Инъективный модуль

В математике , особенно в области абстрактной алгебры, известной как теория модулей , инъективный модуль - это модуль Q, который разделяет определенные желательные свойства с Z -модулем Q всех рациональных чисел . В частности, если Q - подмодуль какого-то другого модуля, то он уже является прямым слагаемым этого модуля; кроме того, для данного подмодуля модуля Y любой гомоморфизм модуля из этого подмодуля в Q может быть расширен до гомоморфизма из всего Yдля Q . Эта концепция является двойной к тому , что из проекционных модулей . Инъективные модули были введены в ( Baer 1940 ) и подробно обсуждаются в учебнике ( Lam 1999 , §3).

Инъективные модули были тщательно изучены, и в их терминах определено множество дополнительных понятий: Инъективные когенераторы - это инъективные модули, которые точно представляют всю категорию модулей. Инъективные разрешения измеряют, насколько далек от инъективного модуль с точки зрения инъективного измерения, и представляют модули в производной категории . Инъективные оболочки являются максимальными существенными расширениями и оказываются минимальными инъективными расширениями. Каждый инъективный модуль над нётеровым кольцом однозначно является прямой суммой неразложимыхмодули, и их структура хорошо изучена. Инъективный модуль над одним кольцом может не быть инъективным над другим, но есть хорошо изученные методы изменения колец, которые обрабатывают особые случаи. Кольца , которые сами инъективные модули имеют ряд интересных свойств и включают кольца , такие как групповые кольца из конечных групп над полями . Инъективные модули включают делимые группы и обобщаются понятием инъективных объектов в теории категорий .

Определение [ править ]

Левый модуль Q над кольцом R инъективен, если он удовлетворяет одному (а значит, всем) из следующих эквивалентных условий:

Если Q является подмодулем некоторых другого левого R - модуля M , то существует еще один подмодуль K из М такого , что М является внутренней прямой суммой из Q и К , т.е. Q + K = M и Q ∩ K = {0}.
Любая короткая точная последовательность 0 → Q → M → K → 0 левых R -модулей расщепляется .
Если X и Y - левые R -модули, f : X → Y - инъективный гомоморфизм модулей и g : X → Q - произвольный гомоморфизм модулей, то существует модульный гомоморфизм h : Y → Q такой, что hf = g , т. Е. такая, что коммутирует следующая диаграмма :

Контравариантны Хомы функтор Hom (-, Q ) из категории левого R -модулей в категории абелевых групп является точной .

Инъективные правые R -модули определяются полностью аналогично.

Примеры [ править ]

Первые примеры [ править ]

Очевидно, нулевой модуль {0} инъективен.

Учитывая поле к , каждый к - векторное пространство Q является инъективным к -модулю. Причина: если Q является подпространством V , мы можем найти базис из Q и распространить его на основе V . Новые простирающиеся базисные векторы охватывают подпространство K из V и V является внутренней прямой суммой Q и K . Отметим, что прямое дополнение K к Q не определяется однозначно посредством Q, и аналогично расширяющаяся карта h в приведенном выше определении обычно не уникальна.

Рациональные числа Q (с добавлением) образуют инъективную абелеву группу (т. Е. Инъективный Z -модуль). Фактор - группа Q / Z , и группа окружности также инъективными Z -модулями. Фактор-группа Z / n Z при n > 1 инъективна как Z / n Z -модуль, но не инъективна как абелева группа.

Коммутативные примеры [ править ]

В более общем смысле , для любой области целостности R с полем частных K , то R - модуль K является инъективным R - модуль, и действительно наименьшее инъективны R - модуль , содержащий R . Для любого дедекиндова домена , то фактор - модуль K / R инъективен, и его неразложимые слагаемые являются локализациями для ненулевого простых идеалов . Нулевой идеал является также главным и соответствует инъективному K ${\ Displaystyle R _ {\ mathfrak {p}} / R}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ . Таким образом, между простыми идеалами и неразложимыми инъективными модулями существует соответствие 1-1.

