Предел (теория категорий)

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Март 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В теории категории , филиал математики , абстрактное понятие предела отражает существенные свойства универсальных конструкций , такие как продукты , откаты и обратные пределы . Двойное понятие о копределе обобщающей конструкции , таких как непересекающиеся объединения , прямых суммы , копроизведения , pushouts и прямых пределы .

Пределы и копределы, как и сильно связанные понятия универсальных свойств и сопряженных функторов , существуют на высоком уровне абстракции. Чтобы понять их, полезно сначала изучить конкретные примеры, для обобщения которых предназначены эти концепции.

Определение [ править ]

Пределы и копределы в категории C определены с помощью диаграмм C . Формально диаграмма формы J в C является функтором от J к C :

${\ displaystyle F: J \ to C.}$

Категория J мыслится как категории индекса , и диаграмма F понимается как индексации коллекции объектов и морфизмов в C по образцу J .

Чаще всего интересует случай, когда категория J - малая или даже конечная категория. Диаграмма называется маленькой или конечной, если J есть.

Ограничения [ править ]

Пусть F  : J → С быть диаграмма формы J в категории C . Конус к F является объектом Н из С вместе с семейством ψ _Х  : N → F ( X ) морфизмов индексироваться объекты X из J , такие , что для любого морфизма F  : X → Y в J , мы имеем F ( е ) ∘ ψ _X = ψ_Y .

Предел диаграммы F  : J → С представляет собой конус ( Ь , ) до F , что для любого другого конуса ( N , ψ ) к F существует уникальный морфизм ¯u  : N → L такое , что _Х ∘ у = ψ _Х для всех X в J .${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

Говорят, что конус ( N , ψ ) пропускается через конус ( L , ) с единственной факторизацией u . Морфизм u иногда называют опосредующим морфизмом .${\displaystyle \varphi }$

Пределы также называют универсальными конусами , поскольку они характеризуются универсальным свойством (дополнительную информацию см. Ниже). Как и любое универсальное свойство, вышеприведенное определение описывает сбалансированное состояние общности: предельный объект L должен быть достаточно общим, чтобы позволить любому другому конусу влиять на него; с другой стороны, L должно быть достаточно конкретным, чтобы для каждого конуса была возможна только одна такая факторизация.

Ограничения могут быть охарактеризованы как терминальные объекты в категории конусов до F .

Возможно, у диаграммы вообще нет предела. Однако, если диаграмма имеет предел, то этот предел по существу уникален: он уникален с точностью до единственного изоморфизма . По этой причине часто говорят о пределе F .

Колимиты [ править ]

Эти двойственные понятия пределов и шишек копределы и со-конусы. Хотя их легко получить, инвертируя все морфизмы в приведенных выше определениях, мы явно сформулируем их здесь:

Со-конус из диаграммы F  : J → С представляет собой объект N из C вместе с семейством морфизмов

${\displaystyle \psi _{X}:F(X)\to N}$

для каждого объекта X из J , такое , что для любого морфизма F  : X → Y в J , мы имеем ψ _Y ∘ F ( ф ) = ψ _Х .

Копредел из диаграммы F  : J → С является одним из конуса ( L , ) из F , что для любого другого совместного конуса ( N , ψ ) из F существует единственный морфизм у  : L → N такое , что у о _Х = ψ _X для всех X в J .${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

Коллимиты также называют универсальными конусами . Их можно охарактеризовать как начальные объекты в категории сочетанных конусов из F .

Как и в случае с пределами, если диаграмма F имеет копредел, то этот копредел единственен с точностью до единственного изоморфизма.

Варианты [ править ]

Пределы и копределы также могут быть определены для коллекций объектов и морфизмов без использования диаграмм. Определения те же (обратите внимание, что в определениях выше нам никогда не требовалось использовать композицию морфизмов в J ). Однако этот вариант не добавляет новой информации. Любой набор объектов и морфизмов определяет (возможно большой) ориентированный граф G . Если мы допустим J - свободная категория, порожденная G , то существует универсальная диаграмма F  : J → C , образ которой содержит G. Предел (или копредел) этой диаграммы такой же, как предел (или копредел) исходного набора объектов и морфизмов.

