Единица (теория колец)

В ветви абстрактной алгебры , известной как теории колец , А блок из кольца любой элемент , который имеет мультипликативный обратный в : элемент , такой , что ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle u \ in R}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle v \ in R}$

{\ displaystyle vu = uv = 1}

,

где $1$ - мультипликативное тождество . ^[1]^[2] Набор единиц $U (R)$ кольца образует группу при умножении.

Реже термин « единица» также используется для обозначения элемента $1$ кольца в таких выражениях, как « кольцо с единицей» или « единичное кольцо» , а также, например, «единичная» матрица . По этой причине некоторые авторы называют $1$ «единством» или «идентичностью» и говорят, что $R$ - это «кольцо с единицей» или «кольцо с идентичностью», а не «кольцо с единицей».

Примеры [ править ]

Мультипликативное тождество $1$ и его аддитивный обратный $-1$ всегда являются единицами. В более общем смысле, любой корень из единицы в кольце R является единицей: если $r n = 1$ , то $r n - 1$ является мультипликативным обратным к $r$ . В ненулевом кольце , то элемент 0 не является единицей, так что $U (R)$ не замкнут относительно того. Кольцо $R,$ в котором каждый ненулевой элемент является единицей (то есть $U (R) = R - {0}$ ), называется телом.(или тело). Коммутативное тело называется полем . Например, группа единиц поля действительных чисел $R$ - это $R - {0$ }.

Целые числа [ править ]

В кольце целых чисел $Z$ единственными единицами являются $1$ и $-1$ .

Кольцо целых чисел в числовом поле может иметь больше единиц в целом. Например, в кольце $Z [1 + \sqrt 5 / 2],$ которая возникает при присоединении квадратичного целого числа $1 + \sqrt 5 / 2$ до $Z$ , есть

(\sqrt 5 + 2) (\sqrt 5 - 2) = 1

в кольце, поэтому $\sqrt 5 + 2$ - единица. (Фактически, группа единиц этого кольца бесконечна. ^{[ Цитата ]} )

Фактически, теорема Дирихле о единице точно описывает структуру $U (R)$ : она изоморфна группе вида

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} ^ {n} \ oplus \ mu _ {R}}

где - (конечная, циклическая) группа корней из единицы в $R$ и $n$ , ранг единичной группы равен ${\ displaystyle \ mu _ {R}}$

{\ displaystyle n = r_ {1} + r_ {2} -1,}

где - количество вещественных вложений и количество пар комплексных вложений $F$ соответственно. ${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}}$

Это восстанавливает приведенный выше пример: группа единиц (кольца целых чисел) вещественного квадратичного поля бесконечна ранга 1, поскольку . ${\ displaystyle r_ {1} = 2, r_ {2} = 0}$

В кольце $Z / п Z$ из целых чисел по модулю $п$ , единицы являются классы конгруэнции $( по модулю п)$ представлены целыми числами взаимно простыми с $п$ . Они составляют мультипликативную группу целых чисел по модулю $n$ .

Полиномы и степенные ряды [ править ]

Для коммутативного кольца $R$ единицы кольца многочленов $R [x]$ - это в точности те многочлены

{\ Displaystyle p (x) = a_ {0} + a_ {1} x + \ точки a_ {n} x ^ {n}}

таким образом, что является единицей в $R$ , а остальные коэффициенты являются нильпотентными элементами, то есть, удовлетворяют для некоторого N . ^[3] В частности, если Р представляет собой домен (не имеет делителей нуля ), то единицы $R$ $[$ $х$ $]$ согласуются с одними из $R$ . Блоки силового кольца - это именно те силовые ряды. ${\ displaystyle a_ {0}}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {i} ^ {N} = 0}$ ${\ Displaystyle Р [[х]]}$

p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}

таким образом, что является единицей в $R$ . ^[4] $a_{0}$

Матричные кольца [ править ]

Группа единиц кольца $М п (R)$ из п × п матриц над кольцом $R$ представляет собой группу $GL п ( Р )$ из обратимых матриц . Для коммутативного кольца $R$ , элемент $А$ из $М п (R)$ обратим тогда и только тогда , когда определитель из $А$ обратим в $R$ . В этом случае $A -1$ явно задается правилом Крамера .

В общем [ править ]

Для элементов $x$ и $y$ в кольце $R$ , если обратимо, то обратимо с обратным . ^[5] Формулу обратного можно угадать, но не доказать, следующим вычислением в кольце некоммутативных степенных рядов: $1-xy$ $1-yx$ $1+y(1-xy)^{-1}x$

(1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y\left(\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}\right)x=1+y(1-xy)^{-1}x.

См . Личность Хуа для получения аналогичных результатов.

Группа юнитов [ править ]

Единицы кольца $R$ образуют группу $U (R)$ относительно умножения, на группу единиц из $R$ .

