В математике , с единичным элементом , или нейтральным элементом , представляет собой особый тип элемента набора по отношению к бинарной операции на это множество, что оставляет какой - либо элемент множества без изменений , когда в сочетании с ним. [1] [2] [3] Это понятие используется в алгебраических структурах, таких как группы и кольца . Термин « элемент идентичности» часто сокращается до « идентичность» (как в случае аддитивной идентичности и мультипликативной идентичности) [4] когда нет возможности путаницы, но идентификатор неявно зависит от двоичной операции, с которой он связан.
Определения [ править ]
Пусть ( S , ∗) - множество S, снабженное бинарной операцией ∗. Тогда элемент е из S называется левым тождественность , если е * = для всех а в S , и правом личности , если * е = для всех а в S . [5] Если e является одновременно левой и правой идентичностью, то это называется двусторонней идентичностью или простоличность . [6] [7] [8] [9] [10]
Тождество относительно сложения называется аддитивным тождеством (часто обозначается как 0), а тождество относительно умножения называется мультипликативным тождеством (часто обозначается как 1). [4] Это не обязательно должно быть обычное сложение и умножение, поскольку основная операция может быть довольно произвольной. В случае группы, например, элемент идентичности иногда просто обозначается символом . [11] Различие между аддитивной и мультипликативной идентичностью чаще всего используется для наборов, которые поддерживают обе бинарные операции, такие как кольца , целые области и поля.. В последнем контексте мультипликативное тождество часто называют единицей (кольцо с единицей). [12] [13] [14] Это не следует путать с единицей в теории колец, которая представляет собой любой элемент, имеющий мультипликативный обратный . По своему собственному определению, единство обязательно является единицей. [15] [16]
Примеры [ править ]
| Набор | Операция | Личность |
|---|---|---|
| Вещественные числа | + ( сложение ) | 0 |
| Вещественные числа | · ( Умножение ) | 1 |
| Комплексные числа | + (сложение) | 0 |
| Комплексные числа | · (Умножение) | 1 |
| Положительные целые числа | Наименьший общий множитель | 1 |
| Неотрицательные целые числа | Наибольший общий делитель | 0 (согласно большинству определений НОД) |
| m -by- n матриц | Матрица сложения | Нулевая матрица |
| п матрица с размерностью п квадратных матриц | Умножение матриц | I n ( единичная матрица ) |
| m -by- n матриц | ○ ( произведение Адамара ) | J m , n ( матрица единиц ) |
| Все функции из набора M себе | ∘ ( функциональная композиция ) | Функция идентичности |
| Все распределения в группе , G | * ( Свертка ) | δ ( дельта Дирака ) |
| Расширенные действительные числа | Минимум / инфимум | + ∞ |
| Расширенные действительные числа | Максимум / супремум | −∞ |
| Подмножества множества M | ∩ ( перекресток ) | M |
| Наборы | ∪ ( союз ) | ∅ ( пустой набор ) |
| Строки , списки | Конкатенация | Пустая строка , пустой список |
| Булева алгебра | ∧ ( логический и ) | ⊤ (правда) |
| Булева алгебра | ↔ ( логический двусмысленный ) | ⊤ (правда) |
| Булева алгебра | ∨ ( логическое или ) | ⊥ (ложь) |
| Булева алгебра | ⊕ ( исключающее или ) | ⊥ (ложь) |
| Узлы | Сумма узла | Не узел |
| Компактные поверхности | # ( связная сумма ) | S 2 |
| Группы | Прямой продукт | Тривиальная группа |
| Два элемента, { e , f } | ∗ определяется как e ∗ e = f ∗ e = e и f ∗ f = e ∗ f = f | И e, и f - левые тождества, но нет правого тождества и двустороннего тождества. |
| Однородные отношения на множестве X | Относительный продукт | Отношение идентичности |
Свойства [ править ]
В примере S = { e, f } с данными равенствами S - полугруппа . Он демонстрирует возможность для ( S , ∗) иметь несколько левых тождеств. Фактически, каждый элемент может быть левой идентичностью. Подобным образом может быть несколько правильных идентичностей. Но если существует и правая идентичность, и левая идентичность, тогда они должны быть равны, в результате чего получается одна двусторонняя идентичность.
Чтобы убедиться в этом, заметим, что если l - левая единица, а r - правая единица, то l = l ∗ r = r . В частности, никогда не может быть более одного двустороннего тождества: если бы их было два, скажем e и f , то e ∗ f должно было бы быть равно как e, так и f .
Также вполне возможно, что ( S , ∗) не имеет единичного элемента [17], например, в случае четных целых чисел при операции умножения. [4] Еще одним распространенным примером является кросс продукт из векторов , где отсутствие элемента идентичности связано с тем , что направление любого ненулевого векторное произведение всегда ортогональны к любому элементу , умноженное. То есть невозможно получить ненулевой вектор в том же направлении, что и оригинал. Еще один пример группы без единичного элемента включает аддитивную полугруппу из позитива натуральные числа .
См. Также [ править ]
- Поглощающий элемент
- Противоположное число
- Обобщенная обратная
- Идентичность (уравнение)
- Функция идентичности
- Обратный элемент
- Моноид
- Псевдокольцо
- Квазигруппа
- Unital (значения)
Примечания и ссылки [ править ]
- ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - идентичность" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 1 декабря 2019 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Элемент идентичности» . mathworld.wolfram.com . Проверено 1 декабря 2019 .
- ^ «Определение ЭЛЕМЕНТА ИДЕНТИЧНОСТИ» . www.merriam-webster.com . Проверено 1 декабря 2019 .
- ^ a b c «Элемент идентичности» . www.encyclopedia.com . Проверено 1 декабря 2019 .
- ^ Fraleigh (1976 , стр. 21)
- ^ Борегард & Fraleigh (1973 , стр. 96)
- ^ Fraleigh (1976 , стр. 18)
- ^ Херстейн (1964 , стр. 26)
- ↑ Маккой (1973 , стр.17)
- ^ "Identity Element | Блестящая вики по математике и науке" . brilliant.org . Проверено 1 декабря 2019 .
- ^ "Полный список символов алгебры" . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 13 августа 2020 .
- ^ Борегард & Fraleigh (1973 , стр. 135)
- ^ Fraleigh (1976 , стр. 198)
- ↑ Маккой (1973 , стр.22)
- ^ Fraleigh (1976 , стр. 198266)
- ^ Херстейн (1964 , стр. 106)
- ↑ Маккой (1973 , стр.22)
Библиография [ править ]
- Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
- Фрали, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
- Херштейн, И. Н. (1964), « Темы алгебры» , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
- Маккой, Нил Х. (1973), Введение в современную алгебру, исправленное издание , Бостон: Аллин и Бэкон , LCCN 68015225
Дальнейшее чтение [ править ]
- М. Килп, У. Кнауэр, А.В. Михалев, Моноиды, акты и категории с приложениями к сплетениям и графам , Экспозиции Де Грюйтера по математике, т. 29, Вальтер де Грюйтер, 2000, ISBN 3-11-015248-7 , стр. 14–15
