Степень полинома

В математике , то степень из полинома является самым высоким из степеней полинома по одночленов (индивидуальные условия) с ненулевыми коэффициентами. Степень термина является суммой показателей степеней переменных , которые появляются в нем, и , таким образом , представляет собой неотрицательное целое число . Для одномерного многочлена степень многочлена - это просто наивысший показатель степени, встречающийся в многочлене. ^{[1] [2]} Термин « порядок » использовался как синоним степени, но в настоящее время может относиться к нескольким другим концепциям (см.порядок полинома (значения) ).

Например, многочлен, который также можно записать как, имеет три члена. Первый член имеет степень 5 (сумма степеней 2 и 3), второй член имеет степень 1, а последний член имеет степень 0. Следовательно, многочлен имеет степень 5, что является высшая степень любого срока.${\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x-9,}$${\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0},}$

Чтобы определить степень многочлена, не имеющего стандартной формы, например , можно преобразовать его в стандартную форму, расширив произведения (по распределенности ) и комбинируя аналогичные термины; например, имеет степень 1, даже если каждое слагаемое имеет степень 2. Однако в этом нет необходимости, если многочлен записан как произведение многочленов в стандартной форме, поскольку степень произведения - это сумма степеней факторы.${\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}}$${\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x}$

Имена многочленов по степени [ править ]

Посмотрите Приложение: Степени полиномов английского языка в Викисловаре, бесплатном словаре.

Следующие имена присваиваются полиномам в соответствии с их степенью: ^{[3] [4] [5] [2]}

• Частный случай - ноль (см. § Степень нулевого многочлена ниже)
• Степень 0 - ненулевая константа ^[6]
• 1 степень - линейная
• Степень 2 - квадратичная
• Степень 3 - кубическая
• Степень 4 - квартичная (или, если все члены четные степени, биквадратичная )
• 5 степень - пятый
• Степень 6 - секстик (или, реже, гексик)
• 7 степень - септическая (реже гептическая)

Для более высоких степеней иногда предлагались имена ^[7], но они редко используются:

• Степень 8 - октическая
• Степень 9 - ноническая
• Степень 10 - децичная

Имена для степеней выше трех основаны на латинских порядковых номерах и оканчиваются на -ic . Это следует отличать от имен, используемых для количества переменных, арности , которые основаны на латинских распределительных числах и оканчиваются на -ary . Например, многочлен второй степени от двух переменных, например , называется «двоично-квадратичным»: двоичный по двум переменным, квадратичный по степени два. ^[a] Есть также названия для числа терминов, которые также основаны на латинских распределительных числах, оканчивающихся на -номиальный ; общие - мономиальные , биномиальные${\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}}$, и (реже) трехчлен ; таким образом, является «двоичным квадратичным двучленом».${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$

Примеры [ править ]

Многочлен является кубическим многочленом: после умножения и сбора членов одинаковой степени он становится со старшим показателем 3.${\displaystyle (y-3)(2y+6)(-4y-21)}$${\displaystyle -8y^{3}-42y^{2}+72y+378}$

Полином является полиномом пятой степени: при объединении одинаковых членов два члена степени 8 сокращаются, оставляя наивысший показатель степени 5.${\displaystyle (3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)}$${\displaystyle z^{5}+8z^{4}+2z^{3}-4z^{2}+14z+6}$

Поведение при полиномиальных операциях [ править ]

Степень суммы, произведения или композиции двух многочленов сильно зависит от степени входных многочленов. ^[8]

Дополнение [ править ]

Степень суммы (или разности) двух многочленов меньше или равна большей из их степеней; то есть,

${\displaystyle \deg(P+Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}}$и .${\displaystyle \deg(P-Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}}$

Например, степень равна 2 и 2 ≤ max {3, 3}.${\displaystyle (x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x}$

Равенство всегда выполняется, если степени многочленов разные. Например, степень равна 3, а 3 = max {3, 2}.${\displaystyle (x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1}$

Умножение [ править ]

Степень произведения многочлена на ненулевой скаляр равна степени многочлена; то есть,

${\displaystyle \deg(cP)=\deg(P)}$.

