Дивизион (математика)

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  Математика "Division"  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

20/4 = 5, здесь показаны яблоки. В устной форме сказано: «Двадцать разделить на четыре равно пяти».

Деление - это одна из четырех основных операций арифметики , способов объединения чисел в новые числа. Другие операции - это сложение , вычитание и умножение . Знак деления ÷ , символ, состоящий из короткой горизонтальной линии с точкой вверху и другой точкой внизу, часто используется для обозначения математического деления. Это использование, хотя и широко распространено в англоязычных странах , не является ни универсальным, ни рекомендованным: стандарт ISO 80000-2 для математической записи рекомендует только солидус / или дробную черту.для деления или двоеточие для соотношений ; он говорит, что этот символ «не должен использоваться» для разделения. ^[1]

На элементарном уровне деление двух натуральных чисел , помимо других возможных интерпретаций , представляет собой процесс вычисления того, сколько раз одно число содержится в другом. ^{[2] : 7} Это количество раз не всегда является целым числом (число, которое можно получить, используя другие арифметические операции с натуральными числами).

Деление с остатком или евклидовым делением двух натуральных чисел дает целое частное , который является количеством раз , второе число полностью содержится в первом номере, и остаток , который является частью первого числа , которое остается, когда в В ходе вычисления частного не может быть выделен дальнейший полный фрагмент размера второго числа.

Чтобы модификация этого деления дала только один единственный результат, натуральные числа должны быть расширены до рациональных чисел (чисел, которые могут быть получены с помощью арифметики с натуральными числами) или действительных чисел . В этих расширенных системах счисления деление - это операция, обратная умножению, то есть a = c / b означает a × b = c , если b не равно нулю. Если b = 0 , то это деление на ноль , которое не определено. ^{[a] [5] : 246}

Обе формы деления появляются в различных алгебраических структурах , в разных способах определения математической структуры. Те, в которых определено евклидово деление (с остатком), называются евклидовыми областями и включают кольца многочленов с одним неопределенным (которые определяют умножение и сложение по формулам с одной переменной). Те, в которых определено деление (с одним результатом) на все ненулевые элементы, называются полями и телами . В кольце элементы, на которые всегда возможно деление, называются единицами.(например, 1 и -1 в кольце целых чисел). Другое обобщение деления на алгебраические структуры - фактор-группа , в которой результатом «деления» является группа, а не число.

Введение [ править ]

Самый простой способ просмотра разделение в терминах quotition и перегородки : с точки зрения quotition, 20/5 означает число 5s , которые должны быть добавлены , чтобы получить 20. С точки зрения раздела, 20/5 означает , что размер каждого из 5 части, на которые разбивается набор размером 20. Например, 20 яблок делятся на пять групп по четыре яблока, что означает, что двадцать, разделенные на пять, равны четырем . Это обозначается как 20/5 = 4 , или20/5= 4 . ^[3] То, что делится, называется дивидендом , который делится на делитель , а результат называется частным . В этом примере 20 - это делимое, 5 - делитель, а 4 - частное.

В отличие от других основных операций, при делении натуральных чисел иногда возникает остаток , который не входит в состав делимого; например, 10/3 оставляет остаток 1, так как 10 не делится на 3. Иногда этот остаток добавляется к частному как дробная часть , поэтому 10/3 равно 3.+1/3или 3.33 ... , но в контексте целочисленного деления, где числа не имеют дробной части, остаток сохраняется отдельно (в исключительных случаях отбрасывается или округляется ). ^[6] Когда остаток сохраняется в виде дроби, получается рациональное число . Множество всех рациональных чисел создается путем расширения целых чисел всеми возможными результатами делений целых чисел.

В отличие от умножения и сложения, деление не коммутативно , что означает, что a / b не всегда равно b / a . ^[7] Деление также, как правило, не является ассоциативным , что означает, что при многократном делении порядок деления может изменить результат. ^[8] Например, (20/5) / 2 = 2 , но 20 / (5/2) = 8 (где использование круглых скобок означает, что операции внутри скобок выполняются перед операциями вне скобок).

Деление традиционно считается левоассоциативным . То есть, если в строке несколько делений, порядок вычислений идет слева направо: ^{[9] [10]}

${\ Displaystyle a / b / c = (a / b) / c = a / (b \ times c) \ neq a / (b / c) = (a \ times c) / b.}$

Деление распределяет вправо по сравнению с сложением и вычитанием в том смысле, что

${\ displaystyle {\ frac {a \ pm b} {c}} = (a \ pm b) / c = (a / c) \ pm (b / c) = {\ frac {a} {c}} \ pm {\ frac {b} {c}}.}$

То же самое для умножения , как . Однако деление не является лево-распределительным , поскольку${\ Displaystyle (а + б) \ раз с = а \ раз с + б \ раз с}$

${\ displaystyle {\ frac {a} {b + c}} = a / (b + c) \ neq (a / b) + (a / c) = {\ frac {ac + ab} {bc}}. }$

В этом отличие от умножения, которое является как лево-распределительным, так и право-распределительным, и, следовательно, распределительным .