Слабый предел и слабые копределы определяются как пределы и копределы, за исключением того, что свойство уникальности опосредующего морфизма отбрасывается.

Примеры [ править ]

Ограничения [ править ]

Определение пределов достаточно общее, чтобы выделить несколько конструкций, полезных в практических условиях. В дальнейшем мы будем рассматривать предел ( L , ф ) из диаграммы F  : J → C .

• Терминальные объекты . Если J - пустая категория, существует только одна диаграмма формы J : пустая (аналогичная пустой функции в теории множеств). Конус к пустой диаграмме,существутолько объект C . Предел F - это любой объект, который однозначно учитывается каждым другим объектом. Это просто определение терминального объекта .
• Продукты . Если J является дискретная категория , то диаграмма , F не являетсясуществу ничегоно семейство объектов C , индексируются J . Предел L функции F называется произведением этих объектов. Конус φ состоит из семейства морфизмов φ _X  : L → F ( X ), называемых проекциями произведения.Например,в категории наборов продукты представлены декартовыми произведениями. а прогнозы - это просто естественные прогнозы на различные факторы.
  • Полномочия . Особый случай продукта, когда диаграмма F является константой функтора объекта X из С . Предел этой диаграммы называется ямайский ^й мощностью из X и обозначаются X ^J .
• Эквалайзеры . Если J является категорией с двумя объектами и двумя параллельными морфизмах от одного объекта к другому, то диаграмма формы J представляет собой пару параллельных морфизмов в C . Предел L такой диаграммы называется уравнителем этих морфизмов.
  • Ядра . Ядро представляет собой особый случай эквалайзерагде один из морфизмов является нулевым морфизмом .
• Откаты . Пусть F будет диаграммакоторая выбирает из трех объектов X , Y и Z в C , где морфизмы только не идентичности F  : X → Z и г  : Y → Z . Предел L для F называется отводом или волокнистым продуктом . Его красиво можно представить в виде коммутативного квадрата :

• Обратные пределы . Пусть J - направленное множество (рассматриваемое как малая категория путем добавления стрелок i → j тогда и только тогда, когда i ≥ j ), и пусть F  : J ^op → C - диаграмма. Предел F называется (что сбивает с толку) обратным пределом или проективным пределом .
• Если J = 1 , категория с одним объектом и морфизм, то диаграммы формы J по существу только объект Х из C . Конус к объекту X просто морфизм с кообластью X . Морфизм f  : Y → X является пределом диаграммы X тогда и только тогда, когда f является изоморфизмом . В более общем смысле, если J - любая категория с начальным объектом i , то любая диаграмма формы J имеет предел, а именно любой объект, изоморфный F( i ). Такой изоморфизм однозначно определяет универсальный конус к F .
• Топологические пределы . Пределы функций - это частный случай ограничений фильтров , которые связаны с категориальными ограничениями следующим образом. Учитывая топологическое пространство X обозначим через F множество фильтров на X , X ∈ X точка, V ( х ) ∈ F окрестность фильтра из х , ∈ F конкретный фильтр и множество фильтров тоньше , чем A , и что сходятся к x . Фильтры F${\displaystyle F_{x,A}=\{G\in F\mid V(x)\cup A\subset G\}}$дает небольшую и тонкую структуру категории, добавив стрелку → B тогда и только тогда , когда ⊆ B . Инъекция становится функтором и имеет место следующая эквивалентность:${\displaystyle I_{x,A}:F_{x,A}\to F}$

x является топологическим пределом A тогда и только тогда, когда A является категориальным пределом${\displaystyle I_{x,A}}$

Колимиты [ править ]

Примеры копределов даются двойными версиями приведенных выше примеров:

• Исходные объекты являются копределами пустых диаграмм.
• Копродукции - это копределы диаграмм, индексированных по дискретным категориям.
  • Сопоставления - это копределы постоянных диаграмм из дискретных категорий.
• Коэквалайзеры - это копределы параллельной пары морфизмов.
  • Коядра являются соуравнителями морфизма и параллельного нулевого морфизма.
• Вытеснения - это копределы пары морфизмов с общим доменом.
• Прямые пределы - это копределы диаграмм, индексированных направленными наборами.

