Обратная функция

Функция f и обратная ей функция f ⁻¹ . Поскольку f отображает a в 3, обратный f ⁻¹ отображает 3 обратно в a .

Ошибка цитирования: <ref>на этой странице есть теги без содержания (см. Страницу справки ).

В математике , с обратной функции (или анти-функции ) ^[1] является функцией , которая «переворачивает» другая функция: если функция F подается на вход х дает результат у , то , применяя свою обратную функцию г к у дает результат x , т.е. g ( y ) = x тогда и только тогда, когда f ( x ) = y . ^{[2] [3]} Функция, обратная f , также обозначается как .${\ displaystyle f ^ {- 1}}$^{[4] [5] [6]}

В качестве примера рассмотрим действительную функцию действительной переменной, заданную формулой f ( x ) = 5 x - 7 . Думая об этом как о пошаговой процедуре (а именно, возьмите число x , умножьте его на 5, а затем вычтите 7 из результата), чтобы отменить это и получить x обратно из некоторого выходного значения, скажем y , мы бы отменили каждый шаг в обратном порядке. В данном случае это означает прибавление 7 к y , а затем разделение результата на 5. В функциональной записи эта обратная функция будет иметь вид

${\ displaystyle g (y) = {\ frac {y + 7} {5}}.}$

При y = 5 x - 7 получаем, что f ( x ) = y и g ( y ) = x .

Не все функции имеют обратные функции. ^{[nb 1]} Те, что делают, называются обратимыми . Чтобы функция f : X → Y имела инверсию, она должна обладать тем свойством, что для каждого y в Y существует ровно один x в X такой, что f ( x ) = y . Это свойство гарантирует, что функция g : Y → X существует с необходимой связью с f .

Определения [ править ]

Пусть F является функцией которого домен является множество X , и чей кообласть является множество Y . Тогда F является обратимым , если существует функция г с областью Y и областью значений X , со свойством:

${\ Displaystyle е (х) = у \, \, \ Leftrightarrow \, \, g (y) = х.}$

Если F обратим, то функция г является уникальным , ^[7] , который означает , что существует в точности одна функции г , удовлетворяющий это свойство. Кроме того, также следует, что диапазоны значений g и f равны их соответствующим доменам. Функция г называется обратным F , и, как правило , обозначают как F ^-1 , ^[4] нотация введена Джон Фредерик Вильям Гершель в 1813 году ^{[8] [9] [10] [11] [12] [NB 2]}

Иначе говоря, функция, рассматриваемая как бинарное отношение , имеет обратное тогда и только тогда, когда обратное отношение является функцией в области Y , и в этом случае обратное отношение является обратной функцией. ^[13]

Не все функции имеют инверсию. Чтобы функция имела обратную, каждый элемент y ∈ Y должен соответствовать не более чем одному x ∈ X ; функция f с этим свойством называется взаимно однозначной или инъекцией . Если F ^-1 , чтобы быть функцией от Y , то каждый элемент у ∈ Y должен соответствовать некоторым х ∈ Х . Функции с этим свойством называются сюръекциями . Это свойство выполняется по определению, если Y - образ f, но может не иметь места в более общем контексте. Чтобы быть обратимой, функция должна быть как инъекцией, так и сюръекцией. Такие функции называются биекциями . Обратным инжекционного F : X → Y , который не является взаимно однозначное соответствие (то есть, не сюръекция), это лишь частичная функция на Y , что означает , что для некоторого у ∈ Y , F ^-1 ( у ) не определено. Если функция f обратима, то и она, и обратная к ней функция f ⁻¹ являются биекциями.

Другое соглашение используется в определении функций, называемое "теоретико-множественным" или "графическим" определением с использованием упорядоченных пар , что делает кодобласть и изображение функции одинаковыми. ^[14] Согласно этому соглашению, все функции сюръективны, ^{[nb 3]} поэтому биективность и инъективность одинаковы. Авторы, использующие это соглашение, могут использовать формулировку, что функция обратима тогда и только тогда, когда это инъекция. ^[15] Эти два соглашения не должны вызывать путаницу, если помнить, что в этом альтернативном соглашении кодомен функции всегда берется как изображение функции.

