Раздел (теория категорий)

f - это ретракция g . g - часть f .

В теории категорий , разделе математики , раздел - это правая инверсия некоторого морфизма . Соответственно , ретракция - это левая инверсия некоторого морфизма . Другими словами, если f  : X → Y и g  : Y → X - морфизмы, композиция f o g  : Y → Y - тождественный морфизм на Y , то g- это сечение f , а f - ретракция g . ^[1]

Каждое сечение является мономорфизмом (каждый морфизм с левым обратным является лево- сокращающим), и каждое ретракция является эпиморфизмом (каждый морфизм с правым обратным является право-сокращающим ).

В алгебре сечения также называются расщепляемыми мономорфизмами, а ретракции также называются расщепленными эпиморфизмами . В абелевой категории , если F  : X → Y является расщепляющим эпиморфизмом с раздельным мономорфизма г  : Y → X , то Х является изоморфно на прямую сумму из Y и ядро из F . Синоним коректракции для раздела иногда встречается в литературе, но редко в недавних работах.

Терминология [ править ]

Понятие ретракции в теории категорий происходит от по существу аналогичного понятия ретракции в топологии : где - подпространство, является ретракцией в топологическом смысле, если это ретракция карты включения в смысле теории категорий. Концепция топологии была определена Каролем Борсуком в 1931 году ^[2].${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle i: Y \ hookrightarrow X}$

Ученик Борсука, Самуэль Эйленберг , вместе с Сондерсом Мак Лейном был основателем теории категорий, и, поскольку самые ранние публикации по теории категорий касались различных топологических пространств, можно было ожидать, что этот термин будет первоначально использован. Фактически, в их более ранних публикациях, вплоть, например, до « Гомологии Мак-Лейна» (Mac Lane, 1963) , использовался термин «правая обратная». Только в 1965 году, когда Эйленберг и Джон Коулман Мур придумали двойной термин «корретракция», термин Борсука был перенесен в теорию категорий в целом. ^[3] К концу 1960-х годов термин «сокращение» уступил место термину «секция».

Как использование левого / правого инверсии, так и сечение / ретракция обычно встречаются в литературе: первое использование имеет то преимущество, что знакомо из теории полугрупп и моноидов ; последнее считается некоторыми менее запутанным, потому что не нужно думать о том, «каким путем» идет композиция, - проблема, которая стала более острой с ростом популярности синонима f; g для g∘f . ^[4]

Примеры [ править ]

В категории множеств каждый мономорфизм ( инъективная функция ) с непустой областью определения является сечением, а каждый эпиморфизм ( сюръективная функция ) является ретракцией; последнее утверждение эквивалентно избранной аксиоме .

В категории векторных пространств над полем K каждый мономорфизм и каждый эпиморфизм расщепляются; это следует из того факта, что линейные карты можно однозначно определить, задав их значения на основе .

В категории абелевых групп эпиморфизм Z → Z / 2 Z, переводящий каждое целое число в его остаток по модулю 2 , не расщепляется; фактически единственный морфизм Z / 2 Z → Z - это нулевое отображение . Аналогичным образом , естественный мономорфизм Z / 2 Z → Z / 4 Z не расщепляется , даже если существует ненулевая морфизм Z / 4 Z → Z / 2 Z .

Категорический концепция раздела имеет важное значение в гомологической алгебре , а также тесно связан с понятием секции о наличии расслоения в топологии : в последнем случае сечение расслоения является сечением проекции пучка карты пучок волокон.

Учитывая фактор-пространство с фактор-отображением , сечение называется трансверсалью .${\ displaystyle {\ bar {X}}}$${\ displaystyle \ pi \ двоеточие X \ to {\ bar {X}}}$${\ displaystyle \ pi}$

Библиография [ править ]

• Мак-Лейн, Сондерс (1978). Категории для работающего математика (2-е изд.). Springer Verlag .
• Барри, Митчелл (1965). Теория категорий . Академическая пресса .

См. Также [ править ]

• Лемма о расщеплении
• Обратная функция # Влево и вправо инвертируют
• Трансверсаль (комбинаторика)

Примечания [ править ]