Матрица (математика)

Матрица размера m × n : m строк горизонтальны, а n столбцов вертикальны. Каждый элемент матрицы часто обозначается переменной с двумя нижними индексами . Например, _2,1 представляет элемент на второй строке и первом столбце матрицы.

В математике , А матрица (множественное число матриц ) представляет собой прямоугольный массив или таблица из чисел , символов или выражений , расположенных в строках и столбцах . ^{[1] [2]} Например, размер матрицы ниже 2 × 3 (читается «два на три»), потому что есть две строки и три столбца:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 9 & -13 \\ 20 & 5 & -6 \ end {bmatrix}}.}$

При условии, что они имеют одинаковый размер (каждая матрица имеет такое же количество строк и такое же количество столбцов, что и другая), две матрицы могут быть добавлены или вычтены поэлементно (см. Соответствующую матрицу ). Однако правило умножения матриц состоит в том, что две матрицы могут быть умножены только тогда, когда количество столбцов в первой равно количеству строк во второй (т. Е. Внутренние размеры одинаковы, n для ( m × n ) -матрица умноженная на ( n × p ) -матрицу, в результате получается ( m × p) -матрица). Обратного произведения нет - первый намек на то, что матричное умножение не коммутативно . Любую матрицу можно поэлементно умножить на скаляр из связанного с ней поля . Матрицы часто обозначаются заглавными латинскими буквами, такими как , и . ^[3]${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$

Отдельные элементы в матрице A размера m × n , часто обозначаемой a _{i , j} , где i и j обычно варьируются от 1 до m и n , соответственно, называются ее элементами или элементами . ^{[4] [5]} Для удобного выражения элемента результатов матричных операций индексы элемента часто присоединяются к матричному выражению в скобках или скобках (например, ( AB ) _{i , j} относится к элементу матричного произведения ). В контекстеобозначение абстрактного индекса , это неоднозначно относится также и ко всему матричному произведению.

Основное применение матриц - представление линейных преобразований , то есть обобщений линейных функций, таких как f ( x ) = 4 x . Например, вращение от векторов в трехмерном мерном пространстве есть линейное преобразование, которое может быть представлено в виде матрицы вращения R : если v является вектор - столбец (матрица с только один столбец) , описывающий положение точки в пространстве, произведение Rv - вектор-столбец, описывающий положение этой точки после поворота. Произведение двухМатрицы преобразований - это матрица, представляющая собой композицию двух преобразований . Еще одно применение матриц - решение систем линейных уравнений .

Если матрица квадратная , то можно вывести некоторые из ее свойств, вычислив ее определитель . Например, квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель не равен нулю . Понимание геометрии линейного преобразования может быть получено (наряду с другой информацией) из собственных значений матрицы и собственных векторов .

Применение матриц можно найти в большинстве научных областей. ^[6] Во всех областях физики , включая классическую механику , оптику , электромагнетизм , квантовую механику и квантовую электродинамику , они используются для изучения физических явлений, таких как движение твердых тел .

В компьютерной графике они используются для манипулирования 3D-моделями и проецирования их на двумерный экран . В теории вероятностей и статистике , стохастические матрицы используются для описания наборов вероятностей; например, они используются в алгоритме PageRank , который ранжирует страницы в поиске Google. ^[7] Матричное исчисление обобщает классические аналитические понятия, такие как производные и экспоненты, на более высокие измерения. Матрицы используются в экономике для описания систем экономических отношений.

Важная ветвь численного анализа посвящена разработке эффективных алгоритмов для матричных вычислений, предмету, которому уже много веков, и сегодня это постоянно расширяющаяся область исследований. Методы разложения матриц упрощают вычисления как теоретически, так и практически. Алгоритмы, адаптированные к определенным матричным структурам, таким как разреженные матрицы и почти диагональные матрицы , ускоряют вычисления методом конечных элементов и другие вычисления. Бесконечные матрицы встречаются в теории планет и в теории атома . Простым примером бесконечной матрицы является матрица, представляющая оператор производной , который действует наРяд Тейлора функции.

Определение [ править ]

Матрица представляет собой прямоугольный массив чисел (или других математических объектов) , для которых такие операции, как дополнение и умножения определены. ^[8] Наиболее часто, матрица над полем F представляет собой прямоугольный массив скаляров, каждый из которых является членом F . ^{[9] [10]} Большая часть этой статьи посвящена действительным и комплексным матрицам , то есть матрицам, элементы которых являются соответственно действительными или комплексными числами . Более общие типы записей обсуждаются ниже.. Например, это реальная матрица:

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} -1,3 и 0,6 \ 20,4 и 5,5 \\ 9,7 и -6,2 \ end {bmatrix}}.}$

Числа, символы или выражения в матрице называются ее записями или ее элементами . Горизонтальные и вертикальные строки записей в матрице называются строками и столбцами соответственно.

Размер [ править ]

Размер матрицы определяется количеством содержащихся в ней строк и столбцов. Матрица с m строками и n столбцами называется матрицей m  × n или матрицей размером m на n , а m и n называются ее размерами . Например, матрица A выше представляет собой матрицу 3 × 2.   

Матрицы с одной строкой называются векторами-строками , а матрицы с одним столбцом - векторами-столбцами . Матрица с одинаковым количеством строк и столбцов называется квадратной матрицей . ^[11] Матрица с бесконечным числом строк или столбцов (или обоих) называется бесконечной матрицей . В некоторых контекстах, например в программах компьютерной алгебры , полезно рассматривать матрицу без строк или столбцов, называемую пустой матрицей .

Обзор размера матрицы

Имя	Размер	Пример	Описание
Вектор строки	1  × п	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 3, 7 и 2 \ end {bmatrix}}}$	Матрица с одной строкой, иногда используется для представления вектора
Столбец вектор	п  ×  1	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 4 \\ 1 \\ 8 \ end {bmatrix}}}$	Матрица с одним столбцом, иногда используется для представления вектора
Квадратная матрица	п  × п	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 9 & 13 & 5 \\ 1 & 11 & 7 \\ 2 & 6 & 3 \ end {bmatrix}}}$	Матрица с одинаковым количеством строк и столбцов, иногда используемая для представления линейного преобразования из векторного пространства в себя, например отражения , поворота или сдвига .

Обозначение [ править ]

Матрицы обычно записываются в квадратных скобках или скобках :

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & \ cdots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ cdots & a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} & a_ {m2} & \ cdots & a_ {mn} \ end {bmatrix}} = {\ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & \ cdots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ cdots & a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} & a_ {m2} & \ cdots & a_ { mn} \ end {pmatrix}} = \ left (a_ {ij} \ right) \ in \ mathbb {R} ^ {m \ times n}.}$

Специфика символической матричной записи широко варьируется, с некоторыми преобладающими тенденциями. Матрицы, как правило , символ использования верхнего регистр букв (например, А в приведенных выше примерах), ^[3] , а соответствующие строчные буквы, с двумя индексами индексных (например, ₁₁ , или _1,1 ), представляют собой запись . Помимо использования прописных букв для обозначения матриц, многие авторы используют особый типографский стиль., обычно полужирным шрифтом вертикально (не курсивом), чтобы еще больше отличать матрицы от других математических объектов. Альтернативная нотация включает использование двойного подчеркивания с именем переменной, с жирным шрифтом или без него (как в случае ).${\ displaystyle {\ underline {\ underline {A}}}}$

Запись в i-й строке и j -м столбце матрицы A иногда называется i , j , ( i , j ) или ( i , j ) -ой записью матрицы, и чаще всего обозначается как a _{i , j} или a _ij . Альтернативные обозначения для этой записи - A [ i, j ] или A _{i, j} . Так , например, (1,3) ввод следующей матрицы А составляет 5 (также обозначается ₁₃ , _1,3, A [ 1,3 ] или A _1,3 ):

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} 4 & -7 & \ color {red} {5} & 0 \\ - 2 & 0 & 11 & 8 \\ 19 & 1 & -3 & 12 \ end {bmatrix}}}$

Иногда элементы матрицы могут быть определены такой формулой, как a _{i , j} = f ( i , j ). Например, каждый из элементов следующей матрицы A определяется по формуле a _ij = i - j .

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} 0 & -1 & -2 & -3 \\ 1 & 0 & -1 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & -1 \ end {bmatrix}}}$

В этом случае сама матрица иногда определяется этой формулой в квадратных скобках или двойных скобках. Например, матрица выше определяется как A = [ i - j ] или A = (( i - j )). Если размер матрицы равен m × n , вышеупомянутая формула f ( i , j ) действительна для любого i = 1, ..., m и любого j = 1, ..., n . Это можно указать отдельно или указать с помощью m × n.как нижний индекс. Например, матрица A выше имеет размер 3 × 4 и может быть определена как A = [ i - j ] ( i = 1, 2, 3; j = 1, ..., 4) или A = [ i - j ] _{3 × 4} .

