Распределительное свойство

Визуализация закона распределения для положительных чисел

В математике , то распределительное свойство из бинарных операций обобщает дистрибутивный закон от элементарной алгебры , которая утверждает , что один всегда

${\ Displaystyle х \ CDOT (Y + Z) = х \ CDOT Y + х \ CDOT Z.}$

Например, есть

2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 3) .

Один говорит, что умножение распределяет над сложением .

Это основное свойство чисел предполагается в определении большинства алгебраических структур, которые имеют две операции, называемые сложением и умножением, такие как комплексные числа , многочлены , матрицы , кольца и поля . Он также встречается в булевой алгебре и математической логике , где каждый из логического и (обозначается ∧ ) и логическое или (обозначается ∨ ) распределяет над другим.

Определение [ править ]

Для множества S и двух бинарных операторов ∗ и + на S операция ∗:

является левым дистрибутивна над (или относительно) + , если, с учетом каких - либо элементов х , у и г из S ,

${\ Displaystyle х * (у + z) = (х * у) + (х * z),}$

это дистрибутивно справа выше + , если для любых элементов х , у и г из S ,

${\ displaystyle (y + z) * x = (y * x) + (z * x),}$ и

является дистрибутивной над + , если это левый и правый дистрибутивный. ^[1]

Когда ∗ коммутативен , три приведенных выше условия логически эквивалентны .

Значение [ править ]

В примерах в этом разделе используются операторы обычного сложения ( ) и умножения ( ).${\ displaystyle +}$${\ displaystyle \ cdot}$

Если обозначенная операция не является коммутативной, существует различие между левой и правой дистрибутивностью:${\ displaystyle \ cdot}$

${\ displaystyle a \ cdot \ left (b \ pm c \ right) = a \ cdot b \ pm a \ cdot c}$  (лево-распределительный)

${\displaystyle (a\pm b)\cdot c=a\cdot c\pm b\cdot c}$  (право-распределительный)

В любом случае распределительное свойство можно описать словами:

Для того, чтобы умножить сумму (или разность ) на коэффициент, каждое слагаемое (или уменьшаемого и вычитаемого ) умножается на этот коэффициент и полученные продукты добавляются (или вычитаются).

Если операция вне скобок (в данном случае умножение) коммутативна, то леводистрибутивность подразумевает правую дистрибутивность и наоборот, и говорят просто о дистрибутивности .

Одним из примеров операции, которая является "только" право-распределительной, является деление, которое не является коммутативным:

${\displaystyle (a\pm b)\div c=a\div c\pm b\div c}$

В этом случае леводистрибутивность не применяется:

${\displaystyle a\div (b\pm c)\neq a\div b\pm a\div c}$

Законы распределения входят в число аксиом для колец (например, кольца целых чисел ) и полей (например, поля рациональных чисел ). Здесь умножение является распределительным по сравнению с сложением, но сложение не является распределительным по сравнению с умножением. Примерами структур с двумя операциями, каждая из которых является дистрибутивной по отношению к другой, являются булевы алгебры, такие как алгебра множеств или алгебра переключений .

Умножение сумм можно выразить словами следующим образом: когда сумма умножается на сумму, умножьте каждое слагаемое суммы на каждое слагаемое другой суммы (отслеживая знаки), затем сложите все полученные результаты.

Примеры [ править ]

Реальные числа [ править ]

В следующих примерах проиллюстрировано использование закона распределения на множестве действительных чисел . Когда умножение упоминается в элементарной математике, это обычно относится к этому виду умножения. С точки зрения алгебры действительные числа образуют поле , которое обеспечивает выполнение закона распределения.${\displaystyle \mathbb {R} }$

Первый пример (умножение в уме и письме)

Во время ментальной арифметики распределенность часто используется неосознанно:

${\displaystyle 6\cdot 16=6\cdot (10+6)=6\cdot 10+6\cdot 6=60+36=96}$

Таким образом, чтобы вычислить в уме 6 16 , сначала нужно умножить 6 ⋅ 10 и 6 ⋅ 6 и сложить промежуточные результаты. Письменное умножение также основано на распределительном законе.

Второй пример (с переменными)

${\displaystyle 3a^{2}b\cdot (4a-5b)=3a^{2}b\cdot 4a-3a^{2}b\cdot 5b=12a^{3}b-15a^{2}b^{2}}$

Третий пример (с двумя суммами)

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)\cdot (a-b)&=a\cdot (a-b)+b\cdot (a-b)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\&=(a+b)\cdot a-(a+b)\cdot b=a^{2}+ba-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}\end{aligned}}}$

Здесь закон распределения применялся дважды, и не имеет значения, какая скобка умножается первой.

