Функтор

В математике , особенно в теории категорий , функтор - это отображение между категориями . Функторы впервые были рассмотрены в алгебраической топологии , где алгебраические объекты (такие как фундаментальная группа ) связаны с топологическими пространствами , а отображения между этими алгебраическими объектами связаны с непрерывными отображениями между пространствами. В настоящее время функторы используются в современной математике для связи различных категорий. Таким образом, функторы важны во всех областях математики, к которым применяется теория категорий .

Слова категория и функтор были заимствованы математиками у философов Аристотеля и Рудольфа Карнапа соответственно. ^[1] Последний использовал функтор в лингвистическом контексте; ^[2] см. Служебное слово .

Определение [ править ]

Пусть C и D быть категории . Функтор Р из С к D является отображение, ^[3]

связывает каждый объект в C с объектом в D , ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle F (X)}$
ставит в соответствие каждому морфизму в C такой морфизм в D , что выполняются следующие два условия: ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$ ${\ Displaystyle F (F) \ двоеточие F (X) \ к F (Y)}$
- ${\ Displaystyle F (\ mathrm {id} _ {X}) = \ mathrm {id} _ {F (X)} \, \!}$ для каждого объекта в C , ${\ displaystyle X}$
- ${\ Displaystyle F (г \ circ f) = F (g) \ circ F (f)}$ для всех морфизмов и в C . ${\ Displaystyle е \ двоеточие X \ в Y \, \!}$ ${\ displaystyle g \ двоеточие от Y \ до Z}$

То есть функторы должны сохранять тождественные морфизмы и композицию морфизмов.

Ковариация и контравариантность [ править ]

В математике есть множество конструкций, которые были бы функторами, если бы не тот факт, что они «переворачивают морфизмы» и «меняют композицию». Затем мы определяем контравариантный функтор F из C в D как отображение, которое

связывает каждый объект в C с объектом в D , ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle F (X)}$
сопоставляет каждому морфизму в C такой морфизм в D , что выполняются следующие два условия: ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$ ${\ Displaystyle F (F) \ двоеточие F (Y) \ к F (X)}$
- ${\ Displaystyle F (\ mathrm {id} _ {X}) = \ mathrm {id} _ {F (X)} \, \!}$ для каждого объекта в C , ${\ displaystyle X}$
- ${\ Displaystyle F (г \ circ f) = F (g) \ circ F (f)}$ для всех морфизмов и в C . ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$ ${\ displaystyle g \ двоеточие от Y \ до Z}$

Обратите внимание, что контравариантные функторы меняют направление композиции.

Обычные функторы также называются ковариантными , чтобы отличать их от контравариантных. Обратите внимание, что можно также определить контравариантный функтор как ковариантный функтор в противоположной категории . ^[4] Некоторые авторы предпочитают писать все выражения ковариантно. То есть, вместо того, чтобы говорить, что это контравариантный функтор, они просто пишут (или иногда ) и называют его функтором. $C^{\mathrm {op} }$ $F\colon C\to D$ $F\colon C^{\mathrm {op} }\to D$ $F\colon C\to D^{\mathrm {op} }$

Контравариантные функторы также иногда называют кофункторами . ^[5]

Существует соглашение , которое относится к «векторам» -ie, векторные полей , элементы пространства сечений одного касательного расслоение -as «контравариантного» и «ковекторы» -ie, 1-формам , элементы пространства секций из котангенс расслоение ий «ковариантен». Эта терминология берет свое начало в физике, и ее обоснование связано с положением индексов («наверху» и «внизу») в таких выражениях , как « для» или « для». В этом формализме наблюдается, что символ преобразования координат (представляющий матрицу ) действует на базисные векторы «таким же образом»как по "координатам ковектора": $\Gamma (TM)$ $TM$ $\Gamma (T^{*}M)$ $T^{*}M$ $x'^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}$ $\mathbf {x} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x}$ $\omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}$ ${\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\Lambda }}^{T}.$ $\Lambda _{i}^{j}$ ${\boldsymbol {\Lambda }}^{T}$ $\mathbf {e} _{i}=\Lambda _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}$ - поскольку действует «наоборот» на «векторные координаты» (но «так же», как на базисные ковекторы :) . Эта терминология противоречит терминологии, используемой в теории категорий, потому что именно ковекторы имеют откаты в целом и, таким образом, контравариантны , тогда как векторы в целом ковариантны, поскольку их можно продвигать вперед . См. Также Ковариация и контравариантность векторов . $\mathbf {e} ^{i}=\Lambda _{j}^{i}\mathbf {e} ^{j}$

