Глоссарий теории категорий

Это глоссарий свойств и понятий теории категорий в математике . (см. также Outline_of_category_theory .)

• Примечания к основам : Во многих экспозициях (например, «Вистоли») теоретико-множественные вопросы игнорируются; это означает, например, что нельзя делать различия между малыми и большими категориями и что можно произвольно сформировать локализацию категории. ^[1] Как и эти описания, этот глоссарий также обычно игнорирует теоретико-множественные вопросы, за исключением тех случаев, когда они актуальны (например, обсуждение доступности).

В теории категорий используются понятия алгебраической топологии, особенно для высших категорий. Для этого см. Также глоссарий алгебраической топологии .

Обозначения и соглашения, используемые в статье:

• [ n ] = {0, 1, 2,…, n }, который рассматривается как категория (путем записи ).${\ displaystyle i \ to j \ Leftrightarrow i \ leq j}$
• Cat , категория (малых) категорий , где объектами являются категории (которые малы по отношению к некоторой вселенной) и функторы морфизмов .
• Фкц ( С , D ), то категория функтора : категория функторов из категории C в категории D .
• Набор , категория (малых) наборов.
• s Set - категория симплициальных множеств .
• статус по умолчанию присваивается «слабый» вместо «строгий»; например, « n- категория» по умолчанию означает «слабая n- категория», а не строгая.
• Под ∞-категорией мы подразумеваем квазикатегорию , самую популярную модель, если не обсуждаются другие модели.
• Число ноль 0 - натуральное число.

A [ править ]

абелевский

Категория является абелевой, если у нее есть нулевой объект, есть все откаты и выталкивания, и все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны.

доступный

1. Для кардинального числа κ объект X в категории является κ-доступным (или κ-компактным, или κ-представимым), если он коммутирует с κ-фильтрованными копределами.${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (X, -)}$

2. Для регулярного кардинала κ категория является κ-доступной, если она имеет κ-фильтрованные копределы и существует небольшое множество S κ-компактных объектов, которое порождает категорию под копределами, то есть каждый объект может быть записан как копредел диаграммы объектов в S .

добавка

Категория является аддитивной, если она предаддитивна (точнее, имеет некоторую предаддитивную структуру) и допускает все конечные копроизведения . Хотя «предаддитив» - это дополнительная структура, можно показать, что «добавка» - это свойство категории; то есть, можно спросить, является ли данная категория аддитивной или нет. ^[2]

примыкание

Примыкание (также называется парой сопряженной) является парой функторов F : C → D , G : D → C таким образом, что существует «естественная» биекция

${\ Displaystyle \ OperatorName {Hom} _ {D} (F (X), Y) \ simeq \ operatorname {Hom} _ {C} (X, G (Y))}$;

F называется сопряжен слева к G и G направо , сопряженным к F . Здесь «естественный» означает естественный изоморфизм бифункторов (контравариантных по первой переменной).${\ Displaystyle \ OperatorName {Hom} _ {D} (F (-), -) \ simeq \ operatorname {Hom} _ {C} (-, G (-))}$

алгебра для монады

Учитывая монады T в категории X , алгебра для T или T -алгебры объект в X с моноидное действием на Т ( «алгебра» вводит в заблуждение и « Т -объект» является , пожалуй , лучшим термином). Например , учитывая группу G , которая определяет монаду Т в набор в стандартном образом, Т - алгебра представляет собой набор с действием на G .

амнезиак

Функтор амнестичен, если он обладает свойством: если k - изоморфизм, а F ( k ) - тождество, то k - тождество.

B [ править ]

сбалансированный

Категория считается сбалансированной, если каждый биморфизм является изоморфизмом.

Теорема Бека

Теорема Бека характеризует категорию алгебр для данной монады .

бикатегория

Бикатегория представляет собой модель слабой 2-категории .

бифунктор

Бифунктор из пары категорий C и D к категории Е функтор C × D → E . Например, для любой категории C , является бифунктором от C ^опа и C в Set .${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,-)}$

биморфизм

Биморфизм морфизм , который является как эпиморфизм и мономорфизм.

Локализация Боусфилда

См. Локализацию Боусфилда .

C [ править ]

исчисление функторов

Исчисление функторов является методикой изучения функторов способа , аналогичного тому , как функция изучается через ее ряд Тейлор расширение; откуда и термин «исчисление».

декартово закрыто

Категория является декартовой замкнутой, если у нее есть конечный объект и что у любых двух объектов есть произведение и экспонента.

декартов функтор

Учитывая относительные категории над той же базовой категорией C , функтор над C является декартовым, если он переводит декартовы морфизмы в декартовы морфизмы.${\displaystyle p:F\to C,q:G\to C}$${\displaystyle f:F\to G}$

декартовский морфизм

1. Для функтора π: C → D (например, предварительного суммирования над схемами) морфизм f : x → y в C является π-декартовым, если для каждого объекта z в C каждый морфизм g : z → y в C и для каждого морфизма v : π ( z ) → π ( x ) в D, такого что π ( g ) = π ( f ) ∘ v , существует единственный морфизм u : z→ x такое, что π ( u ) = v и g = f ∘ u .

2. Для функтора π: C → D (например, предварительного стека над кольцами) морфизм f : x → y в C является π-декартовым, если для каждого объекта z в C каждый морфизм g : x → z в C и для каждого морфизма v : π ( y ) → π ( z ) в D, такого что π ( g ) = v ∘ π ( f ), существует единственный морфизм u : y→ z такое, что π ( u ) = v и g = u ∘ f . (Короче говоря, f является двойственным к π-декартову морфизму.)

Декартова площадь

Коммутативная диаграмма, изоморфная диаграмме, представленной в виде расслоенного произведения.

категориальная логика

Категориальная логика - это подход к математической логике , использующий теорию категорий.

категоризация

Категоризация - это процесс замены множеств и теоретико-множественных понятий категориями и теоретико-категориальными понятиями некоторым нетривиальным способом для улавливания категориальных ароматов. Декатегоризация - это обратная категоризация.

категория

Категория состоит из следующих данных

1. Класс объектов,
2. Для каждой пары объектов X , Y существует набор , элементы которого называются морфизмами из X в Y ,${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)}$
3. Для каждой тройки объектов X , Y , Z карта (называемая композицией)

   ${\displaystyle \circ :\operatorname {Hom} (Y,Z)\times \operatorname {Hom} (X,Y)\to \operatorname {Hom} (X,Z),\,(g,f)\mapsto g\circ f}$,

4. Для каждого объекта X морфизм идентичности${\displaystyle \operatorname {id} _{X}\in \operatorname {Hom} (X,X)}$

при соблюдении условий: для любых морфизмов , и ,${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle h:Z\to W}$

• ${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}$и .${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}\circ f=f\circ \operatorname {id} _{X}=f}$

Например, частично упорядоченный набор можно рассматривать как категорию: объекты являются элементами набора, и для каждой пары объектов x , y существует уникальный морфизм тогда и только тогда, когда ; ассоциативность композиции означает транзитивность.${\displaystyle x\to y}$${\displaystyle x\leq y}$

категория категорий

Категория (малых) категорий , обозначаемых Cat , категория , где объектами являются все категории , которые малы по отношению к некоторой фиксированной вселенной и морфизмов все функторы .