Пример: функции возведения в квадрат и извлечения квадратного корня [ править ]

Функция f : ℝ → [0, ∞), заданная формулой f ( x ) = x ² , не является инъективной, поскольку каждый возможный результат y (кроме 0) соответствует двум различным начальным точкам в X - одной положительной и одной отрицательной, и поэтому эта функция необратима. С помощью этого типа функции невозможно вывести (уникальный) ввод из его вывода. Такая функция называется неинъективной или, в некоторых приложениях, с потерей информации. ^{[ необходима цитата ]}

Если область определения функции ограничена неотрицательными действительными числами, то есть функция переопределяется как f : [0, ∞) → [0, ∞) с тем же правилом, что и раньше, то функция является биективной и, следовательно, обратимый. ^[16] Обратная функция здесь называется функцией (положительного) квадратного корня .

Инверсии и композиция [ править ]

Если f - обратимая функция с областью определения X и областью области Y , то

${\ Displaystyle е ^ {- 1} \ влево (\, е (х) \, \ вправо) = х}$, для каждого ; и для каждого . ^[6]${\ displaystyle x \ in X}$${\displaystyle f\left(\,f^{-1}(y)\,\right)=y}$${\displaystyle y\in Y.}$

Используя композицию функций , мы можем переписать этот оператор следующим образом:

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$ и ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y},}$

где id _X - функция идентичности на множестве X ; то есть функция, которая не изменяет свой аргумент. В теории категорий это утверждение используется как определение обратного морфизма .

Рассмотрение композиции функций помогает понять обозначение f ⁻¹ . Повторное составление функции с самой собой называется итерацией . Если f применяется n раз, начиная со значения x , то это записывается как f ⁿ ( x ) ; поэтому f ² ( x ) = f ( f ( x )) и т. д. Поскольку f ⁻¹ ( f ( x )) = x , составляя f ⁻¹ и fⁿ дает f ^{n −1} , «отменяя» эффект одного примененияf.

Обозначение [ править ]

В то время как обозначение F ^-1 ( х ) может быть неправильно, ^[6] ( е ( х )) ^-1 конечно же обозначает мультипликативный обратный из ф ( х ) и не имеет ничего общего с обратной функции F . ^[12]

В соответствии с общими обозначениями, некоторые английские авторы используют такие выражения, как sin ⁻¹ ( x ), для обозначения обратной функции синуса, применяемой к x (на самом деле, частичной обратной функции ; см. Ниже). ^{[17] [12]} Другие авторы считают, что это можно спутать с обозначением мультипликативного обратного преобразования sin ( x ) , которое можно обозначить как (sin ( x )) ⁻¹ . ^[12] Чтобы избежать путаницы, обратная тригонометрическая функция часто обозначается префиксом « arc » (от латинского arcuscode: lat promoted to code: la ).^{[18] [19]} Например, функция, обратная синусу, обычно называетсяфункцией арксинуса и записывается как arcsin ( x ) . ^{[4] [18] [19]} Точно так же обратная гиперболическая функция обозначается префиксом « ar » (латинское āreacode: lat promoted to code: la ). ^[19] Например,функция, обратная гиперболическому синусу, обычно записывается как arsinh ( x ) . ^[19] Другие обратные специальные функции иногда имеют префикс "inv", если неоднозначность f⁻¹ следует избегать. ^{[1] [19]}

Свойства [ править ]

Поскольку функция - это особый тип бинарного отношения , многие свойства обратной функции соответствуют свойствам обратных отношений .

Уникальность [ править ]

Если обратная функция существует для данной функции f , то она уникальна. ^[20] Это следует из того, что обратная функция должна быть обратным соотношением, которое полностью определяется функцией f .

Симметрия [ править ]

Существует симметрия между функцией и ее обратной. В частности, если F является обратимой функцией с областью X и областью значений Y , то его обратная F ^-1 есть домен Y и изображение X , а обратная F ^-1 является исходной функцией F . В символах для функций f : X → Y и f ⁻¹ : Y → X , ^[20]

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$ и ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}.}$

Это утверждение является следствием импликации, что для обратимости f оно должно быть биективным. Инволютивная характер обратного может быть сжато выражена ^[21]

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f.}$

Обратный к композиции функций дается формулой ^[22]

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.}$

Обратите внимание, что порядок g и f поменялся местами; чтобы отменить f, а затем g , мы должны сначала отменить g , а затем отменить f .

