Соотношение

Отношение ширины к высоте телевидения стандартной четкости

В математике соотношение указывает, сколько раз одно число содержит другое. Например, если в миске с фруктами находится восемь апельсинов и шесть лимонов, то соотношение апельсинов и лимонов будет восемь к шести (то есть 8∶6, что эквивалентно соотношению 4∶3). Точно так же соотношение лимонов к апельсинам составляет 6∶8 (или 3∶4), а соотношение апельсинов к общему количеству фруктов составляет 8∶14 (или 4∶7).

Числа в соотношении могут быть количествами любого типа, такими как количество людей или предметов, или такими как измерения длины, веса, времени и т. Д. В большинстве случаев оба числа ограничены положительными значениями.

Отношение может быть указано либо путем указания обоих составляющих чисел, записанных как « a to b » или « a ∶ b », ^[1], либо путем указания только значения их частного. а/б. ^{[2] [3] [4]} Равные отношения соответствуют равным отношениям.

Следовательно, отношение можно рассматривать как упорядоченную пару чисел, дробь с первым числом в числителе и вторым в знаменателе, или как значение, обозначенное этой дробью. Отношения подсчетов, заданные (ненулевыми) натуральными числами , являются рациональными числами , а иногда могут быть натуральными числами. Когда две величины измеряются одной и той же единицей измерения, как это часто бывает, их отношение является безразмерным числом . Частное двух величин, измеренных в разных единицах, называется нормой . ^[5]

Обозначения и терминология [ править ]

Соотношение чисел A и B можно выразить как: ^[6]

• отношение A к B
• А ∶ Б
• A относится к B (когда за ним следует «как C относится к D  »; см. Ниже)
• фракция с А , как числитель и B в качестве знаменателя , который представляет собой фактор (то есть, делится на B, или ). Это может быть выражено в виде простой или десятичной дроби, или в процентах и ​​т. Д. ^[7] ${\ displaystyle {\ tfrac {A} {B}}}$

Толстой кишки (:) часто используется вместо символа отношения, ^[1] Юникода U + 2236 (:).

Числа A и B иногда называют членами отношения , где A является антецедентом, а B - следствием . ^[8]

Заявление , выражающее равенство двух отношений : B и C : D называется пропорция , ^[9] записывается в виде A : B = C : D или A : B ∷ C : D . Эта последняя форма, когда произносится или пишется на английском языке, часто выражается как

( A относится к B ) как ( C относится к D ).

A , B , C и D называются членами пропорции. A и D называются его крайностями , а B и C - его средними значениями . Равенство трех или более соотношений, например A ∶ B = C ∶ D = E ∶ F , называется непрерывной пропорцией . ^[10]

Соотношения иногда используются с тремя или даже более терминами, например, пропорция для длин кромок « два на четыре », длина которых составляет десять дюймов, поэтому

${\ displaystyle {\ text {толщина: ширина: длина}} = 2: 4: 10;}$

(неструганные измерения; первые два числа немного уменьшаются при гладкой строгании древесины)

хорошая бетонная смесь (в единицах объема) иногда обозначается как

${\ displaystyle {\ text {цемент: песок: гравий}} = 1: 2: 4.}$^[11]

Для (довольно сухой) смеси из 4/1 части объема цемента и воды можно сказать, что отношение цемента к воде составляет 4∶1, что цемента в 4 раза больше, чем воды, или что имеется четверть (1/4) количества воды, чем цемента.

Смысл такой пропорции соотношений с более чем двумя членами состоит в том, что отношение любых двух членов в левой части равно отношению соответствующих двух членов в правой части.

