Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
"Injective" перенаправляется сюда. Для инъективных модулей см. Инъективный модуль .
Функция
х ↦ е  ( х )
Примеры по домену и codomain
 Классы / свойства 
  Конструкции
  Обобщения  

В математике , инъективны функции (также известные как инъекции , или один-к-одной функции ) является функцией , которая отображает различные элементы своей области в различные элементы его области значений . [1] Другими словами, каждый элемент из области значений функции является изображение из не более одного элемента своей области. [2] Термин « функция один к одному» не следует путать с взаимно однозначным соответствием, которое относится к биективным функциям., которые являются такими функциями, что каждый элемент в кодомене является изображением ровно одного элемента в домене.

  • Инъективная несюръективная функция (инъекция, а не биекция )

  • Инъективная сюръективная функция ( биекция )

  • Неинъективная сюръективная функция ( сюръекция , а не биекция )

  • Неинъективная несюръективная функция (также не биекция )

Гомоморфизм между алгебраическими структурами является функцией , которая совместима с операциями структур. Для всех общих алгебраических структур и, в частности, для векторных пространств , инъективный гомоморфизм также называется мономорфизмом . Однако в более общем контексте теории категорий определение мономорфизма отличается от определения инъективного гомоморфизма. [3] Таким образом, это теорема, что они эквивалентны для алгебраических структур; см. Гомоморфизм § Мономорфизм для более подробной информации.

Не инъективную функцию f иногда называют "многие к одному". [2]

Определение [ править ]

Дополнительная информация об обозначениях: Функция (математика) § Обозначения

Пусть F является функцией которого домен представляет собой набор X . Функция f называется инъективной при условии, что для всех a и b в X , если f ( a ) = f ( b ) , то a = b ; то есть из f ( a ) = f ( b ) следует a = b . Эквивалентно, если a ≠ b , тоf ( a ) ≠ f ( b ) .

Символично,

что логически эквивалентно контрапозитиву ,

[4] [5]

Примеры [ править ]

  • Для любого множества X и любого подмножества S из X , на карте включение S → X (который посылает любой элемент s из S к себе) инъективна. В частности, тождественная функция X → X всегда инъективна (и фактически биективна).
  • Если область определения функции - это пустое множество , то функция - это пустая функция , которая является инъективной.
  • Если домен функции имеет один элемент (то есть это одноэлементный набор ), тогда функция всегда инъективна.
  • Функция f  : R → R, определенная формулой f ( x ) = 2 x + 1 , инъективна.
  • Функция g  : R → R, определенная как g ( x ) = x 2 , не инъективна, потому что (например) g (1) = 1 = g (−1) . Однако, если g переопределен так, что его областью определения являются неотрицательные действительные числа [0, + ∞), то g инъективен.
  • Экспоненциальная функция ехр: R → R определяется ехром ( х ) = е х инъективен (но не сюръективен , поскольку никакого реального значения не отображается в виде отрицательного числа).
  • Натуральный логарифм функция LN: (0, ∞) → R определяются й ↦ пер й инъективно.
  • Функция g  : R → R, определяемая формулой g ( x ) = x n - x , не является инъективной, поскольку, например, g (0) = g (1) = 0 .

В более общем смысле, когда X и Y являются действительной линией R , тогда инъективная функция f  : R → R - это функция , график которой никогда не пересекается ни одной горизонтальной линией более одного раза. Этот принцип называется тестом горизонтальной линии . [2]

Инъективные функции. Дный интерпретация в декартовой плоскости , определяется отображение F  : X → Y , где у = ф ( х ) , Х = область функции , Y = диапазон функции , и им ( е ) обозначает изображение из F . Каждый x в X отображается ровно на один уникальный y в Y. Части осей в кружках представляют наборы областей и диапазонов - в соответствии со стандартными диаграммами выше.
Не инъективная функция. Здесь X 1 и X 2 - это подмножества X , Y 1 и Y 2 - подмножества Y : для двух областей, где функция не является инъективной, потому что более одного элемента домена могут отображаться в один элемент диапазона. То есть, возможно более одного х в X для сопоставления же у в Y .
Делаем функции инъективными. Предыдущая функция f  : X → Y может быть сведена к одной или нескольким инъективным функциям (скажем) f  : X 1 → Y 1 и f  : X 2 → Y 2 , показанных сплошными кривыми (части исходной кривой с длинными штрихами не являются сопоставлено больше). Обратите внимание, что правило f не изменилось - только домен и диапазон. X 1 и X 2 являются подмножествами X , Y 1 и Y 2 являются подмножествамиY : для двух регионов, где начальную функцию можно сделать инъективной, чтобы один элемент домена мог отображаться в один элемент диапазона. То есть, только один х в X сопоставляется один у в Y .

Инъекции можно отменить [ править ]

Функции с обратными слева всегда являются инъекциями. То есть, дано е  : Х → Y , если существует функция г  : Y → X , что для любого х ∈ Х ,

g ( f ( x )) = x ( f можно отменить с помощью g ), тогда f инъективен. В этом случае, например , называется втягивание из F . С другой стороны , е называется раздел о г .

И наоборот, каждая инъекция f с непустой областью имеет левый обратный g , который можно определить, зафиксировав элемент a в области определения f так, чтобы g ( x ) равнялся уникальному прообразу x под f, если он существует, и g ( x ) = a в противном случае. [6]

Левый обратный г не обязательно является обратным из F , так как композиция в другом порядке, е ∘ г , может отличаться от идентичности на Y . Другими словами, инъективная функция может быть «обращена» левой обратной, но не обязательно обратимой , что требует, чтобы функция была биективной .

