Коммутативная собственность

Операция коммутативна тогда и только тогда, когда для каждого и . Это изображение иллюстрирует это свойство с помощью концепции операции как «вычислительной машины». Не имеет значения для вывода или, соответственно, в каком порядке аргументы и имеют - конечный результат тот же.${\ displaystyle \ circ}$ ${\ Displaystyle х \ circ y = y \ circ x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x \ circ y}$${\ displaystyle y \ circ x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

В математике , бинарная операция является коммутативной , если меняется порядок операндов не изменяет результат. Это фундаментальное свойство многих бинарных операций, и от него зависят многие математические доказательства . Наиболее знакомое название свойства - «3 + 4 = 4 + 3» или «2 × 5 = 5 × 2» , свойство также можно использовать в более сложных настройках. Имя необходимо, потому что есть операции, такие как деление и вычитание , у которых его нет (например, «3 - 5 ≠ 5 - 3» ); такие операции не коммутативны и поэтому называютсянекоммутативные операции . Идея о том, что простые операции, такие как умножение и сложение чисел, коммутативны, в течение многих лет неявно предполагалась. Таким образом, это свойство не было названо до XIX века, когда математика начала формализоваться. ^{[1] [2]} Соответствующее свойство существует для бинарных отношений ; бинарное отношение называется симметричным, если отношение применяется независимо от порядка его операндов; например, равенство является симметричным, поскольку два равных математических объекта равны независимо от их порядка. ^[3]

Обычное использование [ править ]

Свойство коммутативности (или закон коммутативности ) - это свойство, обычно связанное с бинарными операциями и функциями . Если свойство коммутативности выполняется для пары элементов при определенной бинарной операции, то говорят, что эти два элемента коммутируют при этой операции.

Математические определения [ править ]

Термин «коммутативный» используется в нескольких связанных смыслах. ^{[4] [5]}

Примеры [ править ]

Коммутативные операции в повседневной жизни [ править ]

• Надевание носков похоже на коммутационную операцию, поскольку неважно, какой носок надеть первым. В любом случае результат (если надеты оба носка) будет одинаковым. Напротив, надевание нижнего белья и брюк не является перекрестным.
• Коммутативность сложения соблюдается при оплате товара наличными. Независимо от порядка подачи счетов, они всегда дают одинаковую сумму.

Коммутативные операции в математике [ править ]

Сложение векторов коммутативно, потому что .${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}}$

Два хорошо известных примера коммутативных бинарных операций: ^[4]

• Сложение из действительных чисел коммутативно, так как

${\displaystyle y+z=z+y\qquad {\mbox{for all }}y,z\in \mathbb {R} }$

Например, 4 + 5 = 5 + 4, поскольку оба выражения равны 9.

• Умножение из действительных чисел коммутативно, так как

${\displaystyle yz=zy\qquad {\mbox{for all }}y,z\in \mathbb {R} }$

Например, 3 × 5 = 5 × 3, поскольку оба выражения равны 15.

Как прямое следствие этого, также верно, что выражения в форме y% от z и z% от y являются коммутативными для всех действительных чисел y и z. ^[6] Например, 64% от 50 = 50% от 64, поскольку оба выражения равны 32, а 30% от 50% = 50% от 30%, поскольку оба этих выражения равны 15%.

• Некоторые двоичные функции истинности также являются коммутативными, поскольку таблицы истинности для функций остаются неизменными при изменении порядка операндов.

Например, логическая двусмысленная функция p ↔ q эквивалентна q ↔ p. Эта функция также записывается в виде р МФЛ д, или в виде р ≡ д, или как E рд .

Последняя форма представляет собой пример наиболее сжатой записи в статье о функциях истинности, в которой перечислены шестнадцать возможных двоичных функций истинности, из которых восемь являются коммутативными: V pq = V qp ; A pq (ИЛИ) = A qp ; D pq (И-НЕ) = D qp ; E pq (IFF) = E qp ; J pq = J qp ; K pq (И) = K qp ; X pq (NOR) = X qp ; O pq = O qp .