классифицирующее пространство

Классифицируя пространство категории С есть геометрическая реализация нерва С .

со-

Часто используется как синоним op-; например, копредел относится к операционному пределу в том смысле, что это предел в противоположной категории. Но может быть различие; например, оп-фибрация - это не то же самое, что кофибрация .

коенд

Coend функтора является сопряженным к концу из F и обозначается${\displaystyle F:C^{\text{op}}\times C\to X}$

${\displaystyle \int ^{c\in C}F(c,c)}$.

Например, если R представляет собой кольцо, M правый R - модуль и N левый R - модуль, то в тензорное произведение из М и N является

${\displaystyle M\otimes _{R}N=\int ^{R}M\otimes _{\mathbb {Z} }N}$

где R рассматривается как категория с одним объектом которого морфизмы являются элементами R .

коэквалайзер

Коуравнитель пары морфизмов является копределом пары. Это двойник эквалайзера.${\displaystyle f,g:A\to B}$

теорема согласованности

Когерентности теорема является теорема о форме , которая заявляет слабую структуру эквивалентна строгой структуру.

coimage

Кообразом морфизма F : X → Y является коуравнитель из .${\displaystyle X\times _{Y}X\rightrightarrows X}$

цветная операда

Другой термин для мультикатегории , обобщенной категории, в которой морфизм может иметь несколько областей. Понятие «цветная операда» более примитивно, чем понятие «операда»: фактически, операда может быть определена как цветная операда с одним объектом.

запятая

Указанные функторы , то категория запятой является категорией , где (1) объекты являются морфизмами и (2) морфизм из к состоит из и таким образом, что это Например, если F является функтор идентичности и г является постоянным функтор со значением Ь , то это категория среза B над объектом b .${\displaystyle f:C\to B,g:D\to B}$ ${\displaystyle (f\downarrow g)}$${\displaystyle f(c)\to g(d)}$${\displaystyle \alpha :f(c)\to g(d)}$${\displaystyle \beta :f(c')\to g(d')}$${\displaystyle c\to c'}$${\displaystyle d\to d'}$${\displaystyle f(c)\to f(c'){\overset {\beta }{\to }}g(d')}$${\displaystyle f(c){\overset {\alpha }{\to }}g(d)\to g(d').}$

комонада

Комонада в категории X является comonoid в моноидальной категории endofunctors из X .

компактный

Вероятно, это синоним #accessible .

полный

Категория считается полной, если существуют все малые ограничения.

состав

1. Композиция морфизмов в категории является частью данных, определяющих категорию.

2. Если это функторы, то композиция или функтор определяется следующим образом: для объекта х и морфизм ¯u в C , .${\displaystyle f:C\to D,\,g:D\to E}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle gf}$${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x)),\,(g\circ f)(u)=g(f(u))}$

3. Естественные преобразования составлены поточечно: если являются естественными преобразованиями, то является естественным преобразованием, задаваемым .${\displaystyle \varphi :f\to g,\,\psi :g\to h}$${\displaystyle \psi \circ \varphi }$${\displaystyle (\psi \circ \varphi )_{x}=\psi _{x}\circ \varphi _{x}}$

конкретный

Категория бетона C категории таким образом, что есть верный функтор из C в Set ; например, Vec , Grp и Top .

конус

Конус является способом выразить универсальное свойство в виде копредела (или дуально предел). Можно показать ^[3], что копредел является левым сопряженным к диагональному функтору , который отправляет объект X в константный функтор со значением X ; то есть, для любого X и любого функтора ,${\displaystyle \varinjlim }$${\displaystyle \Delta :C\to \operatorname {Fct} (I,C)}$${\displaystyle f:I\to C}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\varinjlim f,X)\simeq \operatorname {Hom} (f,\Delta _{X}),}$

при условии, что рассматриваемый копредел существует. Правая рука , то множество конусов с вершиной X . ^[4]

связанный

Категория является связной, если для каждой пары объектов x , y существует конечная последовательность объектов z _i, такая что и либо or непусто для любого i .${\displaystyle z_{0}=x,z_{n}=y}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (z_{i},z_{i+1})}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (z_{i+1},z_{i})}$

консервативный функтор

Консервативный функтор функтор , который отражает изоморфизмы. Многие забывчивые функторы консервативны, но забывчивый функтор от Top до Set не консервативен.

постоянный

Функтор является постоянным , если он отображает каждый объект в категории к тому же объекту А и любому морфизм к тождественному А . Другими словами, функтор является постоянным, если он множится как: для некоторого объекта A в D , где i - включение дискретной категории { A }.${\displaystyle f:C\to D}$${\displaystyle C\to \{A\}{\overset {i}{\to }}D}$

контравариантный функтор

Контравариантный функтор F из категории C в категории D является (ковариантный) функтор из C ^оп к D . Это иногда также называют Предпучок особенно , когда D является Set или варианты. Например, для каждого набора S , пусть будет набором мощности S, и для каждой функции определите${\displaystyle {\mathfrak {P}}(S)}$${\displaystyle f:S\to T}$

${\displaystyle {\mathfrak {P}}(f):{\mathfrak {P}}(T)\to {\mathfrak {P}}(S)}$

отправив подмножество A из T в прообраз . При этом - контравариантный функтор.${\displaystyle f^{-1}(A)}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set} }$

сопродукт

Копроизведение семейства объектов X _I в категории C индексируется с помощью набора I является индуктивным пределом функтора , где я рассматривается в качестве дискретной категории. Это двойственный продукт семьи. Например, побочный продукт в Grp - это бесплатный продукт .${\displaystyle \varinjlim }$${\displaystyle I\to C,\,i\mapsto X_{i}}$

основной

Ядро из категории является максимальным группоидом , содержащимся в данной категории.

D [ править ]

Дневная свертка

Учитывая группу или Моноид М , то свертка день тензорное произведение в . ^[5]${\displaystyle \mathbf {Fct} (M,\mathbf {Set} )}$

теорема плотности

Теорема плотности утверждает, что каждый предпучок (многозначный контравариантный функтор) является копределом представимых предпучков. Лемма Йонеды в встраивает категории C в категорию предпучков на C . Теорема плотности говорит, что изображение, так сказать, «плотно». Название «плотность» происходит из-за аналогии с теоремой Джекобсона о плотности (или другими вариантами) в абстрактной алгебре.

