашению, буквы в начале алфавита (например, ) обычно используются для обозначения констант , а буквы в конце алфавита (например, и z ) используются для представления переменных . ^[4] Обычно они пишутся курсивом. ^[5]${\ displaystyle a, b, c}$${\ displaystyle x, y}$

Алгебраические операции работают таким же образом , как и арифметические операции , ^[6] , такие как сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степени . ^[7] и применяются к алгебраическим переменным и термам. Символы умножения обычно опускаются и подразумеваются, когда нет пробела между двумя переменными или членами, или когда используется коэффициент . Например, записывается как , и может быть написано . ^[8]${\ Displaystyle 3 \ раз х ^ {2}}$${\ displaystyle 3x ^ {2}}$${\ Displaystyle 2 \ раз х \ раз у}$${\ displaystyle 2xy}$

Обычно члены с наибольшей степенью ( показателем степени ) пишутся слева, например, слева от x . Когда коэффициент равен единице, он обычно опускается (например , записывается ). ^[9] Аналогично, когда показатель степени (степень) равен единице (например , написано ). ^[10] Когда показатель степени равен нулю, результат всегда равен 1 (например , всегда перезаписывается на 1 ). ^[11] Однако , будучи неопределенным, не должно появляться в выражении, и следует проявлять осторожность при упрощении выражений, в которых переменные могут появляться в показателях степени.${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle 1x ^ {2}}$${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle 3x ^ {1}}$${\ displaystyle 3x}$${\ displaystyle x ^ {0}}$${\ displaystyle 0 ^ {0}}$

Альтернативная нотация [ править ]

Другие типы обозначений используются в алгебраических выражениях, когда требуемое форматирование недоступно или не может подразумеваться, например, когда доступны только буквы и символы. В качестве иллюстрации этого, хотя показатели обычно форматируются с использованием надстрочных индексов, например, в обычном тексте и на языке разметки TeX , символ вставки «^» представляет возведение в степень, поэтому записывается как «x ^ 2»., ^{[12] [13],} а также некоторые языки программирования, такие как Lua. В языках программирования, таких как Ada , ^[14] Fortran , ^[15] Perl , ^[16] Python ^[17] и${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle x ^ {2}}$ Ruby , ^[18] используется двойная звездочка, поэтому пишется как «x ** 2». Многие языки программирования и калькуляторы используют одну звездочку для обозначения символа умножения ^[19], и он должен использоваться явно, например, пишется «3 * x».${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle 3x}$

Концепции [ править ]

Переменные [ править ]

Пример переменных, показывающих взаимосвязь между диаметром круга и его длиной. Для любого круга , его окружность с , деленным на ее диаметр D , равно постоянной пи , (приблизительно 3.14).${\ displaystyle \ pi}$

Элементарная алгебра основывается на арифметике ^[20] и расширяет ее за счет введения букв, называемых переменными, для представления общих (неуказанных) чисел. Это полезно по нескольким причинам.

1. Переменные могут представлять числа, значения которых еще не известны . Например, если температура текущего дня, C, на 20 градусов выше, чем температура предыдущего дня, P, тогда проблема может быть описана алгебраически как . ^[21]${\ Displaystyle C = P + 20}$
2. Переменные позволяют описывать общие проблемы ^[22] без указания значений задействованных величин. Например, можно конкретно указать, что 5 минут эквивалентны секундам. В более общем (алгебраическом) описании может быть указано, что количество секунд,, где m - количество минут.${\ displaystyle 60 \ times 5 = 300}$${\ displaystyle s = 60 \ times m}$
3. Переменные позволяют описывать математические отношения между величинами, которые могут варьироваться. ^[23] Например, связь между длиной окружности c и диаметром d окружности описывается как .${\ displaystyle \ pi = c / d}$
4. Переменные позволяют описывать некоторые математические свойства. Например, основным свойством сложения является коммутативность , согласно которой порядок сложения чисел не имеет значения. Коммутативность алгебраически формулируется как . ^[24]${\displaystyle (a+b)=(b+a)}$

Упрощение выражений [ править ]

Алгебраические выражения можно вычислять и упрощать, основываясь на основных свойствах арифметических операций ( сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степень ). Например,