Особенно богатая теория коммутативных нётеровых колец принадлежит Эбену Матлису ( Lam 1999 , §3I). Каждый инъективный модуль однозначно представляет собой прямую сумму неразложимых инъективных модулей, а неразложимые инъективные модули однозначно идентифицируются как инъективные оболочки факторов R / P, где P изменяется по простому спектру кольца. Инъективная оболочка R / P как R -модуля канонически является R _P- модулем и является R _P -инъективной оболочкой R /P . Другими словами, достаточно рассмотреть локальные кольца . Кольцо эндоморфизмов инъективной оболочки R / P является завершение из R в P . ^[1] ${\ displaystyle {\ hat {R}} _ {P}}$

Двумя примерами являются инъективная оболочка Z -модуля Z / p Z ( группа Прюфера ) и инъективная оболочка k [ x ] -модуля k (кольцо обратных многочленов). Последнее легко описывается как k [ x , x ⁻¹ ] / xk [ x ]. Этот модуль имеет базис, состоящий из «обратных одночленов», то есть x ^{- n} для n = 0, 1, 2,…. Умножение на скаляры происходит так, как ожидалось, а умножение на x происходит нормально, за исключениемx · 1 = 0. Кольцо эндоморфизмов - это просто кольцо формальных степенных рядов .

Артинианские примеры [ править ]

Если G - конечная группа и k - поле с характеристикой 0, то в теории представлений групп показывается, что любое подпредставление данного представления уже является прямым слагаемым данного. В переводе на язык модулей это означает, что все модули над групповой алгеброй kG инъективны. Если характеристика k не равна нулю, следующий пример может помочь.

Если A - единичная ассоциативная алгебра над полем k с конечной размерностью над k , то Hom _k (-, k ) - двойственность между конечно порожденными левыми A -модулями и конечно порожденными правыми A- модулями. Следовательно, конечно порожденные инъективные левые A -модули - это в точности модули вида Hom _k ( P , k ), где P - конечно порожденный проективный правый A- модуль. Для симметрических алгебр, двойственность проявляется особенно хорошо, и проективные модули и инъективные модули совпадают.

Для любого артинового кольца , как и для коммутативных колец , существует соответствие 1-1 между первичными идеалами и неразложимыми инъективными модулями. Соответствие в этом случае, возможно, еще проще: простой идеал является аннулятором единственного простого модуля, а соответствующий неразложимый инъективный модуль является его инъективной оболочкой . Для конечномерных алгебр над полями эти инъективные оболочки являются конечно порожденными модулями ( Лам 1999 , §3G, §3J).

Вычисление инъективных оболочек [ править ]

Если является нётеровым кольцом и является первичным идеалом, устанавливается как инъективная оболочка. Инъективная оболочка над артиновым кольцом может быть вычислена как модуль . Это модуль той же длины, что и . ^[2] В частности, для стандартного градуированного кольца и , инъективный модуль, давая инструменты для вычисления неразложимых инъективных модулей для артиновых колец над . ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ Displaystyle E = E (R / {\ mathfrak {p}})}$ ${\ Displaystyle R / {\ mathfrak {p}}}$ ${\ Displaystyle R / {\ mathfrak {p}} ^ {k}}$ ${\ displaystyle (0: _ {E} {\ mathfrak {p}} ^ {k})}$ ${\ Displaystyle R / {\ mathfrak {p}} ^ {k}}$ ${\ displaystyle R _ {\ bullet} = к [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] _ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle E = \ oplus _ {i} {\ text {Hom}} (R_ {i}, k)}$ ${\ displaystyle k}$

Самоинъективность [ править ]

Локальное кольцо Артина инъективно над самим собой тогда и только тогда, когда является 1-мерным векторным пространством над . Это означает, что каждое локальное кольцо Горенштейна, которое также является Артиновым, инъективно над самим собой, поскольку имеет одномерный цоколь. ^[3] Простым не примером является кольцо с максимальным идеалом и полем вычетов . Это цоколь , который двухмерный. Поле вычетов имеет инъективную оболочку . ${\ displaystyle (R, {\ mathfrak {m}}, K)}$ ${\ Displaystyle soc (R)}$ ${\ displaystyle K}$ $R=\mathbb {C} [x,y]/(x^{2},xy,y^{2})$ $(x,y)$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C} \cdot x\oplus \mathbb {C} \cdot y$ ${\text{Hom}}_{\mathbb {C} }(\mathbb {C} \cdot x\oplus \mathbb {C} \cdot y,\mathbb {C} )$