диагональный функтор

Учитывая Категории I , C , то диагональный функтор -функтор

${\displaystyle \Delta :C\to \mathbf {Fct} (I,C),\,A\mapsto \Delta _{A}}$

который отправляет каждый объект A в постоянный функтор со значением A, а каждый морфизм - в естественное преобразование, которое является f в каждом i .${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle \Delta _{f,i}:\Delta _{A}(i)=A\to \Delta _{B}(i)=B}$

диаграмма

С учетом категории С , А схема в C представляет собой функтор из малой категории I .${\displaystyle f:I\to C}$

дифференциальная категория

Дифференциальный градуированный категории является категория, Хом наборы оснащены структурами дифференциальных градуированных модулей . В частности, если в категории есть только один объект, это то же самое, что и дифференциальный оцениваемый модуль.

прямой предел

Прямой предел является копределом из системы прямой .

дискретный

Категория называется дискретной, если каждый морфизм является тождественным морфизмом (некоторого объекта). Например, набор можно рассматривать как дискретную категорию.

распределитель

Еще один термин для «профунктора».

Эквивалентность Дуайера – Кана

Dwyer-Кан эквивалентность является обобщением эквивалентности категорий симплициальному контекста. ^[6]

E [ править ]

Категория Эйленберга – Мура

Другое название категории алгебр данной монады .

пустой

Пустая категория представляет собой категорию, без объекта. Это то же самое, что и пустой набор, когда пустой набор рассматривается как дискретная категория.

конец

Конец функтора является пределом${\displaystyle F:C^{\text{op}}\times C\to X}$

${\displaystyle \int _{c\in C}F(c,c)=\varprojlim (F^{\#}:C^{\#}\to X)}$

где это категория (называется подразделение категории из C ), объектами которой являются символами для всех объектов гр и всех морфизмов ˙U в C и чьи морфизмы и , если это и где индуцируется F так , что пошел бы и пошел бы . Например, для функторов ,${\displaystyle C^{\#}}$${\displaystyle c^{\#},u^{\#}}$${\displaystyle b^{\#}\to u^{\#}}$${\displaystyle u^{\#}\to c^{\#}}$${\displaystyle u:b\to c}$${\displaystyle F^{\#}}$${\displaystyle c^{\#}}$${\displaystyle F(c,c)}$${\displaystyle u^{\#},u:b\to c}$${\displaystyle F(b,c)}$${\displaystyle F,G:C\to X}$

${\displaystyle \int _{c\in C}\operatorname {Hom} (F(c),G(c))}$

есть множество естественных преобразований от F до G . Дополнительные примеры см. В этой ветке mathoverflow . Дуальный конец - это коенд.

эндофунктор

Функтор одной категории.

обогащенная категория

Учитывая моноидалъную категорию ( C , ⊗, 1), категория обогащается над C является, неофициально, категория которых Hom множества в C . Точнее, категория D, обогащенная над C, - это данные, состоящие из

1. Класс объектов,
2. Для каждой пары объектов X , Y в D , объекта в C , называемого объектом отображения из X в Y ,${\displaystyle \operatorname {Map} _{D}(X,Y)}$
3. Для каждой тройки объектов X , Y , Z в D морфизм в C ,

   ${\displaystyle \circ :\operatorname {Map} _{D}(Y,Z)\otimes \operatorname {Map} _{D}(X,Y)\to \operatorname {Map} _{D}(X,Z)}$,

   назвал состав,

4. Для каждого объекта X в D морфизм в C , называемый единичным морфизмом X${\displaystyle 1_{X}:1\to \operatorname {Map} _{D}(X,X)}$

при условии, что (примерно) композиции ассоциативны, а единичные морфизмы действуют как мультипликативное тождество. Например, категория, обогащенная множеством, является обычной категорией.

эпиморфизм

Морфизм f является эпиморфизмом, если и когда . Другими словами, f является двойственным к мономорфизму.${\displaystyle g=h}$${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$

эквалайзер

Эквалайзер пары морфизмов является пределом пары. Это двойник соэквалайзера.${\displaystyle f,g:A\to B}$

эквивалентность

1. Функтор называется эквивалентностью, если он точный, полный и существенно сюръективный.

2. Морфизмом в ∞-категории C является эквивалентностью , если он дает изоморфизм гомотопической категории C .

эквивалент

Категория эквивалентна другой категории, если между ними существует эквивалентность .

по существу сюръективный

Функтор F называется по существу сюръективны (или изоморфизмом-плотным) , если для каждого объекта B существует объект A такой , что F ( ) изоморфна B .

оценка

Указанные категории С , D и объект в C , то оценка в А является функтор

${\displaystyle \mathbf {Fct} (C,D)\to D,\,\,F\mapsto F(A).}$

Например, аксиомы Эйленберга – Стинрода дают пример, когда функтор является эквивалентностью.

F [ править ]

верный

Функтор является точным, если он инъективен при ограничении на каждое hom-множество .

фундаментальная категория

Фундаментальная категория функтор является левым сопряженным к нервному функтору N . Для каждой категории С , .${\displaystyle \tau _{1}:s\mathbf {Set} \to \mathbf {Cat} }$${\displaystyle \tau _{1}NC=C}$

фундаментальный группоид

Фундаментальной группоидом комплексного Kan X является категорией , где объект является 0-симплекс (вершина) , морфизм является гомотопической класс 1-симплекс (пути) , и композиции , определяется свойством Kan.${\displaystyle \Pi _{1}X}$${\displaystyle \Delta ^{0}\to X}$${\displaystyle \Delta ^{1}\to X}$

слоистая категория

Говорят, что функтор π: C → D демонстрирует C как категорию, расслоенную над D, если для каждого морфизма g : x → π ( y ) в D существует π-декартов морфизм f : x ' → y в C такой, что что π ( f ) = g . Если D является категорией аффинных схем (скажем, конечного типа над некоторым полем), то π чаще называют предварительным стеком . Примечание : π часто является забывчивым функтором, и фактически конструкция Гротендика означает, что каждая расслоенная категория может считаться этой формой (с точностью до эквивалентностей в подходящем смысле).

волокнистый продукт

С учетом категория С и набором я , то Волокнистый продукт над объектом S семейства объектов X _I в C индексируется I является продукт семьи в ломтике категории из C над S ( при условии наличия ). Послойное произведение двух объектов X и Y над объектом S обозначается и также называется декартовым квадратом .${\displaystyle C_{/S}}$${\displaystyle X_{i}\to S}$${\displaystyle X\times _{S}Y}$

фильтрованный

1. Отфильтрованная категория (также называемая фильтрующей категорией) - это непустая категория со свойствами (1) для заданных объектов i и j , есть объект k и морфизмы i → k и j → k и (2) заданные морфизмы u , v : i → j , существуют объект k и морфизм w : j → k такие, что w ∘ u = w ∘ v . Категория Iфильтруют , если и только если для каждой конечной категории J и функтора ф : J → I , множество не пусто для некоторого объекта I в I .${\displaystyle \varprojlim \operatorname {Hom} (f(j),i)}$

2. Учитывая кардинальное число п, категория называется π-фильтрант , если для каждой категории J , множество морфизмов имеет кардинальное число строго меньше , чем я, множество непусто для некоторого объекта я в I .${\displaystyle \varprojlim \operatorname {Hom} (f(j),i)}$

финитарная монада

Финитарная монада или алгебраическая монада является монадой на Set , чьи основные endofunctor коммутирует с отфильтрованными копределами.