Свойства [ править ]

Существование ограничений [ править ]

Данная схема , F  : J → C может или не может иметь предел (или копредел) в C . В самом деле, у F может даже не быть конуса , не говоря уже об универсальном конусе.

Категория С называется имеют пределы формы J , если каждая диаграмма формы J имеет предел в С . В частности, категория C называется

• иметь продукты, если он имеет пределы формы J для каждой небольшой дискретной категории J (не обязательно иметь большие продукты),
• иметь эквалайзеры, если он имеет пределы формы (т.е. каждая параллельная пара морфизмов имеет эквалайзер),${\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }$
• иметь откаты, если он имеет пределы формы (т.е. каждая пара морфизмов с общим кодоменом имеет откат).${\displaystyle \bullet \rightarrow \bullet \leftarrow \bullet }$

Полная категория является категорией , которая имеет все малые пределы (т.е. все пределы формы J для каждой малой категории J ).

Можно также дать двойственные определения. Категория имеет копределы формы J , если каждая диаграмма формы J имеет копредел в C . Категория cocomplete это один , который имеет все маленькие копределы.

Теорема существования предельных значений состояний , что если категория С имеют эквалайзеры и все продукты , индексированные по классам Ob ( J ) и Horn ( J ), то С имеет все пределы формы J . В этом случае предел диаграммы F  : J → C может быть построен как уравнитель двух морфизмов

${\displaystyle s,t:\prod _{i\in \operatorname {Ob} (J)}F(i)\rightrightarrows \prod _{f\in \operatorname {Hom} (J)}F(\operatorname {cod} (f))}$

заданный (в компонентной форме)

${\displaystyle {\begin{aligned}s&={\bigl (}F(f)\circ \pi _{\operatorname {dom} (f)}{\bigr )}_{f\in \operatorname {Hom} (J)}\\t&={\bigl (}\pi _{\operatorname {cod} (f)}{\bigr )}_{f\in \operatorname {Hom} (J)}.\end{aligned}}}$

Существует двойственная теорема существования копределов в терминах соуравнителей и копроизведений. Обе эти теоремы дают достаточные и необходимые условия для существования всех (со) пределами формы J .

Универсальное свойство [ править ]

Пределы и копределы - важные частные случаи универсальных конструкций .

Пусть C - категория, а J - категория с малым индексом. Категории функтор С ^J можно рассматривать как категорию всех диаграмм формы J в C . Диагональный функтор

${\displaystyle \Delta :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$

функтор , который отображает каждый объект N в C к постоянному функторе Δ ( N ): J → С до N . То есть, Δ ( N ) ( X ) = N для каждого объекта X в J и A ( N ) ( F ) = ID _N для каждого морфизма F в J .

Для диаграммы F : J → C (рассматриваемой как объект в C ^J ) естественное преобразование ψ  : ∆ ( N ) → F (которое является просто морфизмом в категории C ^J ) - это то же самое, что и конус из N к F . Чтобы убедиться в этом, сначала заметим, что ∆ ( N ) ( X ) = N для всех X влечет, что компоненты ψ являются морфизмами ψ _X  : N → F ( X ), которые все разделяют область определенияN . Более того, требование коммутации диаграмм конуса выполняется просто потому, что это ψ является естественным преобразованием. (Двойственно, естественное преобразование ψ  : F → ∆ ( N ) - это то же самое, что коконус из F в N. )

Следовательно, определения пределов и копределов можно затем переформулировать в форме:

• Предел F является универсальным морфизм из А в F .
• Копредел F - это универсальный морфизм из F в Δ.

