Двойственность (математика)

В математике , А двойственность переводит понятия, теорему или математические структуры в другие понятия, теорему или структуры, в моде один-к-одному, часто (но не всегда) с помощью инволюции операции: если сопряженное А это В , то сопряженное B является . Такие инволюции иногда имеют неподвижные точки , так что двойственным к A является сам A. Например, теорема Дезарг является автодуальной в этом смысле под стандартной двойственностью в проективной геометрии .

В математическом контексте двойственность имеет множество значений. ^[1] Он был описан как «очень распространенная и важная концепция в (современной) математике» ^[2] и «важная общая тема, которая проявляется почти во всех областях математики». ^[3]

Многие математические двойственности между объектами двух типов соответствуют парам , билинейные функции от объекта одного типа и другого объекта второго типа к некоторому семейству скаляров. Например, двойственность линейной алгебры соответствует таким образом билинейным отображениям из пар векторных пространств в скаляры, двойственность между распределениями и ассоциированными тестовыми функциями соответствует спариванию, в котором одно интегрирует распределение по тестовой функции, а двойственность Пуанкаре соответствует аналогичным образом. к числу пересечения , рассматриваемому как спаривание подмногообразий данного многообразия. ^[4]

С точки зрения теории категорий двойственность также можно рассматривать как функтор , по крайней мере, в области векторных пространств. Этот функтор сопоставляет каждому пространству его двойственное пространство, а конструкция обратного отсчета сопоставляет каждой стрелке f : V → W ее двойственное f ^∗ : W ^∗ → V ^∗ .

Вводные примеры [ править ]

По словам Майкла Атьи ,

Двойственность в математике - это не теорема, а «принцип». ^[5]

Следующий список примеров показывает общие черты многих дуальностей, но также указывает, что точное значение двойственности может варьироваться от случая к случаю.

Дополнение подмножества [ править ]

Простой, может быть, самый простой, двойственность возникает из рассмотрения подмножеств фиксированного набора S . Для любого подмножества ⊆ S , то дополнением ^{с [6]} состоит из всех этих элементов в S , которые не содержатся в A . Это снова подмножество S . Принятие дополнения имеет следующие свойства:

• Применяя его дважды возвращает исходный набор, то есть ( ^с ) ^с = A . Об этом говорят, говоря, что операция взятия дополнения является инволюцией .
• Включение множеств A ⊆ B превращается во включение в противоположном направлении B ^c ⊆ A ^c .
• Для двух подмножеств A и B в S , A содержится в B ^c тогда и только тогда, когда B содержится в A ^c .

Эта двойственность проявляется в топологии как двойственность между открытыми и замкнутыми подмножествами некоторого фиксированного топологического пространства X : подмножество U в X замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение в X открыто. По этой причине многие теоремы о замкнутых множествах двойственны теоремам об открытых множествах. Например, любое объединение открытых множеств открыто, поэтому двойственно любое пересечение замкнутых множеств замкнуто. Интерьер множества является крупнейшим открытое множество , содержащееся в нем, и замыкание множества наименьшее замкнутое множество, содержащее его. В силу двойственности дополнение к внутренности любого множества Uравно замыканию дополнения U .

Двойной конус [ править ]

Двойственность геометрии обеспечивается конструкцией двойного конуса . Учитывая набор точек на плоскости (или, в более общем смысле, точек на ), двойственный конус определяется как набор, состоящий из тех точек, которые удовлетворяют${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle С ^ {*} \ substeq \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2})}$

${\ Displaystyle x_ {1} c_ {1} + x_ {2} c_ {2} \ geq 0}$

для всех точек в , как показано на диаграмме. В отличие от упомянутого выше дополнения множеств, в общем случае неверно, что двойное применение конструкции двойного конуса возвращает исходный набор . Вместо этого это наименьший конус ^[7], содержащий, который может быть больше чем . Следовательно, эта двойственность слабее, чем описанная выше, в том смысле, что${\ displaystyle (c_ {1}, c_ {2})}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C ^ {**}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$

• Применяя операцию дважды дает назад , возможно , больший набор: для всех , содержится в . (Для некоторых , а именно для конусов, они фактически равны.)${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C ^ {**}}$${\ displaystyle C}$

Два других свойства переносятся без изменений:

• По-прежнему верно, что включение превращается во включение в обратном направлении ( ).${\ Displaystyle C \ substeq D}$${\ Displaystyle D ^ {*} \ substeq C ^ {*}}$
• Для данных двух подмножеств и плоскости содержится в тогда и только тогда, когда содержится в .${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D ^ {*}}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle C ^ {*}}$