Четвертый пример

Здесь закон распределения применяется наоборот по сравнению с предыдущими примерами. Рассматривать

${\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}\,.}$

Поскольку множитель входит во все слагаемые, его можно исключить. То есть в силу закона распределения получаем${\displaystyle 6a^{2}b}$

${\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}=6a^{2}b(2ab-5a^{2}c+3b^{2}c^{2})\,.}$

Матрицы [ править ]

Закон распределения справедлив для умножения матриц . Точнее,

${\displaystyle (A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C}$

для всех -матриц и -матриц , а также${\displaystyle l\times m}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C}$

для всех -матриц и -матриц . Поскольку свойство коммутативности не выполняется для матричного умножения, второй закон не следует из первого закона. В данном случае это два разных закона.${\displaystyle l\times m}$${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle B,C}$

Другие примеры [ править ]

• Умножение из порядковых номеров , в отличие от этого , только левый дистрибутивный, не дистрибутивно справа.
• Перекрестное произведение является левой и правой дистрибутивности над векторным сложением , хотя и не коммутативной.
• Объединение множеств дистрибутивно над пересечением , и пересечение дистрибутивно над профсоюзом.
• Логическая дизъюнкция («или») распределительна по сравнению с логической конъюнктурой («и»), и наоборот.
• Для действительных чисел (и для любого полностью упорядоченного набора ) максимальная операция распределяется по минимальной операции, и наоборот: max ( a , min ( b , c )) = min (max ( a , b ), max ( a , c )) и min ( a , max ( b , c )) = max (min ( a , b ), min ( a , c )) .
• Для целых чисел , то наибольший общий делитель дистрибутивна над наименьшее общее кратное , и наоборот: НОД ( , LCM ( Ь , гр )) = LCM (НОД ( , б ), НОД ( , гр )) и LCM ( a , gcd ( b , c )) = gcd (lcm ( a , b ), lcm ( a , c )) .
• Для действительных чисел сложение распределяется по максимальной операции, а также по минимальной операции: a + max ( b , c ) = max ( a + b , a + c ) и a + min ( b , c ) = min ( a + б , а + в ) .
• Для биномиального умножения распределение иногда называют методом FOIL ^[2] (первые термины ac , внешнее объявление , внутреннее bc и последнее bd ), например: ( a + b ) · ( c + d ) = ac + ad + bc + bd .
• Во всех полукольцах , в том числе комплексных чисел , в кватернионах , полиномов и матриц , умножение дистрибуции более того: .${\displaystyle u(v+w)=uv+uw,(u+v)w=uw+vw}$
• Во всех алгебрах над полем , включая октонионы и другие неассоциативные алгебры , умножение распределяется по сложению.

Логика высказываний [ править ]

Правило замены [ править ]

В стандартной логике высказываний с функциональной истинностью распределение ^{[3] [4]} в логических доказательствах использует два действительных правила замены для расширения отдельных вхождений определенных логических связок в пределах некоторой формулы в отдельные приложения этих связок в подформулах данной формулы. Правила

${\displaystyle (P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))}$

и

${\displaystyle (P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))}$

где « », также написано ≡ , является металогическая символ , представляющий «может быть заменен в качестве доказательства с» или «является логическим эквивалентом для».${\displaystyle \Leftrightarrow }$

Функциональные связки истины [ править ]

Дистрибутивность - это свойство некоторых логических связок истинностно-функциональной логики высказываний . Следующие логические эквивалентности демонстрируют, что дистрибутивность является свойством определенных связок. Ниже приведены функциональные тавтологии истинности .

Распределение соединения по соединению

${\displaystyle (P\land (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\land (P\land R))}$

Распределение соединения по дизъюнкции

${\displaystyle (P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))}$

Распределение дизъюнкции по конъюнкции

${\displaystyle (P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))}$

Распределение дизъюнкции по дизъюнкции

${\displaystyle (P\lor (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\lor (P\lor R))}$

Распространение импликации

${\displaystyle (P\to (Q\to R))\Leftrightarrow ((P\to Q)\to (P\to R))}$

Распределение импликации по эквивалентности

${\displaystyle (P\to (Q\leftrightarrow R))\Leftrightarrow ((P\to Q)\leftrightarrow (P\to R))}$:

Распределение импликации по союзу

${\displaystyle (P\to (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\to Q)\land (P\to R))}$

Распределение дизъюнкции по эквивалентности

${\displaystyle (P\lor (Q\leftrightarrow R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\leftrightarrow (P\lor R))}$

Двойное распределение

${\displaystyle {\begin{aligned}((P\land Q)\lor (R\land S))&\Leftrightarrow (((P\lor R)\land (P\lor S))\land ((Q\lor R)\land (Q\lor S)))\\((P\lor Q)\land (R\lor S))&\Leftrightarrow (((P\land R)\lor (P\land S))\lor ((Q\land R)\lor (Q\land S)))\end{aligned}}}$

Распределимость и округление [ править ]

В приближенной арифметике, такой как арифметика с плавающей запятой , свойство распределения умножения (и деления) над сложением может не работать из-за ограничений арифметической точности . Например, тождество ⅓ + ⅓ + ⅓ = (1 + 1 + 1) / 3 не работает в десятичной арифметике , независимо от количества значащих цифр . Такие методы, как банковское округление, могут помочь в некоторых случаях, поскольку могут повысить используемую точность, но в конечном итоге некоторые ошибки в расчетах неизбежны.