История и этимология [ править ]

Можно проследить происхождение слова «ratio» от древнегреческого λόγος ( логос ). Ранние переводчики переводили это на латынь как ratio («разум»; как в слове «рациональный»). Более современная интерпретация ^{[ по сравнению с? ]} смысла Евклида больше сродни вычислению или расчету. ^[12] Средневековые писатели использовали слово proportio («пропорция»), чтобы обозначить соотношение, и пропорциональность («пропорциональность») для равенства соотношений. ^[13]

Евклид собрал результаты, появляющиеся в Элементах, из более ранних источников. В пифагорейцы разработала теорию соотношения и пропорции применительно к номерам. ^[14] Концепция числа пифагорейцев включала только то, что сегодня назвали бы рациональными числами, что ставит под сомнение обоснованность теории в геометрии, где, как также обнаружили пифагорейцы, существуют несоизмеримые отношения (соответствующие иррациональным числам ). Открытие теории соотношений, не предполагающей соизмеримости, вероятно, связано с Евдоксом Книдским . Изложение теории пропорций, представленное в книге VII «Элементов», отражает более раннюю теорию соотношений соизмеримых. ^[15]

Существование множественных теорий кажется излишне сложным, поскольку отношения в значительной степени отождествляются с частными и их предполагаемыми значениями. Однако это сравнительно недавнее развитие, как видно из того факта, что современные учебники геометрии все еще используют различную терминологию и обозначения для соотношений и частных. Причины этого двоякие: во-первых, было упомянутое ранее нежелание принимать иррациональные числа как истинные числа, а во-вторых, отсутствие широко используемой символики для замены уже установленной терминологии соотношений задерживало полное принятие дробей как альтернативу до 16 век. ^[16]

Определения Евклида [ править ]

Книга V « Элементов» Евклида содержит 18 определений, все из которых относятся к отношениям. ^[17] Кроме того, Евклид использует идеи, которые были настолько распространены, что он не дал им определений. Первые два определения говорят, что часть количества - это другая величина, которая ее «измеряет», и, наоборот, кратное количеству - это другое количество, которое оно измеряет. В современной терминологии это означает, что кратное количество - это количество, умноженное на целое число больше единицы, а часть количества (означающая аликвотную часть ) - это часть, которая при умножении на целое число больше единицы дает количество.

Евклид не определяет термин «меры» , как используется здесь, однако, можно сделать вывод , что если величина берутся в качестве единицы измерения, а вторая величина определяются как целое число этих единиц, то первое количество мер по второй. Эти определения повторяются, почти дословно, как определения 3 и 5 в книге VII.

Определение 3 описывает, что такое соотношение в целом. Он не является строгим в математическом смысле, и некоторые приписывают его редакторам Евклида, а не самому Евклиду. ^[18] Евклид определяет соотношение как между двумя величинами одного и того же типа , поэтому этим определением определяются отношения двух длин или двух площадей, но не отношения длины и площади. Определение 4 делает это более строгим. В нем говорится, что существует соотношение двух величин, когда одно из них превышает другое. В современных обозначениях существует соотношение между величинами p и q , если существуют целые числа m и n такие, что mp > q и nq> стр . Это состояние известно как свойство Архимеда .

Определение 5 - самое сложное и трудное. Он определяет, что означает равенство двух соотношений. Сегодня это можно сделать, просто заявив, что отношения равны, когда частные членов равны, но Евклид не принимал существование частных несоизмеримых, ^{[ требуется пояснение ],} поэтому такое определение было бы бессмысленным для него. Таким образом, требуется более тонкое определение, если задействованные количества не измеряются напрямую относительно друг друга. В современных обозначениях Евклид определяет равенство следующим образом: при заданных величинах p , q , r и s , p ∶ q ∷ r  ∶ sтогда и только тогда, когда для любых положительных целых чисел m и n , np < mq , np = mq или np > mq в соответствии с nr < ms , nr = ms или nr > ms , соответственно. ^[19] Это определение имеет сходство с сечениями Дедекинда, поскольку, когда n и q положительные, np обозначает mq какп/q стоит в рациональном числе м/п(разделив оба члена на nq ). ^[20]

Определение 6 говорит, что количества, имеющие одинаковое соотношение, пропорциональны или пропорциональны . Евклид использует греческое ἀναλόγον (аналог), оно имеет тот же корень, что и λόγος, и связано с английским словом «аналог».