конечный

Категория конечна, если у нее есть только конечное число морфизмов.

забывчивый функтор

Стирающий функтор есть, грубо говоря, функтор , который теряет часть данных объектов; например, функтор, который отправляет группу в ее базовое множество и гомоморфизм группы себе, является функтором забывчивости.${\displaystyle \mathbf {Grp} \to \mathbf {Set} }$

свободный функтор

Свободный функтор сопряжен слева к забывчивым функтора. Например, для кольца R функтор, который отправляет множество X в свободный R -модуль, порожденный X, является свободным функтором (отсюда и название).

Категория Фробениуса

Фробениуса категория является точной категорией , которая имеет достаточно много инъективных и достаточно проективных и такие , что класс инъективных объекты совпадают с проективными объектами.

Категория Фукая

См. Категорию Фукая .

полный

1. Функтор является полным, если он сюръективен при ограничении на каждое гом-множество .

2. Категория A является полной подкатегорией категории B, если функтор включения из A в B полный.

функтор

С учетом категории C , D , A функтор F от C до D представляет собой структуру , сохраняющих отображение из C в D ; т.е. он состоит из объекта F ( x ) в D для каждого объекта x в C и морфизма F ( f ) в D для каждого морфизма f в C, удовлетворяющего условиям: (1) всякий раз, когда он определен, и (2) . Например, ${\displaystyle F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle F(\operatorname {id} _{x})=\operatorname {id} _{F(x)}}$

${\displaystyle {\mathfrak {P}}:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set} ,\,S\mapsto {\mathfrak {P}}(S)}$,

где есть множество мощности из S функтор , если мы определим: для каждой функции , по .${\displaystyle {\mathfrak {P}}(S)}$${\displaystyle f:S\to T}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}(f):{\mathfrak {P}}(S)\to {\mathfrak {P}}(T)}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}(f)(A)=f(A)}$

категория функторов

Категории функтор Фкц ( С , D ) или из категории C в категории D является категорией , где объектами являются все функторы от C до D и морфизмы все естественные преобразования между функторами.${\displaystyle D^{C}}$

G [ править ]

Теорема Габриэля – Попеску

Теорема Габриэля – Попеску утверждает, что абелева категория является фактором категории модулей.

генератор

В категории С , семейство объектов является системой образующих в С , если функтор является консервативным. Его двойник называется системой когенераторов.${\displaystyle G_{i},i\in I}$${\displaystyle X\mapsto \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} (G_{i},X)}$

Теория Галуа Гротендика

Теоретико-категориальное обобщение теории Галуа ; см . теорию Галуа Гротендика .

Категория Гротендика

Гротендик категория определенная хорошо себя вид абелевой категории.

Строительство Гротендика

Для данного функтора пусть D _U будет категорией, в которой объекты представляют собой пары ( x , u ), состоящие из объекта x в C и объекта u в категории U ( x ), а также морфизма из ( x , u ) в ( y , v ) - это пара, состоящая из морфизма f : x → y в C и морфизма U ( f ) ( u ) → v в U (${\displaystyle U:C\to \mathbf {Cat} }$у ). Переход от U к D _U называется конструкцией Гротендика .

Расслоение Гротендика

Расслаивается категории .

группоид

1. Категория называется группоидом, если каждый морфизм в ней является изоморфизмом.

2. ∞-категория называется ∞-группоидом, если каждый морфизм в ней является эквивалентностью (или, что эквивалентно, если это комплекс Кана ).

H [ править ]

Холлова алгебра категории

См. Алгебру Рингеля – Холла .

сердце

Сердце из трет-структуры ( , ) на триангулированной категории является пересечение . Это абелева категория.${\displaystyle D^{\geq 0}}$${\displaystyle D^{\leq 0}}$${\displaystyle D^{\geq 0}\cap D^{\leq 0}}$

Теория высших категорий

Теория высших категорий - это подполе теории категорий, которая касается изучения n- категорий и ∞-категорий .

гомологическая размерность

Гомологической размерности абелевой категории с достаточным количеством инъективных является наименьшим , не negativer целое число п таким образом, что каждый объект в категории допускает инъективную разрешение длины не более п . Размерность равна ∞, если такого целого числа не существует. Например, гомологическая размерность Mod R с областью главных идеалов R не превосходит единицы.

гомотопическая категория

См. Категорию гомотопии . Это тесно связано с локализацией категории .

гипотеза гомотопии

Гипотеза гомотопии утверждает, что ∞-группоид - это пространство (менее двусмысленно, n -группоид может использоваться как гомотопический n -тип).

Я [ править ]

личность

1. Тождественный морфизм f объекта A - это морфизм из A в A такой, что для любых морфизмов g с областью определения A и h с областью области A , и .${\displaystyle g\circ f=g}$${\displaystyle f\circ h=h}$

2. Тождественный функтор в категории C - это функтор из C в C, который отправляет объекты и морфизмы себе.

3. Принимая во внимание функтор F : C → D , то идентичность естественное преобразование от F до F является естественным преобразование , состоящее из идентичности морфизмов F ( X ) в D для объектов X в C .

изображение

Образ морфизма F : X → Y является эквалайзер .${\displaystyle Y\rightrightarrows Y\sqcup _{X}Y}$

ind-limit

Копредел (или индуктивный предел) в .${\displaystyle \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$

индуктивный предел

Другое название колимита .

∞-категория

∞-категория C является симплициальное множество , удовлетворяющее следующему условию: для каждого 0 < я < п ,

• каждая карта симплициальных множеств продолжается до n -симплекса${\displaystyle f:\Lambda _{i}^{n}\to C}$${\displaystyle f:\Delta ^{n}\to C}$

где Δ ⁿ - стандартный n -симплекс, полученный из Δ ⁿ удалением i -й грани и внутренней части (см. определение расслоения Кана # Определение ). Например, нерв категории удовлетворяет условию и, таким образом, может рассматриваться как ∞-категория.${\displaystyle \Lambda _{i}^{n}}$

исходный

1. Объект A является исходным, если существует ровно один морфизм от A к каждому объекту; например, пустой набор в Set .

