Линейная функция

В математике термин линейная функция относится к двум различным, но связанным понятиям: ^[1]

• В исчислении и смежных областях, линейная функция является функцией которой график является прямой линией , то есть полиномиальная функция от степени нуль или единица. ^[2] Чтобы отличить такую ​​линейную функцию от другой концепции, часто используется термин аффинная функция . ^[3]
• В линейной алгебре , математический анализ , ^[4] и функциональный анализ , линейная функция является линейным отображением . ^[5]

Как полиномиальная функция [ править ]

Графики двух линейных функций.

В исчислении, аналитической геометрии и связанных областях линейная функция - это многочлен первой или меньшей степени, включая нулевой многочлен (последний не считается имеющим нулевую степень).

Когда функция состоит только из одной переменной , она имеет вид

${\ displaystyle f (x) = ax + b,}$

где a и b - константы , часто действительные числа . График такой функции одной переменной невертикальная линии. a часто называют наклоном линии, а b - точкой пересечения.

Для функции любого конечного числа переменных общая формула${\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {k})}$

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})=b+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k},}$

а граф - это гиперплоскость размерности k .

Функция , постоянная , также считается линейным в этом контексте, как это многочлен нулевой степени или нулевой многочлен. Его график, когда есть только одна переменная, представляет собой горизонтальную линию.

В этом контексте функция, которая также является линейной картой (другое значение), может называться однородной линейной функцией или линейной формой . В контексте линейной алгебры полиномиальные функции степени 0 или 1 являются скалярнозначными аффинными отображениями .

Как линейная карта [ править ]

Интеграл от функции является линейным отображением векторного пространства функций , интегрируемых с вещественными числами.

В линейной алгебре линейная функция - это отображение f между двумя векторными пространствами, которое сохраняет векторное сложение и скалярное умножение :

${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )}$

${\displaystyle f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).}$

Здесь обозначает константу , принадлежащую к некоторым полям K из скаляров (например, действительные числа ) и х и у являются элементами векторного пространства , что может быть К самому по себе.

Некоторые авторы используют «линейную функцию» только для линейных карт, которые принимают значения в скалярном поле; ^[6] их чаще называют линейными формами .

«Линейные функции» исчисления квалифицируются как «линейные карты», когда (и только когда) f (0, ..., 0) = 0 или, что то же самое, когда указанная выше константа b равна нулю. Геометрически график функции должен проходить через начало координат.

См. Также [ править ]

• Однородная функция
• Нелинейная система
• Кусочно-линейная функция
• Линейное приближение
• Линейная интерполяция
• Разрывная линейная карта
• Линейный метод наименьших квадратов

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Израиль Моисеевич Гельфанд (1961), Лекции по линейной алгебре , Interscience Publishers, Inc., Нью-Йорк. Перепечатано Dover, 1989. ISBN 0-486-66082-6 
• Томас С. Шорс (2007), Прикладная линейная алгебра и матричный анализ , Тексты для студентов по математике , Springer. ISBN 0-387-33195-6 
• Джеймс Стюарт (2012), Calculus: Early Transcendentals , edition 7E, Brooks / Cole. ISBN 978-0-538-49790-9 
• Леонид Н. Васерштейн (2006), «Линейное программирование», в Лесли Хогбен , ред., Справочник по линейной алгебре , дискретной математике и ее приложениям, Chapman and Hall / CRC, гл. 50. ISBN 1-584-88510-6