Двойное векторное пространство [ править ]

Очень важный пример двойственности возникает в линейной алгебре, когда любому векторному пространству V соответствует его двойственное векторное пространство V ^* . Его элементами являются линейные функционалы , где k - поле, над которым определено V. Три свойства двойственного конуса переносятся на этот тип двойственности путем замены подмножеств на векторное пространство и включения таких подмножеств линейными отображениями. То есть:${\ displaystyle \ varphi: от V \ до k}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

• Применение операции двойного векторного пространства дважды дает другое векторное пространство V ^** . Всегда есть отображение V → V ^** . Для некоторого V , а именно для конечномерных векторных пространств , это отображение является изоморфизмом .
• Линейное отображение V → W порождает отображение в противоположном направлении ( W ^* → V ^* ).
• Для двух векторных пространств V и W отображения из V в W ^* соответствуют отображениям из W в V ^* .

Особенностью этой двойственности является то, что V и V ^* изоморфны для некоторых объектов, а именно для конечномерных векторных пространств. Однако, это в некотором смысле повезло совпадение, для предоставления такого изоморфизма требует определенного выбора, например , на выборе основы из V . Это также верно и в том случае , если V является гильбертово пространство , с помощью по теореме Рисса .

Теория Галуа [ править ]

Во всех дуальностях, обсуждавшихся ранее, двойственность объекта имеет тот же вид, что и сам объект. Например, двойственное векторное пространство снова является векторным пространством. Многие утверждения дуальности не относятся к этому типу. Напротив, такие двойственности обнаруживают тесную связь между объектами, казалось бы, разной природы. Один из примеров такой более общей двойственности взят из теории Галуа . При фиксированном расширения Галуа К / F , можно ассоциировать группы Галуа Gal ( К / Е ) для любого промежуточного поля Е (то есть F ⊆ E ⊆ K ). Эта группа является подгруппой группы Галуа G= Гал ( K / F ) . С другой стороны , для любой такой подгруппы H ⊆ G есть фиксированное поле К ^Н , состоящий из элементов , закрепленных элементов в H .

По сравнению с вышеизложенным, эта двойственность имеет следующие особенности:

• Расширение F ⊆ F ′ промежуточных полей приводит к включению групп Галуа в противоположном направлении: Gal ( K / F ′) ⊆ Gal ( K / F ) .
• Связывание Gal ( K / E ) с E и K ^H с H обратны друг другу. Это содержание основной теоремы теории Галуа .

Двойственности, меняющие порядок [ править ]

Учитывая ч.у.м. Р = ( X , ≤) (сокращенно частично упорядоченного множества, то есть набор , который имеет понятие упорядочения , но в котором два элемента не обязательно могут быть расположены в порядке по отношению друг к другу), то двойное ч.у.м. Р ^д = ( X , ≥) состоит из того же основного множества, но с обратным соотношением . Знакомые примеры двойных частичных порядков включают:

• подмножество и SUPERSET отношение ⊂ и ⊃ на любой совокупности множеств, такие как подмножества фиксированного множества S . Это дает начало первому примеру упомянутой выше двойственности .
• на водоразделы и множественным из соотношений на целых .
• отношения потомков и предков на множестве людей.

Двойственности преобразования является инволютивно антиавтоморфизм е из частично упорядоченного множества S , то есть, порядка реверсирования инволюции е  : S → S . ^{[8] [9]} В некоторых важных случаях эти простые свойства определяют преобразование однозначно с точностью до некоторых простых симметрий. Например, если F ₁ , F ₂ два двойственность преобразования , то их состав представляет собой порядок автоморфизм из S; таким образом, любые два преобразования двойственности отличаются только порядковым автоморфизмом. Например, все автоморфизмы порядка а мощности установлены S = 2 ^R индуцируются перестановками R .

Понятие, определенное для частичного порядка P, будет соответствовать двойственному понятию на дуальном множестве P ^d . Например, минимальный элемент из Р будет максимальный элемент из Р ^д : минимальности и максимальности двойственные понятия в теории порядка. Другие пары двойственных понятий - это верхняя и нижняя границы , нижние множества и верхние множества , а также идеалы и фильтры .

В топологии открытые множества и замкнутые множества являются двойственными понятиями: дополнение открытого множества замкнуто, и наоборот. В теории матроидов семейство множеств, дополняющих независимые множества данного матроида, образует еще один матроид, называемый двойственным матроидом .