Некоторые языки программирования используют массивы с двойным индексом (или массивы массивов) для представления матрицы m - × - n . Некоторые языки программирования начинают нумерацию индексов массивов с нуля, и в этом случае элементы матрицы размером m на n индексируются как 0 ≤ i ≤ m - 1 и 0 ≤ j ≤ n - 1 . ^[12] Эта статья следует более распространенному в математическом письме соглашению, согласно которому перечисление начинается с 1.

Звездочка иногда используется для обозначения целых строк или столбцов в матрице. Например, _{я , *} относится к я ^й строке А и _{*, J} относится к J - ^й столбец А . Набор из всех М матрицы с размерностью п матриц обозначается 𝕄 ( т , п ), или ℝ ^{м × п} для вещественных матриц.

Основные операции [ править ]

Внешнее видео
Как упорядочивать, складывать и умножать матрицы - Билл Шиллито , TED ED [13]

Существует ряд основных операций, которые можно применять для изменения матриц, называемых сложением матриц , скалярным умножением , транспонированием , умножением матриц , операциями со строками и подматрицей . ^[14]

Сложение, скалярное умножение и транспонирование [ править ]

Операции над матрицами

Операция	Определение	Пример
Добавление	Сумма + В два т матрица с размерностью п матриц и Б вычисляются entrywise: ( A + B ) i , j = A i , j + B i , j , где 1 ≤ i ≤ m и 1 ≤ j ≤ n .	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 + 0 & 3 + 0 & 1 + 5 \\ 1 + 7 & 0 + 5 & 0 + 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 8 & 5 & 0 \ end {bmatrix}}}$
Скалярное умножение	Произведение c A числа c (также называемого скаляром на языке абстрактной алгебры ) и матрицы A вычисляется путем умножения каждого элемента A на c : ( c A ) i , j = c · A i , j . Эта операция называется скалярным умножением , но ее результат не называется «скалярным произведением», чтобы избежать путаницы, поскольку «скалярное произведение» иногда используется как синоним « внутреннего произведения ».	${\ displaystyle 2 \ cdot {\ begin {bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 2 \ cdot 1 & 2 \ cdot 8 & 2 \ cdot -3 \\ 2 \ cdot 4 & 2 \ cdot -2 & 2 \ cdot 5 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \ end {bmatrix}}}$
Транспозиция	Транспонирования из двух величин : м матрицы с размерностью п матрицей А представляют собой N матрицу с размерностью м матрица Т (также обозначается тр или т ) , образованный путем поворота строк в столбцы и наоборот: ( A T ) i , j = A j , i .	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -6 & 7 \ end {bmatrix}} ^ {\ mathrm {T}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -6 \\ 3 & 7 \ end {bmatrix} }}$

Знакомые свойства чисел распространяется на эти операции матриц: например, добавление коммутативное , то есть матрица сумма не зависит от порядка слагаемых: A  + B = B + A . ^[15] Транспонирование совместит с сложением и умножением, как выражено ( с ) ^Т = C ( ^Т ) и ( + B ) ^T = ^Т + B ^T . Наконец, ( A ^T ) ^T = A             .

Умножение матриц [ править ]

Умножение двух матриц определяется тогда и только тогда, когда количество столбцов левой матрицы совпадает с количеством строк правой матрицы. Если A - матрица размером m на n, а B - матрица размером n на p , то их матричное произведение AB - это матрица размером m на p , элементы которой задаются скалярным произведением соответствующей строки матрицы A и соответствующей столбец B : ^[16]

${\ displaystyle [\ mathbf {AB}] _ {i, j} = a_ {i, 1} b_ {1, j} + a_ {i, 2} b_ {2, j} + \ cdots + a_ {i, n} b_ {n, j} = \ sum _ {r = 1} ^ {n} a_ {i, r} b_ {r, j},}$

где 1 ≤ i ≤ m и 1 ≤ j ≤ p . ^[17] Например, подчеркнутая запись 2340 в продукте рассчитывается как (2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) = 2340:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\underline {2}}&{\underline {3}}&{\underline {4}}\\1&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&{\underline {1000}}\\1&{\underline {100}}\\0&{\underline {10}}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}3&{\underline {2340}}\\0&1000\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Умножение матриц удовлетворяет правилам ( AB ) C = A ( BC ) ( ассоциативность ) и ( A + B ) C = AC + BC, а также C ( A + B ) = CA + CB (левая и правая дистрибутивность ), когда размер матриц таков, что определяются различные продукты. ^[18] Продукт AB может быть определен без определения BA , а именно, если A иВ это м матрица с размерностью п и п матрицей с размерностью K матрицы, соответственно, и т ≠ к . Даже если оба продукта определены, они, как правило, не обязательно должны быть равными, то есть:

AB ≠ BA ,

Другими словами, матричное умножение не коммутативно , в отличие от (рациональных, действительных или комплексных) чисел, произведение которых не зависит от порядка множителей. ^[16] Примером двух матриц, не коммутирующих друг с другом, является:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&3\\\end{bmatrix}},}$

в то время как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\0&0\\\end{bmatrix}}.}$

Помимо только что описанного обычного умножения матриц, существуют и другие, менее часто используемые операции с матрицами, которые можно рассматривать как формы умножения, такие как произведение Адамара и произведение Кронекера . ^[19] Они возникают при решении матричных уравнений, таких как уравнение Сильвестра .

Операции со строками [ править ]

Есть три типа операций со строками:

1. добавление строки, то есть добавление одной строки к другой.
2. умножение строк, то есть умножение всех элементов строки на ненулевую константу;
3. переключение строк, то есть перестановка двух строк матрицы;

Эти операции используются разными способами, включая решение линейных уравнений и поиск обратных матриц .

Подматрица [ править ]

Подматрицы из матрицы получают путем удаления любого набора строк и / или столбцов. ^{[20] [21] [22]} Например, из следующей матрицы 3 на 4 мы можем построить подматрицу 2 на 3, удалив строку 3 и столбец 2:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&\color {red}{2}&3&4\\5&\color {red}{6}&7&8\\\color {red}{9}&\color {red}{10}&\color {red}{11}&\color {red}{12}\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1&3&4\\5&7&8\end{bmatrix}}.}$

В минорах и алгебраические матрицы найдены путем вычисления определителя некоторых подматриц. ^{[22] [23]}

Главная подматрица представляет собой квадратную подматрицу , полученную путем удаления некоторых строк и столбцов. Определение варьируется от автора к автору. По мнению некоторых авторов, главная подматрица - это подматрица, в которой набор индексов строк, которые остаются, совпадает с набором индексов столбцов, которые остаются. ^{[24] [25]} Другие авторы определяют главную подматрицу как матрицу, в которой первые k строк и столбцов для некоторого числа k - это те, которые остались; ^[26] этот тип подматрицы также называют ведущей главной подматрицей . ^[27]

Линейные уравнения [ править ]

Матрицы можно использовать для компактного написания и работы с несколькими линейными уравнениями, то есть системами линейных уравнений. Например, если является M матрицы с размерностью п матрица, х обозначает вектор - столбца (то есть п × 1-матрица) из п переменных х ₁ , х ₂ , ..., х _п , а б является м × 1-столбец, то матричное уравнение

${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} }$

эквивалентна системе линейных уравнений ^[28]

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+&\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\&\ \ \vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+&\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\end{aligned}}}$

Используя матрицы, это можно решить более компактно, чем это было бы возможно, если бы все уравнения были записаны отдельно. Если n = m и уравнения независимы , то это можно сделать, написав

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} }$

где ^-1 является обратной матрицей из A . Если у A нет обратного, решения - если таковые имеются - можно найти с помощью его обобщенного обратного .

Линейные преобразования [ править ]

Матрицы и матричное умножение раскрывают свои основные особенности, когда они связаны с линейными преобразованиями , также известными как линейные карты . Настоящей M матрицы с размерностью п матрица приводит к линейному преобразованию R ^п → R ^м отображение каждому вектор х в R ^п к (матрицы) продукту Ax , который представляет собой вектор в R ^м . И наоборот, каждое линейное преобразование f : R ⁿ → R ^m возникает из единственного m -by-п матрица : явно, ( я , J ) -Посещение из А является я - ^й координате ф ( е _J ), где е _J = (0, ..., 0,1,0, ..., 0 ) - единичный вектор с 1 в j- ^й позиции и 0 в другом месте. Матрицаназывается представляют собой линейное отображение п , аназываются матрица преобразования из F .

Например, матрица 2 × 2

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}}$

можно рассматривать как преобразование единичного квадрата в параллелограмм с вершинами в точках (0, 0) , ( a , b ) , ( a + c , b + d ) и ( c , d ) . Параллелограмм, изображенный справа, получается путем умножения A на каждый из векторов-столбцов и по очереди. Эти векторы определяют вершины единичного квадрата.${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$

В следующей таблице показан ряд матриц 2 на 2 с соответствующими линейными картами R ² . Синий оригинал сопоставлен с зеленой сеткой и фигурами. Начало координат (0,0) отмечено черной точкой.

