Гомоморфизм модулей

В алгебре , модуль гомоморфизм является функцией между модулями , сохраняющими модуль структур. Явно, если М и N оставляют модули над кольцом R , то функция называется R - модульный гомоморфизм или R - линейное отображение , если для любых х , у в М и г в R ,${\ displaystyle f: M \ to N}$

${\ Displaystyle е (х + у) = е (х) + е (у),}$

${\ Displaystyle f (rx) = rf (x).}$

Другими словами, f - гомоморфизм групп (для основных аддитивных групп), который коммутирует со скалярным умножением. Если M , N - правые R -модули, то второе условие заменяется на

${\ Displaystyle f (xr) = f (x) r.}$

Прообраз нулевого элемента при F называется ядро из F . Множество всех модулей гомоморфизмов из M в N обозначается . Это абелева группа (при поточечном сложении), но не обязательно модуль, если R не коммутативен .${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (M, N)}$

Состав модульных гомоморфизмов снова гомоморфизм модулей, и тождественное отображение на модуле является модульным гомоморфизмом. Таким образом, все (скажем, левые) модули вместе со всеми гомоморфизмами модулей между ними образуют категорию модулей .

Терминология [ править ]

Гомоморфизм модулей называется изоморфизмом модулей, если он допускает обратный гомоморфизм; в частности, это биекция . Наоборот, можно показать, что гомоморфизм биективных модулей является изоморфизмом; т.е. обратное - гомоморфизм модулей. В частности, гомоморфизм модулей является изоморфизмом тогда и только тогда, когда он является изоморфизмом между лежащими в основе абелевыми группами.

В теоремы изоморфизма справедливы для модулей гомоморфизмов.

Гомоморфизм модуля из модуля M в себя называется эндоморфизмом, а изоморфизм из M в себя - автоморфизмом . Пишу для множества всех эндоморфизмов между модулем М . Это не только абелева группа , но также кольцо с умножением заданной функции композиции, называется эндоморфизм кольца из М . Группа единиц этого кольца является группой автоморфизмов из М . ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M)}$

Лемма Шура утверждает, что гомоморфизм между простыми модулями (модуль без нетривиальных подмодулей ) должен быть либо нулем, либо изоморфизмом. В частности, кольцо эндоморфизмов простого модуля является телом .

На языке теории категорий инъективный гомоморфизм также называется мономорфизмом, а сюръективный гомоморфизм - эпиморфизмом .

Примеры [ править ]

• Нулевое отображение M → N , переводящее каждый элемент к нулю.
• Линейное преобразование между векторными пространствами .
• ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)}$.
• Для коммутативного кольца R и идеалов I , J существует каноническое отождествление

  ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R/J)=\{r\in R|rI\subset J\}/J}$

предоставлено . В частности, это аннуляторный из I .${\displaystyle f\mapsto f(1)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R)}$

• С учетом кольцом R и элементом г , пусть обозначают левое умножение на г . Тогда для любых х , т в R ,${\displaystyle l_{r}:R\to R}$

  ${\displaystyle l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t}$.

То есть, это верно R -линейное.${\displaystyle l_{r}}$

• Для любого кольца R ,
  • ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R}$кольцами, когда R рассматривается как правый модуль над собой. Явно этот изоморфизм задается левым регулярным представлением .${\displaystyle R{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}}$
  • Точно так же как кольца, когда R рассматривается как левый модуль над собой. В учебниках или других справочных материалах обычно указывается, какое соглашение используется.${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R^{op}}$
  • ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R,M)=M}$через для любого левого модуля М . ^[1] ( Модульная структура на Hom здесь происходит из правого R-действия на R ; см. # Модульные структуры на Hom ниже.)${\displaystyle f\mapsto f(1)}$
  • ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,R)}$называется двойственным модулем к M ; это левый модуль (соотв. справа) , если М является правым (соответственно влево) модуль над R со структурой модуля , поступающего из R -действия на R . Обозначается он .${\displaystyle M^{*}}$
• Учитывая кольцевой гомоморфизм R → S коммутативных колец и S - модуля М , в R -линейной карты & thetas: S → М называется дифференцированием , если для любых е , г в S , θ ( фг ) = е & thetas ( г ) + θ ( е ) ж .
• Если S , T - ассоциативные алгебры с единицей над кольцом R , то гомоморфизм алгебр из S в T является гомоморфизмом колец, который также является гомоморфизмом R -модулей.