Например, пусть f ( x ) = 3 x и g ( x ) = x + 5 . Тогда композиция g  ∘  f - это функция, которая сначала умножается на три, а затем добавляет пять,

${\displaystyle (g\circ f)(x)=3x+5.}$

Чтобы обратить этот процесс вспять, мы должны сначала вычесть пять, а затем разделить на три,

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(x)={\tfrac {1}{3}}(x-5).}$

Это композиция ( f ⁻¹  ∘  g ⁻¹ ) ( x ) .

Самообращение [ править ]

Если X - это множество, то функция идентичности на X является собственной обратной:

${\displaystyle {\operatorname {id} _{X}}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.}$

В целом, функция F  : X → X равна его собственной обратной, если и только если композиция е  ∘  е равно ид _X . Такая функция называется инволюцией .

Инверсии в исчислении [ править ]

Исчисление с одной переменной в первую очередь связано с функциями, которые отображают действительные числа в действительные числа. Такие функции часто определяются с помощью формул , например:

${\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}.}$

Сюръективная функция f от действительных чисел к действительным числам имеет обратную, если она взаимно однозначна. То есть график y = f ( x ) имеет для каждого возможного значения y только одно соответствующее значение x и, таким образом, проходит проверку горизонтальной линии .

В следующей таблице показаны несколько стандартных функций и их обратные:

Функция f ( x )	Обратный f  −1 ( y )	Примечания
х + а	у - а
а - х	а - у
mx	у/м	м ≠ 0
1/Икс(т.е. x −1 )	1/у(т.е. y −1 )	х ,  у ≠ 0
х 2	√ y (т.е. y 1/2 )	х ,  у ≥ 0 только
х 3	3 √ y (т.е. y 1/3 )	нет ограничений на x и y
х р	p √ y (т.е. y 1 / p )	x ,  y ≥ 0, если p четно; целое число p > 0
2 х	фунт  у	у > 0
e x	ln  y	у > 0
10 х	войти  y	у > 0
а х	войти в  у	у > 0 и а > 0
тригонометрические функции	обратные тригонометрические функции	различные ограничения (см. таблицу ниже)
гиперболические функции	обратные гиперболические функции	различные ограничения

Формула обратного [ править ]

Один из подходов к поиску формулы для f ⁻¹ , если она существует, заключается в решении уравнения y = f ( x ) относительно x . ^[23] Например, если f - функция

${\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}}$

тогда мы должны решить уравнение y = (2 x + 8) ³ относительно x :

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}}$

Таким образом, обратная функция f ⁻¹ задается формулой

${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}.}$

Иногда обратная функция не может быть выражена формулой с конечным числом членов. Например, если f - функция

${\displaystyle f(x)=x-\sin x,}$

тогда f является биекцией и, следовательно, обладает обратной функцией f ⁻¹ . Формула для этого обратного имеет бесконечное число слагаемых:

${\displaystyle f^{-1}(y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {y^{n/3}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}\right)^{n}\right).}$

График обратного [ править ]

Если f обратима, то график функции

${\displaystyle y=f^{-1}(x)}$

совпадает с графиком уравнения

${\displaystyle x=f(y).}$

Это идентично уравнению y = f ( x ), которое определяет график f , за исключением того, что роли x и y поменялись местами. Таким образом, график f ⁻¹ может быть получен из графика f путем переключения положений осей x и y . Это эквивалентно отображению графика поперек линии y = x . ^{[24] [6]}

Инверсии и производные [ править ]

Непрерывная функция F обратит на его диапазоне (изображениях) , если и только если оно либо строго увеличением или уменьшение (без локальных максимумов или минимумов ). ^{[ необходима цитата ]} Например, функция

${\displaystyle f(x)=x^{3}+x}$

обратима, поскольку производная f ′ ( x ) = 3 x ² + 1 всегда положительна.

Если функция F является дифференцируемой на интервале I и F ' ( х ) ≠ 0 для каждого х ∈ I , то обратная F ^-1 дифференцируема на F ( I ) . ^[25] Если y = f ( x ) , производная обратного дается теоремой об обратной функции ,

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{\prime }(y)={\frac {1}{f'\left(x\right)}}.}$

Используя обозначения Лейбница, формулу выше можно записать как

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}$

Этот результат следует из цепного правила (см. Статью об обратных функциях и дифференцировании ).

