Скалярное умножение

Скалярное умножение вектора на коэффициент 3 растягивает вектор.

Скалярные умножения - и 2 вектора а

В математике , скалярное умножение является одним из основных операций , определяющих векторное пространство в линейной алгебре ^{[1] [2] [3]} (или более общем случае , модуль в абстрактной алгебре ^{[4] [5]} ). В обычных геометрических контекстах скалярное умножение реального евклидова вектора на положительное действительное число умножает величину вектора без изменения его направления. Сам термин « скаляр » происходит от этого использования: скаляр - это то, что масштабируетсявекторов. Скалярное умножение - это умножение вектора на скаляр (где произведение - вектор), и его следует отличать от внутреннего произведения двух векторов (где произведение - скаляр).

Определение [ править ]

В общем, если К является полем , а V представляет собой векторное пространство над К , то скалярное умножение является функцией от K × V в V . Результат применения этой функции к k в K и v в V обозначается k v . ^[6]

Свойства [ править ]

Скалярное умножение подчиняется следующим правилам (вектор выделен жирным шрифтом ) :

• Аддитивность в скаляре: ( c + d ) v = c v + d v ;
• Аддитивность в векторе: c ( v + w ) = c v + c w ;
• Совместимость произведения скаляров со скалярным умножением: ( cd ) v = c ( d v );
• Умножение на 1 не меняет вектор: 1 v = v ;
• Умножение на 0 дает нулевой вектор : 0 v = 0 ;
• Умножение на −1 дает аддитивное обратное : (−1) v = - v .

Здесь + - это сложение либо в поле, либо в векторном пространстве, в зависимости от ситуации; и 0 - аддитивная идентичность в любом из них.Сопоставление указывает либо скалярное умножение, либо операцию умножения в поле.

Интерпретация [ править ]

Скалярное умножение можно рассматривать как внешнюю бинарную операцию или как действие поля в векторном пространстве. Геометрическая интерпретация скалярного умножения является то , что она простирается, или сжимается, векторы на постоянный коэффициент. В результате он создает вектор в том же или противоположном направлении исходного вектора, но другой длины. ^[7]

В качестве особого случая, V может быть взято как само K , а скалярное умножение может быть принято как просто умножение в поле.

Когда V равно K ⁿ , скалярное умножение эквивалентно умножению каждого компонента на скаляр и может быть определено как таковое.

Же идея применяется , если К является коммутативным кольцом , а V представляет собой модуль над K .K может быть даже оснасткой , но тогда не существует аддитивной инверсии. Если K не коммутативен , могут быть определены различные операции левостороннего скалярного умножения c v и правого скалярного умножения v c .

Скалярное умножение матриц [ править ]

Оставил скалярное умножение матричного А со скалярным Х дает другую матрицу того же размера, что и А . Он обозначается λ A , ^[6] , элементы λ A которого определены как

${\ displaystyle (\ lambda \ mathbf {A}) _ {ij} = \ lambda \ left (\ mathbf {A} \ right) _ {ij} \ ,,}$

явно:

${\displaystyle \lambda \mathbf {A} =\lambda {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda A_{11}&\lambda A_{12}&\cdots &\lambda A_{1m}\\\lambda A_{21}&\lambda A_{22}&\cdots &\lambda A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda A_{n1}&\lambda A_{n2}&\cdots &\lambda A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,.}$

Аналогично, правое скалярное умножение матрицы A на скаляр λ определяется как

${\displaystyle (\mathbf {A} \lambda )_{ij}=\left(\mathbf {A} \right)_{ij}\lambda \,,}$

явно:

${\displaystyle \mathbf {A} \lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}\lambda &A_{12}\lambda &\cdots &A_{1m}\lambda \\A_{21}\lambda &A_{22}\lambda &\cdots &A_{2m}\lambda \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}\lambda &A_{n2}\lambda &\cdots &A_{nm}\lambda \\\end{pmatrix}}\,.}$

Когда основное кольцо является коммутативным , например, в режиме реальное или комплексное число , поле , эти два умножений являются одинаковыми, и называются просто скалярным умножением . Однако для матриц более общего кольца , которые не являются коммутативными, таких как кватернионы , они могут не быть равными.

Для действительного скаляра и матрицы:

${\displaystyle \lambda =2,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle 2\mathbf {A} =2{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\!\cdot \!a&2\!\cdot \!b\\2\!\cdot \!c&2\!\cdot \!d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\!\cdot \!2&b\!\cdot \!2\\c\!\cdot \!2&d\!\cdot \!2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}2=\mathbf {A} 2.}$

Для кватернионных скаляров и матриц:

${\displaystyle \lambda =i,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle i{\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ij\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&k\\\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-k\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ji\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}i\,,}$

где i , j , k - единицы кватерниона. Некоммутативность умножения кватернионов препятствует переходу от изменения ij = + k к ji = - k .

См. Также [ править ]

• Скалярное произведение
• Умножение матриц
• Умножение векторов
• Продукт (математика)

Ссылки [ править ]