Горизонтальный сдвиг с m = 1,25.	Отражение по вертикальной оси	Отображение сжатия с r = 3/2	Масштабирование в 3/2 раза	Поворот на π / 6 = 30 °
${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1.25\\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {3}{2}}&0\\0&{\frac {2}{3}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {3}{2}}&0\\0&{\frac {3}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)&-\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)\\\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)&\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)\end{bmatrix}}}$

Под перепиской 1-к-1 между матрицами и линейными отображениями, умножением матриц соответствуют к композиции отображений: ^[29] если значения K матрицы с размерностью м матрица B представляет собой другой линейное отображение г : R ^м → R ^K , то композицию г ∘ f представлен BA, поскольку

( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x )) = g ( Ax ) = B ( Ax ) = ( BA ) x .

Последнее равенство следует из отмеченной выше ассоциативности умножения матриц.

Ранг матрицы A представляет собой максимальное число линейно независимых векторов - строк матрицы, которая является такой же , как максимальное число линейно независимых векторов - столбцов. ^[30] Эквивалентно это измерение от изображения линейной карты , представленной A . ^[31] Теорема о ранге-нуле утверждает, что размерность ядра матрицы плюс ранг равны количеству столбцов матрицы. ^[32]

Квадратная матрица [ править ]

Квадратная матрица представляет собой матрицу с тем же количеством строк и столбцов. ^[11] п матрица с размерностью п матрица известна как квадратная матрица порядка п. Любые две квадратные матрицы одного порядка можно складывать и умножать. Элементы a _ii образуют главную диагональ квадратной матрицы. Они лежат на воображаемой линии, идущей от верхнего левого угла до нижнего правого угла матрицы.

Основные типы [ править ]

Имя	Пример с n = 3
Диагональная матрица	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$
Нижняя треугольная матрица	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$
Верхняя треугольная матрица	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$

Диагональная и треугольная матрица [ править ]

Если все элементы матрицы A ниже главной диагонали равны нулю, матрица A называется верхней треугольной матрицей . Аналогично, если все элементы матрицы A над главной диагональю равны нулю, матрица A называется нижней треугольной матрицей . Если все элементы за пределами главной диагонали равны нулю, матрица A называется диагональной .

Матрица идентичности [ править ]

Единичная матрица я _п размера п представляет собой н - матрицу с размерностью п матрица , в которой все элементы на главной диагонали равны 1 , а все остальные элементы равны 0, например,

${\displaystyle \mathbf {I} _{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ \mathbf {I} _{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ldots ,\ \mathbf {I} _{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

Это квадратная матрица порядка n , а также диагональная матрица особого вида . Она называется единичной матрицей, потому что умножение на нее оставляет матрицу неизменной:

AI _n = I _m A = A для любойматрицы A размером m на n .

Ненулевое скалярное кратное единичной матрицы называется скалярной матрицей. Если элементы матрицы поступают из поля, скалярные матрицы образуют группу при матричном умножении, которая изоморфна мультипликативной группе ненулевых элементов поля.

Симметричная или кососимметричная матрица [ править ]

Квадратная матрица A , равная ее транспонированной, то есть A = A ^T , является симметричной матрицей . Если вместо этого A равно отрицательному значению своего транспонирования, то есть A = - A ^T , то A является кососимметричной матрицей . В комплексных матрицах симметрия часто заменяется концепцией эрмитовых матриц , удовлетворяющих условию A ^∗ = A , где звездочка или звездочка обозначают сопряженное транспонирование матрицы, то есть транспонирование матрицы.комплексно сопряженное из A .

По спектральной теореме вещественные симметричные матрицы и комплексные эрмитовы матрицы имеют собственный базис ; то есть каждый вектор выражается как линейная комбинация собственных векторов. В обоих случаях все собственные значения действительны. ^[33] Эта теорема может быть обобщена на бесконечномерные ситуации, связанные с матрицами с бесконечным числом строк и столбцов, см. Ниже .

Обратимая матрица и ее обратная [ править ]

Квадратная матрица A называется обратимой или невырожденной, если существует такая матрица B , что

AB = BA = I _n , ^{[34] [35]}

где I _n - единичная матрица размера n × n с единицами на главной диагонали и нулями в других местах. Если B существует, то он является уникальным и называется обратная матрица из А , обозначается А ^-1 .

Определенная матрица [ править ]

Положительно определенная матрица	Неопределенная матрица
${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&-{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}}$
Q ( х , у ) =1/4 х 2 + у 2	Q ( х , у ) =1/4 х 2 - 1/4 у 2
Точки такие, что Q ( x , y ) = 1 ( Эллипс ).	Точки такие, что Q ( x , y ) = 1 ( Гипербола ).

Симметричная n × n -матрица A называется положительно определенной, если соответствующая ей квадратичная форма

f  ( x ) = x ^T A  x

имеет положительное значение для каждого ненулевого вектора x в R ⁿ . Если F  ( х ) только дает отрицательные значения , то это отрицательно определена ; если е действительно производит положительные и отрицательные значения , то является неопределенным . ^[36] Если квадратичная форма f дает только неотрицательные значения (положительные или нулевые), симметричная матрица называется положительно-полуопределенной (или, если только неположительные значения, то отрицательно-полуопределенной); следовательно, матрица неопределенна именно тогда, когда она не является ни положительно-полуопределенной, ни отрицательно-полуопределенной.

Симметричная матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все ее собственные значения положительны, то есть матрица положительно полуопределенная и обратимая. ^[37] В таблице справа показаны две возможности для матриц 2 на 2.

Использование в качестве входных данных двух разных векторов вместо этого дает билинейную форму, связанную с A :

B _A ( x , y ) = x ^T Ay . ^[38]

Ортогональная матрица [ править ]

Ортогональная матрица представляет собой квадратную матрицу с реальными записями , чьи столбцы и строки являются ортогональные единичные векторы (то есть, ортонормальные векторы). Эквивалентно, матрица A ортогональна, если ее транспонирование равно ее обратной :

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{-1},\,}$

что влечет за собой

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {I} _{n},}$

где I _n - единичная матрица размера n .

Ортогональная матрица A обязательно обратима (с обратным A ⁻¹ = A ^T ), унитарна ( A ⁻¹ = A * ) и нормальна ( A * A = AA * ). Определитель любой ортогональной матрицы является либо +1 или -1 . Специальная ортогональная матрица ортогональная матрица с определителем +1. В качестве линейного преобразования каждая ортогональная матрица с определителем +1является чистым вращением без отражения, т. е. преобразование сохраняет ориентацию преобразованной структуры, в то время как каждая ортогональная матрица с определителем -1 меняет ориентацию, т. е. представляет собой композицию чистого отражения и (возможно, нулевого) поворота. Идентификационные матрицы имеют определитель 1 и представляют собой чистые повороты на нулевой угол.

Комплекс аналог ортогональной матрицы является унитарной матрицей .

Основные операции [ править ]

След [ править ]

След , тр ( ) квадратной матрицы А есть сумма ее диагональных элементов. Хотя умножение матриц не является коммутативным, как упоминалось выше , след произведения двух матриц не зависит от порядка множителей:

tr ( AB ) = tr ( BA ).

Это непосредственно следует из определения умножения матриц:

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {AB} )=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\operatorname {tr} (\mathbf {BA} ).}$

Отсюда следует, что след произведения более двух матриц не зависит от циклических перестановок матриц, однако это в общем случае не применяется для произвольных перестановок (например, tr ( ABC ) ≠ tr ( BAC ), в общем). Кроме того, след матрицы равен следу ее транспонирования, то есть

tr ( A ) = tr ( A ^T ) .

Определитель [ править ]

Определитель квадратной матрицы А (обозначается Det ( A ) или | | ^[3] ) представляет собой число , кодирующие определенные свойства матрицы. Матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Его абсолютное значение равно площади (в R ² ) или объему (в R ³ ) изображения единичного квадрата (или куба), а его знак соответствует ориентации соответствующей линейной карты: определитель положителен тогда и только тогда. если ориентация сохраняется.