Обозначение [ править ]

В алгебре и естествознании деление часто отображается путем размещения делимого над делителем с горизонтальной линией, также называемой чертой дроби , между ними. Например, « a, разделенное на b » можно записать как:

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}$

что также можно прочитать вслух как «разделите a на b » или « a over b ». Чтобы выразить деление в одной строке, нужно написать делимое (или числитель), затем косую черту , а затем делитель (или знаменатель) следующим образом:

${\ displaystyle a / b}$

Это обычный способ указания деления в большинстве языков программирования , поскольку его можно легко ввести как простую последовательность символов ASCII . Некоторое математическое программное обеспечение , такое как MATLAB и GNU Octave , позволяет записывать операнды в обратном порядке, используя обратную косую черту в качестве оператора деления:

${\ displaystyle b \ backslash a}$

Типографская вариация на полпути между этими двумя формами использует солидус (дробная косая черта), но увеличивает дивиденд и снижает делитель:

${\ displaystyle {} ^ {a} / {} _ {b}}$

Любую из этих форм можно использовать для отображения дроби . Дробь - это выражение деления, в котором и делимое, и делитель являются целыми числами (обычно называемыми числителем и знаменателем ), и нет никакого смысла в том, что деление должно оцениваться дальше. Второй способ показать деление - использовать знак деления (÷, также известный как obelus, хотя этот термин имеет дополнительные значения), распространенный в арифметике, следующим образом:

${\ displaystyle a \ div b}$

Эта форма встречается нечасто, за исключением элементарной арифметики. В ISO 80000-2 -9.6 указано, что его не следует использовать. Этот знак деления также используется отдельно для представления самой операции деления, например, как метка на клавише калькулятора . Обелус был введен швейцарским математиком Иоганном Раном в 1659 году в немецкой алгебре . ^{[11] : 211} В некоторых европейских странах символ ÷ используется для обозначения вычитания, поэтому его использование может быть неправильно понято.

В некоторых не- английский -speaking стран, двоеточие используется для обозначения деления: ^[12]

${\ displaystyle a: b}$

Это обозначение было введено Готфридом Вильгельмом Лейбницем в его Acta eruditorum 1684 года . ^{[11] : 295} Лейбниц не любил использовать отдельные символы для соотношения и деления. Однако в английском использовании двоеточие ограничивается выражением связанной концепции отношений .

С 19 - го века, американские учебники используют или для обозначения делится на Ь , особенно при обсуждении длинного деления . История этого обозначения не совсем ясна, потому что со временем она развивалась. ^[13]${\ Displaystyle б) а}$${\ displaystyle b {\ overline {) a}}}$

Вычисления [ править ]

Ручные методы [ править ]

Разделение часто вводится через понятие «разделения» набора предметов, например, кучи леденцов, на несколько равных частей. Распределение объектов по нескольку одновременно в каждом раунде разделения на каждую часть приводит к идее « разбиения на части » - формы деления, при которой из самого дивиденда многократно вычитаются кратные делителя.

Позволяя вычесть больше кратных, чем позволяет частичный остаток на данном этапе, можно также разработать более гибкие методы, такие как двунаправленный вариант разбиения на фрагменты. ^[14]

Более систематизированный и более эффективный (но также более формализованный, более основанный на правилах и более удаленный от общей целостной картины того, что достигается делением), человек, знающий таблицы умножения, может разделить два целых числа карандашом и бумагой, используя метод короткое деление , если делитель маленький, или длинное деление , если делитель больше. Если в дивиденде есть дробная часть (выраженная в виде десятичной дроби ), можно продолжить алгоритм, оставив единицы, сколько угодно. Если делитель имеет дробную часть, можно переформулировать проблему, перемещая десятичную дробь вправо в обоих числах, пока в делителе не будет дроби.

Человек может рассчитать деление на счетах . ^[15]

Человек может использовать таблицы логарифмов для деления двух чисел, вычитая логарифмы двух чисел, а затем ища антилогарифм результата.

Человек может рассчитать деление с помощью логарифмической линейки , совместив делитель на шкале C с делением на шкале D. Частное можно найти на шкале D, где оно совмещено с левым индексом на шкале C. Однако ответственность за мысленное отслеживание десятичной точки лежит на пользователе.