Двойственности, меняющие измерения [ править ]

Существует множество различных, но взаимосвязанных дуальностей, в которых геометрические или топологические объекты соответствуют другим объектам того же типа, но с изменением размеров характеристик объектов. Классическим примером этого является двойственность платоновых тел , в которой куб и октаэдр образуют дуальную пару, додекаэдр и икосаэдр образуют дуальную пару, а тетраэдр самодвойственен. Двойственный многогранник любых из этих многогранников может быть сформирован как выпуклая оболочка из центральных точек каждой грани многогранника первичного, так что вершиныдвойственного соответствуют один к одному с гранями первичного. Точно так же каждое ребро дуального соответствует ребру простого, а каждая грань дуального соответствует вершине простого. Эти соответствия сохраняют инцидентность: если две части прямого многогранника касаются друг друга, то же самое происходит и с соответствующими двумя частями двойственного многогранника . В более общем смысле, используя концепцию полярного взаимного обращения , любой выпуклый многогранник или, в более общем смысле, любой выпуклый многогранник соответствует двойственному многограннику или двойственному многограннику с i- мерным признаком n -мерного многогранника, соответствующего ( n -i - 1) -мерная особенность двойственного многогранника. Природа двойственности, сохраняющая инцидентность, отражается в том факте, что решетки граней прямого и двойственного многогранников или многогранников сами по себе являются дуальными по теории порядка . Двойственность многогранников и двойственность теории порядка являются инволюциями : двойственный многогранник двойственного многогранника к любому многограннику является исходным многогранником, и, дважды обращая все отношения порядка, возвращается к исходному порядку. Выбор другого центра полярности приводит к геометрически различным двойственным многогранникам, но все они имеют одинаковую комбинаторную структуру.

Из любого трехмерного многогранника можно составить планарный граф , граф его вершин и ребер. Двойственный многогранник имеет двойственный граф , граф с одной вершиной на каждую грань многогранника и с одним ребром на каждые две смежные грани. Та же концепция двойственности плоских графов может быть обобщена на графы, которые нарисованы на плоскости, но которые не происходят из трехмерного многогранника, или, в более общем смысле, на вложения графов на поверхности более высокого рода: можно нарисовать двойственный граф, поместив одна вершина в каждой области, ограниченная циклом ребер при встраивании, и рисование ребра, соединяющего любые две области, которые имеют общее граничное ребро. Важным примером этого типа является вычислительная геометрия.: Двойственность для любого конечного множества S точек в плоскости между триангуляции Делоне из S и диаграммы Вороного из S . Как и в случае двойственных многогранников и двойственных многогранников, двойственность графов на поверхностях является инволюцией, обращающей размерность: каждая вершина в прямом вложенном графе соответствует области двойного вложения, каждое ребро в прямом пересекает ребро в двойственном , и каждая область прямого соответствует вершине дуального. Двойственный граф зависит от того, как вложен прямой граф: разные плоские вложения одного графа могут привести к разным двойным графам. Двойственность матроидовявляется алгебраическим расширением двойственности плоского графа в том смысле, что двойственный матроид графического матроида плоского графа изоморфен графическому матроиду двойственного графа.

В теории оптимизации также встречается своего рода геометрическая двойственность , но не та, которая меняет размер на противоположную. Линейная программа может быть определена с помощью системы действительных переменных (координат для точки в евклидове пространства ), системы линейных ограничений ( с указанием , что точка лежит в полупространстве ; пересечение этих полупространство является выпуклым многогранник, допустимое область программы) и линейная функция (что оптимизировать). Каждая линейная программа имеет двойную задачу с одним и тем же оптимальным решением, но переменные в двойственной задаче соответствуют ограничениям в прямой задаче и наоборот.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Двойственность в логике и теории множеств [ править ]

В логике функции или отношения A и B считаются двойственными, если A (¬ x ) = ¬ B ( x ) , где ¬ - логическое отрицание . Основная двойственность этого типа - двойственность кванторов и в классической логике. Они двойственны, потому что ∃ x .¬ P ( x ) и ¬∀ x . P ( x ) эквивалентны для всех предикатов P в классической логике: если существует x, для которого Pне выполняется, то неверно, что P выполняется для всех x (но обратное не выполняется конструктивно). Из этой фундаментальной логической двойственности следует несколько других:

• Формула считается выполнимой в определенной модели, если ее свободным переменным присвоены значения, которые делают ее истинной; он действителен, если каждое присвоение его свободным переменным делает его истинным. Выполнимость и валидность двойственны, потому что неверные формулы - это как раз те, отрицания которых выполнимы, а неудовлетворительные формулы - это те, отрицания которых действительны. Это можно рассматривать как частный случай предыдущего пункта, когда количественные показатели варьируются от интерпретаций.
• В классической логике операторы ∧ и ∨ двойственны в этом смысле, потому что (¬ x ∧ ¬ y ) и ¬ ( x ∨ y ) эквивалентны. Это означает, что для каждой теоремы классической логики существует эквивалентная двойственная теорема. Законы Де Моргана являются примерами. В более общем смысле, ∧ (¬ x _i ) = ¬ ∨ x _i . Левая часть истинна тогда и только тогда, когда ∀ i .¬ x _i , а правая сторона тогда и только тогда, когда ¬∃ i . х _я.
• В модальной логике , □ р означает , что предложение р является «обязательно» истинно, и ◊ р , что р является «возможно» истинной. Большинство интерпретаций модальной логики приписывают этим двум операторам двойное значение. Например, в семантике Крипке « p возможно истинно» означает «существует некоторый мир W такой, что p истинно в W », в то время как « p обязательно истинно» означает «для всех миров W , p истинно в W ». Двойственность □ и ◊затем следует из аналогичной двойственности ∀ и ∃ . Другие дуальные модальные операторы ведут себя аналогично. Например, темпоральная логика имеет операторы, обозначающие «будет истинным в какой-то момент в будущем» и «будет истинным всегда в будущем», которые аналогично двойственны.

Из этого вытекают и другие аналогичные двойственности:

• Теоретико-множественная объединение и пересечение является двойственными множество комплемента оператора ⋅ ^C . То есть A ^C ∩ B ^C = ( A ∪ B ) ^C и, в более общем смысле, ∩ A^C
  _α= ( ∪ _α ) ^С . Это следует из двойственности ∀ и ∃ : элемент х является членом П А^C
  _αтогда и только тогда, когда ∀ α .¬ x ∈ A _α , и является членом ( ∪ A _α ) ^C тогда и только тогда, когда ¬∃ α . x ∈ A _α .

Двойные объекты [ править ]

Группа дуальностей может быть описана наделение для любого математического объекта X , множество морфизмов Нот ( Х , Г ) в некоторый фиксированный объект D , со структурой , аналогичной X . Иногда это называют внутренним Hom . В общем, это дает истинную двойственность только конкретному выбор D , и в этом случае Х ^* = Хомы ( Х , Г ) называются как двойные из X . Всегда есть карта от X до бида, то есть двойственное к двойственному,

${\ displaystyle X \ to X ^ {**}: = (X ^ {*}) ^ {*} = \ operatorname {Hom} (\ operatorname {Hom} (X, D), D).}$

Он присваивает некоторому x ∈ X отображение, которое сопоставляет любому отображению f  : X → D (т.е. элементу в Hom ( X , D ) ) значение f ( x ) . В зависимости от рассматриваемой конкретной двойственности, а также в зависимости от объекта X , эта карта может быть или не быть изоморфизмом.

Еще раз о двойных векторных пространствах [ править ]

Построение двойственного векторного пространства

${\ Displaystyle V ^ {*} = \ operatorname {Hom} (V, K)}$

Упомянутое во введении является примером такой двойственности. В самом деле, множество морфизмов, т. Е. Линейных отображений , образует собственное векторное пространство. Указанное выше отображение V → V ^** всегда инъективно. Это сюръективна, и , следовательно , изоморфизм, тогда и только тогда , когда размерность из V конечна. Этот факт характеризует конечномерные векторные пространства без ссылки на базис.

Изоморфизмы пространств V и V ^∗ и внутренние произведения [ править ]

Векторное пространство V изоморфно V ^{∗ в} точности, если V конечномерно. В этом случае такой изоморфизм эквивалентен невырожденной билинейной форме

${\ displaystyle \ varphi: V \ times V \ to K}$

В этом случае V называется внутренним пространством продукта . Например, если K - поле действительных или комплексных чисел , любая положительно определенная билинейная форма порождает такой изоморфизм. В римановой геометрии , V берется быть касательное пространство из многообразия и таких положительных билинейных форм называются римановы метрики . Их цель - измерение углов и расстояний. Таким образом, двойственность является фундаментальной основой этой области геометрии. Еще одно применение внутренних пространств продукта - звезда Ходжа.обеспечивающее соответствие между элементами внешней алгебры . Для n -мерного векторного пространства оператор звезды Ходжа отображает k -формы в ( n - k ) -формы. Это можно использовать для формулировки уравнений Максвелла . В этом обличье двойственность, присущая внутреннему пространству продукта, меняет роль магнитного и электрического полей .