Противоположный функтор [ править ]

Каждый функтор индуцирует противоположный функтор , где и являются противоположными категориями до и . ^[6] По определению, отображает объекты и морфизмы идентично . Так как не совпадает с как категории, а так же для , отличается от . Например, при составлении с помощью следует использовать либо или . Обратите внимание , что, следуя свойству противоположной категории , . $F\colon C\to D$ $F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }$ $C^{\mathrm {op} }$ $D^{\mathrm {op} }$ $C$ $D$ $F^{\mathrm {op} }$ $F$ $C^{\mathrm {op} }$ $C$ $D$ $F^{\mathrm {op} }$ $F$ $F\colon C_{0}\to C_{1}$ $G\colon C_{1}^{\mathrm {op} }\to C_{2}$ $G\circ F^{\mathrm {op} }$ $G^{\mathrm {op} }\circ F$ $(F^{\mathrm {op} })^{\mathrm {op} }=F$

Бифункторы и мультифункторы [ править ]

Бифунктор (также известный как двоичный функтор ) функтор, область является категорией продукта . Например, функтор Hom имеет тип C ^op × C → Set . Его можно рассматривать как функтор двух аргументов. Хом функтор является естественным примером; он контравариантен по одному аргументу, ковариантен по другому.

Multifunctor является обобщением понятия функтора к п переменных. Так, например, бифунктор - это мультифунктор с n = 2 .

Примеры [ править ]

Диаграмма : для категорий C и J диаграмма типа J в C является ковариантным функтором. $D\colon J\to C$

(Категория теоретический) Предпучок : для категорий C и J , A J -presheaf на C является контравариантным функтором. $D\colon C\to J$

Предварительные пучки: если X - топологическое пространство , то открытые множества в X образуют частично упорядоченное множество Open ( X ) при включении. Как и любой частично упорядоченный набор, Open ( X ) образует небольшую категорию, добавляя единственную стрелку U → V тогда и только тогда, когда . Контравариантная функторы на Open ( X ) называются предпучки на X . Так , например, путем присвоения каждому открытому множеству U ассоциативной алгебры вещественных непрерывных функций на U $U\subseteq V$ , Получаем предпучок алгебр на X .

Константа функтор: Функтор C → D , который отображает каждый объект C до фиксированного объекта X в D , и каждый морфизм в С к морфизму идентичности на X . Такой функтор называется константой или функтором выбора .

Эндофунктор : функтор, который отображает категорию в ту же категорию; например, полиномиальный функтор .

Функтор идентичности : в категории C , обозначаемый как 1 _C или id _C , отображает объект на себя, а морфизм - на себя. Функтор идентичности - это эндофунктор.

Диагональный функтор : диагональный функтор определяется как функтор из D в категорию функторов D ^C, который отправляет каждый объект в D в постоянный функтор этого объекта.

Предельный функтор : для фиксированной индексной категории J , если каждый функтор J → C имеет предел (например, если C является полным), то предельный функтор C ^J → C назначает каждому функтору его предел. Существование этого функтора можно доказать, поняв, что он сопряжен справа к диагональному функтору, и применив теорему Фрейда о сопряженном функторе . Это требует подходящей версии выбранной аксиомы . Аналогичные замечания применимы к функтору копредела (который назначает каждому функтору его копредел и является ковариантным).