С помощью компьютера или с помощью компьютера [ править ]

Современные компьютеры вычисляют деление с помощью методов, которые быстрее, чем деление в столбик, причем более эффективные методы основаны на методах аппроксимации из численного анализа. Для деления с остатком см. Алгоритм деления .

В модульной арифметике (по модулю простого числа) и для действительных чисел ненулевые числа имеют мультипликативную инверсию . В этих случаях деление на x может быть вычислено как произведение на мультипликативную обратную величину x . Этот подход часто ассоциируется с более быстрыми методами компьютерной арифметики.

Разделение в разных контекстах [ править ]

Евклидово деление [ править ]

Евклидово деление - это математическая формулировка результата обычного процесса деления целых чисел. Он утверждает, что для двух целых чисел: a - делимого и b - делителя , таких, что b ≠ 0, существуют уникальные целые числа q , частное , и r , остаток, такие, что a = bq + r и 0 ≤ г <| b |, где | б | обозначает абсолютное значение в б .

Целых чисел [ править ]

Целые числа не закрываются при делении. Кроме того, что деление на ноль не определено, частное не является целым числом, если делимое не является целым числом, кратным делителю. Например, 26 нельзя разделить на 11, чтобы получить целое число. В таком случае используется один из пяти подходов:

1. Скажите, что 26 нельзя разделить на 11; деление становится частичной функцией .
2. Дайте примерный ответ в виде « реального » числа. Это подход, обычно применяемый при численных вычислениях .
3. Дайте ответ в виде дроби , представляющей собой рациональное число , так что результат деления 26 на 11 является (или в виде смешанного числа , поэтому ) Обычно в результате чего фракция должна быть упрощенной: результат деления 52 на 22 также . Это упрощение может быть выполнено путем вынесения за скобки наибольшего общего делителя .${\ displaystyle {\ tfrac {26} {11}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {26} {11}} = 2 {\ tfrac {4} {11}}.}$${\ displaystyle {\ tfrac {26} {11}}}$
4. Дайте ответ в виде целого частного и остатка , поэтому для отличия от предыдущего случая, это деление с двумя целыми числами иногда называют евклидовым делением , потому что оно является основой алгоритма Евклида .${\ displaystyle {\ tfrac {26} {11}} = 2 {\ mbox {elseder}} 4.}$
5. В качестве ответа укажите целочисленное частное, поэтому это иногда называют целочисленным делением .${\ displaystyle {\ tfrac {26} {11}} = 2.}$

Деление целых чисел в компьютерной программе требует особой осторожности. Некоторые языки программирования , такие как C , обрабатывают целочисленное деление, как в случае 5 выше, поэтому ответ - целое число. Другие языки, такие как MATLAB и все системы компьютерной алгебры, возвращают рациональное число в качестве ответа, как в случае 3 выше. Эти языки также предоставляют функции для получения результатов других наблюдений либо напрямую, либо из результата случая 3.

Имена и символы, используемые для целочисленного деления, включают div, /, \ и%. Определения различаются относительно целочисленного деления, когда делимое или делитель отрицательное: округление может быть в сторону нуля (так называемое T-деление) или в сторону -∞ (F-деление); могут встречаться более редкие стили - подробности см. в разделе « Работа по модулю» .

Иногда правила делимости можно использовать, чтобы быстро определить, точно ли одно целое число делится на другое.

Рациональных чисел [ править ]

Результатом деления двух рациональных чисел является другое рациональное число, когда делитель не равен 0. Деление двух рациональных чисел p / q и r / s может быть вычислено как

${\displaystyle {p/q \over r/s}={p \over q}\times {s \over r}={ps \over qr}.}$

Все четыре величины являются целыми числами, и только p может быть 0. Это определение гарантирует, что деление является обратной операцией умножения .

Реальных чисел [ править ]

В результате деления двух действительных чисел получается другое действительное число (если делитель не равен нулю). Он определяется так, что a / b = c тогда и только тогда, когда a = cb и b ≠ 0.

Комплексных чисел [ править ]

Разделение двух комплексных чисел (когда делитель отличен от нуля) приводит к другому комплексному числу, которое находится с помощью конъюгата знаменателя:

${\displaystyle {p+iq \over r+is}={(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)}={pr+qs+i(qr-ps) \over r^{2}+s^{2}}={pr+qs \over r^{2}+s^{2}}+i{qr-ps \over r^{2}+s^{2}}.}$

Этот процесс умножения и деления на называется «реализацией» или (по аналогии) рационализацией . Все четыре величины p , q , r , s являются действительными числами, и оба r и s не могут быть равны 0.${\displaystyle r-is}$

Деление комплексных чисел в полярной форме проще, чем определение выше:

${\displaystyle {pe^{iq} \over re^{is}}={pe^{iq}e^{-is} \over re^{is}e^{-is}}={p \over r}e^{i(q-s)}.}$

Опять же, все четыре величины p , q , r , s являются действительными числами, и r не может быть 0.