Определение 7 определяет, что означает, что одно отношение меньше или больше другого, и основано на идеях, представленных в определении 5. В современных обозначениях говорится, что данные величины p , q , r и s , p ∶ q > r ∶ s, если существуют натуральные числа m и n, так что np > mq и nr ≤ ms .

Как и определение 3, определение 8 рассматривается некоторыми как более поздняя вставка редактора Евклида. Он определяет три члена p , q и r как пропорциональные, когда p ∶ q ∷ q ∶ r . Это расширяется до 4 членов p , q , r и s как p ∶ q ∷ q ∶ r ∷ r ∶ s , и так далее. Последовательности, которые обладают тем свойством, что отношения последовательных членов равны, называются геометрическими прогрессиями. Определения 9 и 10 применяют это, говоря , что если р , д и г находятся в пропорции , то р : г является дубликатом соотношение из р : д , и если р , д , г и s находятся в пропорции , то р : ы это отношение трех экземплярах из p ∶ q .

Количество терминов и использование дробей [ править ]

В общем, сравнение количеств отношения двух объектов может быть выражено как дробь, полученная из отношения. Например, при соотношении 2∶3 количество, размер, объем или количество первого объекта соответствует количеству второго объекта.${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$

Если есть 2 апельсина и 3 яблока, соотношение апельсинов к яблокам составляет 2∶3, а соотношение апельсинов к общему количеству кусочков фруктов составляет 2∶5. Эти соотношения также могут быть выражены в виде дробей: апельсинов на 2/3 меньше, чем яблок, и 2/5 кусочков фруктов составляют апельсины. Если концентрат апельсинового сока нужно разбавить водой в соотношении 1∶4, то одна часть концентрата смешивается с четырьмя частями воды, что дает всего пять частей; количество концентрата апельсинового сока составляет 1/4 количества воды, тогда как количество концентрата апельсинового сока составляет 1/5 всей жидкости. И в соотношениях, и в дробях важно четко понимать, что сравнивается с чем, и новички часто делают ошибки по этой причине.

Доли также могут быть выведены из соотношений с более чем двумя объектами; однако соотношение с более чем двумя объектами не может быть полностью преобразовано в одну дробь, потому что дробь может сравнивать только две величины. Отдельная дробь может использоваться для сравнения количеств любых двух объектов, охватываемых соотношением: например, из отношения 2∶3∶7 мы можем сделать вывод, что количество второго объекта совпадает с количеством третьего объекта.${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}$

Пропорции и процентные соотношения [ править ]

Если мы умножим все количества, входящие в соотношение, на одно и то же число, соотношение останется действительным. Например, соотношение 3∶2 равно 12∶8. Обычно члены либо сокращают до наименьшего общего знаменателя , либо выражают их в частях на сто ( процентов ).

Если смесь содержит вещества A, B, C и D в соотношении 5∶9∶4∶2, то на каждые 9 частей B приходится 5 частей A, 4 части C и 2 части D. Как 5 + 9 + 4 + 2 = 20, общая смесь содержит 5/20 A (5 частей из 20), 9/20 B, 4/20 C и 2/20 D. Если мы разделим все числа на Всего и умножив на 100, мы преобразовали в проценты : 25% A, 45% B, 20% C и 10% D (эквивалентно записи отношения как 25∶45∶20∶10).