Двойственность в проективной геометрии [ править ]

В некоторых проективных плоскостях можно найти геометрические преобразования, которые отображают каждую точку проективной плоскости в линию, а каждую линию проективной плоскости в точку, с сохранением инцидентности. ^[10] Для таких плоскостей возникает общий принцип двойственности в проективных плоскостях : для любой теоремы в такой плоской проективной геометрии замена терминов «точка» и «линия» везде приводит к новой, равнозначной теореме. ^[11] Простым примером является то, что утверждение «две точки определяют уникальную линию, линия, проходящая через эти точки» имеет двойственное утверждение, что «две линии определяют уникальную точку, точку пересеченияэтих двух строк ». Дополнительные примеры см. в разделе Двойственные теоремы .

Концептуальное объяснение этого явления в некоторых плоскостях (особенно плоскостях поля) предлагает двойное векторное пространство. Фактически, точки на проективной плоскости соответствуют одномерным подвекторным пространствам ^{[12], в} то время как прямые на проективной плоскости соответствуют подвекторным пространствам размерности 2. Двойственность в таких проективных геометриях проистекает из сопоставления одномерному подпространству в состоящих из линейных карт , которые удовлетворяют . Как следствие размерности формулы из линейной алгебры , это пространство двумерно, т.е. соответствует строке в проективной плоскости , связанной с .${\ displaystyle \ mathbb {RP} ^ {2}}$${\ Displaystyle V \ подмножество \ mathbb {R} ^ {3}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3})^{*}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(V)=0}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3})^{*}}$

(Положительно определенная) билинейная форма

${\displaystyle \langle -,-\rangle :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ,\langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{3}x_{i}y_{i}}$

дает отождествление этой проективной плоскости с . Конкретно, дуальность приписывается своей ортогональности . Явные формулы двойственности в проективной геометрии возникают благодаря этому отождествлению.${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \{w\in \mathbb {R} ^{3},\langle v,w\rangle =0{\text{ for all }}v\in V\}}$

Топологические векторные пространства и гильбертовы пространства [ править ]

В сфере топологических векторных пространств существует аналогичная конструкция, заменяющая двойственное топологическим двойственным векторным пространством. Существует несколько понятий топологического двойственного пространства, и каждое из них порождает определенное понятие двойственности. Топологическое векторное пространство , канонически изоморфное своему бидуалу , называется рефлексивным пространством : ${\displaystyle X}$${\displaystyle X''}$

${\displaystyle X\cong X''.}$

Примеры:

• Как и в конечномерном случае, на каждом гильбертовом пространстве H его скалярное произведение 〈-, -〉 определяет отображение

${\displaystyle H\to H^{*},v\mapsto (w\mapsto \langle w,v\rangle ),}$

что является биекцией в силу теоремы Рисса о представлении . Как следствие, каждое гильбертово пространство является рефлексивным банаховым пространством .

• Двойного нормированное пространство из L р -пространстве является л ^д , где 1 / р + 1 / д = 1 при условии , что 1 ≤ р <∞ , но сопряженное L ^∞ больше , чем L ¹ . Следовательно, L ¹ не рефлексивен.

• Распределения - это линейные функционалы на соответствующих пространствах функций. Они являются важным техническим средством в теории уравнений в частных производных (УЧП): вместо непосредственного решения УЧП может быть проще сначала решить УЧП в «слабом смысле», т. Е. Найти распределение, удовлетворяющее УЧП и , во-вторых, показать, что решение на самом деле должно быть функцией. ^[13] Все стандартные пространства распределений - , , - рефлексивные локально выпуклые пространства. ^[14]${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {S}}'({\mathbb {R} }^{n})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(U)'}$

Другие двойные объекты [ править ]

Двойная решетка из решетки L задаются

${\textstyle \operatorname {Hom} (L,\mathbf {Z} ),}$^{[ требуется разъяснение ]}

которое используется при построении торических многообразий . ^[15] понтрягинский двойные из локально компактных топологических групп G задаются

${\textstyle \operatorname {Hom} (G,S^{1}),}$

непрерывные групповые гомоморфизмы со значениями в круге (с умножением комплексных чисел как групповой операцией).