В кольцах и других конструкциях [ править ]

Дистрибутивность чаще всего встречается в кольцах и распределительных решетках .

У кольца есть две бинарные операции, обычно обозначаемые + и ∗, и одно из требований кольца - то, что ∗ должно распределяться по +.

Решетка другой вид алгебраической структуры с двумя бинарными операциями, ∧ и ∨. Если одна из этих операций распределяет по другой (скажем, ∧ распределяет по), то верно и обратное (∨ распределяет по), и решетка называется дистрибутивной. См. Также Дистрибутивность (теория порядка) .

Булева алгебра может интерпретироваться либо как особый вид кольца (а булево кольцо ) или специального вид распределительной решетки (а булева решетка ). Каждая интерпретация отвечает за разные законы распределения в булевой алгебре.

Несоблюдение одного из двух законов распределения приводит к появлению почти колец и ближних полей вместо колец и телесных колец соответственно. Операции обычно конфигурируются так, чтобы распределитель ближнего или ближнего поля располагался справа, но не слева.

Кольца и дистрибутивные решетки - это особые виды оснасток , которые являются обобщениями колец, обладающих дистрибутивным свойством. Например, натуральные числа образуют буровую установку.

Обобщения [ править ]

В нескольких областях математики рассматриваются обобщенные законы распределенности. Это может включать ослабление вышеуказанных условий или распространение на бесконечные операции. Особенно в теории порядка можно найти множество важных вариантов распределительности, некоторые из которых включают бесконечные операции, такие как бесконечный закон распределения ; другие определяются при наличии только одной бинарной операции, такие как соответствующие определения и их отношения, приведены в статье о распределении (теории порядка) . Это также включает понятие полностью распределительной решетки .

При наличии отношения порядка можно также ослабить указанные выше равенства, заменив = на ≤ или ≥. Естественно, только в некоторых ситуациях это приведет к осмысленным концепциям. Применение этого принципа - понятие субдистрибутивности, как описано в статье об интервальной арифметике .

В теории категорий , если ( S , μ , η ) и ( S ', ц ', п ') являются монады на категории С , в дистрибутивный закон S . S ′ → S ′. S представляет собой естественное преобразование λ  : S . S ′ → S ′. S такое, что ( S ′, λ ) - нечеткое отображение монад S → S и ( S , λ ) является колакс-отображением монад S ′ → S ′ . Это как раз те данные, которые необходимы для определения структуры монады на S ′. S : отображение умножения - это S ′ μ . μ ′ S ² . S ' λS и блок карта η ' S . η . См .: закон распределения между монадами .

Обобщенный дистрибутивный закон также был предложен в области теории информации .

Антидистрибутивность [ править ]

Вездесущее тождество, которое связывает обратное с бинарной операцией в любой группе , а именно ( xy ) ⁻¹ = y ⁻¹ x ⁻¹ , которое считается аксиомой в более общем контексте полугруппы с инволюцией , иногда называют антидистрибутивное свойство (инверсия как унарная операция ). ^[5]

В контексте почти-кольца , которое устраняет коммутативность аддитивно записанной группы и предполагает только одностороннюю дистрибутивность, можно говорить о (двусторонних) распределительных элементах, но также и об антидистрибутивных элементах . Последние меняют порядок (некоммутативного) сложения; предполагая левое приближение (то есть такое, которое все элементы распределяют при умножении на левое), тогда антираспределительный элемент a меняет порядок сложения при умножении вправо: ( x + y ) a = ya + xa . ^[6]

При изучении логики высказываний и булевой алгебры термин антидистрибутивный закон иногда используется для обозначения взаимообмена между конъюнкцией и дизъюнкцией, когда над ними действуют факторы импликации: ^[7]

• ( a ∨ b ) ⇒ c ≡ ( a ⇒ c ) ∧ ( b ⇒ c )
• ( a ∧ b ) ⇒ c ≡ ( a ⇒ c ) ∨ ( b ⇒ c )

Эти две тавтологии являются прямым следствием двойственности законов Де Моргана .

Заметки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Поищите информацию о распределении в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Демонстрация закона распределения для целочисленной арифметики (от разрубленного узла )