Если два или более соотношения количества охватывают все количества в конкретной ситуации, говорят, что «целое» содержит сумму частей: например, корзина с фруктами, содержащая два яблока и три апельсина, и никаких других фруктов не производится. состоит из двух частей яблок и трех частей апельсинов. В этом случае, или 40% всего составляют яблоки и , или 60% целого - апельсины. Это сравнение определенного количества со «целым» называется пропорцией.${\displaystyle {\tfrac {2}{5}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$

Если соотношение состоит только из двух значений, его можно представить в виде дроби, в частности десятичной дроби. Например, более старые телевизоры имеют соотношение сторон 4x3 , что означает, что ширина составляет 4/3 высоты (это также можно выразить как 1,33∶1 или просто 1,33 с округлением до двух десятичных знаков). Более современные широкоэкранные телевизоры имеют соотношение сторон 16∶9 или 1,78 с округлением до двух десятичных знаков. Один из популярных широкоформатных форматов фильмов - 2,35х1 или просто 2,35. Представление соотношений в виде десятичных дробей упрощает их сравнение. При сравнении 1,33, 1,78 и 2,35 становится очевидно, какой формат предлагает более широкое изображение. Такое сравнение работает только тогда, когда сравниваемые значения согласованы, например, когда ширина всегда выражается по отношению к высоте.

Сокращение [ править ]

Соотношения можно уменьшить (как и дробные части), разделив каждую величину на общие коэффициенты всех величин. Что касается дробей, то самой простой формой считается та, в которой числа в соотношении являются наименьшими возможными целыми числами.

Таким образом, отношение 40∶60 по смыслу эквивалентно соотношению 2∶3, последнее получается из первого путем деления обеих величин на 20. Математически мы пишем 40∶60 = 2∶3 или, что эквивалентно, 40∶60∷ 2∶3. Словесный эквивалент: «40 - 60, 2 - 3».

Отношение, которое имеет целые числа для обеих величин и которое не может быть уменьшено в дальнейшем (с использованием целых чисел), называется простейшей формой или наименьшими значениями.

Иногда полезно записать отношение в форме 1∶ x или x ∶1, где x не обязательно является целым числом, чтобы можно было сравнивать разные отношения. Например, соотношение 4∶5 может быть записано как 1∶1,25 (деление обеих сторон на 4). В качестве альтернативы оно может быть записано как 0,8∶1 (деление обеих сторон на 5).

В тех случаях, когда контекст проясняет значение, соотношение в этой форме иногда записывается без 1 и символа отношения (∶), хотя математически это делает его множителем или множителем .

Иррациональные соотношения [ править ]

Отношения могут также устанавливаться между несоизмеримыми величинами (количествами, отношение которых, как величина дроби, составляет иррациональное число ). Ранний обнаружил пример, найденный по пифагорейцев , является отношение длины диагонали D к длине стороны ев из квадрата , который является квадратный корень из 2 , формально Другим примером является отношение к окружности «ы длина окружности равна ее диаметру, который называется π и является не просто алгебраически иррациональным числом , но трансцендентным иррациональным .${\displaystyle a:d=1:{\sqrt {2}}.}$

Также хорошо известно золотое сечение двух (в основном) длин a и b , которое определяется соотношением

${\displaystyle a:b=(a+b):a\quad }$ или, что то же самое ${\displaystyle \quad a:b=(1+b/a):1.}$

Принимая соотношения в виде дробей и имеющих значение x , получаем уравнение${\displaystyle a:b}$

${\displaystyle x=1+{\tfrac {1}{x}}\quad }$ или же ${\displaystyle \quad x^{2}-x-1=0,}$

который имеет положительное иррациональное решение. Таким образом, по крайней мере одно из a и b должно быть иррациональным, чтобы они находились в золотом сечении. Пример использования золотого сечения в математике - это предельное значение отношения двух последовательных чисел Фибоначчи : даже если все эти отношения являются отношениями двух целых чисел и, следовательно, являются рациональными, предел последовательности этих рациональных соотношений равен иррациональное золотое сечение.${\displaystyle x={\tfrac {a}{b}}={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

Аналогичным образом , соотношение серебра из а и б определяется пропорционально

${\displaystyle a:b=(2a+b):a\quad (=(2+b/a):1),}$ соответствующий ${\displaystyle x^{2}-2x-1=0.}$

Это уравнение имеет положительное иррациональное решение, поэтому опять же по крайней мере одна из двух величин a и b в соотношении серебра должна быть иррациональной.${\displaystyle x={\tfrac {a}{b}}=1+{\sqrt {2}},}$

Коэффициенты [ править ]

Шансы (как в азартных играх) выражаются в виде отношения. Например, шансы «7 к 3 против» (7∶3) означают, что существует семь шансов, что событие не произойдет, из каждых трех шансов, что оно произойдет. Вероятность успеха 30%. В каждых десяти испытаниях ожидается три победы и семь поражений.