2. Объект в ∞-категории C является начальным , если это сжимаемым для каждого объекта B в C .${\displaystyle \operatorname {Map} _{C}(A,B)}$

инъективный

1. Объект A в абелевой категории инъективен, если функтор точен. Это двойник проективного объекта.${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,A)}$

2. Термин «инъекционный предел» - это другое название прямого ограничения .

внутренний Hom

Учитывая моноидальную категорию ( C , ⊗), то внутренние Хомы функтора таким образом, что является правильной , сопряженным к для каждого объекта Y в C . Например, категория модулей над коммутативным кольцом R имеет внутреннее Hom, заданное как множество R -линейных отображений.${\displaystyle [-,-]:C^{\text{op}}\times C\to C}$${\displaystyle [Y,-]}$${\displaystyle -\otimes Y}$${\displaystyle [M,N]=\operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

обратный

1. Морфизм f является обратным морфизму g, если он определен и равен тождественному морфизму в области области g , а также определен и равен тождественному морфизму в области определения g . Обратный к g единственен и обозначается g ⁻¹ . f является левым обратным к g, если определено и равно тождественному морфизму в области определения g , и аналогично для правого обратного.${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle f\circ g}$

2. Обратный предел - это предел обратной системы .

изоморфный

1. Объект изоморфен другому объекту, если между ними существует изоморфизм.

2. Категория изоморфна другой категории, если между ними существует изоморфизм.

изоморфизм

Морфизм f называется изоморфизмом, если существует обратный к f .

K [ править ]

Кан комплекс

Комплекс Кана - это фибрантный объект в категории симплициальных множеств.

Кан расширение

1. Для категории C левый функтор расширения Кана вдоль функтора является сопряженным слева (если он существует) к ней и обозначается через . Для любого функтор называется левым канским расширением α вдоль f . ^[7] Можно показать:${\displaystyle f:I\to J}$${\displaystyle f^{*}=-\circ f:\operatorname {Fct} (J,C)\to \operatorname {Fct} (I,C)}$${\displaystyle f_{!}}$${\displaystyle \alpha :I\to C}$${\displaystyle f_{!}\alpha :J\to C}$

${\displaystyle (f_{!}\alpha )(j)=\varinjlim _{f(i)\to j}\alpha (i)}$

где копредел пробегает все объекты в категории запятых.${\displaystyle f(i)\to j}$

2. Правый функтор расширения Кана является правым сопряженным (если существует) к .${\displaystyle f^{*}}$

Лемма Кена Брауна

Лемма Кена Брауна - это лемма теории модельных категорий.

Категория Клейсли

Учитывая монада T , то категория Клейсли из Т является полная подкатегория категории T -алгебр (называемой категории Эйленберга-Мура) , который состоит из свободных Т -алгебрах.

L [ править ]

слабый

Термин « слабый функтор » по существу является синонимом « псевдофунктора ».

длина

Говорят, что объект в абелевой категории имеет конечной длины, если он имеет композиционный ряд . Максимальное количество правильных подобъектов в любой таких сериях композиции называется длиной от А . ^[8]

предел

1. Предел (или проективный предел ) функтора равен${\displaystyle f:I^{\text{op}}\to \mathbf {Set} }$

${\displaystyle \varprojlim _{i\in I}f(i)=\{(x_{i}|i)\in \prod _{i}f(i)|f(s)(x_{j})=x_{i}{\text{ for any }}s:i\to j\}.}$

2. Предел функтора является объектом, если таковые имеются, в C , который удовлетворяет: для любого объекта X в C , ; т.е. это объект, представляющий функтор${\displaystyle \varprojlim _{i\in I}f(i)}$${\displaystyle f:I^{\text{op}}\to C}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,\varprojlim _{i\in I}f(i))=\varprojlim _{i\in I}\operatorname {Hom} (X,f(i))}$${\displaystyle X\mapsto \varprojlim _{i}\operatorname {Hom} (X,f(i)).}$

3. Копредел (или индуктивный предел ) является двойственным пределу; то есть, учитывая функтор , оно удовлетворяет: для любого X , . Явно дать - значит дать семейство морфизмов такое, что для любого , есть . Возможно, самый простой пример копредела - это коэквалайзер . В качестве другого примера возьмем f как тождественный функтор на C и предположим, что он существует; то тождественный морфизм на L соответствует совместимому семейству морфизмов, такому, что является тождественным. Если есть какой-либо морфизм, то ; т.е. L${\displaystyle \varinjlim _{i\in I}f(i)}$${\displaystyle f:I\to C}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (\varinjlim f(i),X)=\varprojlim \operatorname {Hom} (f(i),X)}$${\displaystyle \varinjlim f(i)\to X}$${\displaystyle f(i)\to X}$${\displaystyle i\to j}$${\displaystyle f(i)\to X}$${\displaystyle f(i)\to f(j)\to X}$${\displaystyle L=\varinjlim _{X\in C}f(X)}$${\displaystyle \alpha _{X}:X\to L}$${\displaystyle \alpha _{L}}$${\displaystyle f:X\to L}$${\displaystyle f=\alpha _{L}\circ f=\alpha _{X}}$является конечным объектом C .

M [ править ]

Состояние Миттаг-Леффлера

Обратная система называется удовлетворяет условию Миттаг-Леффлера , если для каждого целого , существует целое число такое , что для каждого , образы и те же.${\displaystyle \cdots \to X_{2}\to X_{1}\to X_{0}}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle m\geq n}$${\displaystyle l\geq m}$${\displaystyle X_{m}\to X_{n}}$${\displaystyle X_{l}\to X_{n}}$

монада

Монада в категории Х представляет собой моноид объект в моноидальной категории endofunctors из X с моноидальной структурой , заданной композицией. Например, для группы G определите эндофунктор T в Set by . Затем определим умножение μ на T как естественное преобразование, задаваемое формулой${\displaystyle T(X)=G\times X}$${\displaystyle \mu :T\circ T\to T}$

${\displaystyle \mu _{X}:G\times (G\times X)\to G\times X,\,\,(g,(h,x))\mapsto (gh,x)}$

а также аналогичным образом определить тождественное отображение η . Тогда ( T , μ , η ) составляет монаду в Set . Более существенно, соединение между функторами определяет монаду в X ; а именно, тождественное отображение η на T берется за единицу присоединения, а также определяется μ с помощью присоединения.${\displaystyle F:X\rightleftarrows A:G}$${\displaystyle T=G\circ F}$

монадический

1. Присоединение называется монадическим, если оно происходит от монады, которую оно определяет с помощью категории Эйленберга – Мура (категории алгебр для монады).

2. Функтор называется монадическим, если он является составной частью монадического присоединения.