• Добавленные термины упрощаются с помощью коэффициентов. Например, можно упростить как (где 3 - числовой коэффициент).${\displaystyle x+x+x}$${\displaystyle 3x}$
• Умноженные члены упрощаются с помощью экспонент. Например, представлен как${\displaystyle x\times x\times x}$${\displaystyle x^{3}}$
• Подобно тому, как термины складываются вместе, ^[25], например, записывается как , потому что термины, содержащиеся , складываются вместе, а содержащиеся термины складываются вместе.${\displaystyle 2x^{2}+3ab-x^{2}+ab}$${\displaystyle x^{2}+4ab}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle ab}$
• Скобки можно «размножить», используя распределительное свойство . Например, можно записать как который можно записать как${\displaystyle x(2x+3)}$${\displaystyle (x\times 2x)+(x\times 3)}$${\displaystyle 2x^{2}+3x}$
• Выражения можно факторизовать. Например, разделив оба термина на, можно записать как${\displaystyle 6x^{5}+3x^{2}}$${\displaystyle 3x^{2}}$${\displaystyle 3x^{2}(2x^{3}+1)}$

Уравнения [ править ]

Уравнение заявляет, что два выражения равны, используя символ равенства = ( знак равенства ). ^[26] Одно из самых известных уравнений описывает закон Пифагора, связывающий длины сторон прямоугольного треугольника: ^[27]

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Это уравнение утверждает, что , представляя квадрат длины стороны гипотенузы, стороны, противоположной прямому углу, равняется сумме (сложению) квадратов двух других сторон, длины которых представлены буквами a и b. .${\displaystyle c^{2}}$

Уравнение - это утверждение, что два выражения имеют одинаковое значение и равны. Некоторые уравнения верны для всех значений задействованных переменных (например, ); такие уравнения называются тождествами . Условные уравнения верны только для некоторых значений задействованных переменных, например, только для и . Значения переменных, которые делают уравнение истинным, являются решениями уравнения и могут быть найдены путем решения уравнения .${\displaystyle a+b=b+a}$${\displaystyle x^{2}-1=8}$${\displaystyle x=3}$${\displaystyle x=-3}$

Другой тип уравнения - неравенство. Неравенства используются, чтобы показать, что одна сторона уравнения больше или меньше другой. Для этого используются следующие символы: где означает «больше, чем», а где - «меньше». Как и стандартные уравнения равенства, числа можно складывать, вычитать, умножать или делить. Единственное исключение - при умножении или делении на отрицательное число символ неравенства нужно переворачивать.${\displaystyle a>b}$${\displaystyle >}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle <}$

Свойства равенства [ править ]

По определению, равенство является отношением эквивалентности , что означает, что оно обладает свойствами (а) рефлексивным (т. Е. ), (Б) симметричным (т. Е. Если, то ) (в) транзитивным (т. Е. Если и тогда ). ^[28] Он также удовлетворяет важному свойству: если два символа используются для одинаковых вещей, то один символ может быть заменен другим в любом истинном утверждении о первом, и это утверждение останется верным. Это подразумевает следующие свойства:${\displaystyle b=b}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle b=a}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle b=c}$${\displaystyle a=c}$

• если, а затем и ;${\displaystyle a=b}$${\displaystyle c=d}$${\displaystyle a+c=b+d}$${\displaystyle ac=bd}$
• если то и ;${\displaystyle a=b}$${\displaystyle a+c=b+c}$${\displaystyle ac=bc}$
• вообще, для любой функции f , если то .${\displaystyle a=b}$${\displaystyle f(a)=f(b)}$

Свойства неравенства [ править ]

Отношения меньше и больше чем обладают свойством транзитивности: ^[29]${\displaystyle <}$${\displaystyle >}$

• Если     и     тогда   ;${\displaystyle a<b}$${\displaystyle b<c}$${\displaystyle a<c}$
• Если     и     тогда   ; ^[30]${\displaystyle a<b}$${\displaystyle c<d}$${\displaystyle a+c<b+d}$
• Если     и     тогда   ;${\displaystyle a<b}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle ac<bc}$
• Если     и     тогда   .${\displaystyle a<b}$${\displaystyle c<0}$${\displaystyle bc<ac}$

Изменив неравенство, и можно поменять местами, ^[31], например:${\displaystyle <}$${\displaystyle >}$

• ${\displaystyle a<b}$ эквивалентно ${\displaystyle b>a}$

Замена [ править ]