Наборы мощности: Функтор набора мощности P : Set → Set сопоставляет каждый набор со своим набором мощности и каждую функцию с картой, которая отправляет его изображению . Можно также рассмотреть контравариантный функтор набора мощности, который отправляет карте, которая отправляет ее обратному изображению $f\colon X\to Y$ $U\in {\mathcal {P}}(X)$ $f(U)\in {\mathcal {P}}(Y)$ $f\colon X\to Y$ $V\subseteq Y$ $f^{-1}(V)\subseteq X.$

Например, если тогда . Допустим и . Тогда это функция , которая отправляет любое подмножество из его образа , который в данном случае означает , где обозначает отображение , при , так что это также может быть записана в виде . Для других значений, обратите внимание, что, следовательно, генерируется тривиальная топология на . Также обратите внимание, что хотя функция в этом примере отображается в набор мощности , в общем случае это не обязательно. $X=\{0,1\}$ $F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}$ $f(0)=\{\}$ $f(1)=X$ $F(f)$ $U$ $X$ $f(U)$ $\{\}\mapsto f(\{\})=\{\}$ $\mapsto$ $F(f)$ $(F(f))(\{\})=\{\}$ $\{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\{1\}\mapsto f(\{1\})=\{f(1)\}=\{X\},\{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.$ $f(\{0,1\})$ $X$ $f$ $X$

Двойное векторное пространство : карта, которая назначает каждому векторному пространству его двойственное пространство и каждой линейной карте его двойственное или транспонированное, является контравариантным функтором из категории всех векторных пространств над фиксированным полем к самому себе.

Фундаментальная группа: Рассмотрим категорию точечных топологических пространств , то есть топологических пространств с выделенными точками. Объекты являются пары ( X , х ₀ ) , где Х представляет собой топологическое пространство , а х ₀ является точкой в X . Морфизм из ( X , x ₀ ) в ( Y , y ₀ ) задается непрерывным отображением f : X → Y с f ( x₀ ) = у ₀ .

Каждому топологическому пространству X с выделенной точкой x ₀ можно определить фундаментальную группу, основанную на x ₀ , обозначенную π ₁ ( X , x ₀ ) . Это группа из гомотопических классов петель на основе при х ₀ . Если f : X → Y - морфизм точечных пространств , то каждая петля в X с базовой точкой x ₀ может быть составлена с помощью fчтобы получить петлю по Y с базовой точкой y ₀ . Эта операция совместима с отношением гомотопической эквивалентности и композицией петель, и мы получаем гомоморфизм групп из π ( X , x ₀ ) в π ( Y , y ₀ ) . Таким образом, мы получаем функтор из категории точечных топологических пространств в категорию групп .

В категории топологических пространств (без выделенной точки) рассматриваются гомотопические классы общих кривых, но они не могут быть составлены, если они не имеют общего конца. Таким образом, вместо фундаментальной группы имеется фундаментальный группоид , и эта конструкция является функториальной.

Алгебра непрерывных функций: контравариантный функтор из категории топологических пространств (с непрерывными отображениями в качестве морфизмов) в категорию вещественных ассоциативных алгебр задается путем сопоставления каждому топологическому пространству X алгебры C ( X ) всех действительных непрерывных функций на этом пространстве. Любое непрерывное отображение f : X → Y индуцирует гомоморфизм алгебр C ( f ): C ( Y ) → C ( X ) по правилу C ( f ) ( φ ) = φ ∘ fдля любого φ из C ( Y ).

Касательные и кокасательные расслоения: отображение, которое переводит каждое дифференцируемое многообразие в его касательное расслоение, а каждое гладкое отображение - в свою производную, является ковариантным функтором из категории дифференцируемых многообразий в категорию векторных расслоений .

Выполнение этих построений поточечно дает касательное пространство , ковариантный функтор из категории точечных дифференцируемых многообразий в категорию вещественных векторных пространств. Точно так же кокасательное пространство - это контравариантный функтор, по сути, композиция касательного пространства с двойственным пространством выше.

Групповые действия / представление: Каждая группу G можно рассматривать как категорию с одним объектом морфизмов являются элементами G . Функтор от G до Сета не то иное, как действие группы из G на определенном наборе, т.е. G -множество. Кроме того, функтор из G в категории векторных пространств , Vect _K , является линейным представлением о G . В общем случае функтор G → C можно рассматривать как «действие» группы Gна объекте в категории C . Если C - группа, то это действие - гомоморфизм групп.

Алгебры Ли: назначение каждой действительной (комплексной) группе Ли ее действительной (комплексной) алгебры Ли определяет функтор.

