Мономорфизм

В контексте абстрактной алгебры или универсальной алгебры , А мономорфизм является инъективен гомоморфизмом . Мономорфизм из X в Y часто обозначается обозначениями .${\ Displaystyle X \ hookrightarrow Y}$

В более общей постановке в теории категорий , -мономорфизм (также называемый унитарным морфизмом или моно ) является левым сокращений морфизма . То есть стрелка f  : X → Y такая, что для всех объектов Z и всех морфизмов g ₁ , g ₂ : Z → X ,

${\ displaystyle f \ circ g_ {1} = f \ circ g_ {2} \ подразумевает g_ {1} = g_ {2}.}$

Мономорфизмы - это категорическое обобщение инъективных функций (также называемых «взаимно однозначными функциями»); в некоторых категориях понятия совпадают, но мономорфизмы более общие, как в примерах ниже .

Категоричен двойной мономорфизма является эпиморфизмом , то есть мономорфизм в категории С эпиморфно в двойственной категории C ^цит . Каждое сечение является мономорфизмом, а каждая ретракция - эпиморфизмом.

Отношение к обратимости [ править ]

Обратимые слева морфизмы обязательно моничны: если l - левый обратный к f (что означает, что l - морфизм и ), то f моничен, поскольку${\ displaystyle l \ circ f = \ operatorname {id} _ {X}}$

${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow l\circ f\circ g_{1}=l\circ f\circ g_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.}$

Обратимый слева морфизм называется расщепленным моно или сечением .

Однако мономорфизм не обязательно должен быть обратимым слева. Например, в категории Группа всех групп и гомоморфизмов групп среди них, если H - подгруппа группы G, то включение f  : H → G всегда является мономорфизмом; но е имеет левый обратный в категории тогда и только тогда , когда H имеет нормальное дополнение в G .

Морфизм f  : X → Y является моническим тогда и только тогда, когда индуцированное отображение f _∗  : Hom ( Z , X ) → Hom ( Z , Y ) , определенное формулой f _∗ ( h ) = f ∘ h для всех морфизмов h  : Z → X , является инъективны для всех объектов Z .

Примеры [ править ]

Каждый морфизм в конкретной категории , основная функция которого инъективна, является мономорфизмом; другими словами, если морфизмы на самом деле являются функциями между множествами, то любой морфизм, который является взаимно однозначной функцией, обязательно будет мономорфизмом в категориальном смысле. В категории множеств верно и обратное, так что мономорфизмы - это в точности инъективные морфизмы. Обратное также верно в большинстве естественно встречающихся категорий алгебр из-за существования свободного объекта на одном образующем. В частности, это верно для категорий всех групп, всех колец и любой абелевой категории .

Однако в целом неверно, что все мономорфизмы должны быть инъективными в других категориях; то есть, есть настройки, в которых морфизмы являются функциями между множествами, но можно иметь функцию, которая не является инъективной, но все же является мономорфизмом в категориальном смысле. Например, в категории Div из неделимых (абелевых) групп и гомоморфизмов между ними есть мономорфизмы, которые не инъективны: рассмотрит, например, фактор - отображение д  : Q → Q / Z , где Q является полем рациональных чисел по сложению, Z - целые числа (также рассматриваемые как сложенная группа), а Q/ Z - соответствующая фактор-группа . Это не инъективное отображение, так как, например, каждое целое число отображается в 0. Тем не менее, это мономорфизм в этой категории. Это следует из импликации q ∘ h = 0 ⇒ h = 0 , которую мы сейчас докажем. Если ч  : G → Q , где G некоторая делимая группа, и д ∘ ч = 0 , то ч ( х ) ∈ Z , ∀ х ∈ G . Теперь зафиксируем некоторый x ∈ G. Без ограничения общности можно считать, что h ( x ) ≥ 0 (в противном случае выберите - x ). Тогда, полагая n = h ( x ) + 1 , поскольку G - делимая группа, существует некоторый y ∈ G такой, что x = ny , поэтому h ( x ) = n h ( y ) . Отсюда и 0 ≤ h ( x ) < h ( x ) + 1 = n, следует, что

${\displaystyle 0\leq {\frac {h(x)}{h(x)+1}}=h(y)<1}$

Так как ч ( у ) ∈ Z , то отсюда следует , что ч ( у ) = 0 , и , следовательно , ч ( х ) = 0 = ч (- х ), ∀ х ∈ G . Это говорит о том, что h = 0 , что и нужно.