Определитель матриц 2 на 2 определяется выражением

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}$^[6]

Определитель матриц 3 на 3 включает 6 членов ( правило Сарруса ). Более длинная формула Лейбница обобщает эти две формулы на все измерения. ^[39]

Определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей:

det ( AB ) = det ( A ) · det ( B ). ^[40]

Добавление кратного числа любой строки к другой строке или кратного числа любого столбца к другому столбцу не меняет определителя. Перестановка двух строк или двух столбцов влияет на определитель, умножая его на -1. ^[41] Используя эти операции, любую матрицу можно преобразовать в нижнюю (или верхнюю) треугольную матрицу, и для таких матриц определитель равен произведению элементов на главной диагонали; это дает метод вычисления определителя любой матрицы. Наконец, разложение Лапласа выражает определитель через миноры , то есть определители матриц меньшего размера. ^[42]Это расширение можно использовать для рекурсивного определения определителей (взяв в качестве начального случая определитель матрицы 1 на 1, которая является ее уникальной записью, или даже определитель матрицы 0 на 0, которая равна 1) , что, как можно видеть, эквивалентно формуле Лейбница. Детерминанты могут использоваться для решения линейных систем с использованием правила Крамера , где деление определителей двух связанных квадратных матриц приравнивается к значению каждой из переменных системы. ^[43]

Собственные значения и собственные векторы [ править ]

Число λ и ненулевой вектор v , удовлетворяющий

Av = λ v

которые называют собственным значением и собственным вектором из А , соответственно. ^{[44] [45]} Число λ является собственным значением из п × п -матрицы А тогда и только тогда , когда -Л I _п не является обратимым, что эквивалентно , чтобы

${\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0.}$^[46]

Многочлен р в неопределенном X , заданной оценкой определителя DET ( Х I _п - ) называется характеристический полином из A . Это унитарный многочлен от степени п . Следовательно, полиномиальное уравнение p _A (λ) = 0 имеет не более n различных решений, то есть собственных значений матрицы. ^[47] Они могут быть сложными, даже если элементы A действительны. Согласно теореме Кэли – Гамильтона , p   _A ( A ) = 0 , то есть результат подстановки самой матрицы в ее собственный характеристический многочлен даетнулевую матрицу.

Вычислительные аспекты [ править ]

Матричные вычисления часто можно выполнять с помощью различных методов. Многие проблемы могут быть решены как прямыми алгоритмами, так и итерационными подходами. Например, собственные векторы квадратной матрицы могут быть получены путем нахождения последовательности векторов x _n, сходящейся к собственному вектору, когда n стремится к бесконечности . ^[48]

Чтобы выбрать наиболее подходящий алгоритм для каждой конкретной задачи, важно определить как эффективность, так и точность всех доступных алгоритмов. Область, изучающая эти вопросы, называется числовой линейной алгеброй . ^[49] Как и в случае с другими численными ситуациями, двумя основными аспектами являются сложность алгоритмов и их числовая стабильность .

Определение сложности алгоритма означает поиск верхних границ или оценок того, сколько элементарных операций, таких как сложение и умножение скаляров, необходимо для выполнения некоторого алгоритма, например умножения матриц . Вычисление матрицы произведения два п матрица с размерностью п матриц с использованием определения , данным выше потребностей п ³ умножений, так как для любого из п ² записи продукта, п умножений являются необходимой. Алгоритм Strassen превосходит этот «наивный» алгоритм; он нуждается только в п ^2,807 умножений. ^[50] Утонченный подход также включает в себя особенности вычислительных устройств.

Во многих практических ситуациях известна дополнительная информация о задействованных матрицах. Важным случаем являются разреженные матрицы , то есть матрицы, большинство элементов которых равны нулю. Существуют специально адаптированные алгоритмы, скажем, для решения линейных систем Ax = b для разреженных матриц A , такие как метод сопряженных градиентов . ^[51]

Алгоритм, грубо говоря, численно устойчив, если небольшие отклонения входных значений не приводят к большим отклонениям в результате. Например, вычисление обратной матрицы с помощью расширения Лапласа (ADJ ( А ) обозначает союзную матрицу из А )

А ⁻¹ = прил ( А ) / дет ( А )

может привести к значительным ошибкам округления, если определитель матрицы очень мал. Норма матрицы может быть использована для захвата кондиционирования линейных алгебраических задач, таких как вычисление обратного матрица , в. ^[52]

Большинство языков программирования поддерживают массивы, но не содержат встроенных команд для матриц. Вместо этого доступные внешние библиотеки предоставляют матричные операции с массивами почти на всех используемых в настоящее время языках программирования. Матричные манипуляции были одними из первых числовых приложений компьютеров. ^[53] Оригинальный Dartmouth BASIC имел встроенные команды для матричной арифметики на массивах из его второй реализации в 1964 году. Еще в 1970-х годах некоторые инженерные настольные компьютеры, такие как HP 9830, имели картриджи ROM для добавления команд BASIC для матриц . Некоторые компьютерные языки, такие как APL, были разработаны для работы с матрицами, иразличные математические программы могут использоваться для помощи в вычислениях с матрицами. ^[54]

Разложение [ править ]

Существует несколько методов преобразования матриц в более доступную форму. Их обычно называют методами матричного разложения или матричной факторизации . Интерес всех этих методов состоит в том, что они сохраняют определенные свойства рассматриваемых матриц, такие как детерминант, ранг или инверсия, так что эти величины могут быть вычислены после применения преобразования, или что определенные матричные операции алгоритмически легче выполнять для некоторые виды матриц.

В разложении LU факторы матрица как произведение нижнего ( L ) и верхняя треугольная матрица ( U ). ^[55] После вычисления этого разложения линейные системы могут быть решены более эффективно с помощью простого метода, называемого прямой и обратной заменой . Точно так же алгоритмически проще вычислить обратные треугольные матрицы. Гаусса является Аналогичный алгоритм; он преобразует любую матрицу в форму эшелона строк . ^[56] Оба метода продолжаются путем умножения матрицы на подходящие элементарные матрицы , которые соответствуют перестановке строк или столбцов.и добавление кратных одной строки в другую. Разложение по сингулярным числам выражает любую матрицу A как произведение UDV ^∗ , где U и V - унитарные матрицы, а D - диагональная матрица.

Собственная декомпозиция или диагонализация выражает A как произведение VDV ^-1 , где D - диагональная матрица, а V - подходящая обратимая матрица. ^[57] Если A можно записать в такой форме, это называется диагонализуемым . В более общем плане , и это применимо ко всем матрицах преобразования разложения Жордана матрицу , в жордановой нормальной форме , то есть матрицы, только ненулевые элементы являются собственными значениями А ₁ к А _п из А, размещены на главной диагонали и, возможно, равны единице непосредственно над главной диагональю, как показано справа. ^[58] Учитывая собственное разложение, n- ^я степень A (то есть n- кратное итерационное умножение матриц) может быть вычислена с помощью

A ⁿ = ( VDV ⁻¹ ) ⁿ = VDV ⁻¹ VDV ⁻¹ ... VDV ⁻¹ = VD ⁿ V ⁻¹

а степень диагональной матрицы можно вычислить, взяв соответствующие степени диагональных элементов, что намного проще, чем вместо этого выполнять возведение в степень для A. Это можно использовать для вычисления экспоненты матрицы e ^A , которая часто возникает при решении линейных дифференциальных уравнений , матричных логарифмов и квадратных корней из матриц . ^[59] Чтобы избежать численно некорректных ситуаций, можно использовать дополнительные алгоритмы, такие как разложение Шура . ^[60]

Абстрактные алгебраические аспекты и обобщения [ править ]

Матрицы можно обобщать по-разному. Абстрактная алгебра использует матрицы с элементами более общих полей или даже колец , в то время как линейная алгебра кодифицирует свойства матриц в понятии линейных отображений. Можно рассматривать матрицы с бесконечным числом столбцов и строк. Другое расширение - это тензоры , которые можно рассматривать как многомерные массивы чисел, в отличие от векторов, которые часто могут быть реализованы как последовательности чисел, тогда как матрицы представляют собой прямоугольные или двумерные массивы чисел. ^[61] Матрицы при соблюдении определенных требований имеют тенденцию образовывать группы, известные как группы матриц. Точно так же при определенных условиях матрицы образуют кольца, известные какматричные кольца . Хотя произведение матриц в общем случае не коммутативно, некоторые матрицы образуют поля, известные как матричные поля .

Матрицы с более общими записями [ править ]

В этой статье основное внимание уделяется матрицам, значениями которых являются действительные или комплексные числа. Однако можно рассматривать матрицы с гораздо более общими типами записей, чем действительные или комплексные числа. В качестве первого шага обобщения любое поле , то есть набор, в котором определены и хорошо выполняются операции сложения , вычитания , умножения и деления , может использоваться вместо R или C , например рациональные числа или конечные поля . Например, теория кодирования использует матрицы над конечными полями. Везде собственные значениярассматриваются, так как это корни многочлена, они могут существовать только в большем поле, чем поле элементов матрицы; например, они могут быть сложными в случае матрицы с действительными элементами. Возможность заново интерпретировать элементы матрицы как элементы большего поля (например, рассматривать реальную матрицу как комплексную матрицу, все элементы которой являются действительными) затем позволяет рассматривать каждую квадратную матрицу как имеющую полный набор собственных значений. В качестве альтернативы можно с самого начала рассматривать только матрицы с элементами в алгебраически замкнутом поле , таком как C.

