Теория категорий

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Ноябрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Схематическое изображение категории с объектами Х , Y , Z и морфизмов F , г , г ∘ е . (Три тождественных морфизма категории 1 _X , 1 _Y и 1 _Z , если бы они были представлены явно, появились бы в виде трех стрелок от букв X, Y и Z к себе, соответственно.)

Теория категорий формализует математическую структуру и ее концепции в терминах помеченного ориентированного графа, называемого категорией , узлы которой называются объектами , а помеченные направленные ребра - стрелками (или морфизмами ). ^[1] категория имеет два основных свойства: способность составлять стрелки ассоциативно , и существование идентичности стрелки для каждого объекта. Язык теории категорий использовался для формализации концепций других абстракций высокого уровня, таких как множества., кольца и группы . Неформально теория категорий - это общая теория функций .

Некоторые термины, используемые в теории категорий, включая термин «морфизм», используются иначе, чем их использование в остальной математике. В теории категорий морфизмы подчиняются условиям, специфичным для самой теории категорий.

Сэмюэл Эйленберг и Сондерс Мак Лейн в 1942–45 в своем исследовании алгебраической топологии ввели концепции категорий, функторов и естественных преобразований с целью понимания процессов, сохраняющих математическую структуру.

Теория категорий имеет практическое применение в теории языков программирования , например, использование монад в функциональном программировании . Его также можно использовать в качестве аксиоматической основы математики, как альтернативу теории множеств и другим предлагаемым основам.

Основные понятия [ править ]

Категории представляют собой абстракции других математических понятий. Многие области математики могут быть формализованы теорией категорий как категории . Следовательно, теория категорий использует абстракцию, чтобы сделать возможным сформулировать и доказать многие сложные и тонкие математические результаты в этих областях гораздо более простым способом. ^[2]

Базовым примером категории является категория наборов , где объекты являются наборами, а стрелки - функциями от одного набора к другому. Однако объекты категории не обязательно должны быть наборами, и стрелки не обязательно должны быть функциями. Любой способ формализации математической концепции таким образом, чтобы она удовлетворяла основным условиям поведения объектов и стрелок, является допустимой категорией, и к ней применимы все результаты теории категорий.

Часто говорят, что «стрелки» теории категорий представляют собой процесс, соединяющий два объекта, или во многих случаях «сохраняющее структуру» преобразование, соединяющее два объекта. Однако во многих приложениях гораздо более абстрактные концепции представлены объектами и морфизмами. Самым важным свойством стрелок является то, что их можно «скомпоновать», другими словами, расположить их в последовательности, чтобы образовать новую стрелку.

Приложения категорий [ править ]

Категории теперь появляются во многих областях математики, некоторых областях теоретической информатики, где они могут соответствовать типам или схемам баз данных , и математической физике, где они могут использоваться для описания векторных пространств . ^[3] Вероятно, первым применением теории категорий за пределами чистой математики была модель «восстановления метаболизма» автономных живых организмов Роберта Розена . ^[4]

Утилита [ править ]

Категории, объекты и морфизмы [ править ]

Изучение категорий - это попытка аксиоматически уловить то, что обычно встречается в различных классах связанных математических структур , связав их с функциями сохранения структуры между ними. Затем систематическое изучение теории категорий позволяет нам доказать общие результаты о любом из этих типов математических структур на основе аксиом категории.

Рассмотрим следующий пример. Класс Grp из групп состоит из всех объектов , имеющих «групповой структуры». Можно перейти к доказательству теорем о группах, сделав логические выводы из набора аксиом, определяющих группы. Например, из аксиом сразу доказывается, что единичный элемент группы уникален.

Вместо того, чтобы сосредотачиваться только на отдельных объектах (например, группах), обладающих данной структурой, теория категорий подчеркивает морфизмы - сохраняющие структуру отображения - между этими объектами; изучая эти морфизмы, можно больше узнать о структуре объектов. В случае групп морфизмы являются гомоморфизмами групп . Групповой гомоморфизм между двумя группами «сохраняет структуру группы» в точном смысле; неформально это «процесс» перехода одной группы к другой, который переносит информацию о структуре первой группы во вторую группу. Затем изучение гомоморфизмов групп предоставляет инструмент для изучения общих свойств групп и следствий групповых аксиом.