Например, степень равна 2, что равно степени .${\displaystyle 2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4}$${\displaystyle x^{2}+3x-2}$

Таким образом, набор полиномов (с коэффициентами из данного поля F ), степени которых меньше или равны заданному числу n, образует векторное пространство ; подробнее см. Примеры векторных пространств .

В более общем смысле, степень произведения двух многочленов над полем или областью целостности представляет собой сумму их степеней:

${\displaystyle \deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)}$.

Например, степень 5 = 3 + 2.${\displaystyle (x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x}$

Для полиномов над произвольным кольцом приведенные выше правила могут быть недействительными из-за отмены, которая может произойти при умножении двух ненулевых констант. Так , например, в кольце из целых чисел по модулю 4 , один имеет то , но , что не равна сумме степеней факторов.${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} }$${\displaystyle \deg(2x)=\deg(1+2x)=1}$${\displaystyle \deg(2x(1+2x))=\deg(2x)=1}$

Состав [ править ]

Степень композиции двух непостоянных полиномов и над полем или областью целостности является продуктом их степеней:${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q)}$.

Например:

• Если , то , имеющий степень 6.${\displaystyle P=(x^{3}+x)}$${\displaystyle Q=(x^{2}+1)}$${\displaystyle P\circ Q=P\circ (x^{2}+1)=(x^{2}+1)^{3}+(x^{2}+1)=x^{6}+3x^{4}+4x^{2}+2}$

Обратите внимание, что для многочленов над произвольным кольцом это не обязательно так. Так , например, в , , но .${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} }$${\displaystyle \deg(2x)\deg(1+2x)=1\cdot 1=1}$${\displaystyle \deg(2x\circ (1+2x))=\deg(2+4x)=\deg(2)=0}$

Степень нулевого многочлена [ править ]

Степень нулевого многочлена либо оставлена ​​неопределенной, либо определяется как отрицательная (обычно −1 или ). ^[9]${\displaystyle -\infty }$

Как и любое постоянное значение, значение 0 можно рассматривать как (постоянный) многочлен, называемый нулевым многочленом . В нем нет ненулевых членов, а значит, и степени, строго говоря, тоже нет. Таким образом, его степень обычно не определена. Предложения о степени сумм и произведений многочленов в предыдущем разделе неприменимы, если любой из задействованных многочленов является нулевым многочленом. ^[10]

Это удобно, однако, определить степень нулевого многочлена минус бесконечность , и ввести арифметические правила ^[11]${\displaystyle -\infty ,}$

${\displaystyle \max(a,-\infty )=a,}$

и

${\displaystyle a+(-\infty )=-\infty .}$

Эти примеры показывают, как это расширение удовлетворяет приведенным выше правилам поведения :

• Степень суммы равна 3. Это удовлетворяет ожидаемому поведению, а именно .${\displaystyle (x^{3}+x)+(0)=x^{3}+x}$${\displaystyle 3\leq \max(3,-\infty )}$
• Степень разницы составляет . Это соответствует ожидаемому поведению .${\displaystyle (x)-(x)=0}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle -\infty \leq \max(1,1)}$
• Степень продукта является . Это соответствует ожидаемому поведению .${\displaystyle (0)(x^{2}+1)=0}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle -\infty =-\infty +2}$

Вычисляется из значений функции [ править ]

Существует ряд формул, которые оценивают степень полиномиальной функции f . Один основан на асимптотическом анализе :

${\displaystyle \deg f=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log x}}}$;

это точный аналог метода оценки наклона в логарифмическом графике .