Модули над алгебрами Ли [ править ]

Для алгебры Ли над полем характеристики 0 категория модулей имеет относительно прямое описание своих инъективных модулей. ^[4] Используя универсальную обертывающую алгебру, любой инъективный -модуль может быть построен из -модуля ${\mathfrak {g}}$ $k$ ${\mathcal {M}}({\mathfrak {g}})$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$

${\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)$

для некоторого -векторного пространства . Обратите внимание, что это векторное пространство имеет структуру -модуля из инъекции $k$ $V$ ${\mathfrak {g}}$

${\mathfrak {g}}\hookrightarrow U({\mathfrak {g}})$

Фактически, каждый -модуль имеет инъекцию в некоторый, и каждый инъективный -модуль является прямым слагаемым некоторого . ${\mathfrak {g}}$ ${\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)$ ${\mathfrak {g}}$ ${\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)$

Теория [ править ]

Структурная теорема для коммутативных нётеровых колец [ править ]

Над коммутативным нётеровым кольцом каждый инъективный модуль является прямой суммой неразложимых инъективных модулей, а каждый неразложимый инъективный модуль является инъективной оболочкой поля вычетов в простом числе . То есть для инъективного существует изоморфизм $R$ ${\mathfrak {p}}$ $I\in {\text{Mod}}(R)$

$I\cong \bigoplus _{i}E(R/{\mathfrak {p}}_{i})$

где - инъективные оболочки модулей . ^[5] Кроме того, если - инъективная оболочка некоторого модуля, то - ассоциированные простые числа модуля . ^[2] $E(R/{\mathfrak {p}}_{i})$ $R/{\mathfrak {p}}_{i}$ $I$ $M$ ${\mathfrak {p}}_{i}$ $M$

Подмодули, коэффициенты, продукты и суммы [ править ]

Любое произведение (даже бесконечного числа) инъективных модулей инъективно; наоборот, если прямое произведение модулей инъективно, то каждый модуль инъективен ( Лам 1999 , стр. 61). Всякая прямая сумма конечного числа инъективных модулей инъективна. В общем случае подмодули, фактор-модули или бесконечные прямые суммы инъективных модулей не обязательно должны быть инъективными. Каждый подмодуль каждого инъективного модуля инъективен тогда и только тогда, когда кольцо артиново полупросто ( Golan & Head 1991 , p. 152); каждый фактор-модуль каждого инъективного модуля инъективен тогда и только тогда, когда кольцо наследственно , ( Lam 1999, Чт. 3.22); каждая бесконечная прямая сумма инъективных модулей инъективна тогда и только тогда, когда кольцо нётерово , ( Lam 1999 , Th 3.46). ^[6]

Критерий Бэра [ править ]

В оригинальной статье Бэра он доказал полезный результат, обычно известный как критерий Бэра, для проверки того, является ли модуль инъективным: левый R -модуль Q инъективен тогда и только тогда, когда любой гомоморфизм g : I → Q, определенный на левом идеале I из R может быть распространено на все R .

Используя этот критерий, можно показать, что Q - инъективная абелева группа (т. Е. Инъективный модуль над Z ). В более общем смысле абелева группа инъективна тогда и только тогда, когда она делима . В более общем плане: модуль над областью главных идеалов инъективен тогда и только тогда, когда он делим (случай векторных пространств является примером этой теоремы, поскольку каждое поле является областью главных идеалов и каждое векторное пространство делимо). Что касается общей области целостности, у нас все еще есть одно значение: каждый инъективный модуль над областью целостности делим.

Критерий Бэра был усовершенствован во многих отношениях ( Голан & Head 1991 , стр. 119), в том числе в результате ( Smith , 1981 ) и ( Vamos 1983 ) , что для коммутативного нётерового кольца, достаточно рассмотреть только простые идеалы I . Двойственный критерий Бэра, который дает тест на проективность, в целом неверен. Например, Z -модуль Q удовлетворяет двойственному критерию Бэра, но не является проективным.

