В математике , то аддитивная идентичность из набора , который оборудован с работой в дополнении является элементом , который при добавлении к любому элементу х в наборе, дает х . Одним из наиболее известных аддитивных тождеств является число 0 из элементарной математики , но аддитивные тождества встречаются в других математических структурах, где определено сложение, например, в группах и кольцах .
Элементарные примеры [ править ]
- Аддитивное тождество, известное из элементарной математики, равно нулю, обозначенному 0 . [1] Например,
- В натуральных числах N и во всех его надмножествах ( целые числа Z , рациональные числа Q , действительные числа R или комплексные числа C ) аддитивная единица равна 0. Таким образом, для любого из этих чисел n ,
Формальное определение [ править ]
Пусть N быть группой , которая закрывается под операции в дополнение , обозначаемое + . Аддитивная тождество для N , обозначается е , [2] является элементом N такое , что для любого элемента п в N ,
- е + п = п = п + е
Пример: формула: n + 0 = n = 0 + n.
Дальнейшие примеры [ править ]
- В группе аддитивная единица является единичным элементом группы, часто обозначается 0 и уникальна (см. Ниже для доказательства).
- Кольцо или поле представляет собой группа относительно операции сложения и , таким образом , они также имеют уникальную аддитивную идентичность 0. Это определяется как отличаются от мультипликативной идентичности 1 , если кольцо (или поле) имеет более чем один элемент. Если аддитивное и мультипликативное тождества совпадают, то кольцо тривиально (доказано ниже).
- В кольце М м × п ( R ) из т по п матриц над кольцом R , аддитивная идентичностью является нулевой матрицей, [3] , обозначаемое O [2] , или 0 , и являются м по п матрице, элементы которой полностью состоит единичного элемента 0 в R . Например, в матрицах 2 на 2 над целыми числами M 2 ( Z ) аддитивная единица равна
- В кватернионах 0 - это аддитивная идентичность.
- В кольце функций из R в R функция, отображающая каждое число в 0, является аддитивной единицей.
- В аддитивной группе из векторов в R п , происхождение или нулевой вектор является аддитивной идентичность.
Свойства [ править ]
Аддитивная идентичность уникальна в группе [ править ]
Пусть ( G , +) группа и пусть 0 и 0' в G как аддитивных тождеств цветом, обозначают, так что для любого г в G ,
- 0 + g = g = g + 0 и 0 '+ g = g = g + 0'
Из сказанного выше следует, что
- 0 ' = 0' + 0 = 0 '+ 0 = 0
Аддитивная идентичность аннигилирует элементы кольца [ править ]
В системе с операцией умножения , которая распределяет более того, добавка идентичность является мультипликативным поглощающим элементом , а это означает , что для любых й в S , ˙s · 0 = 0. Это можно увидеть , потому что:
Аддитивные и мультипликативные тождества различны в нетривиальном кольце [ править ]
Пусть R некоторое кольцо и предположим , что добавка идентичности 0 и мультипликативная тождество 1 равны, или 0 = 1. Пусть г быть любой элемент из R . потом
- г = г × 1 = г × 0 = 0
доказывая, что R тривиально, то есть R = {0}. Таким образом, показано противоположное , что если R нетривиально, то 0 не равно 1.
См. Также [ править ]
- 0 (число)
- Противоположное число
- Элемент идентичности
- Мультипликативная идентичность
Ссылки [ править ]
- ^ "Сборник математических символов" . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 7 сентября 2020 .
- ^ a b «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 7 сентября 2020 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Аддитивная идентичность» . mathworld.wolfram.com . Проверено 7 сентября 2020 .
Библиография [ править ]
- Дэвид С. Даммит, Ричард М. Фут, Абстрактная алгебра , Wiley (3-е изд.): 2003, ISBN 0-471-43334-9 .
Внешние ссылки [ править ]
- Уникальность аддитивной идентичности в кольце в PlanetMath .