Структуры модулей на Hom [ править ]

Короче говоря, Hom наследует действие кольца, которое не использовалось для образования Hom. Точнее, пусть M , N - левые R -модули. Предположим, что M имеет правое действие кольца S, которое коммутирует с R -действием; т. е. M является ( R , S ) -модулем. потом

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

имеет структуру левого S -модуля, определяемую следующим образом: для s в S и x в M ,

${\displaystyle (s\cdot f)(x)=f(xs).}$

Он определен правильно (т. Е. Является R -линейным), поскольку${\displaystyle s\cdot f}$

${\displaystyle (s\cdot f)(rx)=f(rxs)=rf(xs)=r(s\cdot f)(x),}$

и является кольцевым действием, поскольку${\displaystyle s\cdot f}$

${\displaystyle (st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)}$.

Примечание: вышеупомянутая проверка будет "неуспешной", если использовать левое R- действие вместо правого S-действия . В этом смысле часто говорят, что Hom « исчерпывает » R- действие.

Аналогично, если M - левый R -модуль, а N - ( R , S ) -модуль, то является правым S -модулем по .${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$${\displaystyle (f\cdot s)(x)=f(x)s}$

Матричное представление [ править ]

Связь между матрицами и линейными преобразованиями в линейной алгебре естественным образом обобщается на гомоморфизмы модулей между свободными модулями. А именно, для правого R -модуля U существует канонический изоморфизм абелевых групп

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(U^{\oplus n},U^{\oplus m}){\overset {f\mapsto [f_{ij}]}{\underset {\sim }{\to }}}M_{m,n}(\operatorname {End} _{R}(U))}$

полученный просмотром состоящих из векторов-столбцов и последующей записью f в виде матрицы m × n . В частности, рассматривая R как правый R -модуль и используя , мы имеем${\displaystyle U^{\oplus n}}$${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)\simeq R}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq M_{n}(R)}$,

что оказывается изоморфизмом колец (поскольку композиция соответствует умножению матриц ).

Обратите внимание, что указанный выше изоморфизм является каноническим; нет выбора. С другой стороны, если задан гомоморфизм модулей между свободными модулями конечного ранга , то выбор упорядоченного базиса соответствует выбору изоморфизма . Вышеупомянутая процедура затем дает матричное представление относительно такого выбора базисов. Для более общих модулей матричные представления могут либо не иметь уникальности, либо не существовать.${\displaystyle F\simeq R^{n}}$

Определение [ править ]

На практике часто определяют гомоморфизм модуля, задавая его значения на порождающем наборе . Точнее, пусть M и N - левые R -модули. Предположим, что подмножество S порождает M ; т. е. имеется сюръекция со свободным модулем F с базисом, индексированным S и ядром K (т. е. имеется свободное представление ). Затем дать гомоморфизм модулей - значит дать гомоморфизм модулей, который убивает K (т. Е. Переводит K в ноль).${\displaystyle F\to M}$${\displaystyle M\to N}$${\displaystyle F\to N}$

Операции [ править ]

Если и - гомоморфизмы модулей, то их прямая сумма равна${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle g:M'\to N'}$

${\displaystyle f\oplus g:M\oplus M'\to N\oplus N',\,(x,y)\mapsto (f(x),g(y))}$

и их тензорное произведение

${\displaystyle f\otimes g:M\otimes M'\to N\otimes N',\,x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y).}$

Пусть - гомоморфизм модулей между левыми модулями. Графа Γ _F из F является подмодуль M ⊕ N задается${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle \Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}}$,

который является образом гомоморфизма модулей M → M ⊕ N , x → ( x , f ( x )), называемого морфизмом графов .

Транспонирования из F является

${\displaystyle f^{*}:N^{*}\to M^{*},\,f^{*}(\alpha )=\alpha \circ f.}$

Если е есть изоморфизм, то транспонированные обратные е называются контрагредиентным из е .