В более общем смысле, матрицы с элементами кольца R широко используются в математике. ^[62] Кольца - это более общее понятие, чем поля, в котором нет необходимости в операции деления. Те же самые операции сложения и умножения матриц распространяются и на этот параметр. Множество М ( п , Р ) все квадратный п матрицы с размерностью п матриц над R представляет собой кольцо называется матричным кольцо , изоморфно кольцо эндоморфизмов левого R - модуль R ^н . ^[63] Если кольцо R является коммутативным, То есть, его умножение коммутативно, то М ( п , Р ) является унитарным некоммутативным (если п = 1) ассоциативная алгебра над R . Детерминанта квадратных матриц над коммутативным кольцом R по- прежнему может быть определена с помощью формулы Лейбница ; такая матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель обратим в R , обобщая ситуацию на поле F , где любой ненулевой элемент обратим. ^[64] Матрицы над суперкольцами называются суперматрицами . ^[65]

Матрицы не всегда содержат все элементы в одном и том же кольце  - или даже в любом из них. Один частный, но общий случай - это блочные матрицы , которые можно рассматривать как матрицы, элементы которых сами по себе являются матрицами. Записи не обязательно должны быть квадратными матрицами и, следовательно, не должны быть членами какого-либо кольца ; но их размеры должны соответствовать определенным условиям совместимости.

Связь с линейными картами [ править ]

Линейные отображения R ⁿ → R ^m эквивалентны матрицам размером m на n , как описано выше . В более общем смысле , любое линейное отображение F : V → W между конечи мерными векторными пространствами может быть описано с помощью матрицы А = ( _Ij ), после выбора основы v ₁ , ..., v _п из V , и W ₁ ,. .., w _m of W (так n - размерность V, а m - размерность W ), которая такова, что

${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\mathbf {w} _{i}\qquad {\mbox{for}}\ j=1,\ldots ,n.}$

Другими словами, столбец J из А выражает образ об _J в терминах базисных векторов ш _I из W ; Таким образом , это отношение однозначно определяет элементы матрицы A . Матрица зависит от выбора баз: разный выбор баз приводит к разным, но эквивалентным матрицам . ^[66] Многие из вышеупомянутых конкретных понятий могут быть переинтерпретированы в этом свете, например, матрица транспонирования A ^T описывает транспонирование линейной карты, заданной A , относительно двойственных оснований .^[67]

Эти свойства можно переформулировать более естественным образом: категория всех матриц с элементами в поле с умножением в качестве композиции эквивалентна категории конечномерных векторных пространств и линейных отображений над этим полем.${\displaystyle k}$

В более общем смысле, набор матриц размера m × n может использоваться для представления R- линейных отображений между свободными модулями R ^m и R ⁿ для произвольного кольца R с единицей. При п  = т состав этих карт можно, и это приводит к кольцу матриц из п × п матриц , представляющих эндоморфизм кольцо из R ^н . 

Группы матриц [ править ]

Группа представляет собой математическую структуру , состоящую из множества объектов вместе с бинарной операцией , то есть операция объединения любых двух объектов с третьим, при соблюдении определенных требований. ^[68] Группа, в которой объектами являются матрицы, а групповая операция - матричное умножение, называется группой матриц . ^{[69] [70]} Поскольку в группе каждый элемент должен быть обратимым, наиболее общие группы матриц - это группы всех обратимых матриц заданного размера, называемые общими линейными группами .

Любое свойство матриц, которое сохраняется в матричных произведениях и инверсиях, можно использовать для определения дополнительных групп матриц. Например, матрицы с заданным размером и с определителем 1 образуют подгруппу (то есть меньшую группу, содержащуюся в) их общей линейной группы, называемой специальной линейной группой . ^[71] Ортогональные матрицы , определяемые условием

М ^Т М = I ,

образуют ортогональную группу . ^[72] Каждая ортогональная матрица имеет определитель 1 или −1. Ортогональные матрицы с определителем 1 образуют подгруппу, называемую специальной ортогональной группой .

Каждая конечная группа является изоморфна к матричной группе, как можно видеть, рассматривая регулярное представление о симметрической группе . ^[73] Общие группы можно изучать с помощью сравнительно хорошо изученных матричных групп с помощью теории представлений . ^[74]

Бесконечные матрицы [ править ]

Также возможно рассматривать матрицы с бесконечным числом строк и / или столбцов ^[75], даже если, будучи бесконечными объектами, нельзя явно записать такие матрицы. Все, что имеет значение, это то, что для каждого элемента в наборах строк индексации и каждого элемента в столбцах набора индексации существует четко определенная запись (эти наборы индексов даже не обязательно должны быть подмножествами натуральных чисел). Основные операции сложения, вычитания, скалярного умножения и транспонирования все еще можно определить без проблем; однако умножение матриц может включать бесконечное суммирование для определения результирующих элементов, которые в общем случае не определены.

Если R - любое кольцо с единицей, то кольцо эндоморфизмов в качестве правого R- модуля изоморфно кольцу столбцовых конечных матриц , элементы которых индексируются , а каждый столбец содержит только конечное число ненулевых элементов. Эндоморфизмы M, рассматриваемого как левый R- модуль, приводят к аналогичному объекту - строковым конечным матрицам , каждая из строк которых имеет только конечное число ненулевых элементов.${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}R}$ ${\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(R)}$${\displaystyle I\times I}$ ${\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(R)}$

Если для описания линейных отображений используются бесконечные матрицы, то можно использовать только те матрицы, все столбцы которых имеют только конечное число ненулевых элементов, по следующей причине. Чтобы матрица A описывала линейное отображение f : V → W , должны быть выбраны базы для обоих пространств; напомним , что по определению это означает , что каждый вектор в пространстве может быть однозначно записывается в виде (конечной) линейной комбинации базисных векторов, так что записывается в виде (столбца) вектора V из коэффициентов , лишь конечное число записей v _я не равны нулю. Теперь столбцы матрицы A описывают изображения через f отдельных базисных векторов V в базисе W , что имеет смысл, только если эти столбцы имеют только конечное число ненулевых элементов. Однако нет ограничений на строки матрицы A : в произведении A · v задействовано только конечное число ненулевых коэффициентов при v , поэтому каждая его запись, даже если она задана как бесконечная сумма произведений, включает только конечное число много ненулевых членов и поэтому хорошо определен. Более того, это составляет линейную комбинацию столбцов матрицы Aкоторый эффективно включает только конечное число из них, поэтому результат имеет только конечное число ненулевых элементов, потому что каждый из этих столбцов имеет. Произведения двух матриц данного типа хорошо определены (при условии, что наборы индексов столбцов и индексов строки совпадают), имеют один и тот же тип и соответствуют композиции линейных карт.

Если R - нормированное кольцо , то условие конечности строки или столбца может быть ослаблено. При наличии нормы вместо конечных сумм можно использовать абсолютно сходящиеся ряды . Например, матрицы, суммы столбцов которых являются абсолютно сходящимися последовательностями, образуют кольцо. Аналогично, матрицы, строчные суммы которых являются абсолютно сходящимися рядами, также образуют кольцо.

Бесконечные матрицы также могут использоваться для описания операторов в гильбертовых пространствах , где возникают вопросы сходимости и непрерывности , что опять же приводит к определенным ограничениям, которые необходимо наложить. Однако явная точка зрения на матрицы имеет тенденцию скрывать суть дела ^[76], и вместо этого могут использоваться абстрактные и более мощные инструменты функционального анализа .

Пустые матрицы [ править ]

Пустая матрица представляет собой матрицу , в которой число строк или столбцов (или оба) равен нулю. ^{[77] [78]} Пустые матрицы помогают работать с отображениями, включающими нулевое векторное пространство . Например, если A - это матрица 3 на 0, а B - это матрица 0 на 3, то AB - это нулевая матрица 3 на 3, соответствующая нулевой карте из 3-мерного пространства V в себя, в то время как BA - это матрица 0 на 0. Для пустых матриц нет общепринятых обозначений, но большинство систем компьютерной алгебры позволяют создавать и вычислять с их помощью. Определитель матрицы 0 на 0 равен 1, как следует из рассмотрения пустого продуктавстречается в формуле Лейбница для определителя как 1. Это значение также согласуется с тем фактом, что отображение тождества из любого конечномерного пространства в себя имеет определитель  1, факт, который часто используется как часть характеристики определителей.

Приложения [ править ]

Матрицы находят множество применений как в математике, так и в других науках. Некоторые из них просто используют компактное представление набора чисел в матрице. Например, в теории игр и экономике , то матрица выигрышей кодирует выигрыш для двух игроков, в зависимости от которых из заданного (конечного) множества альтернатив игроки выбирают. ^[79] Интеллектуальный анализ текста и автоматическая компиляция тезауруса используют матрицы терминов документа, такие как tf-idf, для отслеживания частотности определенных слов в нескольких документах. ^[80]

Комплексные числа могут быть представлены конкретными действительными матрицами 2 на 2 через

${\displaystyle a+ib\leftrightarrow {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}},}$

при котором сложение и умножение комплексных чисел и матриц соответствуют друг другу. Например, матрицы поворота 2 на 2 представляют собой умножение с некоторым комплексным числом с абсолютным значением 1, как указано выше . Подобная интерпретация возможна для кватернионов ^[81] и алгебр Клиффорда в целом.