моноидальная категория

Моноидальная категория , которая также называется тензор категория, категория С оборудован (1) бифунктором , (2) объектом идентичности и (3) естественными изоморфизмами , которые делают ⊗ ассоциативны и объект идентичности тождество ⊗, при соблюдении определенного условия согласованности.${\displaystyle \otimes :C\times C\to C}$

моноидный объект

Объект Моноида в моноидальной категории является объектом вместе с картой умножения и тождественной , которые удовлетворяют ожидаемые условия , как ассоциативность. Например, моноид объект Set является обычным моноидом (унитальная полугруппа) и объект моноида в R -Mod является ассоциативной алгеброй над коммутативным кольцом R .

мономорфизм

Морфизм f является мономорфизмом (также называемым моническим), если всякий раз ; например, инъекция в Set . Другими словами, f является двойником эпиморфизма.${\displaystyle g=h}$${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$

мультикатегория

Multicategory является обобщением категории , в которой морфизм разрешено иметь более одного домена. Это то же самое, что и цветная операда . ^[9]

N [ править ]

n -категория

[T] он выпустит из сравнения определений слабой п -категории является скользкой один, как это трудно сказать , что это даже средство для двух таких определений эквивалентно. [...] Широко распространено мнение, что структура, образованная слабыми n -категориями и функторами, преобразованиями, ... между ними, должна быть слабой ( n + 1) -категорией; и если это так, то вопрос в том, эквивалентна ли ваша слабая ( n + 1) -категория слабых n- категорий моей, но чье определение слабой ( n + 1) -категории мы используем здесь ...?

Том Ленстер, Обзор определений n -категории

1. Строгая n- категория определяется индуктивно: строгая 0-категория - это множество, а строгая n- категория - это категория, множества Hom которой являются строгими ( n -1) -категориями. А именно, строгая n- категория - это категория, обогащенная над строгими ( n -1) -категориями. Например, строгая 1-категория - это обычная категория.

2. Понятие слабой n -категории получается из строгой путем ослабления таких условий, как ассоциативность композиции, чтобы они выполнялись только с точностью до когерентных изоморфизмов в слабом смысле.

3. Можно определить ∞-категорию как своего рода копилку n -категорий. И наоборот, если вначале имеется понятие (слабой) ∞-категории (скажем, квазикатегории ), то слабая n- категория может быть определена как тип усеченной ∞-категории.

естественный

1. Естественное преобразование - это, грубо говоря, отображение функторов. А именно, если дана пара функторов F , G из категории C в категорию D , естественное преобразование φ из F в G является набором морфизмов в D

${\displaystyle \{\phi _{x}:F(x)\to G(x)\mid x\in \operatorname {Ob} (C)\}}$

удовлетворяющих условию: для каждого морфизма F : х → у в С , . Например, писать для группы обратимых п матрицы с размерностью п матриц с коэффициентами в коммутативном кольце R , мы можем рассматривать как функтор из категории CRING коммутативных колец к категории Grp групп. Точно так же - функтор от CRing до Grp . Тогда определитель det является естественным преобразованием из в - ^* .${\displaystyle \phi _{y}\circ F(f)=G(f)\circ \phi _{x}}$${\displaystyle GL_{n}(R)}$${\displaystyle GL_{n}}$${\displaystyle R\mapsto R^{*}}$${\displaystyle GL_{n}}$

2. Естественный изоморфизм - это естественное преобразование, являющееся изоморфизмом (т. Е. Допускающее обратное).

Композиция кодируется как 2-симплекс.

нерв

Нерва функтор N является функтор из Cat в сек Set задается . Например, если это функтор в (называемый 2-симплексом), пусть . Тогда морфизм в С , а также для некоторого г в С . Так как следует и так как функтор, . Другими словами, кодирует f , g и их композиции.${\displaystyle N(C)_{n}=\operatorname {Hom} _{\mathbf {Cat} }([n],C)}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle N(C)_{2}}$${\displaystyle x_{i}=\varphi (i),\,0\leq i\leq 2}$${\displaystyle \varphi (0\to 1)}$${\displaystyle f:x_{0}\to x_{1}}$${\displaystyle \varphi (1\to 2)=g:x_{1}\to x_{2}}$${\displaystyle 0\to 2}$${\displaystyle 0\to 1}$${\displaystyle 1\to 2}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi (0\to 2)=g\circ f}$${\displaystyle \varphi }$

обычный

Мономорфизм является нормальным, если он является ядром некоторого морфизма, и эпиморфизм является конормальным, если он является коядром некоторого морфизма. Категория называется нормальной, если любой мономорфизм нормален.

O [ править ]

объект

1. Объект является частью данных, определяющих категорию.

2. [прилагательное] объект в категории C является контравариантный функтор (или Предпучок) от некоторой фиксированной категории , соответствующей «прилагательное» к C . Например, симплициальный объект в C является контравариантным функтором из категории симплициальной к С и Г-объектом является заостренным контравариантным функтор из Г (примерно заостренная категория заостренных конечных множеств) до C при условии , С заострен.

оптическое расслоение

Функтор π: C → D является оп-расслоением, если для каждого объекта x в C и каждого морфизма g  : π ( x ) → y в D существует хотя бы один π-коккартов морфизм f : x → y ' в C такой, что π ( f ) = g . Другими словами, π является двойственным расслоению Гротендика .

противоположный

Противоположная категория к категории получается обращение стрелок. Например, если частично упорядоченный набор рассматривается как категория, принимая его суммы, противоположные изменению порядка.

P [ править ]

идеально

Иногда синоним слова «компактный». Увидеть идеальный комплекс .

заостренный

Категория (или ∞-категория) называется точечной, если в ней есть нулевой объект.

многочлен

Функтор из категории конечномерных векторных пространств в себя называется полиномиальным функтором, если для каждой пары векторных пространств V , W , F : Hom ( V , W ) → Hom ( F ( V ), F ( W ) ) является полиномиальным отображением векторных пространств. Шура функтор является основным примером.

предаддитив

Категория является предаддитивна , если он обогащен по моноидальной категории из абелевых групп . В более общем смысле, оно является R -линейным, если оно обогащено над моноидальной категорией R -модулей , поскольку R - коммутативное кольцо .

презентабельный

Для регулярного кардинала κ категория является κ-представимой, если она допускает все малые копределы и является κ-доступной . Категория презентабельна, если она κ-представима для некоторого регулярного кардинала κ (следовательно, представима для любого большего кардинала). Примечание : некоторые авторы называют презентабельную категорию местной презентабельной категорией .

предпучка

Другой термин для контравариантного функтора: функтор из категории C ^op в Set - это предпучок множеств на C, а функтор из C ^op в s Set - предпучок симплициальных множеств или симплициальный предпучок и т. Д. Топология на C , если any, сообщает, какой предпучок является пучком (относительно этой топологии).

