Продукт (теория категорий)

В теории категорий , то произведение двух (или более) объектов в категории этого понятие, чтобы охватить суть позади конструкций в других областях математики , такие как декартово произведение из множеств , в прямом произведении из групп или колец , и продукт из топологических пространств . По сути, продукт семейства объектов - это «самый общий» объект, который допускает морфизм для каждого из данных объектов.

Определение [ править ]

Произведение двух предметов [ править ]

Исправление категории C . Пусть X ₁ и X ₂ объектов C . Произведение X ₁ и X ₂ - это объект X , обычно обозначаемый X ₁ × X ₂ , снабженный парой морфизмов π ₁  : X → X ₁ , π ₂  : X → X _2, удовлетворяющий следующему универсальному свойству :

• Для каждого объекта Y и каждой пары морфизмов f ₁  : Y → X ₁ , f ₂  : Y → X ₂ существует единственный морфизм f  : Y → X ₁ × X _2, такой что следующая диаграмма коммутирует :

Существование продукта может зависеть от C или от X ₁ и X ₂ . Если он существует, то оно единственно с точностью до канонического изоморфизма, так как универсального свойства, поэтому можно говорить о о продукте.

Морфизмы π ₁ и π ₂ называются каноническими проекциями или проекционными морфизмами . Учитывая , Y и F ₁ , F ₂ , единственный морфизм е называется произведение морфизмов F ₁ и F ₂ и обозначается ⟨ е ₁ , е ₂ ⟩ .

Продукт произвольного семейства [ править ]

Вместо двух объектов, мы можем начать с любым семейством объектов , индексированных по множеству I .

Для семейства ( X _i ) _{i ∈ I} объектов продукт семейства - это объект X, снабженный морфизмами π _i  : X → X _i, удовлетворяющий следующему универсальному свойству:

• Для каждого объекта Y и любого I -индексированного семейства морфизмов f _i  : Y → X _i существует единственный морфизм f  : Y → X такой, что следующие диаграммы коммутируют для всех i в I :

Продукт обозначается Π _{i ∈ I} X _i . Если я = {1, ..., п }, то он обозначается Х ₁ × ... × Х _п и произведение морфизмов обозначается ⟨ е ₁ , ..., е _п ⟩ .

Определение уравнения [ править ]

В качестве альтернативы продукт может быть определен с помощью уравнений. Так, например, для бинарного произведения:

• Существование f гарантируется существованием операции ⟨-, -⟩ .
• Перестановочность диаграмм выше гарантируется равенством ∀ ф ₁ , ∀ F ₂ ∀ я ∈ {1, 2},  π _я  ∘ ⟨  е ₁ , е ₂  ⟩ = F _I .
• Уникальность е гарантируется равенством ∀ г  : Y → X ₁ × Х ₂ , ⟨  л ₁ ∘ г , л ₂ ∘ г  ⟩ = г . ^[1]

В качестве ограничения [ править ]

Продукт является частным случаем лимита . Это можно увидеть, используя дискретную категорию (семейство объектов без каких-либо морфизмов, кроме их тождественных морфизмов) в качестве диаграммы, необходимой для определения предела. Дискретные объекты будут служить указателем компонентов и проекций. Если рассматривать эту диаграмму как функтор, то это функтор из набора индексов, который я считал дискретной категорией. Тогда определение произведения совпадает с определением предела, где { f } _i является конусом, а проекции - пределом (ограничивающим конусом).

Универсальное свойство [ править ]

Так же, как предел является частным случаем универсальной конструкции , так и продукт. Начиная с определением , данным для универсального свойства пределов , взять J в качестве дискретной категории с двумя объектами, так что C ^J это просто категория продукта C × C . Диагональная функтор Δ  : C → C × C присваивает каждому объекту Х упорядоченная пара ( Х , Х ) и каждому морфизму е пары ( е, е ) . Продукт Х ₁ × Х ₂ в С задаются универсальным морфизмом из функтора А к объекту ( Х ₁ , Х ₂ ) в С × С . Этот универсальный морфизм состоит из объекта X языка C и морфизма ( X , X ) → ( X ₁ , X ₂ ), который содержит проекции.

Примеры [ править ]

В категории множеств продукт (в теоретико-категориальном смысле) - это декартово произведение. Для семейства множеств X _i произведение определяется как

Π _{i ∈ I} X _i  : = { ( x _i ) _{i ∈ I} | ∀ i ∈ I , x _i ∈ X _i }

с каноническими проекциями

π _j  : Π _{i ∈ I} X _i → X _j , π _j (( x _i ) _{i ∈ I} )  : = x _j .

Учитывая , любой набор Y с семейством функций ф _I  : Y → X _я , универсальная стрелка F  : Y → П _{я ∈ I} Х _я определяется F ( у )  : = ( е _я ( у )) _{я ∈ I} .

