В теории категорий , в копроизведении или категорической сумме , представляет собой конструкция , которая включает в себя в качестве примеров несвязной из множеств и топологических пространств , в свободное произведение из групп , а также прямую сумма из модулей и векторных пространств . Копродукт семейства объектов - это, по сути, «наименее специфический» объект, к которому каждый объект в семействе допускает морфизм . Это категория теоретико- двойное понятие к категорическому продукту, что означает, что определение такое же, как и у продукта, но с перевернутыми стрелками . Несмотря на это, казалось бы, безобидное изменение названия и обозначений, сопутствующие продукты могут и обычно сильно отличаются от продуктов.
Определение [ править ]
Пусть C будет категория и пусть X 1 и X 2 объектами C . Объект называется копроизведением X 1 и X 2 , записывается X 1 ∐ X 2 или X 1 ⊕ X 2 , или иногда просто X 1 + X 2 , если существуют морфизмы i 1 : X 1 → X 1 ∐ X 2. и я2 : X 2 → X 1 ∐ X 2, удовлетворяющее следующему универсальному свойству : для любого объекта Y и любых морфизмов f 1 : X 1 → Y и f 2 : X 2 → Y существует единственный морфизм f : X 1 ∐ X 2 → Y такие, что f 1 = f ∘ i 1 и f 2 = f ∘я 2 . То есть коммутирует следующая диаграмма :
Единственная стрелка f, соединяющая эту диаграмму, может быть обозначена f 1 ∐ f 2 , f 1 ⊕ f 2 , f 1 + f 2 или [ f 1 , f 2 ]. Морфизмы i 1 и i 2 называются каноническими инъекциями , хотя они не обязательно должны быть инъекциями или даже моническими .
Определение копроизведения может быть продлено до произвольного семейства объектов , индексированных множество J . Копроизведение семейства { X j : j ∈ J } - это объект X вместе с набором морфизмов i j : X j → X такой, что для любого объекта Y и любого набора морфизмов f j : X j → Y , существует единственный морфизм f из X в Y такой, что fJ = F ∘ я J . То есть следующая диаграмма коммутирует для каждого j в J :
Копроизведение X семейства { X j } часто обозначается или
Иногда морфизм f: X → Y может быть обозначен, чтобы указать его зависимость от индивидуума f j s.
Примеры [ править ]
Копроизведение в категории множеств - это просто несвязное объединение с отображениями i j, являющимися отображениями включения . В отличие от прямых продуктов , не все сопродукции в других категориях, очевидно, основаны на понятии множеств, потому что союзы плохо себя ведут в отношении операций сохранения (например, объединение двух групп не обязательно должно быть группой), и поэтому сопродукты в разных категории могут кардинально отличаться друг от друга. Например, копроизведение в категории групп , называемое бесплатным продуктом , довольно сложно. С другой стороны, в категории абелевых групп (и в равной степени для векторных пространств), копроизведение, называемое прямой суммой , состоит из элементов прямого произведения, которые имеют лишь конечное число ненулевых членов. (Следовательно, оно точно совпадает с прямым произведением в случае конечного числа множителей.)
Для коммутативного кольца R копроизведение в категории коммутативных R -алгебр является тензорным произведением . В категории (некоммутативных) R -алгебр копроизведение является фактором тензорной алгебры (см. Свободное произведение ассоциативных алгебр ).
В случае топологических пространств копроизведения - это дизъюнктные объединения с их дизъюнктными объединенными топологиями . То есть это несвязное объединение базовых множеств, а открытые множества - это множества, открытые в каждом из пространств , в довольно очевидном смысле. В категории заостренных пространств , фундаментальной в теории гомотопий , копроизведение - это сумма клина (которая составляет соединение набора пространств с базовыми точками в общей базовой точке).