Подобный тип исследований встречается во многих математических теориях, таких как изучение непрерывных отображений (морфизмов) между топологическими пространствами в топологии (соответствующая категория называется Top ) и изучение гладких функций (морфизмов) в теории многообразий .

Однако не все категории возникают как «функции, сохраняющие структуру»; стандартный пример - категория гомотопий между точечными топологическими пространствами .

Если аксиоматизировать отношения вместо функций , получится теория аллегорий .

Функторы [ править ]

Категория сама по себе является типом математической структуры, поэтому мы можем искать «процессы», которые в некотором смысле сохраняют эту структуру; такой процесс называется функтором .

Погоня за диаграммами - это визуальный метод спора с абстрактными «стрелками», соединенными в диаграммы. Функторы представлены стрелками между категориями с учетом определенных определяющих условий коммутативности. Функторы могут определять (конструировать) категориальные диаграммы и последовательности (см. Mitchell, 1965) ^{[ необходима цитата ]} . Функтор связывает с каждым объектом одной категории объект другой категории, а с каждым морфизмом первой категории - морфизмом второй.

В результате это определяет категорию категорий и функторов: объекты являются категориями, а морфизмы (между категориями) являются функторами.

Изучение категорий и функторов - это не просто изучение класса математических структур и морфизмов между ними, но, скорее, отношения между различными классами математических структур . Эта фундаментальная идея впервые возникла в алгебраической топологии . Сложные топологические вопросы можно перевести в алгебраические вопросы, которые зачастую легче решить. Основные конструкции, такие как фундаментальная группа или фундаментальный группоид в виде топологического пространства , могут быть выражены как функторы в категорию группоидов таким образом, и понятие является широко распространенным в алгебре и ее приложениях.

Природные преобразования [ править ]

Снова абстрагируясь, некоторые схематические и / или последовательные конструкции часто «естественно связаны» - на первый взгляд расплывчатое понятие. Это приводит к прояснению концепции естественного преобразования , способа «сопоставить» один функтор с другим. В этом контексте можно изучать многие важные математические конструкции. «Естественность» - это принцип, как и общая ковариация в физике, который проникает глубже, чем кажется на первый взгляд. Стрелка между двумя функторами является естественным преобразованием, когда она подчиняется определенным условиям естественности или коммутативности.

Функторы и естественные преобразования («естественность») являются ключевыми понятиями в теории категорий. ^[5]

Категории, объекты и морфизмы [ править ]

Категории [ править ]

Категория C состоит из следующих трех математических объектов:

• Класс Ob ( С ), элементы которого называются объектами ;
• Класс Хом ( С ), элементы которого называются морфизмами или карты или стрелки . Каждый морфизм f имеет исходный объект a и целевой объект b .
  Выражение f : a → b было бы словесно сформулировано как « f - это морфизм от a к b ».
  Выражение hom ( a , b ) - альтернативно выражается как hom _C ( a , b ), mor ( a , b ) или C ( a , b ) - обозначает hom-класс всех морфизмов из a в b .
• Бинарная операция ∘, называется композицией морфизмов , такие , что для любых трех объектов а , б , и гр , мы имеем ∘: Хомы ( б , с ) × Хомами ( , б ) → Hom ( , с ) . Композиция f : a → b и g : b → c записывается как g ∘ f или gf , ^[a] подчиняется двум аксиомам:
  • Ассоциативность : если f : a → b , g : b → c и h : c → d, то h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f , и
  • Идентичность : Для каждого объекта х , существует морфизм 1 _х : х → х называется тождественный морфизм для х , такое , что для любого морфизма F : в → Ь , мы имеем 1 _б ∘ е = е = е ∘ 1 _с .

Из аксиом можно доказать, что для каждого объекта существует ровно один морфизм идентичности . Некоторые авторы отклоняются от только что данного определения, отождествляя каждый объект с его морфизмом идентичности.

Морфизмы [ править ]

Отношения между морфизмами (например, fg = h ) часто изображаются с помощью коммутативных диаграмм , где «точки» (углы) представляют объекты, а «стрелки» - морфизмы.

