Частичная функция

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Август 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Функция
$х \mapsto е (х)$
Примеры по домену и кодомену
$X$ → $B,$ $B$ → $X,$ $B n$ → $B$ $X$ → $Z,$ $Z$ → $X$ $X$ → $R,$ $R$ → $X,$ $R n$ → $X$ $X$ → $C,$ $C$ → $X,$ $C n$ → $X$
Классы / свойства
Постоянный Личность Линейный Полиномиальный Рациональный Алгебраический Аналитический Гладкий Непрерывный Измеримый Инъекционный Сюръективный Биективный
Конструкции
Ограничение Сочинение λ Обратный
Обобщения
Частичное Многозначный Скрытый
v т е

В математике , А частичная функция $F$ от множества $X$ до множества $Y$ является функцией от подмножества $S$ из $X$ (возможно , $Х$ сам по себе) в $Y$ . Подмножество $S$ , то есть домен из $F$ рассматривается как функция, называется областью определения из $F$ . Если $S$ равно $X$ , частичная функция называется полной .

С технической точки зрения , частичная функция - это бинарное отношение между двумя наборами, которое связывает каждый элемент первого набора не более чем с одним элементом второго набора; таким образом, это функциональное бинарное отношение . Он обобщает концепцию функции , не требуя, чтобы каждый элемент первого набора был связан ровно с одним элементом второго набора.

Частичная функция часто используется, когда ее точная область определения неизвестна или ее трудно определить. Так обстоит дело в исчислении , где, например, частное двух функций является частичной функцией, область определения которой не может содержать нули знаменателя. По этой причине в исчислении и, в более общем смысле, в математическом анализе частичная функция обычно называется просто функцией . В теории вычислимости , А вообще рекурсивная функция является частичной функцией от целых чисел до целых чисел; для многих из них не может существовать никакого алгоритма определения того, являются ли они на самом деле тотальными.

Когда стрелка обозначения используется для выполнения функций, частичная функция $F$ от $X$ к $Y$ иногда записывается как $F : X ⇸ Y$ , $ф : X ↛ Y$ или $F : X ↪ Y$ . Однако общего соглашения нет, и последнее обозначение чаще используется для инъективных функций . ^{[ необходима цитата ]} .

В частности, для частичной функции $f : X ⇸ Y$ и любого $x \in X$ выполняется либо:

$f (x) = y \in Y$ (это единственный элемент в $Y$ ), или
$f (x)$ не определено.

Например, если $f$ - функция извлечения квадратного корня, ограниченная целыми числами

f : Z \to Z

, определяемый:

f (n) = m

тогда и только тогда, когда

m 2 = n

для всех

m, n \in Z

,

тогда $f (n)$ определяется, только если $n$ - полный квадрат (то есть $0, 1, 4, 9, 16,\dots$ ). Итак, $f (25) = 5$ , но $f (26)$ не определено.

Основные понятия [ править ]

Пример инъективной частичной функции .

Пример функции, которая не является инъективной.

Частичная функция называется инъективной , сюръективной или биективной, если функция, заданная ограничением частичной функции на область определения, является инъективной, сюръективной, биективной соответственно.

Поскольку функция тривиально сюръективна, если ограничена ее образом, термин частичная биекция обозначает частичную функцию, которая является инъективной. ^[1]

Инъективная частичная функция может быть обращена в инъективную частичную функцию, а частичная функция, которая является одновременно инъективной и сюръективной, имеет инъективную функцию как обратную. Кроме того, инъективная функция может быть преобразована в инъективную частичную функцию.

Понятие преобразования также может быть обобщено на частичные функции. Частичное преобразование является функцией $F : ⇸ Б$ , где оба и $B$ является подмножеством некоторого множества $X$ . ^[1]

Функция [ править ]

Функция представляет собой бинарное отношение , что является функциональным (также называемым правым уникальным) и последовательным (также называемым левым всего). Это более сильное определение, чем определение частичной функции, которое требует только функционального свойства.

Функциональные пространства [ править ]

Множество всех частичных функций f : X ⇸ Y из множества X в множество Y , обозначаемое [ X ⇸ Y ] , является объединением всех функций, определенных на подмножествах X с той же областью области Y :

{\ displaystyle [X \ not \ to Y] = \ bigcup _ {D \ substeq {X}} [D \ to Y],}

последний также записывается как . В конечном случае его мощность равна ${\ displaystyle \ bigcup \ limits _ {D \ substeq {X}} Y ^ {D}}$

{\ Displaystyle | [Х \ не \ к Y] | = (| Y | +1) ^ {| X |},}

поскольку любая частичная функция может быть расширена до функции любым фиксированным значением c, не содержащимся в Y , так что область значений равна Y ∪ { c }, операция, которая является инъективной (уникальной и обратимой по ограничению).

