В математике , Эндоморфизм является морфизм из математического объекта к самому себе. Эндоморфизм, который также является изоморфизмом, называется автоморфизмом . Например, эндоморфизм векторного пространства V является линейным отображением F : V → V и эндоморфизм группы G является группа гомоморфизм F : G → G . В общем, можно говорить об эндоморфизмах в любой категории . В категории наборов, эндоморфизмы - это функции из множества S в себя.
В любой категории, композиция любых двух эндоморфизмов X снова эндоморфизм X . Отсюда следует, что множество всех эндоморфизмов X образует моноид , полный моноид преобразования , и обозначается End ( X ) (или End C ( X ), чтобы подчеркнуть категорию C ).
Автоморфизмы [ править ]
Обратимый эндоморфизм X называется автоморфизм . Множество всех автоморфизмов является подмножеством из End ( X ) с групповой структурой, называется группа автоморфизмов из X и обозначается Аи ( Х ) . На следующей диаграмме стрелки обозначают импликацию:
Автоморфизм | ⇒ | Изоморфизм |
⇓ | ⇓ | |
Эндоморфизм | ⇒ | (Гомо) морфизм |
Кольца эндоморфизмов [ править ]
Любые два эндоморфизмы абелевой группы , А , могут быть добавлены вместе по правилу ( ф + г ) ( ) = F ( ) + г ( ) . При этом добавлении и с умножением, определяемым как композиция функций, эндоморфизмы абелевой группы образуют кольцо ( кольцо эндоморфизмов ). Например, множество эндоморфизмов ℤ n - это кольцо всех матриц размера n × n с целым числомзаписи. Эндоморфизмы векторного пространства или модуля также образуют кольцо, как и эндоморфизмы любого объекта в предаддитивной категории . Эндоморфизмы неабелевой группы порождают алгебраическую структуру, известную как почти кольцо . Каждое кольцо с единицей является кольцом эндоморфизмов своего регулярного модуля , а значит, и подкольцом кольца эндоморфизмов абелевой группы; [1] однако есть кольца, которые не являются кольцом эндоморфизмов какой-либо абелевой группы.
Теория операторов [ править ]
В любой конкретной категории , особенно для векторных пространств , эндоморфизмы - это отображения множества в себя, и их можно интерпретировать как унарные операторы на этом множестве, действующие на элементы и позволяющие определять понятие орбит элементов и т. Д.
В зависимости от дополнительной структуры, определенной для данной категории ( топология , метрика , ...), такие операторы могут обладать такими свойствами, как непрерывность , ограниченность и т. Д. Подробнее читайте в статье о теории операторов .
Эндофункции [ править ]
Endofunction это функция, домен равен его область значений . Гомоморфна endofunction эндоморфизм.
Пусть S - произвольное множество. Среди endofunctions на S можно найти перестановок из S и постоянных функций , связывающих к каждому х в S тот же элемент гр в S . Каждая перестановка S имеет область значений, равную ее области определения, и является биективной и обратимой. Если S имеет более одного элемента, постоянная функция на S имеет изображение, которое является собственным подмножеством своей области, и, следовательно, не является биективным (и, следовательно, не обратимым). Функция, связывающая каждое натуральное число nпол n / 2 имеет свой образ, равный его содомену, и не обратим.
Конечные эндофункции эквивалентны направленным псевдолесам . Для множеств размера п есть п п endofunctions на множестве.
Частными примерами биективных эндофункций являются инволюции ; т.е. функции, совпадающие со своими обратными.
См. Также [ править ]
- Присоединенный эндоморфизм
- Эпиморфизм (сюръективный морфизм)
- Эндоморфизм Фробениуса
- Мономорфизм (инъективный морфизм)
Примечания [ править ]
- ^ Якобсон (2009), стр. 162, теорема 3.2.
Ссылки [ править ]
- Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , 1 (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47189-1
Внешние ссылки [ править ]
- "Эндоморфизм" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]