Морфизмы могут обладать одним из следующих свойств. Морфизм f : a → b - это a:

• мономорфизм (или монический ), если f ∘ g ₁ = f ∘ g _2, влечет g ₁ = g ₂ для всех морфизмов g ₁ , g ₂ : x → a .
• эпиморфизм (или эпический ), если g ₁ ∘ f = g ₂ ∘ f влечет g ₁ = g ₂ для всех морфизмов g ₁ , g ₂ : b → x .
• биморфизм, если f одновременно эпический и монический.
• изоморфизм, если существует морфизм g : b → a такой, что f ∘ g = 1 _b и g ∘ f = 1 _a . ^[b]
• эндоморфизм, если a = b . end ( a ) обозначает класс эндоморфизмов a .
• автоморфизм, если f одновременно и эндоморфизм, и изоморфизм. aut ( a ) обозначает класс автоморфизмов a .
• отвод , если правая обратный F существует, то есть , если существует морфизм г : б → с й ∘ г = 1 _б .
• раздел , если левый обратный F существует, то есть , если существует морфизм г : б → с г ∘ е = 1 .

Каждая ретракция - это эпиморфизм, а каждая секция - мономорфизм. Более того, следующие три утверждения эквивалентны:

• f - мономорфизм и ретракция;
• f - эпиморфизм и сечение;
• f - изоморфизм.

Функторы [ править ]

Функторы - это сохраняющие структуру карты между категориями. Их можно рассматривать как морфизмы в категории всех (малых) категорий.

( Ковариантный ) функтор F из категории C в категорию D , обозначаемый F : C → D , состоит из:

• для каждого объекта x в C - объект F ( x ) в D ; и
• для каждого морфизма f : x → y в C морфизм F ( f ): F ( x ) → F ( y ) ,

такие, что выполняются следующие два свойства:

• Для каждого объекта x в C , F (1 _x ) = 1 _{F ( x )} ;
• Для всех морфизмов f : x → y и g : y → z , F ( g ∘ f ) = F ( g ) ∘ F ( f ) .

Контравариантный функтор F : C → D , как ковариантный функтор, за исключением того, что он «повороты вокруг морфизмы» ( «переворачивают все стрелки»). Более конкретно, каждый морфизм F : х → у в C должен быть присвоен морфизм F ( ф ): Р ( у ) → F ( х ) в D . Другими словами, контравариантный функтор действует как ковариантный функтор из противоположной категории C ^оп к D .

Природные преобразования [ править ]

Естественное преобразование является отношением между двумя функторами. Функторы часто описывают «естественные конструкции», а естественные преобразования затем описывают «естественные гомоморфизмы» между двумя такими конструкциями. Иногда две совершенно разные конструкции дают «одинаковый» результат; это выражается естественным изоморфизмом между двумя функторами.

Если F и G являются (ковариантными) функторами между категориями C и D , то естественное преобразование η из F в G сопоставляет каждому объекту X в C морфизм η _X : F ( X ) → G ( X ) в D такой, что для любого морфизма f : X → Y в C имеем η _Y ∘ F ( f ) = G( е ) η _X ; это означает, что следующая диаграмма коммутативна :

Два функторы F и G называются естественно изоморфными , если существует естественное преобразование от F к G такое , что η _Х является изоморфизмом для каждого объекта X в C .

Другие концепции [ править ]

Универсальные конструкции, пределы и копределы [ править ]

Используя язык теории категорий, можно разделить на категории многие области математических исследований. Категории включают наборы, группы и топологии.

Каждая категория отличается свойствами , что все его объекты имеют в общем, такие как пустое множество или произведение двух топологий , однако в определении категории, объекты считаются атомные, то есть, мы не знаем , является ли объект является набор, топология или любое другое абстрактное понятие. Следовательно, задача состоит в том, чтобы определить специальные объекты, не обращаясь к внутренней структуре этих объектов. Чтобы определить пустое множество без ссылки на элементы или топологию продукта без ссылки на открытые множества, можно охарактеризовать эти объекты с точки зрения их отношений с другими объектами, как задано морфизмами соответствующих категорий. Таким образом, стоит задача найти универсальные свойства которые однозначно определяют интересующие объекты.