продукт

1. Продукт семейства объектов X _i в категории C, индексированной множеством I, является проективным пределом функтора , где I рассматривается как дискретная категория. Он обозначается и является двойным произведением семейства.${\displaystyle \varprojlim }$${\displaystyle I\to C,\,i\mapsto X_{i}}$${\displaystyle \prod _{i}X_{i}}$

2. Продукт семейства категорий C _i , индексированных множеством I, является категорией, обозначенной, чей класс объектов является произведением классов объектов C _i и чьи hom-множества являются ; морфизмы составлены покомпонентно. Это двойник непересекающегося союза.${\displaystyle \prod _{i}C_{i}}$${\displaystyle \prod _{i}\operatorname {Hom} _{\operatorname {C_{i}} }(X_{i},Y_{i})}$

профунктор

Указанные категории С и D , A profunctor (или дистрибьютор) от C до D есть функтор формы .${\displaystyle D^{\text{op}}\times C\to \mathbf {Set} }$

проективный

1. Объект A в абелевой категории проективен, если функтор точен. Это двойственность инъективного объекта.${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-)}$

2. Термин «проективный предел» - это другое название обратного предела .

PROP

PROP является симметричными строги моноидальными категориями, объекты которой являются натуральными числами , и чьи тензорного произведение добавления натуральных чисел.

псевдоалгебра

Pseudoalgebra представляет собой 2-категория-версия алгебры для монады (с монады заменена на 2-монады).

Q [ править ]

Quillen

Теорема Квиллена A дает критерий слабой эквивалентности функтора.

R [ править ]

отражать

1. Говорят, что функтор отражает тождества, если он обладает свойством: если F ( k ) - это тождество, то k также является тождеством.

2. Функтор называется отражающим изоморфизм, если он обладает свойством: F ( k ) - изоморфизм, то k также является изоморфизмом.

представимый

Многозначный контравариантный функтор F на категории C называется представимым, если он принадлежит существенному образу вложения Йонеды ; т.е. для некоторого объекта Z . Объект Z называется представляющий объект F .${\displaystyle C\to \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$${\displaystyle F\simeq \operatorname {Hom} _{C}(-,Z)}$

втягивание

f - это ретракция g . g - часть f .

Морфизм - это ретракция, если у него есть правая инверсия.

S [ править ]

раздел

Морфизм - это сечение, если у него есть левая инверсия. Например, аксиома выбора гласит, что любая сюръективная функция допускает секцию.

Пространство Segal

Пространства Сигала были некоторыми симплициальными пространствами, введенными как модели для (∞, 1) -категорий .

полупростой

Абелева категория полупроста, если каждая короткая точная последовательность расщепляется. Например, кольцо полупросто тогда и только тогда, когда категория модулей над ним полупроста.

Функтор Серра

Учитывая K -линейного категории C над полем к , функтор Серра является автоэквивалентность таким образом, что для любых объектов A , B .${\displaystyle f:C\to C}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)\simeq \operatorname {Hom} (B,f(A))^{*}}$

простой объект

Простой объект в абелевой категории - это объект , что не изоморфен нулевой объекта и чей каждое подобъектом изоморфно нуль или A . Например, простой модуль - это в точности простой объект из категории (скажем, левых) модулей.

категория симплекс

Симплекс категория Δ является категорией , где объект представляет собой набор [ п ] = {0, 1, ..., п }, п ≥ 0, вполне упорядочены стандартным образом и морфизм является функцией с сохранением порядка.

симплициальная категория

Категория, обогащенная симплициальными множествами.

Симплициальная локализация

Симплициальная локализация - это метод локализации категории.

симплициальный объект

Симплициальный объект в категории C примерно последовательность объектов в C , который образует симплициальное множество. Другими словами, это ковариантный или контравариантный функтор Δ → C . Например, симплициальный предпучок - это симплициальный объект в категории предпучков.${\displaystyle X_{0},X_{1},X_{2},\dots }$

симплициальный набор

Симплициальное множество является контравариантным функтором из А в Set , где Δ является симплексом категории , категория, объекты которой является множество [ п ] = {0, 1, ..., п } , а морфизмы порядка , сохраняющей функция. Один пишет, и элемент множества называется n -симплексом. Например, это симплициальное множество, называемое стандартным n -симплексом. По лемме Йонеды .${\displaystyle X_{n}=X([n])}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle \Delta ^{n}=\operatorname {Hom} _{\Delta }(-,[n])}$${\displaystyle X_{n}\simeq \operatorname {Nat} (\Delta ^{n},X)}$

сайт

Категория с топологией Гротендика .

скелетный

1. Категория является скелетной, если изоморфные объекты обязательно идентичны.

2. Каркас категории (не единственный) - это полная подкатегория, являющаяся каркасом.

ломтик

Для данной категории C и объекта A в ней категория срезов C _{/ A} группы C над A - это категория, объектами которой являются все морфизмы в C с доменом A , морфизмы которого являются морфизмами в C, такими, что если f является морфизмом из к , а затем в C , состав которого является то , что C .${\displaystyle p_{X}:X\to A}$${\displaystyle p_{Y}:Y\to A}$${\displaystyle p_{Y}\circ f=p_{X}}$

небольшой

1. Малая категория - это категория, в которой класс всех морфизмов является множеством (т. Е. Не собственным классом ); в остальном большой . Категория локально мала, если морфизмы между каждой парой объектов A и B образуют набор. Некоторые авторы предполагают основу, в которой совокупность всех классов образует «конгломерат», и в этом случае квазикатегория - это категория, объекты и морфизмы которой просто образуют конгломерат . ^[10] (NB: некоторые авторы используют термин «квазикатегория» в другом значении. ^[11] )

2. Объект в категории называется малым, если он κ-компактен для некоторого регулярного кардинала κ. Это понятие заметно фигурирует в аргументе Quiilen о малых объектах (см. Https://ncatlab.org/nlab/show/small+object+argument )

разновидность

A (комбинаторные) виды является endofunctor на группоиде конечных множеств с биекциями. Это категорически эквивалентно симметричной последовательности .

стабильный

∞-категория устойчива, если (1) она имеет нулевой объект, (2) каждый морфизм в ней допускает слой и кофибер и (3) треугольник в ней является последовательностью слоев тогда и только тогда, когда он является последовательностью кофибер .

строгий

Морфизм f в категории, допускающей конечные пределы и конечные копределы, является строгим, если естественный морфизм является изоморфизмом.${\displaystyle \operatorname {Coim} (f)\to \operatorname {Im} (f)}$

строгая n- категория

Строгая 0-категория - это множество, и для любого целого n > 0 строгая n- категория - это категория, обогащенная над строгими ( n -1) -категориями. Например, строгая 1-категория - это обычная категория. Примечание : термин « n- категория» обычно относится к « слабой n- категории »; не строгий.

субканонический

Топология категории является субканонической, если каждый представимый контравариантный функтор на C является пучком относительно этой топологии. ^[12] Вообще говоря, некоторая плоская топология может не быть субканонической; но плоские топологии, появляющиеся на практике, имеют тенденцию быть субканоническими.