• Дальнейшие примеры коммутативных бинарных операций включают в себя сложение и умножение комплексных чисел , сложение и скалярное умножение на векторы , и пересечение и объединение из множеств .

Некоммутативные операции в повседневной жизни [ править ]

• Конкатенация , объединение символьных строк вместе, является некоммутативной операцией. Например,

EA + T = ЕСТЬ ≠ ЧАЙ = T + EA

• Стирка и сушка белья похожи на некоммутативную операцию; стирка и последующая сушка дают совершенно иной результат, чем сушка и последующая стирка.
• Поворот книги на 90 ° вокруг вертикальной оси, а затем на 90 ° вокруг горизонтальной оси дает другую ориентацию, чем когда вращения выполняются в противоположном порядке.
• Повороты кубика Рубика некоммутативны. Это можно изучить с помощью теории групп .
• Мыслительные процессы некоммутативны: человек, задавший вопрос (А), а затем вопрос (В), может давать разные ответы на каждый вопрос, чем человек, который сначала задал (В), а затем (А), потому что задание вопроса может изменить состояние человека. ума.
• Акт одевания может быть коммутативным или некоммутативным, в зависимости от предметов. Носить нижнее белье и обычную одежду нельзя. Надевание левых и правых носков коммутативно.
• Перетасовка колоды карт некоммутативна. Учитывая два способа тасования колоды, A и B, сначала выполнить A, а затем B, в общем, не то же самое, что сначала выполнить B, а затем A.

Некоммутативные операции в математике [ править ]

Некоторые некоммутативные бинарные операции: ^[7]

Деление и вычитание [ править ]

Деление некоммутативно, поскольку .${\displaystyle 1\div 2\neq 2\div 1}$

Вычитание некоммутативно, поскольку . Однако это классифицировано более точно , как антикоммутативные , так как .${\displaystyle 0-1\neq 1-0}$${\displaystyle 0-1=-(1-0)}$

Функции истины [ править ]

Некоторые функции истинности некоммутативны, поскольку таблицы истинности для функций различаются при изменении порядка операндов. Например, таблицы истинности для (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) и (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) являются

А	B	А ⇒ Б	B ⇒ A
F	F	Т	Т
F	Т	Т	F
Т	F	F	Т
Т	Т	Т	Т

Функциональная композиция линейных функций [ править ]

Композиция функций из линейных функций от действительных чисел до действительных чисел почти всегда некоммутативна. Например, пусть и . Затем${\displaystyle f(x)=2x+1}$${\displaystyle g(x)=3x+7}$

${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15}$

и

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10}$

Это также применимо в более общем случае для линейных и аффинных преобразований из векторного пространства в себя (см. Ниже матричное представление).

Умножение матриц [ править ]

Матричное умножение квадратных матриц почти всегда некоммутативно, например:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}$

Векторный продукт [ править ]

Векторное произведение (или векторное произведение ) двух векторов в трех измерениях является анти-коммутативное ; т.е. b × a = - ( a × b ).

История и этимология [ править ]

Записи о неявном использовании коммутативного свойства восходят к древним временам. В Египтяне использовали коммутативное свойство умножения для упрощения вычислительных продуктов . ^{[8] [9]} Евклид, как известно, предположил коммутативное свойство умножения в своей книге « Элементы» . ^[10] Формальное использование коммутативности возникло в конце 18 и начале 19 веков, когда математики начали работать над теорией функций. Сегодня коммутативность - это хорошо известное и основное свойство, используемое в большинстве разделов математики.