Подстановка заменяет термины в выражении для создания нового выражения. Замена 3 на a в выражении a * 5 дает новое выражение 3 * 5 со значением 15 . Подстановка условий утверждения делает новое утверждение. Когда исходное утверждение истинно независимо от значений терминов, утверждение, созданное подстановками, также истинно. Следовательно, определения могут быть сделаны в символических терминах и интерпретироваться через замену: если подразумевается как определение как продукта a с самим собой, замена 3 на a информирует читателя об этом утверждении, что означает 3 × 3 = 9${\displaystyle a^{2}:=a\times a}$${\displaystyle a^{2},}$${\displaystyle 3^{2}}$. Часто неизвестно, верно ли утверждение независимо от значений терминов. И подстановка позволяет вывести ограничения на возможные значения или показать, при каких условиях выполняется утверждение. Например, принимая утверждение x + 1 = 0 , если x заменяется на 1 , это означает 1 + 1 = 2 = 0 , что неверно, что означает, что если x + 1 = 0, то x не может быть 1 .

Если x и y являются целыми , рациональными или действительными числами , то xy = 0 означает, что x = 0 или y = 0 . Рассмотрим abc = 0 . Тогда, подставляя для й и Ьса для у , мы узнаем , а = 0 или Ьс = 0 . Затем мы можем снова заменить, положив x = b и y = c , чтобы показать, что если bc= 0, то b = 0 или c = 0 . Следовательно, если abc = 0 , тогда a = 0 или ( b = 0 или c = 0 ), поэтому abc = 0 влечет a = 0 или b = 0 или c = 0 .

Если бы исходный факт был заявлен как « ab = 0 подразумевает a = 0 или b = 0 », то, говоря «рассмотрите abc = 0 », мы бы столкнулись с конфликтом терминов при замене. Тем не менее, приведенная выше логика все еще верна, чтобы показать, что если abc = 0, то a = 0 или b = 0 или c = 0, если вместо того, чтобы позволить a = a и b = bc , заменить a на a и b на bc(и с Ьсом = 0 , подставляя Ь для и с для б ). Это показывает, что замена терминов в утверждении - не всегда то же самое, что приравнивание терминов из утверждения к заменяемым терминам. В этой ситуации ясно, что если мы подставим выражение a в член a исходного уравнения, подставляемое a не будет относиться к a в утверждении « ab = 0 подразумевает a = 0 или b = 0 ».

Решение алгебраических уравнений [ править ]

В следующих разделах приведены примеры некоторых типов алгебраических уравнений, которые могут встретиться.

Линейные уравнения с одной переменной [ править ]

Линейные уравнения называются так называемыми, потому что при построении они описывают прямую линию. Простейшими уравнениями для решения являются линейные уравнения , в которых есть только одна переменная. Они содержат только постоянные числа и одну переменную без показателя степени. В качестве примера рассмотрим:

Задача на словах: если вы удвоите возраст ребенка и прибавите 4, получится 12. Сколько лет ребенку?

Эквивалентное уравнение: где x обозначает возраст ребенка${\displaystyle 2x+4=12}$

Для решения такого рода уравнения используется метод сложения, вычитания, умножения или деления обеих сторон уравнения на одно и то же число, чтобы изолировать переменную на одной стороне уравнения. Как только переменная изолирована, другая сторона уравнения - это значение переменной. ^[32] Эта проблема и ее решение следующие:

1. Уравнение для решения:	${\displaystyle 2x+4=12}$
2. Вычтите 4 с обеих сторон:	${\displaystyle 2x+4-4=12-4}$
3. Это упрощает:	${\displaystyle 2x=8}$
4. Разделите обе части на 2:	${\displaystyle {\frac {2x}{2}}={\frac {8}{2}}}$
5. Это упрощает решение:	${\displaystyle x=4}$

На словах: ребенку 4 года.

Общий вид линейного уравнения с одной переменной может быть записан как: ${\displaystyle ax+b=c}$

Следуя той же процедуре (т.е. вычтите b из обеих частей, а затем разделите на a ), общее решение дается формулой${\displaystyle x={\frac {c-b}{a}}}$

Линейные уравнения с двумя переменными [ править ]

Линейное уравнение с двумя переменными имеет множество (т.е. бесконечное число) решений. ^[33] Например:

Проблема на словах: отец на 22 года старше сына. Сколько им лет?

