Алгебраическая функция

В математике , алгебраическая функция является функцией , которая может быть определена как корень из более полиномиального уравнения . Довольно часто алгебраические функции представляют собой алгебраические выражения с использованием конечного числа членов, включающие только алгебраические операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в дробную степень. Примеры таких функций:

• ${\ Displaystyle f (x) = 1 / x}$
• ${\ displaystyle f (x) = {\ sqrt {x}}}$
• ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {\ sqrt {1 + x ^ {3}}} {x ^ {3/7} - {\ sqrt {7}} x ^ {1/3}}}}$

Однако некоторые алгебраические функции не могут быть выражены такими конечными выражениями (это теорема Абеля – Руффини ). Так обстоит дело, например, с радикалом Бринга , который является функцией, неявно определяемой формулой

${\ Displaystyle е (х) ^ {5} + е (х) + х = 0}$.

Точнее говоря, алгебраическая функция степени n от одной переменной x - это функция , непрерывная в своей области определения и удовлетворяющая полиномиальному уравнению${\ Displaystyle у = е (х),}$

${\ displaystyle a_ {n} (x) y ^ {n} + a_ {n-1} (x) y ^ {n-1} + \ cdots + a_ {0} (x) = 0}$

где коэффициенты a _i ( x ) являются полиномиальными функциями от x с целыми коэффициентами. Можно показать, что тот же класс функций получается, если в качестве коэффициентов при a _i ( x ) принимать алгебраические числа . Если в коэффициентах встречаются трансцендентные числа, функция, вообще говоря, не алгебраическая, а алгебраическая над полем, порожденным этими коэффициентами.

Значение алгебраической функции в рациональном числе и, в более общем смысле, в алгебраическом числе всегда является алгебраическим числом. Иногда рассматриваются коэффициенты , полиномиальные над кольцом R , а затем говорят о «функциях, алгебраических над R ».${\ Displaystyle а_ {я} (х)}$

Функция, которая не является алгебраической, называется трансцендентной функцией , как, например, в случае . Композиция трансцендентных функций может дать алгебраическую функцию: .${\ Displaystyle \ ехр х, \ загар х, \ пер х, \ гамма (х)}$${\ Displaystyle е (х) = \ соз \ arcsin х = {\ sqrt {1-х ^ {2}}}}$

Поскольку полиномиальное уравнение степени n имеет до n корней (и ровно n корней над алгебраически замкнутым полем , таким как комплексные числа ), полиномиальное уравнение неявно определяет одну функцию, но до n функций, иногда также называемых ветви . Рассмотрим, например, уравнение единичной окружности : Это определяет у , за исключением только до общего знака; соответственно, у него есть две ветви:${\ Displaystyle у ^ {2} + х ^ {2} = 1. \,}$${\ displaystyle y = \ pm {\ sqrt {1-x ^ {2}}}. \,}$

Алгебраическая функция в т переменных аналогично определяется как функция , которая решает полиномиальное уравнение т  + 1 переменных:${\ Displaystyle у = е (х_ {1}, \ точки, х_ {м})}$

${\ displaystyle p (y, x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {m}) = 0.}$

Обычно предполагается, что p должен быть неприводимым многочленом . Тогда существование алгебраической функции гарантируется теоремой о неявной функции .

Формально алгебраическая функция от m переменных над полем K является элементом алгебраического замыкания поля рациональных функций K ( x ₁ , ...,  x _m ).

Алгебраические функции от одной переменной [ править ]

Введение и обзор [ править ]

Неформальное определение алгебраической функции дает ряд подсказок об их свойствах. Чтобы получить интуитивное понимание, может быть полезно рассматривать алгебраические функции как функции, которые могут быть образованы с помощью обычных алгебраических операций : сложения , умножения , деления и извлечения корня n- й степени . Это что-то вроде чрезмерного упрощения; в силу основной теоремы теории Галуа алгебраические функции не обязательно выражаются радикалами.

Во-первых, обратите внимание, что любая полиномиальная функция является алгебраической функцией, поскольку это просто решение y уравнения${\ Displaystyle у = п (х)}$

${\ displaystyle yp (x) = 0. \,}$

В более общем плане любая рациональная функция является алгебраической, являясь решением${\ Displaystyle у = {\ гидроразрыва {п (х)} {д (х)}}}$

${\ displaystyle q (x) yp (x) = 0.}$

Более того, корень n- й степени любого многочлена является алгебраической функцией, решающей уравнение${\displaystyle y={\sqrt[{n}]{p(x)}}}$

${\displaystyle y^{n}-p(x)=0.}$

Удивительно, но функция, обратная к алгебраической функции, является алгебраической функцией. Для предположения, что y является решением

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+\cdots +a_{0}(x)=0,}$

для каждого значения x , тогда x также является решением этого уравнения для каждого значения y . Действительно, меняя ролями x и y и собирая термины,

${\displaystyle b_{m}(y)x^{m}+b_{m-1}(y)x^{m-1}+\cdots +b_{0}(y)=0.}$

Запись x как функции от y дает обратную функцию, также являющуюся алгебраической функцией.