Многие важные конструкции могут быть описаны чисто категориальным образом, если предел категории может быть развит и дуализирован, чтобы дать понятие копредела .

Эквивалентные категории [ править ]

Возникает естественный вопрос: при каких условиях две категории могут считаться по существу одинаковыми в том смысле, что теоремы об одной категории могут быть легко преобразованы в теоремы о другой категории? Главный инструмент, который используется для описания такой ситуации, называется эквивалентностью категорий , которая задается соответствующими функторами между двумя категориями. Категориальная эквивалентность нашла множество приложений в математике.

Дальнейшие концепции и результаты [ править ]

Определения категорий и функторов предоставляют только самые основы категориальной алгебры; дополнительные важные темы перечислены ниже. Хотя между всеми этими темами существует тесная взаимосвязь, данный порядок можно рассматривать как руководство для дальнейшего чтения.

• Категория функтора Д ^С имеет в качестве объектов функторов от C до D , а в качестве морфизмов естественных преобразований таких функторов. Йонеды лемма является одним из самых известных основных результатов теории категорий; он описывает представимые функторы в категориях функторов.
• Двойственность : каждое утверждение, теорема или определение в теории категорий имеет двойственность, которая, по сути, получается «обращением всех стрелок вспять». Если одно утверждение истинно в категории C, то его двойственное утверждение истинно в двойственной категории C ^op . Эта двойственность, прозрачная на уровне теории категорий, часто скрывается в приложениях и может приводить к неожиданным отношениям.
• Присоединенные функторы : Функтор может быть присоединен слева (или справа) к другому функтору, который отображается в противоположном направлении. Такая пара сопряженных функторов обычно возникает из конструкции, определяемой универсальным свойством; это можно рассматривать как более абстрактный и мощный взгляд на универсальные свойства.

Высшие категории [ править ]

Многие из вышеперечисленных концепций, особенно эквивалентность категорий, сопряженных пар функторов и категорий функторов, могут быть помещены в контекст многомерных категорий . Вкратце, если мы рассматриваем морфизм между двумя объектами как «процесс, ведущий нас от одного объекта к другому», то категории более высоких измерений позволяют нам с пользой обобщить это, рассматривая «процессы более высоких измерений».

Например, (строгая) 2-категория - это категория вместе с «морфизмами между морфизмами», т. Е. Процессами, которые позволяют нам преобразовывать один морфизм в другой. Затем мы можем «скомпоновать» эти «биморфизмы» как по горизонтали, так и по вертикали, и нам потребуется выполнение двумерного «закона обмена», связывающего два закона композиции. В этом контексте стандартным примером является Cat , 2-категория всех (малых) категорий, и в этом примере биморфизмы морфизмов - это просто естественные преобразования морфизмов в обычном смысле. Другой базовый пример - рассмотреть 2 категории с одним объектом; это по существу моноидальные категории . Бикатегории являются более слабым понятием двумерных категорий, в которых композиция морфизмов не является строго ассоциативной, а только ассоциативной «с точностью до» изоморфизма.

Этот процесс может быть расширен для всех натуральных чисел n , и они называются n -категориями . Существует даже понятие ω-категории, соответствующее порядковому номеру ω .

Категории высших измерений являются частью более широкого математического поля алгебры многомерных измерений - концепции, введенной Рональдом Брауном . Для разговорного введения в эти идеи см. John Baez, «A Tale of n -categories» (1996).

Исторические заметки [ править ]

Прежде всего следует заметить, что все понятие категории является по существу вспомогательным; наши основные концепции по сути являются концепциями функтора и естественного преобразования [...]

-  Сэмюэл Эйленберг и Сондерс Мак Лейн , Общая теория естественных эквивалентностей ^[6]

В 1942–45 гг. Самуэль Эйленберг и Сондерс Мак-Лейн в рамках своей работы в области топологии, особенно алгебраической топологии, ввели категории, функторы и естественные преобразования . Их работа была важной частью перехода от интуитивной и геометрической гомологии к гомологической алгебре . Позже Эйленберг и Мак Лейн писали, что их целью было понять естественные трансформации. Это потребовало определения функторов, которые требовали категорий.