Первое зарегистрированное использование термина коммутативность было в мемуарах Франсуа Сервуа в 1814 году ^{[1] [11], в} котором слово коммутативы использовалось при описании функций, обладающих тем, что сейчас называется коммутативным свойством. Это слово представляет собой комбинацию французского слова « пригородный», означающего «заменять или переключать», и суффиксного падежа, означающего « стремиться к», поэтому слово буквально означает «стремление заменить или переключить». Затем этот термин появился на английском языке в 1838 г. ^[2] в статье Дункана Фаркухарсона Грегори , озаглавленной «О реальной природе символической алгебры», опубликованной в 1840 г.Труды Королевского общества Эдинбурга . ^[12]

Логика высказываний [ править ]

Правило замены [ править ]

В истинности функциональной логики, коммутация , ^{[13] [14]} или коммутативности ^[15] относятся к двум действительным правилам замены . Правила позволяют переносить пропозициональные переменные в логические выражения в логических доказательствах . Правила следующие:

${\displaystyle (P\lor Q)\Leftrightarrow (Q\lor P)}$

и

${\displaystyle (P\land Q)\Leftrightarrow (Q\land P)}$

где " " - металогический символ, обозначающий "можно заменить в доказательстве на".${\displaystyle \Leftrightarrow }$

Функциональные связки истины [ править ]

Коммутативность - это свойство некоторых логических связок функциональной логики высказываний истинности . Следующие логические эквивалентности демонстрируют, что коммутативность является свойством определенных связок. Ниже приведены функциональные тавтологии истинности .

Коммутативность конъюнкции

${\displaystyle (P\land Q)\leftrightarrow (Q\land P)}$

Коммутативность дизъюнкции

${\displaystyle (P\lor Q)\leftrightarrow (Q\lor P)}$

Коммутативность импликации (также называемая законом перестановки)

${\displaystyle (P\to (Q\to R))\leftrightarrow (Q\to (P\to R))}$

Коммутативность эквивалентности (также называемая полным коммутативным законом эквивалентности)

${\displaystyle (P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow (Q\leftrightarrow P)}$

Теория множеств [ править ]

В теории групп и множеств многие алгебраические структуры называются коммутативными, если определенные операнды удовлетворяют свойству коммутативности. В более высоких разделах математики, таких как анализ и линейная алгебра, коммутативность хорошо известных операций (таких как сложение и умножение действительных и комплексных чисел) часто используется (или неявно предполагается) в доказательствах. ^{[16] [17] [18]}

Математические структуры и коммутативность [ править ]

• Коммутативной полугруппы есть множество наделено общей, ассоциативной и коммутативной операцией.
• Если операция дополнительно имеет единичный элемент , мы имеем коммутативный моноид
• Абелева группа , или коммутативная группа представляет собой группу , чья группа операция коммутативна. ^[17]
• Коммутативное кольцо является кольцом которого умножение коммутативно. (Сложение в кольце всегда коммутативно.) ^[19]
• В поле и сложение, и умножение коммутативны. ^[20]

Связанные свойства [ править ]

Ассоциативность [ править ]

Ассоциативное свойство тесно связано с коммутативным свойством. Свойство ассоциативности выражения, содержащего два или более вхождения одного и того же оператора, гласит, что порядок выполнения операций не влияет на конечный результат, пока порядок терминов не изменяется. Напротив, свойство коммутативности утверждает, что порядок терминов не влияет на окончательный результат.

Большинство встречающихся на практике коммутативных операций также ассоциативны. Однако коммутативность не означает ассоциативности. Контрпримером является функция

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x+y}{2}},}$

который явно коммутативен (перестановка x и y не влияет на результат), но он не ассоциативен (поскольку, например, но ). Больше таких примеров можно найти в коммутативных неассоциативных магмах .${\displaystyle f(-4,f(0,+4))=-1}$${\displaystyle f(f(-4,0),+4)=+1}$

Распределительный [ править ]

Симметрия [ править ]

Некоторые формы симметрии могут быть напрямую связаны с коммутативностью. Когда коммутативный оператор записывается как бинарная функция, результирующая функция симметрична по линии y = x . В качестве примера, если мы позволим функции f представить сложение (коммутативную операцию), так что f ( x , y ) = x + y, тогда f будет симметричной функцией, что можно увидеть на соседнем изображении.