Эта формула обобщает понятие степени на некоторые функции, не являющиеся полиномами. Например:

• Степень мультипликативного обратного , является -1.${\displaystyle \ 1/x}$
• Степень квадратного корня , является 1/2.${\displaystyle {\sqrt {x}}}$
• Степень логарифма , является 0.${\displaystyle \ \log x}$
• Степень экспоненциальной функции , является${\displaystyle \exp x}$${\displaystyle \infty .}$

Формула также дает разумные результаты для многих комбинаций таких функций, например, степени is .${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {x}}}{x}}}$${\displaystyle -1/2}$

Другая формула для вычисления степени f по ее значениям:

${\displaystyle \deg f=\lim _{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}}}$;

эта вторая формула следует из применения правила Лопиталя к первой формуле. Интуитивно, однако, это больше касается демонстрации степени d как дополнительного постоянного множителя в производной от .${\displaystyle dx^{d-1}}$${\displaystyle x^{d}}$

Более мелкозернистый (чем простое числовая степень) описание асимптотики функции можно получить, используя большое обозначение O . При анализе алгоритмов , например, часто бывает уместно различать темпы роста и , которые, согласно приведенным выше формулам , будут иметь одинаковую степень.${\displaystyle x}$${\displaystyle x\log x}$

Расширение до многочленов с двумя или более переменными [ править ]

Для многочленов от двух или более переменных степень члена - это сумма показателей степени переменных в члене; степень (иногда называемая полной степенью ) многочлена снова является максимальной из степеней всех членов в многочлене. Например, многочлен x ² y ² + 3 x ³ + 4 y имеет степень 4, ту же степень, что и член x ² y ² .

Однако многочлен от переменных x и y - это многочлен от x с коэффициентами, которые являются многочленами от y , а также многочлен от y с коэффициентами, которые являются многочленами от x . Полином

${\displaystyle x^{2}y^{2}+3x^{3}+4y=(3)x^{3}+(y^{2})x^{2}+(4y)=(x^{2})y^{2}+(4)y+(3x^{3})}$

имеет степень 3 по x и степень 2 по y .

Дипломная функция в абстрактной алгебре [ править ]

Учитывая кольцо R , то кольцо многочленов R [ х ] есть множество всех многочленов от х , которые имеют коэффициенты R . В частном случае, когда R также является полем , кольцо многочленов R [ x ] является областью главных идеалов и, что более важно для нашего обсуждения здесь, евклидовой областью .

Можно показать, что степень полинома над полем удовлетворяет всем требованиям функции нормы в евклидовой области. То есть, учитывая два полинома f ( x ) и g ( x ), степень произведения f ( x ) g ( x ) должна быть больше, чем степени f и g по отдельности. На самом деле держится нечто более сильное:

${\displaystyle \deg(f(x)g(x))=\deg(f(x))+\deg(g(x))}$

В качестве примера того, почему функция степени может выйти из строя кольцо, не являющееся полем, рассмотрим следующий пример. Пусть R = , кольцо целых чисел по модулю 4. Это кольцо не является полем (и даже не является областью целостности ), потому что 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4). Следовательно, пусть f ( x ) = g ( x ) = 2 x + 1. Тогда f ( x ) g ( x ) = 4 x ² + 4 x + 1 = 1. Таким образом, deg ( f ⋅ g ) = 0, что не больше степеней f${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$и g (каждый из которых имел степень 1).

Поскольку нормальная функция не определена для нулевого элемента кольца, мы считаем, что степень многочлена f ( x ) = 0 также не определена, так что он следует правилам нормы в евклидовой области.

См. Также [ править ]

• Теорема Абеля – Руффини
• Основная теорема алгебры

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Акслер, Шелдон (1997), Linear Algebra Done Done Right (2-е изд.), Springer Science & Business Media
• Чайлдс, Линдси Н. (1995), Конкретное введение в высшую алгебру (2-е изд.), Springer Science & Business Media
• Чайлдс, Линдси Н. (2009), Конкретное введение в высшую алгебру (3-е изд.), Springer Science & Business Media
• Grillet, Pierre Antoine (2007), Абстрактная алгебра (2-е изд.), Springer Science & Business Media
• Кинг, Р. Брюс (2009), за рамками уравнения четвертой степени , Springer Science & Business Media
• Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999), Алгебра (3-е изд.), Американское математическое общество
• Шафаревич, Игорь Р. (2003), Дискурсы по алгебре , Springer Science & Business Media

Внешние ссылки [ править ]

• Полиномиальный порядок ; Вольфрам MathWorld