Морфизм

В математике , особенно в теории категорий , морфизм - это сохраняющее структуру отображение одной математической структуры в другую того же типа. Понятие морфизма часто встречается в современной математике. В теории множеств морфизмы - это функции ; в линейной алгебре - линейные преобразования ; в теории групп , группа гомоморфизмам ; в топологии , непрерывных функциях и т. д.

В теории категорий , морфизм является широко похожа идеей: математические объекты вовлечены не должен быть множество, и отношения между ними могут быть чем - то иным , чем карты, хотя морфизмы между объектами данной категории должны вести себя так же , как карты в том , что они должны допускать ассоциативную операцию, аналогичную композиции функций . Морфизм в теории категорий - это абстракция гомоморфизма . ^[1]

Изучение морфизмов и структур (называемых «объектами»), над которыми они определяются, занимает центральное место в теории категорий. Большая часть терминологии морфизмов, а также лежащая в их основе интуиция происходит от конкретных категорий , где объекты - это просто множества с некоторой дополнительной структурой , а морфизмы - это функции, сохраняющие структуру . В теории категорий морфизмы иногда также называют стрелками .

Определение [ править ]

Категория C состоит из двух классов , один из объектов , а другие из морфизмов . С каждым морфизмом связаны два объекта: источник и цель . Морфизмом е с источником X и целевой Y записывается F  : X → Y , и представлена схематически с помощью стрелки от X к Y .

Для многих общих категорий объекты - это наборы (часто с некоторой дополнительной структурой), а морфизмы - это функции от одного объекта к другому. Следовательно, источник и цель морфизма часто называют доменом и кодоменом соответственно.

Морфизмы снабжены частичной бинарной операцией , называемой композицией . Композиция двух морфизмов f и g определяется точно, когда цель f является источником g , и обозначается g ∘ f (или иногда просто gf ). Источник g ∘ f является источником f , а цель g ∘ f является целью g . Композиция удовлетворяет двум аксиомам :

Личность

Для каждого объекта X , существует морфизм ID _Х  : Х → Х называется тождественный морфизм на X , такой , что для любого морфизма F  : A → B мы имеем ID _B ∘ F = F = F ∘ идентификатор _A .

Ассоциативность

h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f всякий раз, когда определены все композиции, т.е. когда цель f является источником g , а цель g является источником h .

Для конкретной категории (категории, в которой объекты являются наборами, возможно, с дополнительной структурой, а морфизмы являются функциями, сохраняющими структуру), тождественный морфизм - это просто функция идентичности , а композиция - это просто обычная композиция функций .

Композицию морфизмов часто представляют коммутативной диаграммой . Например,

Совокупность всех морфизмов из X в Y обозначается Hom _C ( X , Y ) или просто Hom ( X , Y ) и называется Хом-набор между X и Y . Некоторые авторы пишут Mor _C ( X , Y ), Mor ( X , Y ) или C ( X , Y ). Обратите внимание, что термин «гом-множество» употребляется неправильно, поскольку не обязательно, чтобы набор морфизмов был множеством. Категория, в которой Hom ( X , Y ) - множество для всех объектовX и Y называются локально малыми .

Обратите внимание, что домен и кодомен фактически являются частью информации, определяющей морфизм. Например, в категории наборов , где морфизмы - это функции, две функции могут быть идентичны как наборы упорядоченных пар (могут иметь один и тот же диапазон ), но иметь разные кодомены. Эти две функции различны с точки зрения теории категорий. Таким образом, многие авторы требуют, чтобы hom-классы Hom ( X , Y ) не пересекались . На практике это не проблема, потому что, если эта дизъюнктность не выполняется, ее можно гарантировать, добавляя домен и кодомен к морфизмам (скажем, как второй и третий компоненты упорядоченной тройки).

Некоторые особые морфизмы [ править ]

Мономорфизмы и эпиморфизмы [ править ]

Морфизмом F : X → Y называется мономорфизмом , если е ∘ г ₁ = е ∘ г ₂ следует , г ₁ = г ₂ для всех морфизмов г ₁ , г ₂ : Z → X . Мономорфизм можно для краткости называть моно , и мы можем использовать monic как прилагательное. ^[2] Морфизм f имеет левый обратный или расщепляемый мономорфизмесли существует морфизм г : Y → X такие , что г ∘ е = идентификатор _Х . Таким образом , F ∘ г : Y → Y является идемпотентным ; то есть ( f ∘ g ) ² = f ∘ ( g ∘ f ) ∘ g = f ∘ g . Левый обратный г также называется ретракцией из F . ^[2]

Морфизмы с обратными слева всегда являются мономорфизмами, но обратное, вообще говоря, неверно; у мономорфизма может не быть левого обратного. В конкретных категориях функция, имеющая обратный слева, инъективна . Таким образом, в конкретных категориях мономорфизмы часто, но не всегда, инъективны. Условие инъекции сильнее, чем состояние мономорфизма, но слабее, чем условие расщепленного мономорфизма.