Станислав Улам и некоторые писавшие от его имени утверждали, что подобные идеи были актуальны в конце 1930-х годов в Польше. Эйленберг был поляком и изучал математику в Польше в 1930-х годах. Теория категорий также в некотором смысле является продолжением работы Эмми Нётер (одного из учителей Мак Лейна) по формализации абстрактных процессов; ^{[ необходима цитата ]} Нётер осознала, что понимание типа математической структуры требует понимания процессов, которые сохраняют эту структуру ( гомоморфизмы ). ^{[ необходима цитата ]} Эйленберг и Мак Лейн ввели категории для понимания и формализации процессов ( функторов ), которые связаныот топологических структур к алгебраическим структурам ( топологическим инвариантам ), которые их характеризуют.

Теория категорий была первоначально введена для нужд гомологической алгебры и широко расширена для нужд современной алгебраической геометрии ( теории схем ). Теорию категорий можно рассматривать как расширение универсальной алгебры , поскольку последняя изучает алгебраические структуры , а первая применима к любому виду математической структуры и изучает также отношения между структурами различной природы. По этой причине он используется во всей математике. Приложения к математической логике и семантике ( категориальная абстрактная машина ) появились позже.

Некоторые категории называемых топосами (особый топос ) , могут даже служить в качестве альтернативы аксиоматической теории множеств в качестве основы математики. Топос также можно рассматривать как особый тип категории с двумя дополнительными аксиомами топоса. Эти фундаментальные приложения теории категорий были достаточно подробно проработаны в качестве основы и обоснования конструктивной математики . Теория Топоса - это форма абстрактной теории пучков , имеющая геометрические корни и ведущую к таким идеям, как бессмысленная топология .

Категориальная логика теперь является четко определенной областью, основанной на теории типов для интуиционистской логики , с приложениями в функциональном программировании и теории предметной области , где декартово замкнутая категория рассматривается как несинтаксическое описание лямбда-исчисления . По крайней мере, теоретико-категориальный язык проясняет, что именно общего у этих связанных областей (в некотором абстрактном смысле).

Теория категорий применялась и в других областях. Например, Джон Баэз показал связь между диаграммами Фейнмана в физике и моноидальными категориями. ^[7] Другое применение теории категорий, более конкретно: теория топосов, была применена в математической теории музыки, см., Например, книгу Герино Маццолы «Топосы музыки, геометрическая логика концепций, теории и перформанса » .

Более поздние попытки познакомить студентов с категориями в качестве основы математики включают попытки Уильяма Ловера и Розбру (2003), Ловера и Стивена Шануэля (1997) и Миррослава Йотова (2012).

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

Источники [ править ]

