В математике , операция является функцией , которая принимает ноль или более входных значений (называемых операнды ) к определенному значению выходного сигнала. [1] Количество операндов - это арность операции.
Наиболее часто изучаемые операции - это бинарные операции (т. Е. Операции арности 2), такие как сложение и умножение , и унарные операции (т. Е. Операции арности 1), такие как аддитивная обратная и мультипликативная обратная . Операция с нулевой арностью, или операция с нулевым значением , является константой . [2] [3] смешанный продукт представляет собой пример операции арности 3, также называемой троичной операции .
Обычно арность считается конечной. Однако иногда рассматриваются бесконечные операции [2], и в этом случае «обычные» операции конечной арности называются финитарными операциями .
Частичная операция определяется аналогично операции, но с частичной функцией вместо функции.
Виды операции
Есть два распространенных типа операций: унарные и двоичные . [1] Унарные операции включают только одно значение, например отрицание и тригонометрические функции . [4] Бинарные операции, с другой стороны, принимают два значения и включают в себя сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степень . [5]
Операции могут включать математические объекты, отличные от чисел. Эти логические значения истинные и ложные могут быть объединены с помощью логических операций , таких , как и , или, а не . Векторы можно складывать и вычитать. [6] Повороты можно комбинировать с помощью операции композиции функций , выполняя первое вращение, а затем второе. Операции над множествами включают бинарные операции объединения и пересечения, а также унарную операцию дополнения . [7] [8] [9] Операции с функциями включают композицию и свертку . [10] [11] [12]
Операции не могут быть определены для всех возможных значений его домена . Например, в действительных числах нельзя делить на ноль [13] или извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Значения, для которых определена операция, образуют набор, называемый ее областью определения или активной областью . Набор, который содержит полученные значения, называется кодоменом , но набор фактических значений, достигнутых операцией, является его кодоменом определения, активным кодоменом, изображением или диапазоном . [14] Например, в действительных числах операция возведения в квадрат производит только неотрицательные числа; codomain - это набор действительных чисел, но диапазон - это неотрицательные числа.
В операциях могут использоваться разные объекты: вектор может быть умножен на скаляр, чтобы сформировать другой вектор (операция, известная как скалярное умножение ), [15], а операция внутреннего произведения двух векторов дает скалярную величину. [16] [17] Операция может иметь или не иметь определенные свойства, например, она может быть ассоциативной , коммутативной , антикоммутативной , идемпотентной и т. Д. [1]
Объединенные значения называются операндами , аргументами или входами , а полученное значение называется значением , результатом или выходом . Операции могут иметь меньше или больше двух входов (включая случай нулевого входа и бесконечного количества входов [2] ).
Оператор похож на операцию в том , что она относится к символу или процесс , используемый для обозначения операции, [12] , следовательно , их точка зрения отличается. Например, часто говорят о «операции сложения» или «операции сложения», когда сосредотачиваются на операндах и результате, но переключаются на «оператор сложения» (редко «оператор сложения»), когда сосредотачиваются на процессе. или от более символической точки зрения, функция +: Х × Х → Х .
Определение
П -ичный операция ω из X 1 , ..., X п до Y является функцией ω : X 1 × ... × X п → Y . Множество X 1 ×… × X n называется областью действия, множество Y называется областью области действия, а фиксированное неотрицательное целое число n (количество операндов) называется арностью операции. Таким образом, унарная операция имеет арность один, а бинарная операция - два. [1] Операция арности нуля, называется нульарная операцией, это просто элемент области значений Y . П -ичная операция может также рассматриваться как ( п + 1) -ичные связи , которая является общим на своем п входных доменов и уникальном на своем выходном домене.
П -ичный частичная операция ω из X 1 , ..., Х п до Y является частичной функцией ω : X 1 × ... × Х п → Y . П -ичная частичная операция может также рассматриваться как ( п + 1) -ичные связи , которая является уникальной на его выходном домене.
Вышеупомянутое описывает то, что обычно называют финитарной операцией , имея в виду конечное число операндов (значение n ). Существуют очевидные расширения, в которых арность берется как бесконечный порядковый или кардинальный , [2] или даже произвольный набор, индексирующий операнды.
Часто использование термина операция подразумевает, что область определения функции включает в себя степень кодомена (то есть декартово произведение одной или нескольких копий кодомена) [18], хотя это ни в коем случае не универсально, как в случай скалярного произведения , когда векторы умножаются и в результате получается скаляр. П -ичный операция ω : Х п → Х называется внутренние операции . П -ичный операция ω : X я × S × Х п - я - 1 → X , где 0 ≤ я < п называется внешнее управление с помощью скалярного множества или множества оператора S . В частности , для двоичной операции, ω : S × X → X называется лево-внешнее управление с помощью S и ω : X × S → X называется правой кнопкой внешнее управление с помощью S . Примером внутренней операции является сложение векторов , когда два вектора складываются и в результате получается вектор. Примером внешней операции является скалярное умножение , когда вектор умножается на скаляр и в результате получается вектор.
Смотрите также
- Финитарное отношение
- Гипероперация
- Оператор
- Порядок операций
Рекомендации
- ^ a b c d "Окончательный словарь высшего математического жаргона - Операция" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 10 декабря 2019 .
- ^ а б в г «Алгебраические операции - математическая энциклопедия» . www.encyclopediaofmath.org . Проверено 10 декабря 2019 .
- ^ ДеМео, Уильям (26 августа 2010 г.). «Универсальные примечания по алгебре» (PDF) . math.hawaii.edu . Проверено 9 декабря 2019 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Унарная операция» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Двоичная операция» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Вектор» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 .
Векторы можно складывать (сложение векторов), вычитать (вычитание векторов) ...
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Союз» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Пересечение» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Дополнение» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Композиция» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Свертка» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 .
- ^ а б «Сборник математических символов: операторы» . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 8 августа 2020 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Деление на ноль» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Домен» . mathworld.wolfram.com . Проверено 8 августа 2020 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Скалярное умножение» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 .
- ^ Джайн, ПК; Ахмад, Халил; Ахуджа, Ом П. (1995). Функциональный анализ . Нью Эйдж Интернэшнл. ISBN 978-81-224-0801-0.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Внутренний продукт» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 .
- ^ Беррис, SN; Санкаппанавар, HP (1981). «Глава II, Определение 1.1». Курс универсальной алгебры . Springer.