Полиномов [ править ]

Можно определить операцию деления многочленов от одной переменной над полем . Тогда, как и в случае с целыми числами, остается остаток. См. Евклидово деление многочленов и, для рукописных вычислений, полиномиальное деление в столбик или синтетическое деление .

Матриц [ править ]

Для матриц можно определить операцию деления. Обычный способ сделать это состоит в определении A / B = AB ^-1 , где B ^-1 обозначает на обратный из B , но она гораздо чаще выписать AB ^-1 явно , чтобы избежать путаницы. Подразделение поэлементно также могут быть определены в терминах продукта Адамара .

Левое и правое деление [ править ]

Поскольку умножение матриц не коммутативное , можно также определить левое деление или так называемую обратную косую деление как A \ B = A ^-1 B . Чтобы это было правильно определено, B ⁻¹ может не существовать, однако A ⁻¹ должен существовать. Чтобы избежать путаницы, разделение, определяемое как A / B = AB ^-1 , иногда в этом контексте называется правым делением или делением косой черты .

Обратите внимание, что с левым и правым делением, определенным таким образом, A / ( BC ), как правило, не то же самое, что ( A / B ) / C , и ( AB ) \ C не то же самое, что A \ ( B \ C ) . Однако верно, что A / ( BC ) = ( A / C ) / B и ( AB ) \ C = B \ ( A \ C ) .

Псевдообратная [ править ]

Чтобы избежать проблем, когда A ^-1 и / или B ^-1 не существуют, деление также можно определить как умножение на псевдообратное . То есть, / B = AB ⁺ и \ B = ⁺ B , где ⁺ и B ⁺ обозначают pseudoinverses из A и B .

Абстрактная алгебра [ править ]

В абстрактной алгебре , учитывая магму с бинарной операцией ∗ (которую можно условно назвать умножением), левое деление b на a (записанное a \ b ) обычно определяется как решение x уравнения a ∗ x = b , если это существует и уникален. Точно так же правое деление b на a ( обозначается b / a ) является решением y уравнения y ∗ a = b. Деление в этом смысле не требует от ∗ каких-либо конкретных свойств (таких как коммутативность, ассоциативность или единичный элемент).

«Разделение» в смысле «отмены» может быть выполнено в любой магме элементом со свойством отмены . Примеры включают матричные алгебры и алгебры кватернионов . Квазигруппа представляет собой структуру , в которой разделение всегда возможно, даже без единичного элемента и , следовательно , обратных. В целостной области , где не каждый элемент должен иметь инверсию, деление на отменяющий элемент a все еще может выполняться для элементов формы ab или ca посредством левой или правой отмены, соответственно. Если кольцоконечно, и каждый ненулевой элемент является сокращаемым, тогда, применяя принцип «голубятни» , каждый ненулевой элемент кольца обратим, и возможно деление на любой ненулевой элемент. Чтобы узнать о том, когда алгебры (в техническом смысле) имеют операцию деления, обратитесь к странице, посвященной алгебрам деления . В частности, периодичность Ботта может использоваться, чтобы показать, что любая вещественная нормированная алгебра с делением должна быть изоморфна действительным числам R , комплексным числам C , кватернионам H или октонионам O.

Исчисление [ править ]

Производная от отношения двух функций определяются правило фактора :

${\displaystyle {\left({\frac {f}{g}}\right)}'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}.}$

Деление на ноль [ править ]

Деление любого числа на нуль в большинстве математических систем не определен, так как ноль умноженный на любое конечное число всегда приводит к продукту нуля. ^[16] Ввод такого выражения в большинство калькуляторов вызывает сообщение об ошибке. Однако в некоторых математиках более высокого уровня деление на ноль возможно с помощью нулевого кольца и алгебр, таких как колеса . ^[17] В этих алгебрах значение деления отличается от традиционных определений.

См. Также [ править ]

В Wikisource есть текст статьи из Новой Международной энциклопедии 1905 года « Отдел математики ».

• Алгоритм деления Сунзи 400AD
• Деление на два
• Дивизия галеры
• Обратный элемент
• Порядок действий
• Повторяющаяся десятичная дробь

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с делением (математикой) .

• Planetmath Division
• Деление на японских счетах, выбранных из Abacus: Mystery of the Bead
• Приемы китайских коротких делений на суан-пан
• Правила делимости