Несмотря на все это несходство, в основе всего этого лежит несвязное объединение: прямая сумма абелевых групп - это группа, порожденная "почти" несвязным объединением (несвязным объединением всех ненулевых элементов вместе с общим ноль), аналогично для векторных пространств: пространство, натянутое на «почти» дизъюнктное объединение; бесплатный продукт для групп генерируется набором всех букв из подобного «почти непересекающегося» объединения, в котором никакие два элемента из разных наборов не могут коммутировать.
Копроизведение категории poset - это операция соединения.
Обсуждение [ править ]
Приведенная выше конструкция копроизведения на самом деле является частным случаем копредела в теории категорий. Копроизведение в категории можно определить как копредел любого функтора из дискретной категории в . Не каждое семейство будет иметь копроизведение в общем случае, но если оно есть, то копроизведение уникально в строгом смысле: если и являются двумя копроизведениями семейства , то (по определению копроизведений) существует единственный изоморфизм такой, что для каждый .
Как и любое универсальное свойство , копроизведение можно понимать как универсальный морфизм. Пусть будет диагональный функтор , который присваивает каждому объекту упорядоченная пара и каждого морфизма пара . Тогда копроизведение в задается универсальным морфизмом функтору из объекта в .
Копродукт, проиндексированный пустым набором (то есть пустым сопродуктом ), совпадает с исходным объектом в .
Если это набор такой, что все копроизведения для семейств, проиндексированных с, существуют, то можно выбрать продукты совместимым образом, чтобы копроизведение превратилось в функтор . Копроизведение семьи часто обозначается как
и карты известны как естественные инъекции .
Позволить обозначим множество всех морфизмов из к в (то есть, рупор посаженные в ), мы имеем естественный изоморфизм
задается биекцией, отображающей каждый набор морфизмов
(продукт в Set , категория множеств , которая является декартовым произведением , поэтому это набор морфизмов) к морфизму
То, что это отображение является сюръекцией, следует из коммутативности диаграммы: любой морфизм является копроизведением набора
То, что это инъекция, следует из универсальной конструкции, определяющей единственность таких отображений. Естественность изоморфизма также является следствием диаграммы. Таким образом, контравариантный гом-функтор превращает копроизведения в продукты. Иными словами, Хом-функтор, рассматриваемый как функтор из противоположной категории до Set непрерывно; он сохраняет пределы (сопродукт в - это продукт в ).
Если , скажем , - конечное множество , то копроизведение объектов часто обозначается как . Предположим , что существуют все конечные копроизведения в C , копроизведение функторы были выбраны , как описано выше, и 0 обозначает исходный объект из C , соответствующий пустой копроизведением. Тогда у нас есть естественные изоморфизмы
Эти свойства формально аналогичны свойствам коммутативного моноида ; Категория с конечными копроизведениями является примером симметричной моноидальной категории .
Если у категории есть нулевой объект , то у нас есть единственный морфизм (поскольку он терминальный ) и, следовательно, морфизм . Поскольку также является начальным, у нас есть канонический изоморфизм, как в предыдущем абзаце. Таким образом, у нас есть морфизмы и , по которым мы выводим канонический морфизм . Это может быть расширено индукцией до канонического морфизма от любого конечного копроизведения к соответствующему произведению. Этот морфизм, вообще говоря, не обязательно должен быть изоморфизмом; в Grp это собственный эпиморфизм, а в Set * (категория отмеченных множеств ) это собственный мономорфизм. В любой предаддитивной категории этот морфизм является изоморфизмом, и соответствующий объект известен как бипроизведение . Категория со всеми конечными бипроизведениями называется полуаддитивной категорией .
Если все семейства объектов, проиндексированных с помощью, имеют копроизведения , то копроизведение содержит функтор . Обратите внимание, что, как и произведение, этот функтор ковариантен .
См. Также [ править ]
- Товар
- Пределы и коллимиты
- Соэквалайзер
- Прямой лимит
Ссылки [ править ]
- Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике . 5 (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001 .
Внешние ссылки [ править ]
- Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры копродукций в категории конечных множеств. Автор Джоселин Пейн .