Теорема об обратной функции может быть обобщена на функции многих переменных. В частности, дифференцируемый многомерная функция F : R ^п → R ^п обратит в окрестностях точки р при условии, что матрица Якоби из F на р является обратимой . В этом случае якобиан f ⁻¹ в f ( p ) является матрицей, обратной якобиану f в p .

Примеры из реального мира [ править ]

• Пусть f будет функцией, которая преобразует температуру в градусах Цельсия в температуру в градусах Фаренгейта ,

${\displaystyle F=f(C)={\tfrac {9}{5}}C+32;}$

то его обратная функция преобразует градусы Фаренгейта в градусы Цельсия,

${\displaystyle C=f^{-1}(F)={\tfrac {5}{9}}(F-32),}$^[5]

поскольку

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{-1}(f(C))={}&f^{-1}\left({\tfrac {9}{5}}C+32\right)={\tfrac {5}{9}}\left(({\tfrac {9}{5}}C+32)-32\right)=C,\\&{\text{for every value of }}C,{\text{ and }}\\[6pt]f\left(f^{-1}(F)\right)={}&f\left({\tfrac {5}{9}}(F-32)\right)={\tfrac {9}{5}}\left({\tfrac {5}{9}}(F-32)\right)+32=F,\\&{\text{for every value of }}F.\end{aligned}}}$

• Предположим, f назначает каждому ребенку в семье год рождения. Обратная функция выведет, какой ребенок родился в данном году. Однако, если в семье дети родились в одном году (например, двойня или тройня и т. Д.), То выходные данные не могут быть известны, если входными данными является общий год рождения. Также, если указан год, в котором не родился ни один ребенок, имя ребенка не может быть названо. Но если каждый ребенок родился в отдельный год, и если мы ограничим внимание тремя годами, в которые родился ребенок, то у нас действительно есть обратная функция. Например,

${\displaystyle {\begin{aligned}f({\text{Allan}})&=2005,\quad &f({\text{Brad}})&=2007,\quad &f({\text{Cary}})&=2001\\f^{-1}(2005)&={\text{Allan}},\quad &f^{-1}(2007)&={\text{Brad}},\quad &f^{-1}(2001)&={\text{Cary}}\end{aligned}}}$

• Пусть R будет функцией, которая приводит к увеличению некоторой величины на x процентов, а F - функцией, вызывающей снижение на x процентов. Применительно к 100 долларам с x = 10% мы обнаруживаем, что применение первой функции, за которой следует вторая, не восстанавливает исходное значение 100 долларов, демонстрируя тот факт, что, несмотря на внешний вид, эти две функции не являются обратными друг другу.
• Формула для расчета pH раствора: pH = -log10 [H +]. Во многих случаях нам необходимо определить концентрацию кислоты на основе измерения pH. Используется обратная функция [H +] = 10 ^ -pH.

Обобщения [ править ]

Частичные инверсии [ править ]

Даже если функция F не является взаимно однозначным, то можно определить частичный обратный из F путем ограничивая область. Например, функция

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

не взаимно однозначно, так как x ² = (- x ) ² . Однако функция становится взаимно однозначной, если мы ограничимся областью x ≥ 0 , и в этом случае

${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$

(Если вместо этого мы ограничимся областью x ≤ 0 , тогда обратная величина будет отрицательной величиной квадратного корня из y .) В качестве альтернативы, нет необходимости ограничивать область, если мы довольны тем, что обратная функция является многозначной функцией :

${\displaystyle f^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}.}$

Иногда это многозначное обратное значение называется полным обратным к f , а части (такие как √ x и - √ x ) - ветвями . Наиболее важная ветвь многозначной функции (например , положительный квадратный корень) называется главной ветвью , и его значение при г называется главное значением из F ^-1 ( у ) .

Для непрерывной функции на вещественной прямой требуется одна ветвь между каждой парой локальных экстремумов . Например, функция , обратная кубической функции с локальным максимумом и локальным минимумом, имеет три ветви (см. Рисунок рядом).