Инъекции можно сделать обратимыми [ править ]

Фактически, чтобы превратить инъективную функцию f  : X → Y в биективную (следовательно, обратимую ) функцию, достаточно заменить ее область значений Y ее фактическим диапазоном значений J = f ( X ) . То есть, пусть g  : X → J такой, что g ( x ) = f ( x ) для всех x в X ; тогда g биективен. В самом деле, f можно разложить на множители как inclJ , Y ∘ г , гдевключая J , Y являетсяфункцией включенияизJвY.

В более общем смысле инъективные частичные функции называются частичными биекциями .

Другие свойства [ править ]

  • Если f и g инъективны, то f ∘ g инъективно.
Композиция двух инъективных функций инъективна.
  • Если g ∘ f инъективно, то f инъективно (но g не обязательно).
  • f  : X → Y инъективно тогда и только тогда, когда для любых функций g , h  : W → X всякий раз, когда f ∘ g = f ∘ h , то g = h . Другими словами, инъективные функции - это в точности мономорфизмы в категории « Набор множеств».
  • Если F  : X → Y инъективно и является подмножеством из X , то F  -1 ( е ( )) = . Таким образом, A можно восстановить по его образу f ( A ).
  • Если f  : X → Y инъективно, а A и B являются подмножествами X , то f ( A ∩ B ) = f ( A ) ∩ f ( B ) .
  • Каждую функцию h  : W → Y можно разложить как h = f ∘ g для подходящей инъекции f и сюръекции g . Это разложение уникально с точностью до изоморфизма , и f можно рассматривать как функцию включения диапазона h ( W ) h как подмножества области Y области h .
  • Если f  : X → Y - инъективная функция, то Y имеет по крайней мере столько же элементов, сколько X , в смысле количественных чисел . В частности, если вдобавок происходит инъекция от Y до X , то X и Y имеют одинаковые кардинальные числа. (Это известно как теорема Кантора – Бернштейна – Шредера .)
  • Если оба Х и Y имеет конечные с тем же числом элементов, то F  : X → Y инъективен тогда и только тогда , когда F является сюръективным (в этом случае е является взаимно однозначным ).
  • Инъективная функция, являющаяся гомоморфизмом двух алгебраических структур, является вложением .
  • В отличие от сюръективности, которая представляет собой отношение между графиком функции и ее областью, инъективность является свойством только графика функции; то есть, является ли функция f инъективной, можно решить, рассматривая только график (а не область значений) f .

Доказательство инъективности функций [ править ]

Доказательство того, что функция f инъективна, зависит от того, как функция представлена ​​и какие свойства она имеет. Для функций, которые задаются некоторой формулой, есть основная идея. Мы используем определение инъективности, а именно, что если f ( x ) = f ( y ) , то x = y . [7]

Вот пример:

е = 2 х + 3

Доказательство: Пусть F  : X → Y . Предположим, что f ( x ) = f ( y ) . Итак, 2 x + 3 = 2 y + 3 ⇒ 2 x = 2 y ⇒ x = y . Следовательно, из определения следует инъективность f .

Есть несколько других методов доказательства инъективности функции. Например, в исчислении, если f - дифференцируемая функция, определенная на некотором интервале, тогда достаточно показать, что производная всегда положительна или всегда отрицательна на этом интервале. В линейной алгебре, если f - линейное преобразование, достаточно показать, что ядро f содержит только нулевой вектор. Если f - функция с конечным доменом, достаточно просмотреть список изображений каждого элемента домена и убедиться, что ни одно изображение не встречается дважды в списке.

Графический подход к действительнозначной функции f от действительной переменной x - это проверка горизонтальной линии . Если каждая горизонтальная линия пересекает кривую f (x) не более чем в одной точке, то f инъективна или взаимно однозначна.

См. Также [ править ]

  • Биекция, инъекция и сюръекция
  • Инъективное метрическое пространство
  • Монотонная функция
  • Однолистная функция

Примечания [ править ]

  1. ^ «Окончательный глоссарий высшего математического жаргона - один к одному» . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 7 декабря 2019 .
  2. ^ a b c «Инъективный, сюръективный и биективный» . www.mathsisfun.com . Проверено 7 декабря 2019 .
  3. ^ «Раздел 7.3 (00V5): Инъективные и сюръективные карты предварительных пучков - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 7 декабря 2019 .
  4. ^ «Биекция, инъекция и сюрприз | Блестящая вики по математике и науке» . brilliant.org . Проверено 7 декабря 2019 .
  5. ^ Фарлоу, SJ «Инъекции, сюрпризы и биологические инъекции» (PDF) . math.umaine.edu . Проверено 6 декабря 2019 .
  6. ^ В отличие от соответствующего утверждения о том, что каждая сюръективная функция имеет правый обратный, это не требует аксиомы выбора , поскольку существование a подразумевается непустотой области. Однако это утверждение может потерпеть неудачу в менее традиционной математике, такой как конструктивная математика . В конструктивной математике включение {0,1} → R двухэлементного множества в вещественные числа не может иметь левую инверсию, поскольку это нарушит неразложимость , давая ретракцию вещественной прямой на множество {0,1} .
  7. ^ Уильямс, Питер. «Доказательство функций один к одному» . Архивировано из оригинала на 4 июня 2017 года.

Ссылки [ править ]

  • Бартл, Роберт Г. (1976), Элементы реального анализа (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05464-1, п. 17 сл .
  • Халмос, Пол Р. (1974), Теория наивных множеств , Нью-Йорк: Спрингер, ISBN 978-0-387-90092-6, п. 38 сл .

Внешние ссылки [ править ]

  • Самые ранние примеры использования некоторых слов математики: статья о инъекции, сюръекции и взаимно-взаимной инъекции имеет историю инъекции и связанных с ней терминов.
  • Khan Academy - Сюръективные (на) и Инъективные (взаимно однозначные) функции: Введение в сюръективные и инъективные функции