Ранние методы шифрования , такие как шифр Хилла, также использовали матрицы. Однако из-за линейного характера матриц эти коды сравнительно легко взломать. ^{[82] В} компьютерной графике матрицы используются как для представления объектов, так и для вычисления преобразований объектов с использованием матриц аффинного вращения для выполнения таких задач, как проецирование трехмерного объекта на двумерный экран, что соответствует теоретическому наблюдению камеры. ^[83] Матрицы над кольцом многочленов важны при изучении теории управления .

В химии матрицы используются по-разному, особенно с момента использования квантовой теории для обсуждения молекулярных связей и спектроскопии . Примерами могут служить матрицей перекрытия , а матрица Фока используется при решении уравнений Рутана для получения молекулярных орбиталей на методе ХФ .

Теория графов [ править ]

Неориентированный граф с матрицей смежности ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}.}$

Матрица смежности из конечного графа является основным понятием теории графов . ^[84] Он записывает, какие вершины графа соединены ребром. Матрицы, содержащие только два разных значения (1 и 0, означающие, например, «да» и «нет», соответственно), называются логическими матрицами . Матрица расстояния (или стоимость) содержит информацию о расстояниях ребер. ^[85] Эти концепции могут быть применены к веб-сайтам, связанным гиперссылками, или к городам, соединенным дорогами и т. Д., И в этом случае (если сеть соединений не очень плотная) матрицы, как правило, разреженные, то есть содержат несколько ненулевых элементов. Таким образом, в теории сетей можно использовать специально адаптированные матричные алгоритмы .

Анализ и геометрия [ править ]

Матрица Гесса из дифференцируемой функции ƒ : R ^п → R состоит из вторых производных от ƒ по отношению к нескольким координатным направлениям, то есть, ^[86]

${\displaystyle H(f)=\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\right].}$

В седловой точке ( x  =  0, y  =  0) (красный цвет) функции f ( x , - y ) = x ² - y ² матрица Гессе является неопределенной .   ${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\end{bmatrix}}}$

Он кодирует информацию о локальном поведении роста функции: дан критическая точка х  =  ( х ₁ ,  ..., х _п ), то есть точка , в которой первые частные производных от ƒ равна нуль, то функция имеет локальный минимум если матрица Гессе положительно определена . Квадратичное программирование может использоваться для поиска глобальных минимумов или максимумов квадратичных функций, тесно связанных с теми, которые связаны с матрицами (см. Выше ). ^[87]  ${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$

Другая матрица, часто используемая в геометрических ситуациях, - это матрица Якоби дифференцируемого отображения f : R ⁿ → R ^m . Если f ₁ , ..., f _m обозначают компоненты f , то матрица Якоби определяется как ^[88]

${\displaystyle J(f)=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}.}$

Если n > m , и если ранг матрицы Якоби достигает своего максимального значения m , f локально обратима в этой точке по теореме о неявной функции . ^[89]

Уравнения с частными производными можно классифицировать, рассматривая матрицу коэффициентов дифференциальных операторов высшего порядка уравнения. Для эллиптических уравнений с частными производными эта матрица положительно определена, что имеет решающее влияние на множество возможных решений рассматриваемого уравнения. ^[90]

Метод конечных элементов - важный численный метод решения уравнений в частных производных, широко применяемый при моделировании сложных физических систем. Он пытается аппроксимировать решение некоторого уравнения кусочно-линейными функциями, где части выбираются относительно достаточно мелкой сетки, которая, в свою очередь, может быть преобразована в матричное уравнение. ^[91]

Теория вероятностей и статистика [ править ]

Две разные цепи Маркова. На диаграмме показано количество частиц (всего 1000) в состоянии «2». Оба предельных значения могут быть определены из матриц перехода, которые обозначены (красным) и (черным).${\displaystyle {\begin{bmatrix}0.7&0\\0.3&1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0.7&0.2\\0.3&0.8\end{bmatrix}}}$

Стохастические матрицы - это квадратные матрицы, строки которых являются векторами вероятности , то есть элементы которых неотрицательны и в сумме составляют единицу. Стохастические матрицы используются для определения цепей Маркова с конечным числом состояний. ^[92] Строка стохастической матрицы дает распределение вероятностей для следующей позиции некоторой частицы, которая в настоящее время находится в состоянии, которое соответствует строке. Свойства цепи Маркова, такие как поглощающие состояния , то есть состояния, которые любая частица в конечном итоге достигает, можно определить по собственным векторам матриц перехода. ^[93]

Статистика также использует матрицы во многих различных формах. ^[94] Описательная статистика связана с описанием наборов данных, которые часто могут быть представлены в виде матриц данных , которые затем могут быть подвергнуты методам уменьшения размерности . Ковариационная матрица кодирует взаимную дисперсию нескольких случайных величин . ^[95] Другой метод использования матриц - это линейный метод наименьших квадратов , метод, который аппроксимирует конечный набор пар ( x ₁ , y ₁ ), ( x ₂ , y ₂ ), ..., (x _N , y _N ) линейной функцией

y _i ≈ ax _i + b , i = 1, ..., N

которые могут быть сформулированы в терминах матриц, связанных с сингулярным разложением матриц. ^[96]

Случайные матрицы - это матрицы, элементами которых являются случайные числа, с учетом подходящих распределений вероятностей , таких как нормальное распределение матриц . Помимо теории вероятностей, они применяются в самых разных областях, от теории чисел до физики . ^{[97] [98]}

Симметрии и преобразования в физике [ править ]

Линейные преобразования и связанные с ними симметрии играют ключевую роль в современной физике. Например, элементарные частицы в квантовой теории поля классифицируются как представления группы Лоренца специальной теории относительности и, более конкретно, по их поведению в спиновой группе . Конкретные представления, включающие матрицы Паули и более общие гамма-матрицы, являются неотъемлемой частью физического описания фермионов , которые ведут себя как спиноры . ^[99] Для трех легчайших кварков существует теоретико-групповое представление, включающееспециальная унитарная группа SU (3); для своих вычислений физики используют удобное матричное представление, известное как матрицы Гелл-Манна , которые также используются для калибровочной группы SU (3) , составляющей основу современного описания сильных ядерных взаимодействий, квантовой хромодинамики . Матрица Кабиббо-Кобаяши-Маскаво , в свою очередь, выражает тот факт , что основные кварковые состояния, которые важны для слабых взаимодействий не являются таким же , как, но линейно связаны с основными кварковыми состояний , которые определяют частицы с конкретным и различными массами . ^[100]

Линейные комбинации квантовых состояний [ править ]

Первая модель квантовой механики ( Гейзенберг , 1925) представляла операторы теории бесконечномерными матрицами, действующими на квантовые состояния. ^[101] Это также называется матричной механикой . Одним из конкретных примеров является матрица плотности, которая характеризует «смешанное» состояние квантовой системы как линейную комбинацию элементарных, «чистых» собственных состояний . ^[102]

Другая матрица служит ключевым инструментом для описания экспериментов по рассеянию, которые составляют краеугольный камень экспериментальной физики элементарных частиц: реакции столкновения, например, происходящие в ускорителях элементарных частиц , где невзаимодействующие частицы направляются друг к другу и сталкиваются в небольшой зоне взаимодействия с новым совокупность невзаимодействующих частиц в результате может быть описана как скалярное произведение исходящих состояний частицы и линейной комбинации состояний входящей частицы. Линейная комбинация задается матрицей, известной как S-матрица , которая кодирует всю информацию о возможных взаимодействиях между частицами. ^[103]

Нормальные режимы [ править ]

Общее применение матриц в физике - описание линейно связанных гармонических систем. В уравнении движения таких систем может быть описано в виде матрицы, с помощью масс - матрицы умножения обобщенной скорости , чтобы дать кинетический член, и силовой матрицу умножения вектора смещения для характеристики взаимодействия. Наилучший способ получить решения - определить собственные векторы системы , ее нормальные режимы , путем диагонализации матричного уравнения. Подобные методы имеют решающее значение, когда речь идет о внутренней динамике молекул : внутренних колебаниях систем, состоящих из взаимно связанных составляющих атомов. ^[104]Они также нужны для описания механических колебаний и колебаний в электрических цепях. ^[105]

Геометрическая оптика [ править ]

Геометрическая оптика обеспечивает дополнительные матричные приложения. В этой приближенной теории волновая природа света не учитывается. В результате получилась модель, в которой лучи света действительно являются геометрическими лучами . Если отклонение световых лучей оптическими элементами невелико, действие линзы или отражающего элемента на данный световой луч можно выразить как умножение двухкомпонентного вектора на матрицу два на два, называемую анализом матрицы передачи луча : компоненты вектора - это наклон светового луча и его расстояние от оптической оси, а матрица кодирует свойства оптического элемента. На самом деле есть два вида матриц, а именно. матрица преломлениеописывающие преломление на поверхности линзы, и матрицу перевода , описывающий перевод плоскости отсчета к следующей преломляющей поверхности, где применяется другая матрица рефракции. Оптическая система, состоящая из комбинации линз и / или отражающих элементов, просто описывается матрицей, полученной из произведения матриц компонентов. ^[106]

Электроника [ править ]

Традиционный анализ сеток и узловой анализ в электронике приводят к системе линейных уравнений, которые можно описать с помощью матрицы.