Другие общие обозначения для $U (R)$ - $R *$ , $R \times$ и $E (R)$ (от немецкого термина Einheit ).

Коммутативное кольцо является локальным кольцом , если $R - U (R)$ является максимальным идеалом .

Как выясняется, если $R - U (R)$ является идеалом, то это обязательно максимальный идеал и R является локальным так как максимальный идеал не пересекается с $U (R)$ .

Если $R$ - конечное поле , то $U (R)$ - циклическая группа порядка . $|R|-1$

Формулировка группы единиц определяет функтор $U$ из категории колец в категорию групп :

каждый гомоморфизм колец $f : R \to S$ индуцирует гомоморфизм группы $U (f): U (R) \to U (S)$ , поскольку $f$ отображает единицы в единицы.

Этот функтор имеет левый сопряженный элемент, являющийся конструкцией целочисленного группового кольца . ^[6]

Групповая схема изоморфна мультипликативной групповой схемы над любым основанием, так что для любого коммутативного кольца $R$ , групп и канонически изоморфны . Заметим, что функтор (т.е. ) представим в смысле: для коммутативных колец R (это, например, следует из вышеупомянутого сопряженного отношения с конструкцией группового кольца). Явно это означает, что существует естественная биекция между множеством гомоморфизмов колец и множеством единичных элементов R (напротив, представляет собой аддитивную группу $\operatorname {GL} _{1}$ $\mathbb {G} _{m}$ $\operatorname {GL} _{1}(R)$ $\mathbb {G} _{m}(R)$ $U(R)$ $\mathbb {G} _{m}$ $R\mapsto U(R)$ $\mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)$ $\mathbb {Z} [t,t^{-1}]\to R$ $\mathbb {Z} [t]$ $\mathbb {G} _{a}$ , забывчивый функтор из категории коммутативных колец в категорию абелевых групп).

Связанность [ править ]

Предположим, что $R$ коммутативно. Элементы $r$ и $s$ в $R$ называются ассоциированными, если существует такая единица $u$ в $R$ , что $r = us$ ; тогда пишем $r \sim s$ . В любом кольце, пары аддитивных обратных элементов ^[а] $х$ и $- х$ являются ассоциированными . Так , например, 6 и -6 являются ассоциированными в $Z$ . В общем, $~$ является отношением эквивалентности на $R$ .

Associatedness также может быть описан в терминах действий на $U (R)$ на $R$ с помощью умножения: два элемента $R$ является ассоциированным , если они находятся в одной и тот же $U (R)$ - орбита .

В области целостности множество ассоциатов данного ненулевого элемента имеет ту же мощность, что и $U (R)$ .

Отношение эквивалентности $~$ можно рассматривать как любой из отношений Грина полугруппы специализированных мультипликативной полугруппы коммутативной кольца $R$ .

См. Также [ править ]

S-единицы
Локализация кольца и модуля

Заметки [ править ]

^ $x$ и $- x$ не обязательно различны. Например, в кольце целых чисел по модулю 6 $3 = -3,$ хотя $1 \neq -1$ .

Цитаты [ править ]

^ Dummit & Фут 2004 .
^ Lang 2002 .
^ Уоткинс (2007 , теорема 11.1)
^ Уоткинс (2007 , теорема 12.1)
^ Якобсон 2009 , § 2.2. Упражнение 4.
^ Упражнение 10 в п. 2.2. из Кона, Пол М. (2003). Дальнейшая алгебра и приложения (Пересмотренное издание алгебры, 2-е изд.). Лондон: Springer-Verlag . ISBN 1-85233-667-6. Zbl 1006.00001 .

Источники [ править ]

Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Вили и сыновья . ISBN 0-471-43334-9.
Джейкобсон, Натан (2009). Основы алгебры 1 (2-е изд.). Дувр. ISBN 978-0-486-47189-1.
Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для выпускников по математике . Springer . ISBN 0-387-95385-X.
Уоткинс, Джон Дж. (2007), Темы теории коммутативных колец , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12748-4, Руководство по ремонту 2330411

[7] $x$ и $- x$ не обязательно различны. Например, в кольце целых чисел по модулю 6 $3 = -3,$ хотя $1 \neq -1$ .

[FOOTNOTEDummitFoote2004-1] Dummit & Фут 2004 .

[FOOTNOTELang2002-2] Lang 2002 .

[3] Уоткинс (2007 , теорема 11.1)

[4] Уоткинс (2007 , теорема 12.1)

[FOOTNOTEJacobson2009§_2.2._Exercise_4-5] Якобсон 2009 , § 2.2. Упражнение 4.

[6] Упражнение 10 в п. 2.2. из Кона, Пол М. (2003). Дальнейшая алгебра и приложения (Пересмотренное издание алгебры, 2-е изд.). Лондон: Springer-Verlag . ISBN 1-85233-667-6. Zbl 1006.00001 .

[1]