подкатегория

Категория является подкатегории из категории B , если имеется включение функтор из A в B .

подобъект

Учитывая объект в категории более субобъект из А является классом эквивалентности мономорфизмов до А ; два мономорфизма f , g считаются эквивалентными, если f пропускается через g, а g пропускается через f .

подфактор

Подфактор является фактором подобъекту.

субтерминальный объект

Субтерминальная объект является объектом X таким образом, что каждый объект имеет не более одного морфизм в X .

симметричная моноидальная категория

Симметричная моноидальная категория является моноидальными категориями (т.е. категории с ⊗) , который имеет максимально симметричное плетение.

симметричная последовательность

Симметрична последовательность представляет собой последовательность объектов с действиями симметрических групп . Это категорически эквивалентно (комбинаторному) виду .

Т [ править ]

т-структура

Т-структура является дополнительной структурой на триангулированную категории ( в более общем случае стабильной ∞-категории ) , что axiomatizes понятия комплексов , чьи когомология сосредоточена в неотрицательных степенях или неположительных градусах.

Таннакианская двойственность

В Tannakian двойственность говорится , что в соответствующих установках, чтобы дать морфизм , чтобы дать откат функтор вдоль него. Другими словами, множество Hom можно отождествить с категорией функторов , возможно, в производном смысле , где - категория, связанная с X (например, производная категория). ^{[13] [14]}${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)}$${\displaystyle \operatorname {Fct} (D(Y),D(X))}$${\displaystyle D(X)}$

тензорная категория

Обычно синонимичен моноидальной категории (хотя некоторые авторы различают эти два понятия).

тензорно-триангулированная категория

Тензор триангулированной категория это категория , которая имеет структуру симметричной моноидальной категории и триангулированную категория в совместимом способе.

тензорное произведение

Учитывая моноидальную категорию B , то тензорное произведение функторов и является coend:${\displaystyle F:C^{\text{op}}\to B}$${\displaystyle G:C\to B}$

${\displaystyle F\otimes _{C}G=\int ^{c\in C}F(c)\otimes G(c).}$

2. Объект в ∞-категории C является терминал , если это сжимаемым для каждого объекта B в C .${\displaystyle \operatorname {Map} _{C}(B,A)}$

U [ править ]

универсальный

1. Учитывая функтор и объект X в D , А универсальный морфизм из X в F является начальным объектом в категории разделителей . (Его двойственный также называется универсальным морфизмом.) Например, пусть f - функтор забывания, а X - множество. Исходный объект - это функция . То, что это начальный, означает, что если это другой морфизм, то существует единственный морфизм из j в k , который состоит из линейного отображения, которое расширяет k через j ; то есть,${\displaystyle f:C\to D}$ ${\displaystyle (X\downarrow f)}$${\displaystyle \mathbf {Vec} _{k}\to \mathbf {Set} }$${\displaystyle (X\downarrow f)}$${\displaystyle j:X\to f(V_{X})}$${\displaystyle k:X\to f(W)}$${\displaystyle V_{X}\to W}$${\displaystyle V_{X}}$является свободным векторным пространством , порожденным X .

2. Говоря более явно, для данного f, как указано выше, морфизм в D универсален тогда и только тогда, когда естественное отображение${\displaystyle X\to f(u_{X})}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(u_{X},c)\to \operatorname {Hom} _{D}(X,f(c)),\,\alpha \mapsto (X\to f(u_{x}){\overset {f(\alpha )}{\to }}f(c))}$

биективен. В частности, если , то взяв c как u _X, мы получим универсальный морфизм, посылая тождественный морфизм. Другими словами, наличие универсального морфизма эквивалентно представимости функтора .${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(u_{X},-)\simeq \operatorname {Hom} _{D}(X,f(-))}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{D}(X,f(-))}$

W [ править ]

Категория Вальдхаузена

Waldhausen категория есть, грубо говоря, категория с семьями корасслоений и слабых эквивалентностей.

хорошо развитый

Категория считается сильной, если для каждого объекта существует только набор попарно неизоморфных подобъектов .

Д [ редактировать ]

Йонеда

1.  

Лемма Йонеды утверждает ... в более выразительных терминах, математический объект X лучше всего рассматривать в контексте окружающей его категории, и он определяется сетью отношений, которыми он пользуется со всеми объектами этой категории. Более того, для понимания X было бы уместнее иметь дело непосредственно с представляющим его функтором. Это напоминает «языковую игру» Витгенштейна; то есть, что значение слова, по сути, определяется его отношением ко всем высказываниям в языке и фактически является не чем иным, как его отношением ко всем высказываниям в языке.

Барри Мазур , думая о Гротендике

Йонеды лемма говорит: для каждого многозначного контравариантена функтора F на C и объект X в С , существует естественная биекция

${\displaystyle F(X)\simeq \operatorname {Nat} (\operatorname {Hom} _{C}(-,X),F)}$

где Nat означает множество естественных преобразований. В частности, функтор

${\displaystyle y:C\to \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} ),\,X\mapsto \operatorname {Hom} _{C}(-,X)}$

полностью верен и называется вложением Йонеды. ^[15]

2. Если - функтор и y - вложение Йонеды группы C , то расширение Йонеды группы F является левым расширением Кана F вдоль y .${\displaystyle F:C\to D}$

Z [ править ]

нуль

Нулевой объект является объектом , который является как начальным и терминалом, такими как тривиальная группа в Grp .

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Артин, Майкл (1972). Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 . Конспект лекций по математике (на французском языке). 269 . Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . XIX + 525. DOI : 10.1007 / BFb0081551 . ISBN 978-3-540-05896-0.
• Кашивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2006). Категории и связки .
• А. Джоял , Теория квазикатегорий II (том I отсутствует ??)
• Лурье, J. , Высшая алгебра
• Лурье Дж. Теория высших топосов.
• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике . 5 (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Zbl  0906.18001 .
• Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные разделы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. 97 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-83414-7. Zbl  1034.18001 .
• Вистоли, Анджело (2004-12-28). «Заметки о топологиях Гротендика, расслоенных категориях и теории спуска». arXiv : математика / 0412512 .

Дальнейшее чтение [ править ]

• Грот М. Краткий курс по ∞-категориям.
• Заметки Цисинского
• История теории топосов
• http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/
• Ленстер, Том (2014). Основная теория категорий . Кембриджские исследования в области высшей математики. 143 . Издательство Кембриджского университета. arXiv : 1612.09375 . Bibcode : 2016arXiv161209375L .
• Эмили Риль, Неторопливое введение в симплициальные множества
• Конспект лекций по категориальной логике Стива Оди
• Стрит, Росс (20 марта 2003 г.). «Категориальные и комбинаторные аспекты теории спуска». arXiv : math / 0303175 . (подробное обсуждение 2-х разряда)