Единицы [ править ]

Отношения могут быть безразмерными , поскольку в случае, если они связывают величины в единицах одного измерения , даже если их единицы измерения изначально разные. Например, соотношение 1 минута 40 секунд можно уменьшить, изменив первое значение на 60 секунд, так что соотношение станет 60 секунд ∶ 40 секунд . Если единицы измерения совпадают, их можно не указывать, а соотношение можно уменьшить до 3∶2.

С другой стороны, существуют безразмерные отношения, также известные как ставки . ^{[21] [22]} В химии отношения массовой концентрации обычно выражаются в виде массовых / объемных долей. Например, концентрация 3% мас. / Об. Обычно означает 3 г вещества на каждые 100 мл раствора. Это не может быть преобразовано в безразмерное соотношение, например вес / вес или объем / объемные доли.

Треугольные координаты [ править ]

Расположение точек относительно треугольника с вершинами A , B и C и сторонами AB , BC и CA часто выражается в форме расширенного соотношения как треугольные координаты .

В барицентрических координатах точка с координатами α, β, γ - это точка, в которой невесомый лист металла по форме и размеру треугольника точно сбалансировался бы, если бы на вершины были помещены гири, с соотношением весов в A и B является α ∶ β , отношение весов в B и C составляет β ∶ γ , и, следовательно, отношение весов в A и C составляет α ∶ γ .

В трилинейных координатах точка с координатами x  : y  : z имеет перпендикулярные расстояния до стороны BC (поперек вершины A ) и стороны CA (поперек вершины B ) в соотношении x  ∶ y , расстояния до стороны CA и стороны AB (поперек от C ) в отношении y  ∶ z , и, следовательно, расстояния до сторон BC и AB в отношении x  ∶ z .

Поскольку вся информация выражается в терминах отношений (отдельные числа, обозначаемые как α, β, γ, x, y и z , сами по себе не имеют значения), анализ треугольника с использованием барицентрических или трилинейных координат применяется независимо от размера треугольника. .

См. Также [ править ]

• Коэффициент разбавления
• Отношение рабочего объема к длине
• Безразмерная величина
• Финансовый коэффициент
• Сложить изменение
• Интервал (музыка)
• Соотношение шансов
• Частей на обозначение
• Соотношение цена / качество
• Пропорциональность (математика)
• Распределение соотношения
• Оценка отношения
• Оценить (математика)
• Соотношение ставок
• Относительный риск
• Правило трех (математика)
• Масштаб (карта)
• Масштаб (соотношение)
• Соотношение полов
• Суперчастичное соотношение
• Склон

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• "Соотношение" Пенни Cyclopdia vol. 19 , Общество распространения полезных знаний (1841) Чарльз Найт и Ко., Лондон, стр. 307ff.
• "Пропорция" Новая Международная Энциклопедия, Vol. 19 2-е изд. (1916) Додд Мид и Ко, стр 270-271
• "Соотношение и пропорция". Основы практической математики , Джордж Вентворт, Дэвид Юджин Смит, Герберт Друери Харпер (1922) Ginn and Co., стр. 55ff
• Тринадцать книг Элементов Евклида, том 2 . пер. Сэр Томас Литтл Хит (1908). Cambridge Univ. Нажмите. 1908. С. 112 и далее.CS1 maint: others (link)
• Д. Е. Смит, История математики, том 2, Ginn and Company (1925), стр. 477ff. Перепечатано в 1958 году Dover Publications.

Внешние ссылки [ править ]

Посмотрите соотношение в Wiktionary, бесплатном словаре.