Другие примеры:

• В категории топологических пространств продукт - это пространство, базовым множеством которого является декартово произведение и которое несет топологию продукта . Топология продукта - это грубейшая топология, для которой все проекции непрерывны .
• В категории модулей над некоторым кольцом R произведением является декартово произведение с покомпонентным сложением и дистрибутивным умножением.
• В категории групп произведение - это прямое произведение групп, заданных декартовым произведением с покомпонентным умножением.
• В категории графов произведением является тензорное произведение графов .
• В категории отношений продукт представляет собой несвязное объединение . (Это может немного удивить, учитывая, что категория множеств является подкатегорией категории отношений.)
• В категории алгебраических многообразий произведение дается вложением Сегре .
• В категории полуабелевых моноидов продукт представляет собой исторический моноид .
• Частично упорядоченное множество можно рассматривать как категорию, используя отношение порядка в качестве морфизмов. В этом случае произведения и копроизведения соответствуют точным нижним границам ( встречает ) и наименьшим верхним границам ( соединениям ).

Обсуждение [ править ]

Пример, в котором продукт не существует: в категории полей продукт Q  ×  F _p не существует, поскольку нет поля с гомоморфизмами как в Q, так и в F _p .

Другой пример: пустой продукт (т.е. I - пустое множество ) совпадает с конечным объектом , а некоторые категории, такие как категория бесконечных групп, не имеют конечного объекта: для любой бесконечной группы G существует бесконечно много морфизмы ℤ → G , поэтому G не может быть терминальной.

Если я такое множество, что все продукты для семей , индексированных с I существует, то можно рассматривать каждый продукт как функтор C ^I → C . ^[2] Как этот функтор отображает объекты, очевидно. Отображение морфизмов является тонким, потому что продукт морфизмов, определенных выше, не подходит. Сначала рассмотрим функтор двоичного произведения, который является бифунктором . Для f ₁  : X ₁ → Y ₁ , f ₂  : X ₂ → Y ₂ мы должны найти морфизм X ₁ ×Х ₂ → Y ₁ × Y ₂ . Выберем ⟨ е ₁ о π ₁ , е ₂ о π ₂ ⟩ . Эта операция над морфизмами называется декартовым произведением морфизмов . ^[3] Во-вторых, рассмотрим общий функтор произведения. Для семейств { X } _i , { Y } _i , f _i  : X _i → Y _i мы должны найти морфизм Π _{i ∈I} X _i → Π _{i ∈ I} Y _i . Выберем произведение морфизмов{ f _i o π _i } _i .

Категория, в которой каждый конечный набор объектов имеет продукт, иногда называется декартовой категорией ^[3] (хотя некоторые авторы используют эту фразу для обозначения «категории со всеми конечными пределами»).

Товар ассоциативный . Предположим , что С является декартовым категория, функторы продукта были выбраны , как описано выше, и 1 обозначает клеммную объект C . Тогда у нас есть естественные изоморфизмы

${\ Displaystyle X \ раз (Y \ раз Z) \ simeq (X \ раз Y) \ раз Z \ simeq X \ раз Y \ раз Z,}$

${\displaystyle X\times 1\simeq 1\times X\simeq X,}$

${\displaystyle X\times Y\simeq Y\times X.}$

Эти свойства формально аналогичны свойствам коммутативного моноида ; декартова категория с ее конечными произведениями является примером симметричной моноидальной категории .

Распределительность [ править ]

Для любых объектов X , Y и Z категории с конечными произведениями и копроизведениями существует канонический морфизм X × Y + X × Z → X × ( Y + Z ) , где знак плюс здесь обозначает копроизведение . Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что универсальное свойство копроизведения X × Y + X × Z гарантирует существование уникальных стрелок, заполняющих следующую диаграмму (индуцированные стрелки отмечены пунктиром):

Универсальное свойство произведения X × ( Y + Z ) тогда гарантирует уникальный морфизм X × Y + X × Z → X × ( Y + Z ), индуцированный пунктирными стрелками на приведенной выше диаграмме. Дистрибутивный категория является один , в котором этот морфизм является на самом деле изоморфизмом. Таким образом, в дистрибутивной категории имеется канонический изоморфизм

${\displaystyle X\times (Y+Z)\simeq (X\times Y)+(X\times Z)}$.

См. Также [ править ]

• Копродукт  - двойник продукта
• Диагональный функтор  - левый сопряженный функтора произведения.
• Предел и копределы
• Эквалайзер
• Обратный предел
• Декартова закрытая категория
• Категорический откат

Ссылки [ править ]

• Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Стрекер (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-60922-6.
• Барр, Майкл; Чарльз Уэллс (1999). Теория категорий для вычислительной науки (PDF) . Les Publications CRM Montreal (публикация PM023). Архивировано из оригинального (PDF) 04 марта 2016 года . Проверено 21 марта 2016 . Глава 5.
• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике 5 (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Определение 2.1.1 в Borceux, Francis (1994). Справочник по категориальной алгебре . Энциклопедия математики и ее приложений 50–51, 53 [т.е. 52]. Том 1. Издательство Кембриджского университета. п. 39 . ISBN 0-521-44178-1. |volume=имеет дополнительный текст ( справка )

Внешние ссылки [ править ]

• Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры продуктов в категории конечных наборов. Автор Джоселин Пейн .
• Продукт в nLab