Дополнения [ править ]

Как и все универсальные конструкции, образование пределов и копределов носит функториальный характер. Другими словами, если каждая диаграмма формы J имеет предел в C (для малого J ), существует предельный функтор

${\displaystyle \lim :{\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$

который сопоставляет каждой диаграмме свой предел, а каждому естественному преобразованию η: F → G - единственный морфизм lim η: lim F → lim G, коммутирующий с соответствующими универсальными конусами. Этот функтор сопряжен справа к диагональному функтора А: C → C ^J . Это присоединение дает биекцию между множеством всех морфизмов из N в lim F и множеством всех конусов из N в F

${\displaystyle \operatorname {Hom} (N,\lim F)\cong \operatorname {Cone} (N,F)}$

что естественно в переменных N и F . Коединица этого примыкания просто универсальный конус из Ит F к F . Если индекс категории J будет подключен (и не пусто) , то единицей примыкания является изоморфизмом , так что Нт является левым обратным А. Это не удается, если J не подключен. Например, если J представляет собой дискретную категорию, компоненты блока являются диагональные морфизмы дельта: N → N ^J .

Двойственно, если каждая диаграмма формы J имеет копредел в C (для малого J ), существует функтор копредела

${\displaystyle \operatorname {colim} :{\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$

который присваивает каждой диаграмме свой копредел. Этот функтор сопряжен слева к диагональному функтору ∆: C → C ^J , и имеется естественный изоморфизм

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\operatorname {colim} F,N)\cong \operatorname {Cocone} (F,N).}$

Единицей этого примыкания является универсальным cocone от F до colim F . Если J связно (и непусто), то коит является изоморфизмом, так что colim является левым обратным к Δ.

Обратите внимание, что функторы предела и копредела являются ковариантными функторами.

Как представления функторов [ править ]

Можно использовать функторы Hom, чтобы связать пределы и копределы в категории C с ограничениями в Set , категории множеств . Это следует, в частности, из того факта , ковариантный функтор Хом Хом ( N , -): C → Набор сохраняет все пределы в C . По двойственности контравариантный функтор Hom должен доводить копределы до пределов.

Если диаграмма F  : J → C имеет предел в C , обозначаемый lim F , существует канонический изоморфизм

${\displaystyle \operatorname {Hom} (N,\lim F)\cong \lim \operatorname {Hom} (N,F-)}$

что естественно в переменной N . Здесь функтор Хом ( Н , Р -) представляет собой состав Хом функтор Hom ( N , -) с F . Этот изоморфизм единственный, уважающий предельные конусы.

Можно использовать вышеупомянутую связь , чтобы определить предел F в C . Первый шаг - заметить, что предел функтора Hom ( N , F -) можно отождествить с множеством всех конусов от N до F :

${\displaystyle \lim \operatorname {Hom} (N,F-)=\operatorname {Cone} (N,F).}$

Предельный конус задается семейство отображений П _X  : Конус ( N , F ) → Hom ( N , FX ) , где π _X ( ψ ) = ψ _Х . Если дан объект L из C вместе с естественным изоморфизмом Φ  : Hom (-, L ) → Cone (-, F ), объект L будет пределом F с предельным конусом, заданным Φ _L (id _L ). Проще говоря, это означает, что предел Fявляется представлением функтора Cone (-, F ): C → Set .

Двойственно, если диаграмма F  : J → C имеет копредел в C , обозначаемый colim F , существует единственный канонический изоморфизм

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\operatorname {colim} F,N)\cong \lim \operatorname {Hom} (F-,N)}$

что естественно по переменной N и соблюдает колонтурные конусы. Отождествляя предел Hom ( F -, N ) с набором Cocone ( F , N ), это отношение можно использовать для определения копредела диаграммы F как представления функтора Cocone ( F , -).

