В математике , особенно в теории категорий , предаддитивная категория - это другое название Ab-категории , т. Е. Категории, которая обогащена над категорией абелевых групп , Ab . То есть Ab-категория C - это такая категория , что каждое гом-множество Hom ( A , B ) в C имеет структуру абелевой группы, а композиция морфизмов билинейна в том смысле, что композиция морфизмов распределяется по групповая операция. В формулах:
Некоторые авторы использовали термин аддитивная категория для предаддитивных категорий, но здесь мы следим за текущей тенденцией резервирования этого слова для некоторых специальных предаддитивных категорий (см. § Особые случаи ниже).
Примеры [ править ]
Наиболее очевидным примером предаддитивной категории является сама категория Ab . Точнее, Ab - замкнутая моноидальная категория . Обратите внимание, что здесь решающее значение имеет коммутативность ; это гарантирует, что сумма двух гомоморфизмов групп снова будет гомоморфизмом. Напротив, категория всех групп не закрыта. См. Медиальная категория .
Другие распространенные примеры:
- Категория (левых) модулей над кольцом R , в частности:
- категория векторных пространств над полем K .
- Алгебра матриц над кольцом, рассматриваемая как категория, как описано в статье Аддитивная категория .
- Любое кольцо, рассматриваемое как категория только с одним объектом, является предаддитивной категорией. Здесь композиция морфизмов - это просто умножение колец, а единственное гом-множество - это основная абелева группа.
Это даст вам представление о том, о чем думать; Дополнительные примеры см. по ссылкам в § Особые случаи ниже.
Элементарные свойства [ править ]
Поскольку каждые Хомы-множество Хом ( , B ) является абелевой группой, она имеет нулевой элемент 0. Это нулевой морфизм из A в B . Поскольку композиция морфизмов билинейна, композиция нулевого морфизма и любого другого морфизма (с обеих сторон) должна быть другим нулевым морфизмом. Если вы думаете о композиции как о аналоге умножения, то это говорит о том, что умножение на ноль всегда приводит к нулю, что является знакомой интуицией. Продолжая эту аналогию, тот факт, что композиция в общем случае является билинейной, становится дистрибутивностью умножения над сложением.
Сосредоточившись на одном объекте A в предаддитивной категории, эти факты говорят, что гом-множество эндоморфизмов Hom ( A , A ) является кольцом , если мы определим умножение в кольце как композицию. Это кольцо является кольцом эндоморфизмов из A . Наоборот, каждое кольцо (с единицей ) является кольцом эндоморфизмов некоторого объекта в некоторой предаддитивной категории. Действительно, учитывая кольцо R , мы можем определить предаддитивную категорию R, чтобы иметь единственный объект A , пусть Hom ( A , A ) будет R, и пусть композиция есть умножение колец. Поскольку R - абелева группа, а умножение в кольце билинейно (дистрибутивно), это делает R предаддитивной категорией. Теоретики категорий часто думают о кольце R и категории R как о двух разных представлениях одной и той же вещи, так что особенно извращенный теоретик категорий может определить кольцо как предаддитивную категорию с ровно одним объектом (точно так же, как моноид может можно рассматривать как категорию, имеющую только один объект - и забвение аддитивной структуры кольца дает нам моноид).
Таким образом, предаддитивные категории можно рассматривать как обобщение колец. Многие концепции из теории колец, такие как идеалы , радикалы Джекобсона и фактор-кольца, могут быть напрямую обобщены на этот случай. Пытаясь записать эти обобщения, следует думать о морфизмах в предаддитивной категории как о «элементах» «обобщенного кольца».
Аддитивные функторы [ править ]
Если C и D является предаддитивной категорией, то функтор F : C → D является аддитивным , если он тоже обогащен по категории Ab . То есть, F аддитивна тогда и только тогда , учитывая любые объекты и Б из C , в функции F : Hom ( A , B ) → Hom ( F ( A ), Р ( Б )) представляет собой групповой гомоморфизм . Большинство изученных функторов между предаддитивными категориями аддитивны.
В качестве простого примера, если кольца R и S представлены предаддитивными категориями одного объекта R и S , то гомоморфизм колец из R в S представлен аддитивным функтором из R в S , и наоборот.
Если C и D являются категориями, а D предаддитивна, то категория функторов D C также является предаддитивной, потому что естественные преобразования могут быть добавлены естественным образом. Если C также является предаддитивным, то категория Add ( C , D ) аддитивных функторов и все естественные преобразования между ними также являются предаддитивными.
Последний пример приводит к генерализации модулей над кольцами: Если C является предаддитивная категория, то Mod ( C ): = Add ( С , Ab ) называется категория модулей над C . [ необходимая цитата ] Когда C является предаддитивной категорией одного объекта, соответствующей кольцу R , это сводится к обычной категории (левых) R -модулей . Опять же, практически все концепции из теории модулей могут быть обобщены в этом контексте.