• Адамек, Иржи; Герлих, Хорст ; Стрекер, Джордж Э. (2004). Абстрактные и конкретные категории . Heldermann Verlag Berlin.
• Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2012) [1995], Теория категорий для вычислительной науки , Перепечатки в теории и приложениях категорий, 22 (3-е изд.).
• Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2005), Toposes, Triples and Theories , Reprints in Theory and Applications of Categories, 12 , MR  2178101.
• Борсё, Фрэнсис (1994). Справочник по категориальной алгебре . Энциклопедия математики и ее приложений. Издательство Кембриджского университета. С. 50–52. ISBN 9780521441780.
• Фрейд, Питер Дж. (2003) [1964]. Абелевы категории . Отпечатки в теории и приложениях категорий. 3 .
• Фрейд, Питер Дж .; Щедров, Андре (1990). Категории, аллегории . Математическая библиотека Северной Голландии. 39 . Северная Голландия. ISBN 978-0-08-088701-2.
• Голдблатт, Роберт (2006) [1979]. Топои: категориальный анализ логики . Исследования по логике и основам математики. 94 . Дувр. ISBN 978-0-486-45026-1.
• Герлих, Хорст ; Стрекер, Джордж Э. (2007). Теория категорий (3-е изд.). Heldermann Verlag Berlin. ISBN 978-3-88538-001-6..
• Кашивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2006). Категории и связки . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 332 . Springer. ISBN 978-3-540-27949-5.
• Ловер, Ф. Уильям ; Розбру, Роберт (2003). Наборы для математики . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-01060-3.
• Ловер, Ф. Уильям; Шануэль, Стивен Хоэль (2009) [1997]. Концептуальная математика: первое введение в категории (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-89485-2.
• Ленстер, Том (2004). Высшие операды, высшие категории . Высшие операды . Лондонская математика. Серия лекций общества. 298 . Издательство Кембриджского университета. п. 448. Bibcode : 2004hohc.book ..... L . ISBN 978-0-521-53215-0. Архивировано из оригинала на 2003-10-25 . Проверено 3 апреля 2006 .
• Ленстер, Том (2014). Основная теория категорий . Кембриджские исследования в области высшей математики. 143 . Издательство Кембриджского университета. arXiv : 1612.09375 . ISBN 9781107044241.
• Лурье, Джейкоб (2009). Теория высших топосов . Анналы математических исследований. 170 . Издательство Принстонского университета. arXiv : math.CT / 0608040 . ISBN 978-0-691-14049-0. Руководство по ремонту  2522659 .
• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике. 5 (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98403-2. Руководство по ремонту  1712872 .
• Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999) [1967]. Алгебра (2-е изд.). Челси. ISBN 978-0-8218-1646-2.
• Мартини, А .; Ehrig, H .; Нуньес, Д. (1996). «Элементы базовой теории категорий» . Технический отчет . 96 (5).
• Мэй, Питер (1999). Краткий курс алгебраической топологии . Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-51183-2.
• Маццола, Герино (2002). Топос музыки, геометрическая логика понятий, теория и исполнение . Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-5731-3.
• Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные разделы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. 97 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-83414-8. Zbl  1034.18001 .
• Пирс, Бенджамин С. (1991). Основная теория категорий для компьютерных ученых . MIT Press. ISBN 978-0-262-66071-6.
• Schalk, A .; Симмонс, Х. (2005). Введение в теорию категорий в четырех простых движениях (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 21 марта 2017 года . Проверено 3 декабря 2007 .Примечания к курсу, предлагаемому как часть MSc. в математической логике , Университет Манчестера .
• Симпсон, Карлос (2010). Гомотопическая теория высших категорий . arXiv : 1001,4071 . Bibcode : 2010arXiv1001.4071S ., черновик книги.
• Тейлор, Пол (1999). Практические основы математики . Кембриджские исследования в области высшей математики. 59 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-63107-5.
• Тури, Даниэле (1996–2001). «Конспект лекций по теории категорий» (PDF) . Проверено 11 декабря 2009 года .На основе Mac Lane 1998 года .

Дальнейшее чтение [ править ]

• Маркиз, Жан-Пьер (2008). С геометрической точки зрения: исследование истории и философии теории категорий . Springer. ISBN 978-1-4020-9384-5.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теории категорий .

В Викицитатнике есть цитаты по теме: Теория категорий

• Теория и применение категорий , электронный журнал теории категорий, полный текст, бесплатно с 1995 года.
• nLab , вики-проект по математике, физике и философии с упором на n -категориальную точку зрения.
• Кафе n-Category , по сути, коллоквиум по вопросам теории категорий.
• Теория категорий , веб-страница со ссылками на конспекты лекций и книги по теории категорий в свободном доступе.
• Хиллман, Крис, Категориальный учебник , CiteSeerX  10.1.1.24.3264, формальное введение в теорию категорий.
• Adamek, J .; Herrlich, H .; Штекер, Г. "Абстрактные и конкретные категории - радость кошек" (PDF) .
• Статья Жан-Пьера Маркиза «Теория категорий» в Стэнфордской энциклопедии философии с обширной библиографией.
• Список научных конференций по теории категорий
• Баэз, Джон (1996). «Сказка о n- категориях» . - Неформальное введение в категории высшего порядка.
• WildCats - это пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов , естественных преобразований , универсальных свойств .
• Catsters канал «S на YouTube , канал о теории категорий.
• Теория категорий в PlanetMath ..
• Видеоархив записанных бесед, относящихся к категориям, логике и основам физики.
• Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.
• Теория категорий для наук , инструкция по теории категорий как инструменту для всех наук.
• Теория категорий для программистов . Книга в форме блога, объясняющая теорию категорий для программистов.
• Введение в теорию категорий.