Двойственно к мономорфизмам, морфизм F : X → Y называется эпиморфизмом , если г _- ∘ е = г _- ∘ е означает , г ₁ = г ₂ для всех морфизмов г ₁ , г ₂ : Y → Z . Эпиморфизм можно для краткости называть epi , и мы можем использовать epic как прилагательное. ^[2] Морфизм f имеет правый обратный или являетсярасщепляющий эпиморфизм , если существует морфизм г : Y → X такое , что F ∘ г = ID _У . Правый обратный г также называется раздел из F . ^[2] Морфизмы, имеющие правый обратный, всегда являются эпиморфизмами, но обратное неверно в общем случае, поскольку эпиморфизм может не иметь правого обратного.

Если мономорфизм f расщепляется с левым обратным g , то g - расщепляемый эпиморфизм с правым обратным f . В конкретных категориях функция, имеющая правый обратный, сюръективна . Таким образом, в конкретных категориях эпиморфизмы часто, но не всегда, сюръективны. Условие сюръекции сильнее, чем состояние эпиморфизма, но слабее, чем состояние расщепленного эпиморфизма. В категории множеств утверждение, что каждая сюръекция имеет секцию, эквивалентно выбранной аксиоме .

Морфизм, который одновременно является эпиморфизмом и мономорфизмом, называется биморфизмом .

Изоморфизмы [ править ]

Морфизмом F : X → Y называется изоморфизмом , если существует морфизм г : Y → X такое , что F ∘ г = идентификатор _Y и г ∘ е = идентификатор _Х . Если морфизм имеет и левообратный, и правый обратный, то два обратных равны, поэтому f является изоморфизмом, а g называется просто обратным к f . Обратные морфизмы, если они существуют, уникальны. Обратный g также является изоморфизмом с обратнымf . Два объекта, между которыми имеется изоморфизм, называются изоморфными или эквивалентными.

Хотя каждый изоморфизм является биморфизмом, биморфизм не обязательно является изоморфизмом. Например, в категории коммутативных колец включение Z → Q является биморфизмом, который не является изоморфизмом. Однако любой морфизм, который одновременно является эпиморфизмом и расщепляемым мономорфизмом, или одновременно мономорфизмом и расщепленным эпиморфизмом, должен быть изоморфизмом. Категория, такая как Set , в которой каждый биморфизм является изоморфизмом, называется сбалансированной категорией .

Эндоморфизмы и автоморфизмы [ править ]

Морфизм е : Х → Х (то есть, морфизм с одинаковым источником и мишенью) является эндоморфизмом из X . Сплит эндоморфизм является идемпотентным эндоморфизм F , если F допускает разложение п = ч ∘ г с г ∘ ч = ID. В частности, оболочка Каруби категории расщепляет любой идемпотентный морфизм.

Автоморфизм морфизм , который является одновременно эндоморфизмом и изоморфизм. В каждой категории автоморфизмы объекта всегда образуют группу , называемую группой автоморфизмов объекта.

Примеры [ править ]

• В конкретных категориях, изучаемых в универсальной алгебре ( группы , кольца , модули и т. Д.), Морфизмы обычно являются гомоморфизмами . Точно так же понятия автоморфизма, эндоморфизма, эпиморфизма, гомеоморфизма , изоморфизма и мономорфизма находят применение в универсальной алгебре.
• В категории топологических пространств морфизмы являются непрерывными функциями, а изоморфизмы называются гомеоморфизмами .
• В категории гладких многообразий морфизмы - это гладкие функции, а изоморфизмы называются диффеоморфизмами .
• В категории малых категорий морфизмы являются функторами .
• В категории функторов морфизмы являются естественными преобразованиями .

Дополнительные примеры см. В теории входных категорий .

См. Также [ править ]

• Нормальный морфизм
• Нулевой морфизм

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , 2 (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47187-7.
• Адамек, Иржи; Герлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-60922-6. Теперь доступна бесплатная онлайн-версия (4,2 МБ PDF).

Внешние ссылки [ править ]

• "Морфизм" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Категория» . PlanetMath .
• «Типы морфизмов» . PlanetMath .