Обсуждение и примеры [ править ]

Первая диаграмма в верхней части статьи представляет собой частичную функцию, которая не является функцией, поскольку элемент 1 в левом наборе не связан ни с чем в правом наборе. Принимая во внимание, что вторая диаграмма представляет функцию, поскольку каждый элемент в левом наборе связан ровно с одним элементом в правом наборе.

Натуральный логарифм [ править ]

Рассмотрим функцию натурального логарифма, отображающую действительные числа в самих себя. Логарифм неположительного действительного числа не является действительным числом, поэтому функция натурального логарифма не связывает какое-либо действительное число в кодомене с каким-либо неположительным действительным числом в домене. Следовательно, функция натурального логарифма не является функцией, если рассматривать ее как функцию от вещественных чисел к себе, но это частичная функция. Если область ограничена включением только положительных действительных чисел (то есть, если функция натурального логарифма рассматривается как функция от положительных действительных чисел к действительным числам), то натуральный логарифм является функцией.

Вычитание натуральных чисел [ править ]

Вычитание натуральных чисел (неотрицательных целых чисел ) можно рассматривать как частичную функцию:

{\ displaystyle f: \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N} \ not \ to \ mathbb {N}}

{\ displaystyle f (x, y) = xy.}

Определяется только тогда, когда . ${\ displaystyle x \ geq y}$

Нижний элемент [ править ]

В денотационной семантике частичная функция считается возвращающей нижний элемент, если он не определен.

В информатике частичная функция соответствует подпрограмме, которая вызывает исключение или зацикливается навсегда. Стандарт IEEE с плавающей запятой определяет не-числовое значение, которое возвращается, когда операция с плавающей запятой не определена и исключения подавляются, например, когда запрашивается квадратный корень из отрицательного числа.

В языке программирования, где параметры функции статически типизированы , функция может быть определена как частичная функция, потому что система типов языка не может выразить точную область действия функции, поэтому программист вместо этого дает ей наименьшую область, которая может быть выражена как тип и содержит область определения функции.

В теории категорий [ править ]

В теории категорий при рассмотрении операции композиции морфизма в конкретных категориях операция композиции является функцией тогда и только тогда, когда имеет один элемент. Причина этого заключается в том, что два морфизма и могут быть составлены только так, как если бы , то есть кодомен of должен равняться домену . $\circ :\operatorname {hom} (C)\times \operatorname {hom} (C)\to \operatorname {hom} (C)$ $\operatorname {ob} (C)$ $f:X\to Y$ $g:U\to V$ $g\circ f$ $Y=U$ $f$ $g$

Категория множеств и частичных функций эквивалентна, но не изоморфна категории отмеченных множеств и сохраняющих точки отображений. ^{[2] В} одном учебнике отмечается, что «это формальное завершение множеств и частичных отображений путем добавления« несобственных »,« бесконечных »элементов переизобреталось много раз, в частности, в топологии ( одноточечная компактификация ) и в теоретической информатике ». ^[3]

Категория множеств и частичных биекций эквивалентна своей двойственной . ^[4] Это типичная обратная категория . ^[5]

В абстрактной алгебре [ править ]

Частичная алгебра обобщает понятие универсальной алгебры на частичные операции . Примером может служить поле , в котором мультипликативная инверсия является единственной правильной частичной операцией (поскольку деление на ноль не определено). ^[6]

Множество всех частичных функций (частичных преобразований ) на заданном базовом наборе, X , образует регулярную полугруппу, называемую полугруппой всех частичных преобразований (или полугруппой частичных преобразований на X ), обычно обозначаемую . ^[7]^[8]^[9] Множество всех частичных биекций на X образует симметричную обратную полугруппу . ^[7]^[8] ${\mathcal {PT}}_{X}$

Карты и атласы для многообразий и пучков волокон [ править ]

Графики в атласах, которые определяют структуру многообразий и расслоений, являются частичными функциями. В случае многообразий область представляет собой точечное множество многообразия. В случае расслоений, область - это пространство расслоения. В этих приложениях наиболее важной конструкцией является карта переходов , которая представляет собой композицию одной диаграммы с инверсией другой. Первоначальная классификация многообразий и расслоений в значительной степени выражается в терминах ограничений на эти отображения переходов.