Точные последовательности [ править ]

Рассмотрим последовательность гомоморфизмов модулей

${\displaystyle \cdots {\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}M_{2}{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}M_{1}{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}M_{0}{\overset {f_{0}}{\longrightarrow }}M_{-1}{\overset {f_{-1}}{\longrightarrow }}\cdots .}$

Такая последовательность называется цепным комплексом (или часто просто комплексом), если каждый состав равен нулю; то есть, или, что то же самое, образ содержится в ядре . (Если числа увеличиваются, а не уменьшаются, то это называется коцепным комплексом, например комплексом де Рама .) Цепной комплекс называется точной последовательностью, если . Частным случаем точной последовательности является короткая точная последовательность:${\displaystyle f_{i}\circ f_{i+1}=0}$${\displaystyle f_{i+1}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle \operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i})}$

${\displaystyle 0\to A{\overset {f}{\to }}B{\overset {g}{\to }}C\to 0}$

где инъективно, ядро является образом и сюръективно.${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

Любой гомоморфизм модулей определяет точную последовательность${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle 0\to K\to M{\overset {f}{\to }}N\to C\to 0,}$

где - ядро , а - коядро, то есть частное по образу .${\displaystyle K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f}$

В случае модулей над коммутативным кольцом последовательность точна тогда и только тогда, когда она точна на всех максимальных идеалах ; это все последовательности

${\displaystyle 0\to A_{\mathfrak {m}}{\overset {f}{\to }}B_{\mathfrak {m}}{\overset {g}{\to }}C_{\mathfrak {m}}\to 0}$

точны, где нижний индекс означает локализацию на максимальном идеале .${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Если являются гомоморфизмами модулей, то говорят, что они образуют квадратный слой (или обратный квадрат ), обозначаемый M × _B N , если он укладывается в${\displaystyle f:M\to B,g:N\to B}$

${\displaystyle 0\to M\times _{B}N\to M\times N{\overset {\phi }{\to }}B\to 0}$

где .${\displaystyle \phi (x,y)=f(x)-g(x)}$

Пример: Пусть - коммутативные кольца, и пусть I - аннулятор факторного B -модуля A / B (который является идеалом A ). Тогда канонические отображения образуют расслоенный квадрат с${\displaystyle B\subset A}$${\displaystyle A\to A/I,B/I\to A/I}$${\displaystyle B=A\times _{A/I}B/I.}$

Эндоморфизмы конечно порожденных модулей [ править ]

Пусть эндоморфизм между конечно порожденных R - модулями для коммутативного кольца R . потом${\displaystyle \phi :M\to M}$

• ${\displaystyle \phi }$убивается своим характеристическим многочленом относительно образующих M ; см . лемму Накаямы # Доказательство .
• Если сюръективно, то инъективно. ^[2]${\displaystyle \phi }$

См. Также: Фактор Эрбрана (который может быть определен для любого эндоморфизма с некоторыми условиями конечности).

Вариант: аддитивные отношения [ править ]

Добавка соотношение из модуля М к модулю N является подмодулем ^[3] Другими словами, это « многозначным » гомоморфизм , определенным на некотором подмодуле М . Обратным к f является подмодуль . Любое аддитивное отношение f определяет гомоморфизм подмодуля M в фактор N${\displaystyle M\to N}$${\displaystyle M\oplus N.}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle \{(y,x)|(x,y)\in f\}}$

${\displaystyle D(f)\to N/\{y|(0,y)\in f\}}$

где состоит из всех элементов х в М такое , что ( х , у ) принадлежит F для некоторых у в N .${\displaystyle D(f)}$

Нарушение , возникающее из спектральной последовательности является примером аддитивной связи.

См. Также [ править ]

• Конус отображения (гомологическая алгебра)
• Нормальная форма Смита
• Цепной комплекс
• Сопряжение

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бурбаки, Алгебра ^{[ требуется полная ссылка ]}
• С. Маклейн, Гомология ^{[ требуется полная ссылка ]}
• Х. Мацумура, Коммутативная теория колец. Перевод с японского М. Рейда. Второе издание. Кембриджские исследования по высшей математике, 8.