Тензорные произведения: если C обозначает категорию векторных пространств над фиксированным полем с линейными отображениями как морфизмами, то тензорное произведение определяет функтор C × C → C, который ковариантен по обоим аргументам. ^[7] $V\otimes W$

Забывчивые функторы: Функтор U : Grp → Set, который отображает группу в ее базовое множество, а гомоморфизм группы в ее базовую функцию множеств, является функтором. ^[8] Подобные функторы , которые «забывают» некоторую структуру, называются функторами забывания . Другой пример - функтор Rng → Ab, который отображает кольцо в лежащую в его основе аддитивную абелеву группу . Морфизмы в Rng ( гомоморфизмы колец ) становятся морфизмами в Ab (гомоморфизмами абелевых групп).

Свободные функторы: движение в направлении, противоположном забывчивым функторам, - это свободные функторы. Свободный функтор F : набор → Гр отправляет каждое множество X в свободной группе , порожденной X . Функции отображаются в гомоморфизмы групп между свободными группами. Для многих категорий существуют бесплатные конструкции, основанные на структурированных наборах. См. Бесплатный объект .

Гомоморфизмом группы: Для каждой пары А , Б из абелевых групп можно назначить абелеву группу Хом ( A , B ) , состоящее из всех гомоморфизмов группы от A до B . Это функтор, контравариантный по первому аргументу и ковариантный по второму аргументу, т. Е. Это функтор Ab ^op × Ab → Ab (где Ab обозначает категорию абелевых групп с гомоморфизмами групп). Если f : A ₁ → A ₂ иg : B ₁ → B ₂ - морфизмы в Ab , то гомоморфизм групп Hom ( f , g ) : Hom ( A ₂ , B ₁ ) → Hom ( A ₁ , B ₂ ) задается формулой φ ↦ g ∘ φ ∘ f . См. Функтор Hom .

Представимые функторы: Мы можем обобщить предыдущий пример для любой категории C . Для каждой пары X , У объектов в C можно присвоить множество Hom ( X , Y ) морфизмов из X в Y . Это определяет функтор для Set, который контравариантен по первому аргументу и ковариантен по второму, т. Е. Является функтором C ^op × C → Set . Если f : X ₁ → X ₂ и g : Y₁ → Y ₂ - морфизмы в C , то отображение Hom ( f , g ): Hom ( X ₂ , Y ₁ ) → Hom ( X ₁ , Y ₂ ) задается формулой φ ↦ g ∘ φ ∘ f .

Подобные функторы называются представимыми . Во многих случаях важной целью является определение представимости данного функтора.

Свойства [ править ]

Два важных следствия аксиом функторов :

F преобразует каждую коммутативную диаграмму в C в коммутативную диаграмму в D ;
если е является изоморфизмом в С , то Р ( е ) является изоморфизмом в D .

Можно составить функторы, то есть , если Р есть функтор из A к B и G является функтором из B в C , то можно образовать составной функтор G ∘ F от A до C . Состав функторов ассоциативен там, где он определен. Тождество композиции функторов является тождественным функтором. Это показывает, что функторы можно рассматривать как морфизмы в категориях категорий, например, в категории малых категорий .

Небольшая категория с одним объектом - это то же самое, что и моноид : морфизмы категории с одним объектом можно рассматривать как элементы моноида, а композиция в категории считается операцией моноида. Функторы между однообъектными категориями соответствуют гомоморфизмам моноидов . Таким образом, в некотором смысле функторы между произвольными категориями являются своего рода обобщением моноидных гомоморфизмов на категории с более чем одним объектом.

Отношение к другим категориальным понятиям [ править ]

Пусть C и D категории. Совокупность всех функторов от C до D образует объекты категории: категории функторов . Морфизмы в этой категории - естественные преобразования между функторами.

Функторы часто определяются универсальными свойствами ; примерами являются тензорное произведение , прямая сумма и прямое произведение групп или векторных пространств, построение свободных групп и модулей, прямые и обратные пределы. Понятия предела и копредела обобщают некоторые из вышеперечисленных.

Универсальные конструкции часто порождают пары сопряженных функторов .