Эти соображения особенно важны для определения обратных тригонометрических функций . Например, функция синуса не взаимно однозначна, поскольку

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin(x)}$

для каждого действительного x (и в более общем случае sin ( x + 2 π n ) = sin ( x ) для каждого целого числа n ). Однако синус взаимно однозначен в интервале [-π/2, π/2] , а соответствующий частичный обратный называется арксинусом . Это считается главной ветвью обратного синуса, поэтому главное значение обратного синуса всегда находится между -π/2 и π/2. В следующей таблице описана основная ветвь каждой обратной тригонометрической функции: ^[26]

функция	Диапазон обычной основной стоимости
Arcsin	-π/2≤ грех −1 ( х ) ≤π/2
arccos	0 ≤ cos −1 ( x ) ≤ π
арктан	-π/2<загар −1 ( х ) <π/2
арккот	0 <cot −1 ( x ) < π
arcsec	0 ≤ сек −1 ( x ) ≤ π
arccsc	-π/2≤ csc −1 ( x ) ≤π/2

Левый и правый обратные [ править ]

Левый и правый инверсии не обязательно одинаковы. Если g является левым обратным для f , тогда g может быть или не быть правым обратным для f ; и если g является правым обратным для f , то g не обязательно является левым обратным для f . Например, пусть f : R → [0, ∞) обозначает отображение квадрата, такое что f ( x ) = x ² для всех x в R , и пусть g : [0, ∞) → Rобозначим отображение квадратного корня такое, что g ( x ) = √ x для всех x ≥ 0 . Тогда f ( g ( x )) = x для всех x в [0, ∞) ; то есть g является правым обратным к f . Однако g не является левым обратным к f , так как, например, g ( f (−1)) = 1 ≠ −1 .

Левый обратный [ править ]

Если F : X → Y , A левый обратный для F (или втягивания из F ) является функцией г : Y → X такие , что композиция п с г слева дает функцию тождества ^{[ править ]} :

${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}.}$

То есть функция g удовлетворяет правилу

Если , то${\displaystyle f(x)=y}$${\displaystyle g(y)=x.}$

Таким образом, g должен быть равен обратному значению f на изображении f , но может принимать любые значения для элементов Y не на изображении.

Функция f инъективна тогда и только тогда, когда она имеет левый обратный или является пустой функцией. ^{[ необходима цитата ]}

Если g - левый обратный к f , то f инъективен. Если f (x) = f (y) , то .${\displaystyle g(f(x))=g(f(y))=x=y}$

Если f: X → Y инъективно, f либо пустая функция ( X = ∅ ), либо имеет левый обратный g: Y → X ( X ≠ ∅) , который можно построить следующим образом: для всех y ∈ Y , если y находится в образе f (существует x ∈ X такое, что f (x) = y ), пусть g (y) = x ( x уникален, поскольку f инъективен); в противном случае, пусть г (у) произвольный элемент X . Для всех х ∈ X , F (X)находится в образе f , поэтому g (f (x)) = x согласно вышеизложенному, поэтому g является левым обратным к f .

В классической математике каждая инъективная функция f с непустой областью обязательно имеет левую обратную; однако в конструктивной математике это может потерпеть неудачу . Например, левая инверсия включения {0,1} → R двухэлементного множества в вещественные числа нарушает неразложимость , давая втягивание вещественной прямой множеству {0,1}  . ^{[ необходима цитата ]}

Право обратное [ править ]

Правый обратный для F (или секции из F ) является функцией ч : Y → X такие , что ^{[ править ]}

${\displaystyle f\circ h=\operatorname {id} _{Y}.}$

То есть функция h удовлетворяет правилу

Если , то${\displaystyle \displaystyle h(y)=x}$${\displaystyle \displaystyle f(x)=y.}$

Таким образом, h ( y ) может быть любым из элементов X, которые отображаются в y при f .

Функция f имеет правый обратный тогда и только тогда, когда он сюръективен (хотя построение такого обратного в общем случае требует аксиомы выбора ).

Если h - правый обратный к f , то f сюръективен. Для всех есть такое что .${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x=h(y)}$${\displaystyle f(x)=f(h(y))=y}$

Если f сюръективен, у f есть правый обратный h , который можно построить следующим образом: для всех существует хотя бы один такой, что (поскольку f сюръективен), поэтому мы выбираем одно значение h (y) . ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(x)=y}$

Двусторонние перевернутые [ править ]

Обратный, который является одновременно левым и правым обратным ( двусторонний обратный ), если он существует, должен быть уникальным. Фактически, если функция имеет левый обратный и правый обратный, они обе являются одним и тем же двусторонним обратным, поэтому его можно назвать обратным .

