Дуал (теория категорий)

В теории категорий , одном из разделов математики , двойственность - это соответствие между свойствами категории C и двойственными свойствами противоположной категории C ^op . Учитывая утверждение относительно категории C , путем замены источника и цели каждого морфизма, а также изменения порядка составления двух морфизмов, соответствующее двойственное утверждение получается относительно противоположной категории C ^op. Двойственность как таковая - это утверждение, что истина инвариантна относительно этой операции над утверждениями. Другими словами, если утверждение верно относительно C , то его двойственное утверждение верно относительно C ^op . Кроме того, если утверждение о C ложно , то его двойственное утверждение должно быть ложным относительно C ^op .

Для конкретной категории C часто бывает, что противоположная категория C ^op сама по себе является абстрактной. C ^op не обязательно должна быть категорией, возникающей из математической практики. В этом случае другая категория D также называют в двойственности с С , если D и C ^оп являются эквивалентными как категории .

В случае, когда C и его противоположность C ^op эквивалентны, такая категория самодуальна. ^[1]

Формальное определение [ править ]

Мы определяем элементарный язык теории категорий как двухсортированный язык первого порядка с объектами и морфизмами как отдельными видами, вместе с отношениями объекта, являющегося источником или целью морфизма и символом для составления двух морфизмов.

Пусть σ - любое утверждение на этом языке. Сформируем двойственное σ ^op следующим образом:

1. Поменяйте местами каждое вхождение слова «источник» в σ и «цель».
2. Поменяйте местами порядок составления морфизмов. То есть, заменить каждое вхождение с${\ displaystyle g \ circ f}$${\ displaystyle f \ circ g}$

Неформально эти условия утверждают, что дуальное к утверждению образуется перевернутыми стрелками и композициями .

Двойственность - это наблюдение, что σ истинно для некоторой категории C тогда и только тогда, когда σ ^op истинно для C ^op . ^{[2] [3]}

Примеры [ править ]

• Морфизм является мономорфизмом, если влечет . Выполнение двойной работы, мы получаем утверждение , что подразумевает для морфизма , это именно то , что это значит для F быть эпиморфизмом . Короче говоря, свойство быть мономорфизмом двойственно свойству быть эпиморфизмом.${\ displaystyle f \ двоеточие от A \ до B}$${\ Displaystyle е \ сирк г = е \ сирк ч}$${\ displaystyle g = h}$${\ Displaystyle г \ CIRC F = H \ CIRC F}$${\ displaystyle g = h.}$${\ displaystyle f \ двоеточие B \ to A}$

Применяя двойственность, это означает, что морфизм в некоторой категории C является мономорфизмом тогда и только тогда, когда обратный морфизм в противоположной категории C ^op является эпиморфизмом.

• Примером может служить изменение направления неравенства в частичном порядке . Итак, если X - множество и ≤ отношение частичного порядка, мы можем определить новое отношение частичного порядка ≤ _{новое с} помощью

x ≤ _new y тогда и только тогда, когда y ≤ x .

Этот пример с заказами является особым случаем, поскольку частичные заказы соответствуют определенному типу категории, в которой Hom ( A , B ) может иметь не более одного элемента. В приложениях к логике это выглядит как очень общее описание отрицания (то есть доказательства идут в противоположном направлении). Например, если мы возьмем противоположность решетки , мы обнаружим, что роли встреч и соединений меняются местами. Это абстрактная форма законов Де Моргана или двойственности применительно к решеткам.

• Пределы и копределы - понятия двойственные.
• Слоения и кофибрации являются примерами двойственных понятий в алгебраической топологии и теории гомотопий . В этом контексте двойственность часто называют двойственностью Экмана – Хилтона .

См. Также [ править ]

• Двойной объект
• Двойственность (математика)
• Противоположная категория
• Присоединенный функтор

Ссылки [ править ]

• «Двойная категория» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• "Принцип двойственности" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Двойственность» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Мак-Лейн, Сондерс (1978). Категории для рабочего математика (второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. п. 33. ISBN 1441931236. OCLC  851741862 .
• Awodey, Стив (2010). Теория категорий (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. С. 53–55. ISBN 978-0199237180. OCLC  740446073 .