Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Для более слабого смысла термина «аддитивная категория» (без двойных произведений) см. Преаддитивную категорию .

В математике , в частности , в теории категорий , аддитивная категория является предаддитивен категорией  C допускающей все финитные biproducts .

Определение [ править ]

Категория  С предаддитивна , если все его Хом-множества являются абелевых групп и состав морфизмов является билинейной ; Другими словами, C будет обогащен над моноидальной категории абелевых групп.

В предаддитивной категории каждый конечный продукт (включая пустой продукт, т. Е. Конечный объект ) обязательно является сопродуктом (или начальным объектом в случае пустой диаграммы) и, следовательно, побочным продуктом , и, наоборот, каждый конечный сопродукт обязательно является сопродуктом. продукт (это следствие определения, а не его часть).

Таким образом, аддитивная категория эквивалентно описывается как предаддитивная категория, допускающая все конечные продукты, или как предаддитивная категория, допускающая все конечные сопутствующие продукты.

Другой, но эквивалентный способ определения аддитивной категории - это категория (не предполагается, что она является предаддитивной), которая имеет нулевой объект , конечные копроизведения и конечные продукты, и такая, что каноническое отображение копроизведения в продукт

является изоморфизмом. Этот изоморфизм можно использовать для создания коммутативной структуры моноида . Последнее требование состоит в том, что это действительно абелева группа. В отличие от вышеупомянутых определений, это определение не нуждается во вспомогательной аддитивной групповой структуре на множествах Hom в качестве данных, а скорее в качестве свойства. [1]

Обратите внимание, что пустой бипроизведение обязательно является нулевым объектом в категории, а категория, допускающая все конечные бипроизведения, часто называется полуаддитивной . Как показано ниже , каждая полуаддитивная категория имеет естественное дополнение, и поэтому мы можем альтернативно определить аддитивную категорию как полуаддитивную категорию, обладающую тем свойством, что каждый морфизм имеет аддитивный обратный.

Обобщение [ править ]

В целом, один считает также аддитивный R -линейной категории для коммутативной кольца R . Это категории, обогащенные над моноидальной категорией R -модулей и допускающие все конечные бипроизведения.

Примеры [ править ]

Оригинальным примером аддитивной категории является категория абелевых групп  Ab . Нулевой объект - это тривиальная группа , сложение морфизмов дается поточечно , а бипроизведения задаются прямыми суммами .

В более общем смысле, каждая категория модулей над кольцом  R аддитивна, и поэтому, в частности, категория векторных пространств над полем  K аддитивна.

Алгебра матриц над кольцом, рассматриваемая как категория, как описано ниже, также аддитивна.

Внутренняя характеристика закона сложения [ править ]

Пусть C - полуаддитивная категория, т.е. категория, имеющая все конечные бипроизведения. Тогда каждое гом-множество имеет дополнение, придающее ему структуру абелевого моноида и такое, что композиция морфизмов билинейна.

Более того, если C аддитивен, то два добавления на hom-множествах должны согласовываться. В частности, полуаддитивная категория является аддитивной тогда и только тогда, когда каждый морфизм имеет аддитивный обратный.

Это показывает, что закон сложения для аддитивной категории является внутренним по отношению к этой категории. [2]

Чтобы определить закон сложения, мы будем использовать соглашение, согласно которому для двойного произведения p k будет обозначать морфизмы проекции, а i k будет обозначать морфизмы с вложением .

Сначала заметим, что для каждого объекта  A существует

  • диагональный морфизм ∆: A → A ⊕ A такой, что p k  ∘ ∆ = 1 A для k = 1, 2 и a
  • кодиагональный морфизм ∇: A ⊕ A → A такой, что ∇ ∘  i k = 1 A для k = 1, 2 .

Далее, для двух морфизмов α k : A → B существует единственный морфизм α 1 ⊕ α 2 : A ⊕ A → B ⊕ B такой, что p l ∘ (α 1 ⊕ α 2 ) ∘ i k равно α k, если k = l и 0 в противном случае.

Следовательно, мы можем определить α 1 + α 2  : = ∇ ∘ (α 1 ⊕ α 2 ) ∘ ∆ .

Это дополнение является коммутативным и ассоциативным. Ассоциативность можно увидеть, рассматривая композицию

Имеем α + 0 = α , используя, что α ⊕ 0 = i 1  ∘ α ∘  p 1 .

Он также является билинейным, используя, например, что ∆ ∘ β = (β ⊕ β) ∘ ∆ и что (α 1 ⊕ α 2 ) ∘ (β 1 ⊕ β 2 ) = (α 1 ∘ β 1 ) ⊕ (α 2 ∘ β 2 ) .

Заметим, что для парного произведения A ⊕ B имеем i 1  ∘  p 1 + i 2  ∘  p 2 = 1 . Используя это, мы можем представить любой морфизм A ⊕ B → C ⊕ D в виде матрицы.