Двойные категории [ править ]

Противоположная категория и присоединенные функторы [ править ]

В другой группе дуальностей объекты одной теории переводятся в объекты другой теории, а карты между объектами в первой теории переводятся в морфизмы во второй теории, но с обратным направлением. На языке теории категорий это составляет контравариантный функтор между двумя категориями C и D :

который для любых двух объектов X и Y из C дает карту

Этот функтор может быть или не быть эквивалентом категорий . Существуют различные ситуации, где такой функтор является эквивалентностью между противоположной категории C ^оп из C и D . Используя двойственность этого типа, каждое утверждение в первой теории может быть переведено в «двойственное» утверждение во второй теории, где направление всех стрелок должно быть изменено на противоположное. ^[16] Следовательно, любая двойственность между категориями C и D формально аналогична эквивалентности между C и D ^op ( C ^op и D). Однако во многих случаях противоположные категории не имеют внутреннего значения, что делает двойственность дополнительным, отдельным понятием. ^[17]

Категория, эквивалентная своей двойственной, называется самодуальной . Примером самодвойственной категории является категория гильбертовых пространств . ^[18]

Многие теоретико-категориальные понятия попадают в пары в том смысле, что они соответствуют друг другу при рассмотрении противоположной категории. Например, декартовы произведения Y ₁ × Y ₂ и непересекающиеся объединения множеств Y ₁ ⊔ Y ₂ двойственны друг другу в том смысле, что

и

для любого множества X . Это частный случай более общего явления двойственности, при котором ограничения в категории C соответствуют копределам в противоположной категории C ^op ; дальнейшими конкретными примерами этого являются эпиморфизмы против мономорфизма , в частности факторные модули (или группы и т. д.) против подмодулей , прямые произведения против прямых сумм (также называемые копроизведениямичтобы подчеркнуть аспект двойственности). Поэтому в некоторых случаях доказательства некоторых утверждений можно сократить вдвое, используя такое явление двойственности. Дополнительные понятия, связанные с такой категориальной двойственностью, - это проективные и инъективные модули в гомологической алгебре , ^[19] расслоения и кофибрации в топологии и, в более общем смысле, категории моделей . ^[20]

Два функторы F : C → D и G : D → C являются сопряженными , если для всех объектов C в C и d в D

естественным образом. Собственно, соответствие пределов и копределов является примером сопряжения, поскольку существует присоединение

между функтором копредела, который присваивает любой диаграмме в C, индексированной некоторой категорией I, ее копредел, и диагональным функтором, который отображает любой объект c из C на постоянную диаграмму, которая имеет c во всех местах. Вдвойне,

Пространства и функции [ править ]

Двойственность Гельфанда - это двойственность между коммутативными C * -алгебрами A и компактными хаусдорфовыми пространствами X одинакова: она сопоставляет X пространство непрерывных функций (которые обращаются в нуль на бесконечности) от X до C , комплексных чисел. И наоборот, пространство Х могут быть восстановлены из А в качестве спектра из A . Двойственность Гельфанда и Понтрягина может быть выведена в значительной степени формальным теоретико-категориальным способом. ^[21]

Аналогичным образом существует двойственность в алгебраической геометрии между коммутативными кольцами и аффинными схемами : для каждого коммутативного кольца А существует аффинная спектр, Spec . Обратно, аффинная схема S , один получает обратно кольцо, принимая глобальные секции структуры пучка O _S . Кроме того, гомоморфизмы колец находятся во взаимно однозначном соответствии с морфизмами аффинных схем, таким образом, имеется эквивалентность

(Коммутативные кольца) ^op ≅ (аффинные схемы) ^[22]

Аффинные схемы - это локальные строительные блоки схем . Таким образом, предыдущий результат говорит о том, что локальная теория схем - это то же самое, что коммутативная алгебра , изучение коммутативных колец.

Некоммутативная геометрия черпает вдохновение из двойственности Гельфанда и изучает некоммутативные C * -алгебры, как если бы они были функциями в некотором воображаемом пространстве. Двойственность Таннаки – Крейна является некоммутативным аналогом двойственности Понтрягина. ^[23]

Связи Галуа [ править ]

В ряде ситуаций две категории, которые двойственны друг другу, на самом деле возникают из частично упорядоченных множеств, т. Е. Существует определенное понятие объекта, «меньшего», чем другой. Двойственность, которая уважает рассматриваемые порядки, известна как связь Галуа . Примером может служить стандартная двойственность в теории Галуа, упомянутая во введении: большее расширение поля соответствует - при отображении, которое сопоставляет любому расширению L ⊃ K (внутри некоторого фиксированного большего поля Ω) группу Галуа Gal (Ω / L ) - меньшая группа. ^[24]

Совокупность всех открытых подмножеств топологического пространства X образует полную алгебру Гейтинга . Существует двойственность, известная как двойственность камня , соединяющая трезвые пространства и пространственные локации .