Поведение многих электронных компонентов можно описать с помощью матриц. Пусть A будет 2-мерным вектором с входным напряжением v ₁ компонента и входным током i _{1 в} качестве его элементов, и пусть B будет 2-мерным вектором с выходным напряжением v ₂ компонента и выходным током i _{2 в} качестве его элементов. Тогда поведение электронного компонента можно описать как B = H · A , где H - матрица 2 x 2, содержащая один элемент импеданса ( h ₁₂), один элемент проводимости ( h ₂₁ ) и два безразмерных элемента ( h ₁₁ и h ₂₂ ). Расчет схемы теперь сводится к умножению матриц.

История [ править ]

Матрицы имеют долгую историю применения при решении линейных уравнений, но до 1800-х годов они были известны как массивы. В китайском тексте Математика в девяти книгах написано в 10-втором веке до нашей эры является первым примером использования методов массива для решения системы уравнений , ^[107] в том числе концепцию детерминант . В 1545 году итальянский математик Джероламо Кардано принес этот метод в Европу, когда опубликовал Ars Magna . ^[108] Японский математик Секи использовал те же методы массивов для решения системы уравнений в 1683. ^[109]Голландский математик Ян де Витт представил преобразования с использованием массивов в своей книге 1659 года « Элементы кривых» (1659). ^[110] Между 1700 и 1710 годами Готфрид Вильгельм Лейбниц опубликовал использование массивов для записи информации или решений и экспериментировал с более чем 50 различными системами массивов. ^[108] Крамер представил свое правление в 1750 году.

Термин «матрица» (лат «матке», полученный из матер -mother ^[111] ) был придуман Джеймсом Джозефом Сильвестра в 1850 году ^[112] , который понимал матрицу в качестве объекта, приводящей к ряду факторов , определяющих сегодня называют несовершеннолетних , то есть определители меньших матриц, которые получаются из исходной путем удаления столбцов и строк. В статье 1851 года Сильвестр объясняет:

В предыдущих статьях я определил «Матрицу» как прямоугольный набор терминов, из которого могут возникать различные системы детерминант, как из чрева общего родителя. ^[113]

Артур Кэли опубликовал трактат о геометрических преобразованиях с использованием матриц, которые не были повернутыми версиями исследуемых коэффициентов, как это делалось ранее. Вместо этого он определил такие операции, как сложение, вычитание, умножение и деление, как преобразования этих матриц и показал, что ассоциативные и распределительные свойства сохраняются. Кэли исследовал и продемонстрировал некоммутативное свойство матричного умножения, а также коммутативное свойство матричного сложения. ^[108] Ранняя теория матриц ограничивала использование массивов почти исключительно определителями, и абстрактные матричные операции Артура Кэли были революционными. Он сыграл важную роль в предложении матричной концепции, независимой от систем уравнений. В 1858 году Кэлиопубликовал свои воспоминания по теории матриц ^{[114] [115],} в которых он предложил и продемонстрировал теорему Кэли – Гамильтона . ^[108]

Английский математик Каллис был первым, кто использовал современную скобочную запись для матриц в 1913 году, и он одновременно продемонстрировал первое существенное использование записи A = [ a _{i , j} ] для представления матрицы, где a _{i , j} относится к i- й строка и j- й столбец. ^[108]

Современное исследование детерминант возникло из нескольких источников. ^[116] Теоретико-числовые проблемы привели Гаусса к тому, чтобы связать коэффициенты квадратичных форм , то есть такие выражения, как x ² + xy - 2 y ² , и линейные карты в трех измерениях с матрицами. Эйзенштейн дальнейшее развития этих понятий, в том числе замечания , что в современном языке, матричные продукты являются некоммутативными . Коши был первым, кто доказал общие утверждения о детерминантах, используя в качестве определения определитель матрицы A= [ _{Я , J} ] следующее: заменить Державы на _J ^K на более _Jk в полиномоме

${\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\prod _{i<j}(a_{j}-a_{i})\;}$,

где Π обозначает произведение указанных членов. В 1829 году он также показал, что собственные значения симметричных матриц действительны. ^[117] Якоби изучал «функциональные детерминанты» - позже названные Сильвестром определителями Якоби - которые можно использовать для описания геометрических преобразований на локальном (или бесконечно малом ) уровне, см. Выше ; Кронекера 'ы Vorlesungen über умереть Теорье дер Determinanten ^[118] и Вейерштрасса Zur Determinantentheorie , ^[119] и опубликованы в 1903 году, сначала обрабатывают детерминанты аксиоматически, в отличие от предыдущих более конкретных подходов, таких как упомянутая формула Коши. В этот момент были твердо установлены детерминанты.

Многие теоремы были впервые установлены только для малых матриц, например, теорема Кэли – Гамильтона была доказана для матриц 2 × 2 Кэли в вышеупомянутом мемуаре и Гамильтоном для матриц 4 × 4. Фробениус , работая над билинейными формами , обобщил теорему на все измерения (1898 г.). Также в конце XIX века метод исключения Гаусса – Жордана (обобщающий частный случай, известный теперь как исключение Гаусса ) был установлен Джорданом . В начале 20 века матрицы стали играть центральную роль в линейной алгебре ^[120], частично из-за их использования в классификации гиперкомплексных чисел. системы прошлого века.

Зарождение матричной механики по Гейзенберга , Борна и Иордана привело к изучению матриц с бесконечным числом строк и столбцов. ^[121] Позднее фон Нейман осуществил математическую формулировку квантовой механики , развивая функционально-аналитические понятия, такие как линейные операторы в гильбертовых пространствах , которые, очень грубо говоря, соответствуют евклидову пространству , но с бесконечным количеством независимых направлений .

Другие исторические употребления слова «матрица» в математике [ править ]

Это слово необычным образом использовалось по крайней мере двумя авторами, имеющими историческое значение.

Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед в своих « Принципах математики» (1910–1913) используют слово «матрица» в контексте своей аксиомы сводимости . Они предложили эту аксиому как средство для последовательного уменьшения любой функции до одной более низкого типа, так что «внизу» (0-й порядок) функция идентична своему расширению :

"Давайте дадим имя матрицы любой функции любого числа переменных, которая не включает никаких очевидных переменных . Затем любая возможная функция, кроме матрицы, выводится из матрицы посредством обобщения, то есть путем рассмотрения предложения что рассматриваемая функция верна со всеми возможными значениями или с некоторым значением одного из аргументов, а другой аргумент или аргументы остаются неопределенными ". ^[122]

Например, функция Φ ( x, y ) двух переменных x и y может быть сведена к набору функций одной переменной, например y , «рассматривая» функцию для всех возможных значений «индивидов» a _я подставил вместо переменной x . И затем результирующий набор функций одной переменной y , то есть ∀a _i : Φ ( a _i , y ), можно свести к «матрице» значений, «рассматривая» функцию для всех возможных значений « частные лица "b _i подставляется вместо переменной y:

B _j ∀a _i : Φ ( a _i , b _j ).

Альфред Тарский в своем « Введении в логику» 1946 года использовал слово «матрица» как синоним понятия таблицы истинности, используемого в математической логике. ^[123]