Матричное представление морфизмов [ править ]

Для объектов A 1 , ...,  A n и B 1 , ...,  B m в аддитивной категории мы можем представить морфизмы f : A 1 ⊕ ⋅⋅⋅ ⊕ A n → B 1 ⊕ ⋅⋅⋅ ⊕ B m как m -by- n матриц

куда

Используя то, что ∑ k i k  ∘  p k = 1 , следует, что сложение и композиция матриц подчиняются обычным правилам для сложения и умножения матриц .

Таким образом, аддитивные категории можно рассматривать как наиболее общий контекст, в котором имеет смысл алгебра матриц.

Напомним, что морфизмы из одного объекта  A в себя образуют кольцо эндоморфизмов  End ( A ) . Если мы обозначим n- кратное произведение  A с самим собой через A n , то морфизмы из A n в A m будут m -by- n матрицами с элементами из кольца  End ( A ) .

С другой стороны , для любого кольца  R , мы можем образовать категорию  Mat ( R ) , принимая объекты п индексируется множества натуральных чисел ( в том числе нуль ) и позволяя Хом-множество морфизмов из А п к А т быть множество из m -by- n матриц над  R , и где композиция задается умножением матриц. [3] Тогда Mat ( R ) - аддитивная категория и A nравна n- кратной степени ( A 1 ) n .

Эту конструкцию следует сравнить с показанным здесь результатом, что кольцо является предаддитивной категорией только с одним объектом .

Если интерпретировать объект А п как левый модуль  R п , то эта матрица категория становится подкатегория категории левых модулей над  R .

Это может сбивать с толку в частном случае, когда m или n равно нулю, потому что мы обычно не думаем о матрицах с 0 строками или 0 столбцами . Однако эта концепция имеет смысл: такие матрицы не имеют записей и поэтому полностью определяются их размером. Хотя эти матрицы довольно вырождены, их необходимо включить, чтобы получить аддитивную категорию, поскольку аддитивная категория должна иметь нулевой объект.

Однако размышления о таких матрицах могут быть полезны одним способом: они подчеркивают тот факт, что для любых объектов A и B в аддитивной категории существует ровно один морфизм из A в 0 (точно так же, как есть ровно один 0 на 1 матрица с элементами в End ( A ) ) и ровно один морфизм от 0 до B (точно так же, как существует ровно одна матрица 1 на 0 с элементами в End ( B ) ) - это как раз то, что значит сказать, что 0 есть нулевой объект . Кроме того, нулевой морфизм из A в B - это композиция этих морфизмов, которая может быть вычислена путем умножения вырожденных матриц.

Аддитивные функторы [ править ]

Функтор F : C → D между предаддитивными категориями Добавка , если она является абелевой гомоморфизм групп на каждых Хома-множестве в  C . Если категории аддитивны, то функтор аддитивен тогда и только тогда, когда он сохраняет все диаграммы двух произведений .

То есть, если B - двупроизведение  A 1 , ...,  A n в  C с проекционными морфизмами p k и морфизмами с вложением i j , то F ( B ) должно быть двупродуктом  F ( A 1 ), ... ,  F ( A n ) в  D с проекционными морфизмами F ( p j ) и морфизмами с вложением F ( i j ) .

Почти все изученные функторы между аддитивными категориями аддитивны. Фактически, это теорема о том, что все сопряженные функторы между аддитивными категориями должны быть аддитивными функторами (см. Здесь ), а наиболее интересные функторы, изучаемые во всей теории категорий, являются сопряженными.

Обобщение [ править ]

При рассмотрении функторов между R -линейными аддитивными категориями обычно ограничиваются R- линейными функторами , поэтому те функторы, которые задают гомоморфизм R -модулей на каждом гом-множестве.

Особые случаи [ править ]

  • Предварительно абелева категорией является аддитивной категорией , в которой каждый морфизм имеет ядро и коядро .
  • Абелева категория представляет собой предварительно абелева категория таким образом, что каждый мономорфизм и эпиморфизм является нормальным .

Многие обычно изучаемые аддитивные категории на самом деле являются абелевыми категориями; например, Ab - абелева категория. В свободных абелевых группах представляют собой пример категории, аддитивные , но не абелевые. [4]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Джейкоб Лурье : Высшая алгебра , определение 1.1.2.1, «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 06.02.2015 . Проверено 30 января 2015 .CS1 maint: archived copy as title (link)
  2. ^ Маклейном, Saunders (1950), "Двойственность для групп" , Бюллетень Американского математического общества , 56 (6): 485-516, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1950-09427-0 , МР 0049192  В разделах 18 и 19 рассматривается закон сложения в полуаддитивных категориях.
  3. ^ HD Маседо, Дж. Н. Оливейра, Наборная линейная алгебра: подход , ориентированный на два продукта , Наука компьютерного программирования, Том 78, выпуск 11, 1 ноября 2013 г., страницы 2160-2191, ISSN 0167-6423 , doi : 10.1016 / j.scico. 2012.07.012 . 
  4. ^ Шастри, Анант Р. (2013), Базовая алгебраическая топология , CRC Press, стр. 466, ISBN 9781466562431.
  • Николае Попеску ; 1973; Абелевы категории с приложениями к кольцам и модулям ; Academic Press, Inc. (вышедшая из печати) очень медленно рассматривает все это.