Эквивалентное уравнение: где y - возраст отца, x - возраст сына.${\displaystyle y=x+22}$

Это не может быть решено само по себе. Если бы возраст сына был известен, то больше не было бы двух неизвестных (переменных). Тогда проблема становится линейным уравнением только с одной переменной, которую можно решить, как описано выше.

Чтобы решить линейное уравнение с двумя переменными (неизвестными), требуются два связанных уравнения. Например, если также было обнаружено, что:

Проблема на словах

Через 10 лет отец будет вдвое старше сына.

Эквивалентное уравнение

${\displaystyle {\begin{aligned}y+10&=2\times (x+10)\\y&=2\times (x+10)-10&&{\text{Subtract 10 from both sides}}\\y&=2x+20-10&&{\text{Multiple out brackets}}\\y&=2x+10&&{\text{Simplify}}\end{aligned}}}$

Теперь есть два связанных линейных уравнения, каждое с двумя неизвестными, что позволяет получить линейное уравнение только с одной переменной путем вычитания одного из другого (так называемый метод исключения): ^[34]

${\displaystyle {\begin{cases}y=x+22&{\text{First equation}}\\y=2x+10&{\text{Second equation}}\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&&&{\text{Subtract the first equation from}}\\(y-y)&=(2x-x)+10-22&&{\text{the second in order to remove }}y\\0&=x-12&&{\text{Simplify}}\\12&=x&&{\text{Add 12 to both sides}}\\x&=12&&{\text{Rearrange}}\end{aligned}}}$

Другими словами, сыну 12 лет, а поскольку отец на 22 года старше, ему должно быть 34. Через 10 лет сыну будет 22 года, а отцу - в два раза старше его, 44 года. Эта проблема проиллюстрирована на рисунке связанный график уравнений.

Другие способы решения такого рода уравнений см. Ниже, Система линейных уравнений .

Квадратные уравнения [ править ]

График квадратного уравнения, показывающий его корни в и , и что квадратичное уравнение можно переписать как${\displaystyle y=x^{2}+3x-10}$${\displaystyle x=-5}$${\displaystyle x=2}$${\displaystyle y=(x+5)(x-2)}$

Квадратичное уравнение - это уравнение, которое включает член с показателем 2, например , ^[35], и не содержит члена с более высоким показателем. Название происходит от латинского quadrus , что означает квадрат. ^[36] В общем, квадратное уравнение может быть выражено в форме , ^[37] где a не равно нулю (если бы оно было равно нулю, тогда уравнение было бы не квадратичным, а линейным). По этой причине квадратное уравнение должно содержать член , который известен как квадратный член. Следовательно , и поэтому мы можем разделить на a и преобразовать уравнение в стандартную форму${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$${\displaystyle ax^{2}}$${\displaystyle a\neq 0}$

${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$

где и . Решение этой проблемы с помощью процесса, известного как завершение квадрата , приводит к квадратной формуле${\displaystyle p={\frac {b}{a}}}$${\displaystyle q={\frac {c}{a}}}$

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$

где символ "±" означает, что оба

${\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

являются решениями квадратного уравнения.

Квадратные уравнения также могут быть решены с использованием факторизации (обратный процесс - разложение , но для двух линейных членов иногда обозначается фольгированием ). В качестве примера факторинга:

${\displaystyle x^{2}+3x-10=0,}$

что то же самое, что

${\displaystyle (x+5)(x-2)=0.}$

Из свойства нулевого произведения следует, что решениями или являются либо , поскольку ровно один из множителей должен быть равен нулю . Все квадратные уравнения будут иметь два решения в комплексной системе счисления, но не обязательно в действительной системе счисления. Например,${\displaystyle x=2}$${\displaystyle x=-5}$

${\displaystyle x^{2}+1=0}$

не имеет решения в виде действительного числа, поскольку никакой квадрат действительного числа не равен -1. Иногда квадратное уравнение имеет корень кратности 2, например:

${\displaystyle (x+1)^{2}=0.}$

Для этого уравнения −1 является корнем из кратности 2. Это означает, что −1 появляется дважды, так как уравнение можно переписать в факторизованной форме как

${\displaystyle [x-(-1)][x-(-1)]=0.}$

Комплексные числа [ править ]

Все квадратные уравнения имеют ровно два решения в комплексных числах (но они могут быть равны друг другу), категория, которая включает действительные числа , мнимые числа и суммы действительных и мнимых чисел. Комплексные числа впервые возникают при обучении квадратным уравнениям и квадратным формулам. Например, квадратное уравнение