• Теорема Биркгофа представления , касающиеся дистрибутивные решетки и частичные порядки

Понтрягинская двойственность [ править ]

Двойственность Понтрягина дает двойственность на категории локально компактных абелевых групп : для любой такой группы G , то группа символов

χ ( G ) = Hom ( G , S ¹ )

заданные непрерывными гомоморфизмами групп из G в круговую группу S ^1, можно наделить компактно-открытой топологией . Двойственность Понтрягина утверждает, что группа характеров снова является локально компактной абелевой и что

G ≅ χ (χ ( G )). ^[25]

Более того, дискретные группы соответствуют компактным абелевым группам ; конечные группы соответствуют конечным группам. С одной стороны, Понтрягин - частный случай двойственности Гельфанда. С другой стороны, это концептуальная причина анализа Фурье , см. Ниже.

Аналитические дуальности [ править ]

При анализе проблемы часто решаются путем перехода к двойственному описанию функций и операторов.

Преобразование Фурье переключает функции в векторном пространстве и его двойственное:

${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi ):=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx,}$

и наоборот

${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )\ e^{2\pi ix\xi }\,d\xi .}$

Если f является L 2 -функцией , скажем, на R или R ^N , то так же и и . Более того, преобразование меняет местами операции умножения и свертки на соответствующих функциональных пространствах . Концептуальное объяснение преобразования Фурье дает вышеупомянутая двойственность Понтрягина, примененная к локально компактным группам R (или R ^N и т. Д.): Любой характер R задается как ξ↦ e ^{−2πi x ξ}${\displaystyle {\widehat {f}}}$${\displaystyle f(-x)={\widehat {\widehat {f}}}(x)}$. Дуализующий характер преобразования Фурье имеет много других проявлений, например, в альтернативных описаниях квантово-механических систем в терминах координатных и импульсных представлений.

• Преобразование Лапласа аналогично преобразованию Фурье и меняет местами операторы умножения на полиномы с линейными дифференциальными операторами с постоянными коэффициентами .
• Преобразование Лежандра является важной аналитической двойственностью, которая переключает между скоростями в лагранжевой механике и импульсами в гамильтоновой механике .

Гомологии и когомологии [ править ]

Теоремы, показывающие, что определенные объекты интереса являются двойственными пространствами (в смысле линейной алгебры) других объектов интереса, часто называют дуальностями . Многие из этих двойственностей задаются билинейным спариванием двух K- векторных пространств

⊗ B → K .

Для идеальных пар , есть, следовательно, изоморфизм А на двух из B .

Двойственность Пуанкаре [ править ]

Двойственность Пуанкаре гладкого компактного комплексного многообразия X задается спаривание сингулярных когомологий с C -коэффициентов (эквивалентно, пучок когомологий из постоянного пучка C )

H ⁱ (X) ⊗ H ^{2 n - i} (X) → C ,

где п представляет собой (комплекс) размерность X . ^[26] Двойственность Пуанкаре также может быть выражена как отношение сингулярных гомологий и когомологий де Рама , утверждая, что отображение

${\displaystyle (\gamma ,\omega )\mapsto \int _{\gamma }\omega }$

(интегрирование дифференциальной k -формы по 2 n - k - (действительному) -мерному циклу) является идеальным спариванием.

Двойственность Пуанкаре также меняет размеры; это соответствует тому факту, что, если топологическое многообразие представлено как клеточный комплекс , то двойственное к комплексу (многомерное обобщение двойственного плоского графа) представляет то же самое многообразие. В двойственности Пуанкаре этот гомеоморфизм отражается в изоморфизме k- й группы гомологий и ( n  -  k ) -й группы когомологий .

Двойственность в алгебраической и арифметической геометрии [ править ]

Тот же самый образец двойственности имеет место для гладкого проективного многообразия над сепарабельно замкнутым полем , но вместо этого используются l-адические когомологии с Q _ℓ -коэффициентами. ^[27] Это далее обобщается на возможные особые многообразия , используя вместо этого когомологии пересечений , двойственность, называемую двойственностью Вердье . ^[28] Двойственность Серра или когерентная двойственность аналогичны утверждениям выше, но вместо этого применяются к когомологиям когерентных пучков . ^[29]

Оказывается, что с повышением уровня общности для понимания этих теорем полезно или необходимо все больше технических знаний: современная формулировка этих двойственностей может быть сделана с использованием производных категорий и определенных функторов прямого и обратного изображений пучков (в отношении классическая аналитическая топология на многообразиях для двойственности Пуанкаре, l-адические пучки и этальная топология во втором случае и относительно когерентных пучков для когерентной двойственности).