Компьютерные реализации [ править ]

Функторы иногда появляются в функциональном программировании . Например, в языке программирования Haskell есть класс, в Functor котором fmap- политипическая функция, используемая для отображения функций ( морфизмы в Hask , категория типов Haskell) ^[9] между существующими типами и функциями между некоторыми новыми типами. ^[10]

См. Также [ править ]

Категория функторов
Кан расширение
Псевдофунктор

Примечания [ править ]

↑ Mac Lane, Saunders (1971), Категории для рабочего математика , Нью-Йорк: Springer-Verlag, p. 30, ISBN 978-3-540-90035-1
^ Карнап, Рудольф (1937). Логический синтаксис языка , Routledge & Kegan, стр. 13–14.
^ Якобсон (2009) , стр. 19, деф. 1.2.
↑ Якобсон (2009) , стр. 19–20.
^ Попеску, Николае; Попеску, Лилиана (1979). Теория категорий . Дордрехт: Спрингер. п. 12. ISBN 9789400995505. Проверено 23 апреля 2016 года .
^ Мак-Лейн, Сондерс ; Moerdijk, Ieke (1992), Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топосов , Springer, ISBN 978-0-387-97710-2
^ Хазевинкель, Михель ; Губарени Надежда Михайловна ; Губарени, Надия ; Кириченко, Владимир В. (2004), Алгебры, кольца и модули , Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4
^ Якобсон (2009) , стр. 20, пр. 2.
^ Не совсем ясно, действительно ли типы данных Haskell образуют категорию. См. Https://wiki.haskell.org/Hask для получения более подробной информации.
^ См. Https://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell для получения дополнительной информации.

Ссылки [ править ]

Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , 2 (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47187-7.

Внешние ссылки [ править ]

Найдите функтор в Викисловаре, бесплатном словаре.

"Функтор" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
см. функтор в nLab и варианты, обсуждаемые и связанные с ними.
Андре Жоял , CatLab , вики-проект, посвященный демонстрации категориальной математики
Хиллман, Крис. «Категорический букварь». CiteSeerX 10.1.1.24.3264 : Отсутствующее или пустое |url=( справочное ) формальное введение в теорию категорий.
Дж. Адамек, Х. Херрлих, Г. Штеккер, Абстрактные и конкретные категории - радость кошек
Стэнфордская энциклопедия философии : " Теория категорий " - Жан-Пьер Маркиз. Обширная библиография.
Список научных конференций по теории категорий
Баэз, Джон, 1996, " Сказка о n- категориях ". Неформальное введение в категории высшего порядка.
WildCats - это пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов, естественных преобразований , универсальных свойств .
The catsters , YouTube-канал о теории категорий.
Видеоархив записанных бесед, относящихся к категориям, логике и основам физики.
Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.

[1] Mac Lane, Saunders (1971), Категории для рабочего математика , Нью-Йорк: Springer-Verlag, p. 30, ISBN 978-3-540-90035-1

[2] Карнап, Рудольф (1937). Логический синтаксис языка , Routledge & Kegan, стр. 13–14.

[FOOTNOTEJacobson2009p._19,_def._1.2-3] Якобсон (2009) , стр. 19, деф. 1.2.

[FOOTNOTEJacobson200919–20-4] Якобсон (2009) , стр. 19–20.

[Popescu1979-5] Попеску, Николае; Попеску, Лилиана (1979). Теория категорий . Дордрехт: Спрингер. п. 12. ISBN 9789400995505. Проверено 23 апреля 2016 года .

[6] Мак-Лейн, Сондерс ; Moerdijk, Ieke (1992), Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топосов , Springer, ISBN 978-0-387-97710-2

[7] Хазевинкель, Михель ; Губарени Надежда Михайловна ; Губарени, Надия ; Кириченко, Владимир В. (2004), Алгебры, кольца и модули , Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4

[FOOTNOTEJacobson2009p._20,_ex._2-8] Якобсон (2009) , стр. 20, пр. 2.

[9] Не совсем ясно, действительно ли типы данных Haskell образуют категорию. См. Https://wiki.haskell.org/Hask для получения более подробной информации.

[10] См. Https://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell для получения дополнительной информации.

[1]