${\displaystyle x^{2}+x+1=0}$

есть решения

${\displaystyle x={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\quad \quad {\text{and}}\quad \quad x={\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}.}$

Поскольку не является действительным числом, оба этих решения для x являются комплексными числами.${\displaystyle {\sqrt {-3}}}$

Экспоненциальные и логарифмические уравнения [ править ]

Экспоненциальное уравнение - это уравнение, имеющее форму для , ^{[38] и} имеющее решение${\displaystyle a^{x}=b}$${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle X=\log _{a}b={\frac {\ln b}{\ln a}}}$

когда . Элементарные алгебраические методы используются, чтобы переписать данное уравнение указанным выше способом, прежде чем прийти к решению. Например, если${\displaystyle b>0}$

${\displaystyle 3\cdot 2^{x-1}+1=10}$

затем, вычитая 1 из обеих частей уравнения, а затем разделив обе части на 3, получим

${\displaystyle 2^{x-1}=3}$

откуда

${\displaystyle x-1=\log _{2}3}$

или же

${\displaystyle x=\log _{2}3+1.}$

Логарифмическое уравнение - это уравнение вида для , которое имеет решение${\displaystyle log_{a}(x)=b}$${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle X=a^{b}.}$

Например, если

${\displaystyle 4\log _{5}(x-3)-2=6}$

затем, добавив 2 к обеим сторонам уравнения, а затем разделив обе части на 4, мы получим

${\displaystyle \log _{5}(x-3)=2}$

откуда

${\displaystyle x-3=5^{2}=25}$

откуда получаем

${\displaystyle x=28.}$

Радикальные уравнения [ править ]

${\displaystyle {\overset {}{\underset {}{{\sqrt[{2}]{x^{3}}}\equiv x^{\frac {3}{2}}}}}}$

Радикальное уравнение, показывающее два способа представления одного и того же выражения. Тройная полоса означает, что уравнение верно для всех значений x.

Радикальное уравнение является тот , который включает в себя радикальный знак, который включает в себя квадратные корни , кубические корни , и п - е корней , . Напомним, что корень n- й степени можно переписать в экспоненциальном формате, так что это эквивалентно . В сочетании с регулярными показателями (степенями), то (квадратный корень из x в кубе) можно переписать как . ^[39] Таким образом, обычная форма радикального уравнения (эквивалентна ), где m и n - целые числа . У него есть реальное решение (я):${\displaystyle {\sqrt {x}},}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle x^{\frac {1}{n}}}$${\displaystyle {\sqrt[{2}]{x^{3}}}}$${\displaystyle x^{\frac {3}{2}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x^{m}}}=a}$${\displaystyle x^{\frac {m}{n}}=a}$

n нечетное	n четное и${\displaystyle a\geq 0}$	п и т являются даже и ${\displaystyle a<0}$	п четно, т нечетно , и ${\displaystyle a<0}$
${\displaystyle x={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$ эквивалентно ${\displaystyle x=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}}$	${\displaystyle x=\pm {\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$ эквивалентно ${\displaystyle x=\pm \left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}}$	${\displaystyle x=\pm {\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$	нет реального решения

Например, если:

${\displaystyle (x+5)^{2/3}=4}$

тогда

${\displaystyle {\begin{aligned}x+5&=\pm ({\sqrt {4}})^{3},\\x+5&=\pm 8,\\x&=-5\pm 8,\end{aligned}}}$

и поэтому

${\displaystyle x=3\quad {\text{or}}\quad x=-13}$

Система линейных уравнений [ править ]

Существуют разные методы решения системы линейных уравнений с двумя переменными.

Метод устранения [ править ]

Множество решений для уравнений и представляет собой единую точку (2, 3).${\displaystyle x-y=-1}$${\displaystyle 3x+y=9}$

Пример решения системы линейных уравнений - использование метода исключения:

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y&=14\\2x-y&=1.\end{cases}}}$

Умножив члены во втором уравнении на 2:

${\displaystyle 4x+2y=14}$

${\displaystyle 4x-2y=2.}$

Сложив два уравнения вместе, мы получим:

${\displaystyle 8x=16}$

что упрощает

${\displaystyle x=2.}$

Поскольку этот факт известен, можно вывести, что с помощью любого из двух исходных уравнений (используя 2 вместо x ). Полное решение этой проблемы тогда${\displaystyle x=2}$${\displaystyle y=3}$

${\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}}$

Это не единственный способ решить эту конкретную систему; y мог быть разрешен до x .