Однако не у каждой функции есть обратная. Например, y  =  x ² не проходит тест горизонтальной линии : он не может быть взаимно однозначным . Обратное - алгебраическая «функция» . Другой способ понять это состоит в том, что множество ветвей полиномиального уравнения, определяющего нашу алгебраическую функцию, является графиком алгебраической кривой .${\displaystyle x=\pm {\sqrt {y}}}$

Роль комплексных чисел [ править ]

С алгебраической точки зрения комплексные числа вполне естественно входят в изучение алгебраических функций. Прежде всего, по основной теореме алгебры комплексные числа представляют собой алгебраически замкнутое поле . Следовательно, любое полиномиальное отношение p ( y ,  x ) = 0 гарантированно будет иметь по крайней мере одно решение (и, как правило, количество решений, не превышающих степени p по y ) для y в каждой точке x , при условии, что мы позволим y принять комплексные, а также реальные ценности. Таким образом, проблемы с доменом алгебраической функции можно безопасно минимизировать.

Более того, даже если кто-то в конечном итоге заинтересован в реальных алгебраических функциях, может не быть способа выразить функцию в терминах сложения, умножения, деления и извлечения корней n-й степени, не прибегая к комплексным числам (см. Casus unducibilis ). Например, рассмотрим алгебраическую функцию, определяемую уравнением

${\displaystyle y^{3}-xy+1=0.\,}$

Используя кубическую формулу , получаем

${\displaystyle y=-{\frac {2x}{\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}{6}}.}$

Поскольку квадратный корень является действительным, и, таким образом, кубический корень хорошо определен, обеспечивая единственный действительный корень. С другой стороны, квадратный корень не является действительным, и для получения квадратного корня нужно выбрать либо не действительный квадратный корень. Таким образом, кубический корень нужно выбрать среди трех нереальных чисел. Если в двух членах формулы делается одинаковый выбор, то три варианта для кубического корня дают три ветви, показанные на сопроводительном изображении.${\displaystyle x\leq {\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},}$${\displaystyle x>{\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},}$

Можно доказать, что нет способа выразить эту функцию в терминах корней n-й степени, используя только действительные числа, даже несмотря на то, что результирующая функция является действительной в области определения графа.

На более значительном теоретическом уровне использование комплексных чисел позволяет использовать мощные методы комплексного анализа для обсуждения алгебраических функций. В частности, принцип аргумента может использоваться, чтобы показать, что любая алгебраическая функция на самом деле является аналитической функцией , по крайней мере, в многозначном смысле.

Формально, пусть p ( x ,  y ) - комплексный многочлен от комплексных переменных x и y . Предположим, что x ₀  ∈  C таков, что многочлен p ( x ₀ ,  y ) от y имеет n различных нулей. Покажем , что алгебраическая функция является аналитической в окрестности от х ₀ . Выберите систему из n неперекрывающихся дисков Δ _i, содержащих каждый из этих нулей. Тогда по принципу аргумента

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}{\frac {p_{y}(x_{0},y)}{p(x_{0},y)}}\,dy=1.}$

По непрерывности это также верно для всех x в окрестности x ₀ . В частности, p ( x ,  y ) имеет только один корень в Δ _i , задаваемый теоремой о вычетах :

${\displaystyle f_{i}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}y{\frac {p_{y}(x,y)}{p(x,y)}}\,dy}$

которая является аналитической функцией.

Монодромия [ править ]

Обратите внимание , что приведенное выше доказательство аналитичности получено выражение для системы п различных элементов функции F _I ( х ), при условии , что х не является критической точкой из р ( х ,  у ). Критическая точка является точкой , где число различных нулей меньше , чем степень р , и это происходит только тогда, когда самый высокая степень члена р обращается в нуль, а где дискриминантный обращается в нуле. Следовательно, таких точек c ₁ , ...,  c _m конечное число.

Тщательный анализ свойств функциональных элементов F _I вблизи критических точек может быть использован , чтобы показать , что Монодромия крышка имеет разветвленное над критическими точками (и , возможно, точка на бесконечности ). Таким образом, голоморфное расширение f _i имеет в худшем случае алгебраические полюсы и обычные алгебраические ветвления над критическими точками.

Обратите внимание, что вне критических точек мы имеем

${\displaystyle p(x,y)=a_{n}(x)(y-f_{1}(x))(y-f_{2}(x))\cdots (y-f_{n}(x))}$

так как f _i по определению являются различными нулями p . Группа монодромии действует перестановкой сомножителей, и таким образом формирует монодромию представление о группе Галуа из р . (Действие монодромии на универсальном накрывающем является родственным, но другим понятием в теории римановых поверхностей.)

История [ править ]

Идеи, связанные с алгебраическими функциями, восходят, по крайней мере, к Рене Декарту . Первое обсуждение алгебраических функций, по-видимому, было в « Очерке принципов человеческого знания» Эдварда Уоринга 1794 года, в котором он пишет:

Пусть величина, обозначающая ординату, будет алгебраической функцией абсциссы x , с помощью обычных методов деления и извлечения корней, сведем ее в бесконечный ряд по возрастанию или убыванию в соответствии с размерностями x , а затем найдем интеграл каждого итоговых условий.

См. Также [ править ]

• Алгебраическое выражение
• Аналитическая функция
• Комплексная функция
• Элементарная функция
• Функция (математика)
• Обобщенная функция
• Список специальных функций и эпонимов
• Список типов функций
• Полиномиальный
• Рациональная функция
• Специальные функции
• Трансцендентальная функция

Ссылки [ править ]

• Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ . Макгроу Хилл.
• ван дер Варден, Б.Л. (1931). Современная алгебра, Том II . Springer.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с алгебраическими функциями .

• Определение «алгебраической функции» в энциклопедии математики
• Вайсштейн, Эрик В. "Алгебраическая функция" . MathWorld .
• Алгебраическая функция в PlanetMath .
• Определение «алгебраической функции» в Интернет-энциклопедии науки Дэвида Дж. Дарлинга