Еще одна группа подобных утверждений двойственности встречается в арифметике : этальные когомологии конечных , локальных и глобальных полей (также известные как когомологии Галуа , поскольку этальные когомологии над полем эквивалентны групповым когомологиям (абсолютной) группы Галуа поля) допускают похожие пары. Абсолютная группа Галуа G ( Р _д ) конечного поле, например, изоморфно , то проконечное пополнение из Z , целых чисел. Следовательно, идеальное спаривание (для любого G -модуля M${\displaystyle {\widehat {\mathbf {Z} }}}$ )

H ⁿ ( G , M ) × H ^{1 - n} ( G , Hom ( M , Q / Z )) → Q / Z ^[30]

является прямым следствием двойственности Понтрягина конечных групп. Для локальных и глобальных полей существуют аналогичные утверждения ( локальная двойственность и глобальная двойственность или двойственность Пуату – Тейта ). ^[31]

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Двойственность в целом [ править ]

• Атья, Майкл (2007), Двойственность в математике и физике , конспект лекций Института математики Университета Барселоны (IMUB).
• Кострикин, AI (2001) [1994], «Двойственность» , Энциклопедия математики , EMS Press.
• Гауэрс, Тимоти (2008), «III.19 Двойственность», The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, стр. 187–190.
• Картье, Пьер (2001), «Работа безумного дня: от Гротендика до Конна и Концевича. Эволюция концепций пространства и симметрии» , Американское математическое общество. Бюллетень. Новая серия , 38 (4): 389–408, DOI : 10.1090 / S0273-0979-01-00913-2 , ISSN  0002-9904 , MR  1848254 (нетехнический обзор некоторых аспектов геометрии, включая дуальности)

Двойственность в алгебраической топологии [ править ]

• Джеймс С. Беккер и Дэниел Генри Готтлиб, История двойственности в алгебраической топологии

Особые дуальности [ править ]

• Арстейн-Авидан, Шири ; Мильман Виталий (2008), "Концепция двойственности для измерительных проекций выпуклых тел", журнал функционального анализа , 254 (10): 2648-66, DOI : 10.1016 / j.jfa.2007.11.008. Также сайт автора .
• Арстейн-Авидан, Шири; Мильман Виталий (2007), «Характеристика понятия двойственности» , электронные исследования Объявления в математических науках , 14 : 42-59, архивируется с оригинала на 2011-07-24 , извлекаться 2009-05-30. Также сайт автора .
• Дуайер, Уильям Г .; Спалинский, Ян (1995), "Гомотопические теории и категории моделей" , Справочник по алгебраической топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 73–126, MR  1361887
• Фултон, Уильям (1993), Введение в торические многообразия , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-00049-7
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, MR  1288523
• Хартсхорн, Робин (1966), Вычеты и двойственность , Конспект лекций по математике, 20 , Springer-Verlag , стр. 20–48, ISBN 978-3-540-34794-1
• Хартсхорн, Робин (1977), алгебраическая геометрия , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту  0463157 , OCLC  13348052
• Иверсен, Биргер (1986), когомологии пучков , Universitext, Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, MR  0842190
• Хоял, Андре ; Street, Ross (1991), "Введение в двойственность Таннаки и квантовые группы" (PDF) , теория категорий , Lecture Notes по математике, 1488 , Springer-Verlag , стр. 413–492, doi : 10.1007 / BFb0084235 , ISBN 978-3-540-46435-8, Руководство по ремонту  1173027
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике, 189 , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, Руководство по ремонту  1653294
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике, 211 , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556
• Лумис, Линн Х. (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ , Д. Ван Ностранд, стр. X + 190, hdl : 2027 / uc1.b4250788
• Mac Lane, Saunders (1998), Категории для рабочего математика (2-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98403-2
• Мазур, Барри (1973), "Записка о этальных когомологиях числовых полей", Annales Scientifiques де l'Эколь Нормали , Серия 4, 6 (4): 521-552, DOI : 10,24033 / asens.1257 , ISSN  0012-9593 , MR  0344254
• Милн, Джеймс С. (1980), Étale cohomology , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7
• Милн, Джеймс С. (2006), Арифметические теоремы двойственности (2-е изд.), Чарлстон, Южная Каролина: BookSurge, LLC, ISBN 978-1-4196-4274-6, Руководство по ремонту  2261462
• Negrepontis, Джоан В. (1971), "Двойственность в анализе с точки зрения троек", журнал алгебры , 19 (2): 228-253, DOI : 10,1016 / 0021-8693 (71) 90105-0 , ISSN  0021-8693 , Руководство по ремонту  0280571
• Веблен, Освальд ; Янг, Джон Уэсли (1965), Проективная геометрия. Тт. 1, 2 , Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co., MR  0179666
• Вейбель, Чарльз А. (1994), Введение в гомологическую алгебру , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55987-4, MR  1269324
• Эдвардс, RE (1965). Функциональный анализ. Теория и приложения . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 0030505356.