Метод подстановки [ править ]

Другой способ решения той же системы линейных уравнений - подстановка.

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y&=14\\2x-y&=1.\end{cases}}}$

Эквивалент для y можно вывести с помощью одного из двух уравнений. Используя второе уравнение:

${\displaystyle 2x-y=1}$

Вычитая из каждой части уравнения:${\displaystyle 2x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2x-2x-y&=1-2x\\-y&=1-2x\end{aligned}}}$

и умножив на -1:

${\displaystyle y=2x-1.}$

Используя это значение y в первом уравнении исходной системы:

${\displaystyle {\begin{aligned}4x+2(2x-1)&=14\\4x+4x-2&=14\\8x-2&=14\end{aligned}}}$

Добавляем по 2 с каждой стороны уравнения:

${\displaystyle {\begin{aligned}8x-2+2&=14+2\\8x&=16\end{aligned}}}$

что упрощает

${\displaystyle x=2}$

Используя это значение в одном из уравнений, получается то же решение, что и в предыдущем методе.

${\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}}$

Это не единственный способ решить эту конкретную систему; и в этом случае y могло быть решено до x .

Другие типы систем линейных уравнений [ править ]

Несогласованные системы [ править ]

Уравнения и параллельны, не могут пересекаться и неразрешимы.${\displaystyle 3x+2y=6}$${\displaystyle 3x+2y=12}$

В приведенном выше примере решение существует. Однако есть и системы уравнений, не имеющие решения. Такая система называется несовместимой . Очевидный пример:

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}x+y&=1\\0x+0y&=2\,.\end{aligned}}\end{cases}}}$

При 0 2 второе уравнение системы не имеет решения. Следовательно, у системы нет решения. Однако не все несовместимые системы распознаются с первого взгляда. В качестве примера рассмотрим систему

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}4x+2y&=12\\-2x-y&=-4\,.\end{aligned}}\end{cases}}}$

Умножение на 2 обеих частей второго уравнения и прибавление их к первому дает

${\displaystyle 0x+0y=4\,,}$

который явно не имеет решения.

Неопределенные системы [ править ]

Существуют также системы, которые имеют бесконечно много решений, в отличие от системы с уникальным решением (то есть уникальной парой значений для x и y ). Например:

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}4x+2y&=12\\-2x-y&=-6\end{aligned}}\end{cases}}}$

Выделение y во втором уравнении:

${\displaystyle y=-2x+6}$

И используя это значение в первом уравнении системы:

${\displaystyle {\begin{aligned}4x+2(-2x+6)=12\\4x-4x+12=12\\12=12\end{aligned}}}$

Равенство верно, но оно не дает значения для x . В самом деле, можно легко проверить (просто подставив некоторые значения x ), что для любого x существует решение до тех пор, пока . Для этой системы существует бесконечное множество решений.${\displaystyle y=-2x+6}$

Сверх- и недоопределенные системы [ править ]

Системы с большим количеством переменных, чем количество линейных уравнений, называются недоопределенными . Такая система, если у нее есть какие-то решения, не однозначна, а бесконечна. Пример такой системы:

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}x+2y&=10\\y-z&=2.\end{aligned}}\end{cases}}}$

Пытаясь решить эту проблему, один вынужден выразить некоторые переменные как функции других, если какие-либо решения существуют, но не может выразить все решения численно, потому что их бесконечное количество, если они есть.

Система с большим числом уравнений, чем количество переменных, называется переопределенной . Если переопределенная система имеет какие-либо решения, обязательно некоторые уравнения являются линейными комбинациями других.

См. Также [ править ]

• История элементарной алгебры
• Бинарная операция
• Гауссово исключение
• Математическое образование
• Числовая строка
• Полиномиальный
• Отмена
• Проблема алгебры средней школы Тарского

Ссылки [ править ]

• Леонард Эйлер , Элементы алгебры , 1770. Английский перевод Tarquin Press , 2007, ISBN 978-1-899618-79-8 , а также онлайн-оцифрованные издания ^[40] 2006, ^[41] 1822.  
• Чарльз Смит, Трактат по алгебре , в исторических математических монографиях библиотеки Корнельского университета .
• Редден, Джон. Элементарная алгебра . Знание о плоском мире, 2011

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с элементарной алгеброй на Викискладе?