Обмен пределов и копределов множеств [ править ]

Пусть I - конечная категория, а J - малая фильтрованная категория . Для любого бифунктора

${\displaystyle F:I\times J\to \mathbf {Set} ,}$

есть естественный изоморфизм

${\displaystyle \operatorname {colim} \limits _{J}\lim _{I}F(i,j)\rightarrow \lim _{I}\operatorname {colim} \limits _{J}F(i,j).}$

На словах фильтрованные копределы в Set коммутируют с конечными пределами. Также верно, что малые пределы коммутируют с малыми пределами. ^[1]

Функторы и ограничения [ править ]

Если F  : J → С представляет собой диаграмму в C и G  : C → D является функтор , то по составу (напомним , что диаграмма , просто функтор) получается диаграмма , GF  : J → D . Тогда возникает естественный вопрос:

«Как пределы GF связаны с пределами F ?»

Сохранение лимитов [ править ]

Функтор G  : C → D индуцирует отображение из Cone ( F ) в Cone ( GF ): если Ψ - конус из N в F, то GΨ - конус из GN в GF . Функтор G называется сохранить пределы F , если ( GL , Сф ) является пределом GF всякий раз , когда ( L , φ ) является пределом F . (Отметим, что если предел F не существует, то G вакуумно сохраняет пределы F. )

Функтор G называется сохранить все пределы формы J , если он сохраняет пределы всех диаграмм F  : J → C . Например, можно сказать, что G сохраняет произведения, эквалайзеры, откаты и т. Д. Непрерывный функтор - это тот, который сохраняет все малые пределы.

Аналогичные определения можно сделать и для копределов. Например, функтор G сохраняет копределы из F , если G ( L , φ ) является копредел из GF всякий раз , когда ( L , φ ) является копредел из F . Cocontinuous функтор является один , который сохраняет все малые копределы.

Если C - полная категория , то по приведенной выше теореме существования пределов функтор G  : C → D непрерывен тогда и только тогда, когда он сохраняет (малые) произведения и эквалайзеры. Двойственно G коконепрерывна тогда и только тогда, когда она сохраняет (малые) копроизведения и коуравнители.

Важным свойством сопряженных функторов является то, что каждый сопряженный справа функтор непрерывен, а каждый сопряженный слева функтор коконепрерывен. Поскольку сопряженных функторов существует множество, это дает многочисленные примеры непрерывных и коконепрерывных функторов.

Для данной диаграммы F  : J → C и функтора G  : C → D , если и F, и GF имеют указанные пределы, существует единственный канонический морфизм

${\displaystyle \tau _{F}:G\lim F\to \lim GF}$

который соблюдает соответствующие предельные конусы. Функтор G сохраняет пределы F тогда и только тогда, когда это отображение является изоморфизмом. Если категории C и D имеют все пределы формы J, то lim является функтором, а морфизмы τ _F образуют компоненты естественного преобразования

${\displaystyle \tau :G\lim \to \lim G^{J}.}$

Функтор G сохраняет все пределы формы J тогда и только тогда, когда τ - естественный изоморфизм. В этом смысле можно сказать , что функтор G коммутирует с пределами (с точностью до канонического естественного изоморфизма).

Сохранение пределов и копределов - это концепция, которая применима только к ковариантным функторам. Для контравариантных функторов соответствующими понятиями были бы функтор, который переводит копределы до пределов, или тот, который принимает пределы до копределов.

Снятие ограничений [ править ]

Функтор G  : C → D называется поднимающим пределы диаграммы F  : J → C, если всякий раз, когда ( L , φ ) является пределом GF, существует предел ( L ′, φ ′) диаграммы F такой, что G ( L ′, Φ ′) = ( L , φ ). Функтор G снимает ограничения формы J, если он снимает ограничения для всех диаграмм формы J. Таким образом, можно говорить о подъеме продуктов, выравнивателях, откатах и ​​т. Д. Наконец, можно сказать, что G снимает ограничения, если снимает все ограничения. Существуют двойные определения подъема копределов.

Функтор G однозначно снимает пределы для диаграммы F, если существует единственный конус прообраза ( L ′, φ ′) такой, что ( L ′, φ ′) является пределом F и G ( L ′, φ ′) = ( L , φ ). Можно показать, что G снимает ограничения однозначно тогда и только тогда, когда он снимает ограничения и является амнезиаком .