Инъективные когенераторы [ править ]

Может быть , самый важный инъективный модуль является абелевой группой Q / Z . Это инъективен когенератор в категории абелевых групп , что означает , что оно инъективно и любой другой модуль содержатся в достаточно большом продукте копий Q / Z . Так, в частности, каждая абелева группа является подгруппой инъективной. Примечательно, что это верно и для любого кольца: каждый модуль является подмодулем инъективного, или «в категории левых R -модулей достаточно инъективных». Чтобы доказать это, используются особые свойства абелевой группы Q / Zпостроить инъективный когенератор в категории левых R -модулей.

Для левого R -модуля M так называемый «символьный модуль» M ⁺ = Hom _Z ( M , Q / Z ) является правым R -модулем, который демонстрирует интересную двойственность не между инъективными модулями и проективными модулями , а между инъективные модули и плоские модули ( Enochs & Jenda 2001 , стр. 78–80) . Для любого кольца R левый R -модуль является плоским тогда и только тогда, когда его символьный модуль инъективен. Если R нётер слева, то левый R-модуль инъективен тогда и только тогда, когда его символьный модуль плоский.

Инъективные оболочки [ править ]

Инъективная оболочка модуля является наималейшим инъективен модулем , содержащим данные один и была описана в ( Экманном & Шопфе 1953 ) .

Можно использовать инъективные оболочки для определения минимальной инъективной резольвенты (см. Ниже). Если каждый член инъективной резольвенты является инъективной оболочкой коядра предыдущего отображения, то инъективная резольвента имеет минимальную длину.

Инъективные разрешения [ править ]

Каждый модуль M также имеет инъективную резольвенту : точную последовательность вида

0 → M → I ⁰ → I ¹ → I ² → ...

где I ^j - инъективные модули. Инъективные разрешения могут использоваться для определения производных функторов, таких как функтор Ext .

Длиной конечного инъективного разрешения является первым индексом п таким , что я ^п отличен от нуля , и я ^я = 0 для I больше , чем п . Если модуль M допускает конечную инъективную резольвенту, минимальная длина среди всех конечных инъективных резольвент M называется его инъективной размерностью и обозначается id ( M ). Если M не допускает конечной инъективной резольвенты, то по соглашению инъективная размерность называется бесконечной. ( Лам 1999 , §5C) В качестве примера рассмотрим модуль M такой, что id (M ) = 0. В этой ситуации точность последовательности 0 → M → I ₀ → 0 означает, что стрелка в центре является изоморфизмом, а значит, само M инъективно. ^[7]

Эквивалентно, инъективная размерность M - это минимальное целое число (если оно есть, в противном случае ∞) n такое, что Ext^N
_A(-, M ) = 0 для всех N > n .

Неразложимые [ править ]

Каждый инъективный подмодуль инъективного модуля является прямым слагаемым, поэтому важно понимать неразложимые инъективные модули ( Lam 1999 , §3F).

Каждый неразложимый инъективный модуль имеет локальное кольцо эндоморфизмов . Модуль называется равномерным модулем, если любые два ненулевых подмодуля имеют ненулевое пересечение. Для инъективного модуля M следующие утверждения эквивалентны:

M неразложим
M ненулевой и является инъективной оболочкой любого ненулевого подмодуля
M равномерный
M - инъективная оболочка равномерного модуля
M - инъективная оболочка равномерного циклического модуля
M имеет локальное кольцо эндоморфизмов

Над нётеровым кольцом каждый инъективный модуль является прямой суммой (однозначно определенных) неразложимых инъективных модулей. В случае коммутативного нётерова кольца это дает особенно хорошее понимание всех инъективных модулей, описанных в ( Matlis 1958 ). Неразложимые инъективные модули являются инъективные оболочки модулей R / P для р простой идеал кольца R . Кроме того, инъективная оболочка М из R / р имеет возрастающую фильтрацию с помощью модулей М _п задается аннигиляторами идеалов р ^п и М _{п + 1} /M _n изоморфен как конечномерное векторное пространство над полем частных k ( p ) R / p Hom _{R / p} ( p ⁿ / p ^{n +1} , k ( p )).

