Нулевой элемент

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Нулевой элемент»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математике , А нулевой элемент является одним из нескольких обобщений числа нуля других алгебраических структур . Эти альтернативные значения могут сводиться или не сводиться к одному и тому же, в зависимости от контекста.

Аддитивные идентификаторы [ править ]

Аддитивная идентичность является единичным элементом в аддитивной группе . Он соответствует элементу 0, такому что для всех x в группе 0 + x = x + 0 = x . Некоторые примеры аддитивной идентичности включают:

• Нулевой вектор под сложением векторов : вектор длиной 0 и компоненты которого равно 0. Часто обозначаются как или . ^{[1] [2] [3]}${\ displaystyle \ mathbf {0}}$${\ displaystyle {\ vec {0}}}$
• Нулевая функция или нулевого отображение определяется г ( х ) = 0 , при точечно дополнении ( е + г ) ( х ) = е ( х ) + г ( х )
• Пустое множество под множественным объединением
• Пустая сумма или пустое копроизведение
• Начальный объект в категории (пустое копроизведение, и поэтому идентичность под копроизведениями )

Поглощающие элементы [ править ]

Поглощающий элемент в мультипликативной полугруппе или полукольце обобщается свойства -⋅ х = 0 . Примеры включают:

• Пустое множество , которое является элементом поглощающей под декартово произведение множеств, так как {} × S = {}
• Нулевая функция или нулевое отображение определяется г ( х ) = 0 при поточечном умножении ( F ⋅ г ) ( х ) = е ( х ) ⋅ г ( х )

Многие поглощающие элементы также являются аддитивными тождествами, включая пустое множество и нулевую функцию. Другой важный пример - выделенный элемент 0 в поле или кольце , который является одновременно аддитивной единицей и мультипликативным поглощающим элементом, и чей главный идеал является наименьшим идеалом.

Нулевые объекты [ править ]

Нулевой объект в категории является как начальный и терминальный объект (и так тождество под обоими копроизведениями и продуктов ). Например, тривиальная структура (содержащая только идентичность) - это нулевой объект в категориях, где морфизмы должны отображать идентичности в идентичности. Конкретные примеры включают:

• Единичная группа , содержащий только идентификатор (нулевой объект в категории групп )
• Модуль нуля , содержащий только идентификатор (нулевой объект в категории модулей над кольцом)

Нулевые морфизмы [ править ]

Нулевой морфизм в категории является обобщенным поглощающим элементом в соответствии с функцией состава : любой морфизм , состоящий с нулевым морфизмом дает нулевой морфизм. В частности, если 0 _XY  : X → Y - нулевой морфизм среди морфизмов из X в Y , а f  : A → X и g  : Y → B - произвольные морфизмы, то g ∘ 0 _XY = 0 _XB и 0 _XY ∘ f = 0_AY .

Если категория имеет нулевой объект 0 , то есть канонические морфизмы X → 0 и 0 → Y , и составление их дают нулевой морфизм 0 _XY  : X → Y . В категории групп , например, нулевые морфизмы - это морфизмы, которые всегда возвращают групповые тождества, таким образом обобщая функцию z ( x ) = 0.

Наименьшее количество элементов [ править ]

Наименьший элемент в частично упорядоченного множества или решетки могут быть иногда называют нулевым элементом, и записываются либо в виде 0 или ⊥.

Нулевой модуль [ править ]

В математике , то модуль нуль является модуль , состоящий только из аддитивного тождества для модуля сложения функции. В целых числах это тождество равно нулю , что дает имя нулевой модуль . То, что нулевой модуль на самом деле является модулем, просто показать; она тривиально замкнута относительно сложения и умножения .

Нулевой идеал [ править ]

В математике , то нулевой идеал в кольце является идеальным , состоящим только аддитивной идентичность (или нулевого элемента). То, что это идеал, следует непосредственно из определения.${\displaystyle R}$${\displaystyle \{0\}}$

Нулевая матрица [ править ]

В математике , особенно в линейной алгебре , нулевая матрица - это матрица, все элементы которой равны нулю . Поочередно обозначается символом . ^[1] Некоторые примеры нулевых матриц:${\displaystyle O}$

${\displaystyle 0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\ }$

Набор матриц размера m  ×  n с элементами кольца K образует модуль . Нулевая матрица в это матрица с записью , равной , где аддитивная единица в K . ${\displaystyle K_{m,n}}$${\displaystyle 0_{K_{m,n}}}$${\displaystyle K_{m,n}}$${\displaystyle 0_{K}}$${\displaystyle 0_{K}}$

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}}$

Нулевая матрица - это аддитивная единица в . То есть для всех :${\displaystyle K_{m,n}}$${\displaystyle A\in K_{m,n}}$

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A}$

Существует ровно одна нулевая матрица любого заданного размера m  ×  n (с элементами из данного кольца), поэтому, когда контекст ясен, часто ссылаются на нулевую матрицу. В общем, нулевой элемент кольца уникален и обычно обозначается как 0 без нижнего индекса, указывающего на родительское кольцо. Следовательно, приведенные выше примеры представляют нулевые матрицы над любым кольцом.

Нулевая матрица также представляет собой линейное преобразование, которое отправляет все векторы в нулевой вектор.

Нулевой тензор [ править ]

В математике , то нулевой тензор является тензором , в любом порядке, все компоненты которого являются нуль . Нулевой тензор порядка 1 иногда называют нулевым вектором.

Принимая тензорное произведение любого тензора с любыми нулевыми результатами тензора в другом нулевом тензоре. Добавление нулевого тензора эквивалентно тождественной операции.

См. Также [ править ]

• Нулевая полугруппа
• Делитель нуля
• Нулевой объект
• Ноль функции
• Ноль - нематематическое использование

Ссылки [ править ]