Снятие лимитов явно связано с сохранением лимитов. Если G поднимает пределы для диаграммы F и GF имеет предел, то F имеет предел и G сохраняет пределы F . Следует, что:

• Если G снимает пределы формы J, а D имеет все пределы формы J , то C также имеет все пределы формы J, а G сохраняет эти пределы.
• Если G снимает все малые пределы и D полно, то C также полно и G непрерывна.

Двойственные утверждения для копределов одинаково верны.

Создание и отражение лимитов [ править ]

Пусть F  : J → C - диаграмма. Функтор G  : C → D называется

• создавать пределы для F, если всякий раз, когда ( L , φ ) является пределом GF, существует единственный конус ( L ′, φ ′) в F такой, что G ( L ′, φ ′) = ( L , φ ), и, кроме того, этот конус является пределом F .
• отражают пределы для F , если каждый конус F , образ которой при G является пределом GF уже предел F .

Попутно можно определить создание и отражение копределов.

Следующие утверждения легко увидеть эквивалентными:

• Функтор G создает пределы.
• Функтор G однозначно снимает ограничения и отражает их.

Есть примеры функторов, которые однозначно снимают ограничения, но не создают и не отражают их.

Примеры [ править ]

• Каждый представимый функтор C → Set сохраняет пределы (но не обязательно копределы). В частности, для любого объекта A из C это верно для ковариантного функтора Hom Hom ( A , -): C → Set .
• Стирающий функтор U  : Grp → Набор создает (и сохраняет) все малые пределы и отфильтрованные копределы ; однако U не сохраняет побочные продукты. Эта ситуация типична для алгебраических функторов забывания.
• Свободный функтор F  : Установить → Гр (который присваивает каждое множество S в свободную группу над S ) является левым сопряженным к забывчив функтора U и, следовательно, cocontinuous. Это объясняет , почему свободное произведение двух свободных групп G и Н есть свободная группа , порожденная несвязное объединением из образующих G и H .
• Функтор включения Ab → Grp создает пределы, но не сохраняет копроизведения (копроизведение двух абелевых групп является прямой суммой ).
• Забывчивый функтор Top → Set однозначно снимает ограничения и копределы, но не создает ни того, ни другого.
• Пусть Met _c - категория метрических пространств с непрерывными функциями для морфизмов. Функтор забывчивости Met _c → Set снимает конечные пределы, но не снимает их однозначно.

Примечание по терминологии [ править ]

Старая терминология называла пределы «обратными пределами» или «проективными пределами», а копределы - «прямыми пределами» или «индуктивными пределами». Это было источником большой путаницы.

Есть несколько способов запомнить современную терминологию. Прежде всего,

• коксовые ядра,
• побочные продукты
• соэквалайзеры и
• кодомены

являются типами копределов, тогда как

• ядра,
• продукты
• эквалайзеры и
• домены

это типы ограничений. Во-вторых, префикс «co» подразумевает «первую переменную ». Такие термины, как «когомология» и «кофибрация», имеют несколько более сильную связь с первой переменной, т. Е. Контравариантной переменной бифунктора.${\displaystyle \operatorname {Hom} }$${\displaystyle \operatorname {Hom} }$

См. Также [ править ]

• Декартова закрытая категория  - Тип категории в теории категорий
• Эквалайзер (математика)  - набор аргументов, в которых две или более функций имеют одинаковое значение.
• Обратный предел
• Продукт (теория категорий)  - Обобщенный объект в теории категорий

Ссылки [ править ]

• Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Стрекер (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-60922-6.
• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике . 5 (2-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Zbl  0906.18001 .
• Борсё, Фрэнсис (1994). «Пределы». Справочник по категориальной алгебре . Энциклопедия математики и ее приложений 50-51, 53 [т.е. 52]. Том 1. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-44178-1. |volume=имеет дополнительный текст ( справка )

Внешние ссылки [ править ]

• Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры пределов и копределов в категории конечных множеств. Автор Джоселин Пейн .
• Лимит в nLab