Если есть левый обратный и правый обратный , для всех , .${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle g(y)=g(f(h(y))=h(y)}$

Функция имеет двустороннюю инверсию тогда и только тогда, когда она биективна.

Биективная функция f инъективна, поэтому у нее есть левая обратная функция (если f - пустая функция, это ее собственная левая обратная функция ). f сюръективен, поэтому имеет правый обратный. Согласно вышесказанному, левый и правый инверсии одинаковы.${\displaystyle f\colon \emptyset \to \emptyset }$

Если f имеет двусторонний обратный g , то g является левым обратным и правым обратным к f , поэтому f инъективен и сюръективен.

Прообразы [ править ]

Если f : X → Y - любая функция (не обязательно обратимая), прообраз (или прообраз ) элемента y ∈ Y - это набор всех элементов X, которые отображаются в y : ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle f^{-1}(\{y\})=\left\{x\in X:f(x)=y\right\}.}$

Прообраз у можно рассматривать как изображения от у по (многозначной) полной обратной функции F .

Аналогичным образом , если S любое подмножество из Y , прообраз S , обозначается , ^[4] представляет собой набор из всех элементов X , что отображение в S :${\displaystyle f^{-1}(S)}$

${\displaystyle f^{-1}(S)=\left\{x\in X:f(x)\in S\right\}.}$

Например, возьмем функцию f : R → R , где f : x ↦ x ² . Эта функция не является обратимой по причинам, описанным в § Пример: функции возведения в квадрат и извлечения квадратного корня . Тем не менее, прообразы могут быть определены для подмножеств кодомена:

${\displaystyle f^{-1}(\left\{1,4,9,16\right\})=\left\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\right\}}$

Прообраз одного элемента у ∈ Y - это одноэлементные множества { у }  - иногда называют волокна из у . Когда Y представляет собой множество действительных чисел, он является общим для обозначения F ^-1 ({ у }) в качестве установленного уровня .

См. Также [ править ]

• Теорема обращения Лагранжа дает разложение в ряд Тейлора обратной функции аналитической функции
• Интеграл от обратных функций
• Обратное преобразование Фурье
• Обратимые вычисления

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Бриггс, Уильям; Кокран, Лайл (2011). Исчисление / Ранняя трансцендентальная единичная переменная . Эддисон-Уэсли . ISBN 978-0-321-66414-3.
• Девлин, Кейт Дж. (2004). Множества, функции и логика / Введение в абстрактную математику (3-е изд.). Чепмен и Холл / CRC Mathematics . ISBN 978-1-58488-449-1.
• Флетчер, Питер; Пэтти, К. Уэйн (1988). Основы высшей математики . PWS-Kent. ISBN 0-87150-164-3.
• Lay, Стивен Р. (2006). Анализ / С введением в доказательство (4-е изд.). Пирсон / Прентис Холл . ISBN 978-0-13-148101-5.
• Смит, Дуглас; Эгген, Морис; Сент-Андре, Ричард (2006). Переход к высшей математике (6-е изд.). Томпсон Брукс / Коул . ISBN 978-0-534-39900-9.
• Томас-младший, Джордж Бринтон (1972). Исчисление и аналитическая геометрия. Часть 1: Функции одной переменной и аналитической геометрии (альтернативная редакция). Эддисон-Уэсли .
• Вольф, Роберт С. (1998). Доказательство, логика и гипотеза / Набор инструментов математика . ISBN WH Freeman and Co.  978-0-7167-3050-7.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Амазиго, Джон С .; Рубенфельд, Лестер А. (1980). «Неявные функции; якобианы; обратные функции». Расширенное исчисление и его приложения в инженерных и физических науках . Нью-Йорк: Вили. стр.  103 -120. ISBN 0-471-04934-4.
• Бинмор, Кен Г. (1983). «Обратные функции». Исчисление . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . С. 161–197. ISBN 0-521-28952-1.
• Спивак, Майкл (1994). Исчисление (3-е изд.). Опубликовать или погибнуть. ISBN 0-914098-89-6.
• Стюарт, Джеймс (2002). Исчисление (5 -е изд.). Брукс Коул . ISBN 978-0-534-39339-7.

Внешние ссылки [ править ]

• "Обратная функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]