Для отношений симметричное отношение аналогично коммутативной операции в том смысле, что если отношение R является симметричным, то .${\displaystyle aRb\Leftrightarrow bRa}$

Некоммутирующие операторы в квантовой механике [ править ]

В квантовой механике, сформулированной Шредингером , физические переменные представлены линейными операторами, такими как x (что означает умножение на x ) и . Эти два оператора не коммутируют, что можно увидеть, рассматривая влияние их композиций и (также называемых произведениями операторов) на одномерную волновую функцию :${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle x{\frac {d}{dx}}}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x}$ ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle x\cdot {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\psi =x\cdot \psi '\ \neq \ \psi +x\cdot \psi '={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left(x\cdot \psi \right)}$

В соответствии с принципом неопределенности в Гейзенберга , если два оператора , представляющие собой пару переменных не коммутируют, то , что пара переменных взаимно дополняют друг друга , что означает , что они не могут быть одновременно измерены или известны точно. Например, положение и импульс в x- направлении частицы представлены операторами и , соответственно (где - приведенная постоянная Планка ). Это тот же пример, за исключением константы , поэтому снова операторы не коммутируют, и физический смысл состоит в том, что положение и линейный импульс в данном направлении дополняют друг друга.${\displaystyle x}$${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle -i\hbar }$

См. Также [ править ]

Поищите коммутативное свойство в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Антикоммутативное свойство
• Центратор и нормализатор (также называемый коммутантом)
• Коммутативная диаграмма
• Коммутативный (нейрофизиология)
• Коммутатор
• Закон параллелограмма
• Статистика частиц (для коммутативности в физике )
• Квазикоммутативное свойство
• Моноид трассировки
• Вероятность переезда

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Книги [ править ]

• Акслер, Шелдон (1997). Линейная алгебра сделано правильно, 2e . Springer. ISBN 0-387-98258-2.

Абстрактная теория алгебры. Охватывает коммутативность в этом контексте. Использует собственность на протяжении всей книги.

• Copi, Irving M .; Коэн, Карл (2005). Введение в логику . Прентис Холл.CS1 maint: ref=harv (link)
• Галлиан, Джозеф (2006). Современная абстрактная алгебра, 6e . Бостон, Массачусетс: Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6.

Теория линейной алгебры. Объясняет коммутативность в главе 1, использует ее повсюду.

• Гудман, Фредерик (2003). Алгебра: абстрактная и конкретная, симметрия напряжений, 2e . Прентис Холл. ISBN 0-13-067342-0.

Абстрактная теория алгебры. В книге используется свойство коммутативности.

• Херли, Патрик (1991). Краткое введение в логику 4-е издание . Издательство Wadsworth.

Статьи [ править ]

• https://web.archive.org/web/20070713072942/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Лампкин, Б. (1997). Математическое наследие Древнего Египта - ответ Роберту Палтеру. Неопубликованная рукопись.

Статья с описанием математических способностей древних цивилизаций.

• Робинс, Р. Гей и Чарльз Шут. 1987. Математический папирус Райнда: древнеегипетский текст . Лондон: Публикации Британского музея. ISBN 0-7141-0944-4 

Перевод и интерпретация Математического папируса Райнда .

Интернет-ресурсы [ править ]

• "Коммутативность" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Краун, Аарон, Commutative at PlanetMath ., Доступ 8 августа 2007 г.

Определение коммутативности и примеры коммутативных операций

• Вайсштейн, Эрик В. «Поездка на работу» . MathWorld ., По состоянию на 8 августа 2007 г.

Пояснение к термину коммутируют

• Ярк . Примеры некоммутативных операций в PlanetMath ., По состоянию на 8 августа 2007 г.

Примеры, доказывающие некоторые некоммутативные операции

• О'Коннер, Дж. Дж. И Робертсон, Э. Ф. MacTutor, история реальных чисел , по состоянию на 8 августа 2007 г.

Статья с историей реальных чисел

• Кабильон, Хулио и Миллер, Джефф. Самые ранние известные использования математических терминов , по состоянию на 22 ноября 2008 г.

Страница, охватывающая самые ранние употребления математических терминов

• О'Коннер, Дж. Дж. И Робертсон, Э. Ф. МакТютор, биография Франсуа Сервуа , доступ 8 августа 2007 г.

Биография Франсуа Сервуа, который первым использовал термин