Смена колец [ править ]

Важно иметь возможность рассматривать модули над подкольцами или факторкольцами , особенно, например, с кольцами многочленов . В общем, это сложно, но известен ряд результатов ( Lam 1999 , p. 62).

Пусть S и R - кольца, а P - левый R , правый S бимодуль , плоский как левый R модуль. Для любого инъективного правого S -модуля M множество модульных гомоморфизмов Hom _S ( P , M ) является инъективным правым R -модулем. Например, если R - такое подкольцо в S , что S - плоский R -модуль, то каждый инъективный S -модуль является инъективным R-модуль. В частности, если R - область целостности, а S - его поле частных , то каждое векторное пространство над S является инъективным R -модулем. Аналогично, каждый инъективный R [ x ] -модуль является инъективным R -модулем.

Для частных колец R / I смена колец также очень очевидна. R - модуль представляет собой R / Я -модуль именно тогда , когда он аннулируется I . Подмодуль ann _I ( M ) = { m в M : im = 0 для всех i в I } является левым подмодулем левого R -модуля M и является самым большим подмодулем в M, который является R / I -модулем. Если M инъективное левое R-модуль, то ann _I ( M ) - инъективный левый R / I -модуль. Применяя это к R = Z , I = n Z и M = Q / Z , мы получаем знакомый факт, что Z / n Z инъективен как модуль над собой. Хотя инъективные R -модули легко преобразовать в инъективные R / I -модули, этот процесс не преобразует инъективные R -разрешения в инъективные R / I.-разрешения, и гомология результирующего комплекса является одной из первых и фундаментальных областей изучения относительной гомологической алгебры.

В учебнике ( Rotman 1979 , p. 103) есть ошибочное доказательство того, что локализация сохраняет инъективные объекты, но в ( Dade 1981 ) был приведен контрпример .

Самоинъективные кольца [ править ]

Каждое кольцо с единицей является свободным модулем и, следовательно, является проективным как модуль над самим собой, но кольцо реже инъективно как модуль над собой ( Lam 1999 , §3B). Если кольцо инъективно над собой как правый модуль, то оно называется самоинъективным справа кольцом . Каждая алгебра Фробениуса самоинъективна, но никакая область целостности , не являющаяся полем, не является самоинъективной. Каждый собственный фактор из дедекиндовым области самоинъективно.

Нётерово справа самоинъективное справа кольцо называется квазифробениусовым кольцом и является двусторонним артиновым и двусторонне инъективным кольцом ( Lam 1999 , Th. 15.1). Важным модульным свойством квазифробениусовских колец является то, что проективные модули являются в точности инъективными модулями.

Обобщения и специализации [ править ]

Инъективные объекты [ править ]

Также говорят об инъективных объектах в категориях, более общих, чем категории модулей, например, в категориях функторов или в категориях пучков O _X -модулей над некоторым окольцованным пространством ( X , O _X ). Используется следующее общее определение: объект Q из категории С является инъективны , если для любого мономорфизма F : X → Y в C и любого морфизма г : X → Qсуществует морфизм ч : Y → Q с ВЧ = г .

Делимые группы [ править ]

Понятие инъективного объекта в категории абелевых групп изучалось несколько независимо от инъективных модулей под термином делимая группа . Здесь Z -модуль M инъективен тогда и только тогда, когда n ⋅ M = M для любого ненулевого целого числа n . Здесь отношения между плоскими модулями , чистыми подмодулями и инъективными модулями более ясны, поскольку это просто относится к определенным свойствам делимости элементов модуля на целые числа.

Чистые инъекции [ править ]

В относительной гомологической алгебре свойство продолжения гомоморфизмов может потребоваться только для некоторых подмодулей, а не для всех. Например, чисто инъективный модуль - это модуль, в котором гомоморфизм чистого подмодуля может быть расширен на весь модуль.

Ссылки [ править ]

Заметки [ править ]

^ «Лемма 47.7.5 (08Z6) - Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 25 февраля 2020 .
^ а б Эйзенбуд. Введение в коммутативную алгебру . С. 624, 625.
^ "Инъективные модули" (PDF) . п. 10.
^ Воган, Дэвид. "Когомологии алгебры Ли" (PDF) .
^ "Строение инъективных модулей над нётеровыми кольцами" .
^ Этотеорема Басса- Паппа, см. ( Papp 1959 ) и ( Chase 1960 )
^ Модуль, изоморфный инъективному модулю, конечно, инъективен.