R -линейные категории [ править ]
В более общем смысле, можно рассматривать категорию C, обогащенную моноидальной категорией модулей над коммутативным кольцом R , называемую R -линейной категорией . Другими словами, каждое hom-множество Hom ( A , B ) в C имеет структуру R -модуля, а композиция морфизмов R -билинейна.
При рассмотрении функторов между двумя R- линейными категориями часто ограничиваются теми, которые являются R- линейными, т.е. теми, которые индуцируют R- линейные отображения на каждом hom-множестве.
Бипродукты [ править ]
Любое конечное произведение в предаддитивной категории также должно быть копроизведением , и наоборот. Фактически, конечные произведения и копроизведения в предаддитивных категориях можно охарактеризовать следующим условием двупродукции :
- Объект B является двойным произведением объектов A 1 , ..., A n тогда и только тогда, когда существуют морфизмы проекции p j : B → A j и морфизмы с вложением i j : A j → B , такие что ( i 1 ∘ p 1 ) + ··· + ( i n ∘ p n ) - тождественный морфизм B , p j ∘ i jявляется тождественный морфизм из A J и р J ∘ я к является нулевой морфизм из A к к A J всякий раз , когда J и K являются различны .
Это двойное произведение часто записывается как A 1 ⊕ ··· ⊕ A n , заимствуя обозначение прямой суммы . Это связано с тем, что двойное произведение в хорошо известных предаддитивных категориях, таких как Ab, является прямой суммой. Однако, хотя бесконечные прямые суммы имеют смысл в некоторых категориях, таких как Ab , бесконечные двупроизведения не имеют смысла.
Условие двойного произведения в случае n = 0 резко упрощается; B является нулевым биопроизведением тогда и только тогда, когда тождественный морфизм B является морфизмом нуля из B в себя, или, что то же самое, если гом-множество Hom ( B , B ) является тривиальным кольцом . Обратите внимание: поскольку нулевой бипродукт будет одновременно конечным (нулевой продукт) и начальным (нулевой копродукт), он фактически будет нулевым объектом . Действительно, термин «нулевой объект» возник при изучении предаддитивных категорий, таких как Ab , где нулевой объект - это нулевая группа..
Предаддитивная категория, в которой существует каждое двойное произведение (включая нулевой объект), называется аддитивной . Дополнительные факты о побочных продуктах, которые в основном полезны в контексте дополнительных категорий, можно найти по этой теме.
Ядра и коядра [ править ]
Поскольку гом-множества в предаддитивной категории не имеют морфизмов, понятие ядра и коядра имеет смысл. То есть, если F : → B есть морфизм в предаддитивных категориях, то ядро е является эквалайзером из е и нулевой морфизм из A в B , в то время как Коядро е является coequaliser из F и этот нулевой морфизм . В отличие от продуктов и копродуктов, ядро и коядро f обычно не равны в предаддитивной категории.
Специализируясь на предаддитивных категориях абелевых групп или модулей над кольцом, это понятие ядра совпадает с обычным понятием ядра гомоморфизма, если отождествить обычное ядро K группы f : A → B с его вложением K → A . Однако в общей предаддитивной категории могут существовать морфизмы без ядер и / или коядров.
Существует удобная связь между ядром и коядром и структурой абелевой группы на hom-множествах. Учитывая параллельные морфизмы f и g , уравнитель f и g является просто ядром g - f , если любой из них существует, и аналогичный факт верен для соуравнителей. Альтернативный термин «разностное ядро» для двоичных эквалайзеров происходит от этого факта.
Предаддитивная категория , в которой существуют все biproducts, ядро и коядро называется предварительно абелево . Дополнительные факты о ядрах и коядрах в предаддитивных категориях, которые в основном полезны в контексте преабелевых категорий, могут быть найдены по этой теме.
Особые случаи [ править ]
Большинство этих особых случаев предаддитивных категорий уже упоминалось выше, но они собраны здесь для справки.
- Кольцо является предаддитивной категорией ровно с одним объектом.
- Аддитивная категория является предаддитивными категориями со всем конечным biproducts.
- Предварительно абелева категория является аддитивной категории со всеми ядрами и коядер.
- Абелева категория представляет собой предварительно абелева категория таким образом, что каждый мономорфизм и эпиморфизм является нормальным .
Наиболее часто изучаемые предаддитивные категории на самом деле являются абелевыми категориями; например, Ab - абелева категория.
Ссылки [ править ]
- Николае Попеску ; 1973; Абелевы категории с приложениями к кольцам и модулям ; Academic Press, Inc .; из печати
- Чарльз Вейбель ; 1994; Введение в гомологические алгебры ; Cambridge Univ. Нажмите