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Антон, Ховард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
• Арнольд, Владимир И .; Кук, Роджер (1992), Обыкновенные дифференциальные уравнения , Берлин, Германия; Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-54813-3
• Артин, Майкл (1991), Алгебра , Прентис Холл , ISBN 978-0-89871-510-1
• Ассоциация вычислительной техники (1979), Компьютерная графика , Тата МакГроу – Хилл, ISBN 978-0-07-059376-3
• Бейкер, Эндрю Дж. (2003), Матричные группы: Введение в теорию групп Ли , Берлин, Германия; Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-1-85233-470-3
• Бау III, Давид; Трефетен, Ллойд Н. (1997), Численная линейная алгебра , Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики, ISBN 978-0-89871-361-9
• Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
• Бретчер, Отто (2005), Линейная алгебра с приложениями (3-е изд.), Прентис Холл
• Бронсон, Ричард (1970), Матричные методы: введение , Нью-Йорк: Academic Press , LCCN  70097490
• Бронсон, Ричард (1989), Очерк теории Шаума и проблемы матричных операций , Нью-Йорк: McGraw – Hill , ISBN 978-0-07-007978-6
• Браун, Уильям К. (1991), Матрицы и векторные пространства , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Марсель Деккер , ISBN 978-0-8247-8419-5
• Коберн, Натаниэль (1955), Векторный и тензорный анализ , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Macmillan, OCLC  1029828
• Конри, Дж. Брайан (2007), Ранги эллиптических кривых и теория случайных матриц , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-69964-8
• Фрали, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
• Фуденберг, Дрю; Тироль, Жан (1983), Теория игр , MIT Press
• Гилбарг, Дэвид; Трудингер, Нил С. (2001), Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка (2-е изд.), Берлин, Германия; Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-41160-4
• Годсил, Крис ; Ройл, Гордон (2004), Алгебраическая теория графов , Тексты для выпускников по математике, 207 , Берлин, Германия; Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95220-8
• Голуб, Джин Х .; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Matrix Computations (3-е изд.), Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9
• Greub, Вернер Хильдберт (1975), Линейная алгебра , Тексты для выпускников по математике, Берлин, Германия; Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90110-7
• Халмос, Пол Ричард (1982), Сборник задач по гильбертовому пространству , Тексты для выпускников по математике, 19 (2-е изд.), Берлин, Германия; Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90685-0, Руководство по ремонту  0675952
• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Матричный анализ , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
• Хаусхолдер, Алстон С. (1975), Теория матриц в численном анализе , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Dover Publications , MR  0378371
• Крейсциг, Эрвин (1972), Advanced Engineering Mathematics (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-50728-8.
• Krzanowski, Wojtek J. (1988), Принципы многомерного анализа , Oxford Statistical Science Series, 3 , The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-852211-9, Руководство по ремонту  0969370
• Ито, Киёси, изд. (1987), Математический энциклопедический словарь. Vol. I-IV (2-е изд.), MIT Press, ISBN 978-0-262-09026-1, Руководство по ремонту  0901762
• Лэнг, Серж (1969), Анализ II , Аддисон-Уэсли
• Ланг, Серж (1987a), Исчисление нескольких переменных (3-е изд.), Берлин, Германия; Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96405-8
• Ланг, Серж (1987b), Линейная алгебра , Берлин, Германия; Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556
• Латуш, Гай; Рамасвами, Вайдьянатан (1999), Введение в методы матричного анализа в стохастическом моделировании (1-е изд.), Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики, ISBN 978-0-89871-425-8
• Мэннинг, Кристофер Д.; Schütze, Hinrich (1999), Основы статистической обработки естественного языка , MIT Press, ISBN 978-0-262-13360-9
• Мехата, км; Сринивасан, СК (1978), Стохастические процессы , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Макгроу – Хилл, ISBN 978-0-07-096612-3
• Мирский, Леонид (1990), Введение в линейную алгебру , Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN  76-91646
• Нокедаль, Хорхе; Райт, Стивен Дж. (2006), Численная оптимизация (2-е изд.), Берлин, Германия; Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, p. 449, ISBN 978-0-387-30303-1
• Уаллин, Стив (2003), Практическое программирование на C ++ , O'Reilly , ISBN 978-0-596-00419-4
• Press, William H .; Флэннери, Брайан П .; Теукольский, Саул А .; Веттерлинг, Уильям Т. (1992), "LU Decomposition and Its Applications" (PDF) , Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing (2-е изд.), Cambridge University Press, стр. 34–42, заархивировано с оригинала. на 2009-09-06CS1 maint: unfit URL (link)
• Protter, Murray H .; Морри-младший, Чарльз Б. (1970), Колледж по исчислению с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Addison-Wesley , LCCN  76087042
• Punnen, Abraham P .; Гутин, Грегори (2002), Проблема коммивояжера и ее варианты , Бостон, Массачусетс: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-0664-7
• Райхл, Линда Э. (2004), Переход к хаосу: консервативные классические системы и квантовые проявления , Берлин, Германия; Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98788-0
• Роуэн, Луи Халле (2008), Аспирантура по алгебре: некоммутативный взгляд , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4153-2
• Шолин, Павел (2005), Уравнения в частных производных и метод конечных элементов , Wiley-Interscience , ISBN 978-0-471-76409-0
• Стинсон, Дуглас Р. (2005), Криптография , дискретная математика и ее приложения, Chapman & Hall / CRC, ISBN 978-1-58488-508-5
• Стоер, Йозеф; Булирш, Роланд (2002), Введение в численный анализ (3-е изд.), Берлин, Германия; Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95452-3
• Уорд, JP (1997), Кватернионы и числа Кэли , Математика и ее приложения, 403 , Дордрехт, Нидерланды: Kluwer Academic Publishers Group, DOI : 10.1007 / 978-94-011-5768-1 , ISBN 978-0-7923-4513-8, Руководство по ремонту  1458894
• Вольфрам, Стивен (2003), The Mathematica Book (5-е изд.), Шампейн, Иллинойс: Wolfram Media, ISBN 978-1-57955-022-6

Ссылки по физике [ править ]

• Бом, Арно (2001), Квантовая механика: основы и приложения , Springer, ISBN 0-387-95330-2
• Берджесс, Клифф; Мур, Гай (2007), Стандартная модель. Букварь , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-86036-9
• Гюнтер, Роберт Д. (1990), Современная оптика , Джон Вили, ISBN 0-471-60538-7
• Ициксон, Клод; Зубер, Жан-Бернар (1980), Квантовая теория поля , McGraw – Hill, ISBN 0-07-032071-3
• Райли, Кеннет Ф .; Хобсон, Майкл П .; Бенце, Стивен Дж. (1997), Математические методы для физики и инженерии , Cambridge University Press, ISBN 0-521-55506-X
• Шифф, Леонард I. (1968), Квантовая механика (3-е изд.), МакГроу – Хилл
• Вайнберг, Стивен (1995), Квантовая теория полей. Том I: Фонды , Cambridge University Press, ISBN 0-521-55001-7
• Верретт, Брайан С. (1987), Теория групп для атомов, молекул и твердых тел , Prentice – Hall International, ISBN 0-13-365461-3
• Забродин, Антон; Брезен, Эдуард; Казаков, Владимир; Сербан, Дидина; Вигманн, Пауль (2006), Применение случайных матриц в физике (Серия научных исследований НАТО II: математика, физика и химия) , Берлин, Германия; Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-1-4020-4530-1

Исторические ссылки [ править ]

• А. Кэли Мемуары по теории матриц . Фил. Пер. 148 1858 17-37; Математика. Документы II 475-496
• Бохер, Максим (2004), Введение в высшую алгебру , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-49570-5, репринт оригинального издания 1907 г.
• Кэли, Артур (1889), Сборник математических статей Артура Кэли , I (1841–1853), Cambridge University Press , стр. 123–126
• Дьедонне, Жан , изд. (1978), Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900 , Париж, Франция: Hermann
• Хокинс, Томас (1975), «Коши и спектральная теория матриц», Historia Mathematica , 2 : 1–29, DOI : 10.1016 / 0315-0860 (75) 90032-4 , ISSN  0315-0860 , MR  0469635
• Кноблох, Эберхард (1994), «От Гаусса до Вейерштрасса: теория детерминантов и ее исторические оценки», пересечение истории и математики , Science Networks Historical Studies, 15 , Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, стр. 51–66, MR.  1308079
• Кронекер, Леопольд (1897), Хензель, Курт (редактор), Верке Леопольда Кронекера , Тойбнер
• Мехра, Джагдиш; Рехенберг, Гельмут (1987), Историческое развитие квантовой теории (1-е изд.), Берлин, Германия; Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96284-9
• Шен, Каншен; Кроссли, Джон Н .; Лун, Энтони Ва-Чунг (1999), Девять глав математического искусства, компаньон и комментарий (2-е изд.), Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853936-0
• Вейерштрасс, Карл (1915), Собрание сочинений , 3

Дальнейшее чтение [ править ]

• "Матрица" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Кау, Аутар К. (сентябрь 2008 г.), Введение в матричную алгебру , ISBN 978-0-615-25126-4
• The Matrix Cookbook (PDF) , последнее обращение 24 марта 2014 г.
• Брукс, Майк (2005), Справочное руководство по матрице , Лондон: Имперский колледж , получено 10 декабря 2008 г.

Внешние ссылки [ править ]

Использование внешних ссылок в этой статье может не соответствовать политикам или рекомендациям Википедии . Пожалуйста, улучшите эту статью , удалив лишние или неприемлемые внешние ссылки и преобразовав полезные ссылки, где это необходимо, в сноски . ( Май 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

• MacTutor: матрицы и определители
• Матрицы и линейная алгебра на страницах самых ранних применений
• Самые ранние случаи использования символов для матриц и векторов
• matrixcalc (Калькулятор матриц)
• SimplyMath (Матричный калькулятор)
• Бесплатная библиотека C ++
• Сяо, Банда, Матричный калькулятор , получено 10 декабря 2008 г.
• Онлайн-матричный калькулятор (структура ZK) , заархивировано из оригинала 12 мая 2013 г. , получено 26 ноября 2009 г.CS1 maint: unfit URL (link)
• Oehlert, Gary W .; Bingham, Christopher, MacAnova , Университет Миннесоты , Школа статистики , данные получены 10 декабря 2008 г., бесплатный пакет для матричной алгебры и статистики
• Онлайн-матричный калькулятор , данные получены 14 декабря 2009 г.
• Работа с матрицами в R (определитель, дорожка, обратная, сопряженная, транспонированная)
• Виджет матричных операций в Wolfram | Alpha