Чтобы перейти от этой импликации к тому, что q является мономорфизмом, предположим, что q ∘ f = q ∘ g для некоторых морфизмов f , g  : G → Q , где G - некоторая делимая группа. Тогда q ∘ ( f - g ) = 0 , где ( f - g ): x ↦ f ( x ) - g ( x ) . (Поскольку ( f - g) (0) = 0 и ( f - g ) ( x + y ) = ( f - g ) ( x ) + ( f - g ) ( y ) , то ( f - g ) ∈ Hom ( G , Q ) ). Из только что доказанной импликации q ∘ ( f - g ) = 0 ⇒ f - g = 0 ⇔ ∀ x ∈ G , f ( x ) =д ( х ) ⇔ е = д . Следовательно, q - мономорфизм, как утверждается.

Свойства [ править ]

• В топосе каждое моно является эквалайзером, а любое отображение, которое одновременно является моническим и эпическим, является изоморфизмом .
• Каждый изоморфизм моничен.

Понятия, связанные с данным [ править ]

Есть также полезные понятия регулярного мономорфизма , экстремального мономорфизма , непосредственного мономорфизма , сильного мономорфизма и расщепляемого мономорфизма .

• Мономорфизм называется регулярным, если он является уравнителем некоторой пары параллельных морфизмов.
• Мономорфизм называется экстремальным ^[1], если в каждом представлении , где - эпиморфизм, морфизм автоматически является изоморфизмом .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu =\varphi \circ \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$
• Мономорфизм называется непосредственным, если в каждом представлении , где - мономорфизм и является эпиморфизмом, морфизм автоматически является изоморфизмом .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu =\mu '\circ \varepsilon }$${\displaystyle \mu '}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$
• Мономорфизм называется сильным ^{[1] [2],} если для любого эпиморфизма и любых морфизмов и таких , что существует такой морфизм , что и .${\displaystyle \mu :C\to D}$${\displaystyle \varepsilon :A\to B}$${\displaystyle \alpha :A\to C}$${\displaystyle \beta :B\to D}$${\displaystyle \beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha }$${\displaystyle \delta :B\to C}$${\displaystyle \delta \circ \varepsilon =\alpha }$${\displaystyle \mu \circ \delta =\beta }$
• Мономорфизм называется расщепляемым, если существует такой морфизм , что (в этом случае называется левосторонним обратным для ).${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon \circ \mu =1}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \mu }$

Терминология [ править ]

Сопутствующие термины мономорфизм и эпиморфизм были первоначально введены Николя Бурбаки ; Бурбаки использует мономорфизм как сокращение для инъективной функции. Ранние теоретики категорий полагали, что правильным обобщением инъективности в контексте категорий было свойство отмены, данное выше. Хотя это не совсем верно для монических отображений, это очень близко, так что это вызвало небольшие проблемы, в отличие от случая эпиморфизмов. Сондерс Мак Лейн попытался провести различие между тем, что он называл мономорфизмами , то есть отображениями в конкретной категории, лежащие в основе которых отображения множеств инъективны, и моническими отображениями., которые являются мономорфизмами в категоричном смысле слова. Это различие никогда не вошло в обиход.

Другое название мономорфизма - расширение , хотя оно имеет и другие применения.

См. Также [ править ]

• Встраивание
• Узловое разложение
• Подобъект

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бергман, Джордж (2015). Приглашение к общей алгебре и универсальным конструкциям . Springer. ISBN 978-3-319-11478-1.CS1 maint: ref=harv (link)
• Борсё, Фрэнсис (1994). Справочник по категориальной алгебре. Том 1: Основная теория категорий . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521061193.CS1 maint: ref=harv (link)
• "Мономорфизм" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Ван Остен, Яап (1995). Основная теория категорий (PDF) . БРИКС, факультет компьютерных наук, Орхусский университет. ISSN  1395-2048 .CS1 maint: ref=harv (link)
• Цаленко М.С. Шульгейфер, EG (1974). Основы теории категорий . Наука. ISBN 5-02-014427-4.CS1 maint: ref=harv (link)

Внешние ссылки [ править ]

• мономорфизм в nLab
• Сильный мономорфизм в nLab