Учебники [ править ]

Андерсон, Фрэнк Уайли; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97845-1, получено 30 июля 2016 г.
Енохс, Эдгар Э .; Jenda, Overtoun MG (2000), Относительная гомологическая алгебра , Выставки де Грюйтера по математике, 30 , Берлин: Walter de Gruyter & Co., DOI : 10.1515 / 9783110803662 , ISBN 978-3-11-016633-0, Руководство по ремонту 1753146
Голан, Джонатан С .; Хед, Том (1991), Модули и структура колец , Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, 147 , Марсель Деккер, ISBN 978-0-8247-8555-0, Руководство по ремонту 1201818
Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, Руководство по ремонту 1653294
Ротман, Джозеф Дж. (1979), Введение в гомологическую алгебру , Чистая и прикладная математика, 85 , Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-599250-3, Руководство по ремонту 0538169

Первоисточники [ править ]

Baer, Reinhold (1940), "Абелевы группы, являющиеся прямыми слагаемыми каждой содержащей абелевой группы", Бюллетень Американского математического общества , 46 (10): 800-807, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1940-07306-9 , Руководство по ремонту 0002886 , Zbl 0024.14902
Чейз, Стивен У. (1960), "Прямые произведения модулей", Труды Американского математического общества , Труды Американского математического общества, Vol. 97, № 3, 97 (3): 457-473, DOI : 10,2307 / 1993382 , JSTOR 1993382 , МР 0120260
Дейд, Эверетт С. (1981), "Локализация инъективных модулей", журнал алгебры , 69 (2): 416-425, DOI : 10,1016 / 0021-8693 (81) 90213-1 , МР 0617087
Экманн, Б .; Шепф, А. (1953), "Убер injektive Moduln", Archiv дер Mathematik , 4 (2): 75-78, DOI : 10.1007 / BF01899665 , МР 0055978
Ламбека, Йоахим (1963), "О кольце Утого в частных" , Canadian Journal математики , 15 : 363-370, DOI : 10,4153 / CJM-1963-041-4 , ISSN 0008-414X , МР 0147509
Матлиса, Эбен (1958), "Инъективные модули над нетеровскими кольцами" , Тихоокеанский журнал математика , 8 : 511-528, DOI : 10,2140 / pjm.1958.8.511 , ISSN 0030-8730 , MR 0099360^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
Osofsky, BL (1964), "О кольцевых свойств инъективных оболочек", Канадский математический вестник , 7 : 405-413, DOI : 10,4153 / КМФ-1964-039-3 , ISSN 0008-4395 , МР 0166227
Папп, Золтан (1959), «Об алгебраически замкнутых модулях», Publicationes Mathematicae Debrecen , 6 : 311–327, ISSN 0033-3883 , MR 0121390
Смит, PF (1981), "Инъективные модули и простые идеалы", связь в алгебре , 9 (9): 989-999, DOI : 10,1080 / 00927878108822627 , MR 0614468
Утуми, Юзо (1956), "О кольцах частных", Osaka Journal of Mathematics , 8 : 1–18, ISSN 0030-6126 , MR 0078966
Vámos, P. (1983), "Идеалы и модули тестирования приемистости", Связь по алгебре , 11 (22): 2495-2505, DOI : 10,1080 / 00927878308822975 , MR 0733337

[1] «Лемма 47.7.5 (08Z6) - Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 25 февраля 2020 .

[:0-2] а б Эйзенбуд. Введение в коммутативную алгебру . С. 624, 625.

[3] "Инъективные модули" (PDF) . п. 10.

[4] Воган, Дэвид. "Когомологии алгебры Ли" (PDF) .

[5] "Строение инъективных модулей над нётеровыми кольцами" .

[6] Этотеорема Басса- Паппа, см. ( Papp 1959 ) и ( Chase 1960 )

[7] Модуль, изоморфный инъективному модулю, конечно, инъективен.