Причина использования частичных функций вместо функций состоит в том, чтобы разрешить представление общих глобальных топологий путем сшивания локальных патчей для описания глобальной структуры. «Патчи» - это области, в которых определены диаграммы.

См. Также [ править ]

Аналитическое продолжение - Расширение области определения аналитической функции (математика)
Многозначная функция - Обобщение функции, которая может производить несколько выходов для каждого входа.
Плотно определенный оператор - функция, которая определена почти везде (математика)

Ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме частичного сопоставления .

^ a b Кристофер Холлингс (2014). Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп . Американское математическое общество. п. 251. ISBN. 978-1-4704-1493-1.
^ Lutz Schröder (2001). «Категории: бесплатный тур». В Юргене Кословски и Остине Мелтоне (ред.). Категориальные перспективы . Springer Science & Business Media. п. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3.
^ Нил Коблицы; Б. Зильбер; Ю. И. Манин (2009). Курс математической логики для математиков . Springer Science & Business Media. п. 290. ISBN 978-1-4419-0615-1.
^ Фрэнсис Борсё (1994). Справочник категориальной алгебры: Том 2, Категории и структуры . Издательство Кембриджского университета. п. 289. ISBN. 978-0-521-44179-7.
^ Марко Грандис (2012). Гомологическая алгебра: взаимодействие гомологий с дистрибутивными решетками и ортодоксальными полугруппами . World Scientific. п. 55. ISBN 978-981-4407-06-9.
↑ Питер Бурмейстер (1993). «Частные алгебры - вводный обзор». В Иво Г. Розенберге; Герт Сабидусси (ред.). Алгебры и порядки . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-7923-2143-9.
^ a b Альфред Хоблитцель Клиффорд; Г. Б. Престон (1967). Алгебраическая теория полугрупп. Том II . American Mathematical Soc. п. xii. ISBN 978-0-8218-0272-4.
^ a b Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Oxford University Press, Incorporated. п. 4. ISBN 978-0-19-853577-5.
↑ Александр Ганюшкин; Владимир Мазорчук (2008). Классические полугруппы конечных преобразований: Введение . Springer Science & Business Media. стр. 16 и 24. ISBN 978-1-84800-281-4.

Мартин Дэвис (1958), « Вычислимость и неразрешимость» , McGraw – Hill Book Company, Inc., Нью-Йорк. Переиздано Dover в 1982 году. ISBN 0-486-61471-9 .
Стивен Клини (1952), Введение в мета-математику , издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам, Нидерланды, 10-е издание с исправлениями, внесенными в 7-е издание (1974). ISBN 0-7204-2103-9 .
Гарольд С. Стоун (1972), Введение в компьютерную организацию и структуры данных , McGraw – Hill Book Company, Нью-Йорк.

[Hollings2014-251-1] Кристофер Холлингс (2014). Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп . Американское математическое общество. п. 251. ISBN. 978-1-4704-1493-1.

[KoslowskiMelton2001-2] Lutz Schröder (2001). «Категории: бесплатный тур». В Юргене Кословски и Остине Мелтоне (ред.). Категориальные перспективы . Springer Science & Business Media. п. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3.

[KoblitzZilber2009-3] Нил Коблицы; Б. Зильбер; Ю. И. Манин (2009). Курс математической логики для математиков . Springer Science & Business Media. п. 290. ISBN 978-1-4419-0615-1.

[Borceux1994-4] Фрэнсис Борсё (1994). Справочник категориальной алгебры: Том 2, Категории и структуры . Издательство Кембриджского университета. п. 289. ISBN. 978-0-521-44179-7.

[Grandis2012-5] Марко Грандис (2012). Гомологическая алгебра: взаимодействие гомологий с дистрибутивными решетками и ортодоксальными полугруппами . World Scientific. п. 55. ISBN 978-981-4407-06-9.

[RosenbergSabidussi1993-6] Питер Бурмейстер (1993). «Частные алгебры - вводный обзор». В Иво Г. Розенберге; Герт Сабидусси (ред.). Алгебры и порядки . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-7923-2143-9.

[CliffordPreston1967-7] Альфред Хоблитцель Клиффорд; Г. Б. Престон (1967). Алгебраическая теория полугрупп. Том II . American Mathematical Soc. п. xii. ISBN 978-0-8218-0272-4.

[Higgins1992-8] Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Oxford University Press, Incorporated. п. 4. ISBN 978-0-19-853577-5.

[GanyushkinMazorchuk2008-9] Александр Ганюшкин; Владимир Мазорчук (2008). Классические полугруппы конечных преобразований: Введение . Springer Science & Business Media. стр. 16 и 24. ISBN 978-1-84800-281-4.