Откат (теория категорий)

В теории категории , ветвь математики , А откат (также называемый Волокнистый продукт , Волокнистый продукт , расслаивается продукт или декартовым квадратом ) является пределом из диаграммы , состоящей из двух морфизмов $F : X \to Z$ и $г : Y \to Z$ с общий кодомен. Часто пишут откат

P = X \times Z Y

и оснащен двумя естественными морфизмов $Р \to X$ и $P \to Y$ . Обратный вызов двух морфизмов $f$ и $g$ может не существовать, но если он существует, он по существу однозначно определяется этими двумя морфизмами. Во многих ситуациях $X \times Z Y$ можно интуитивно представить как состоящий из пар элементов $(x, y),$ где $x находится$ в $X$ , $y$ в $Y$ , и $f (x) = g (y)$ . Для общего определения используется универсальное свойство , которое по существу выражает тот факт, что обратный вызов - это «самый общий» способ дополнить два данных морфизма до коммутативного квадрата .

Двойное понятие о откате является Кодекартов Квадрат .

Универсальная собственность [ править ]

Явно обратный образ морфизмов $f$ и $g$ состоит из объекта $P$ и двух морфизмов $p 1 : P \to X$ и $p 2 : P \to Y,$ для которых диаграмма

ездит на работу . Причем откат $(P, p 1, p 2)$ должен быть универсальным по отношению к этой диаграмме. ^[1] То есть для любой другой такой тройки $(Q, q 1, q 2),$ где $q 1 : Q \to X$ и $q 2 : Q \to Y$ - морфизмы с $f q 1 = g q 2$ , должен существовать единственный $u : Q \to P$ такое, что

{\ displaystyle p_ {2} \ circ u = q_ {2}, \ qquad p_ {1} \ circ u = q_ {1}.}

Эта ситуация проиллюстрирована следующей коммутативной диаграммой.

Как и все универсальные конструкции, откат, если он существует, уникален с точностью до изоморфизма . Фактически, учитывая два отката $(A, a 1, a 2)$ и $(B, b 1, b 2)$ одного и того же коспана $X \to Z \leftarrow Y$ , существует единственный изоморфизм между $A$ и $B$ относительно структуры обратного вызова .

Отзыв и продукт [ править ]

Откат похож на товар , но не такой. Можно получить продукт с помощью «забывает» , что морфизмы $е$ и $г$ существует, и забывает , что объект $Z$ существует. Затем остается дискретная категория, содержащая только два объекта $X$ и $Y$ , без стрелок между ними. Эта дискретная категория может использоваться в качестве набора индексов для построения обычного двоичного произведения. Таким образом, откат можно рассматривать как обычное (декартово) произведение, но с дополнительной структурой. Вместо того, чтобы «забыть» $Z$ , $f$ и $g$ , их можно также «упростить», специализируя $Z$ быть конечным объектом (при условии, что он существует). $е$ и $г$ тогда определяется однозначно и , следовательно , не несут никакой информации, и откат этого cospan можно видеть, что произведение $X$ и $Y$ .

Примеры [ править ]

Коммутативные кольца [ править ]

Категория коммутативных колец допускает обратные вызовы.

В категории коммутативных колец (с единицей) подъём называется расслоенным произведением. Пусть , $В$ и $С$ будут коммутативные кольца (с единицей) и $α$ $:$ $\to$ $C$ и $β$ $:$ $B$ $\to$ $C$ (идентичность с сохранением) гомоморфизмы колец . Затем откат этой диаграммы существует и дается подкольцом в кольце продукта $\times$ $B$ , определенном

{\ displaystyle A \ times _ {C} B = \ left \ {(a, b) \ in A \ times B \; {\ big |} \; \ alpha (a) = \ beta (b) \ right \ }}

вместе с морфизмами

{\ displaystyle \ beta '\ двоеточие A \ times _ {C} B \ to A, \ qquad \ alpha' \ двоеточие A \ times _ {C} B \ to B}

дано и для всех . Тогда у нас есть ${\ Displaystyle \ бета '(а, Ь) = а}$ ${\ Displaystyle \ альфа '(а, Ь) = Ь}$ ${\ displaystyle (a, b) \ in A \ times _ {C} B}$

{\ Displaystyle \ альфа \ circ \ beta '= \ beta \ circ \ alpha'.}

Группы, модули [ править ]

В полной аналогии с примером коммутативных колец, приведенным выше, можно показать, что все поднятия существуют в категории групп и в категории модулей над некоторым фиксированным кольцом.

Наборы [ править ]

В категории множеств возврат функций $f : X \to Z$ и $g : Y \to Z$ всегда существует и задается множеством

{\ Displaystyle X \ раз _ {Z} Y = \ {(x, y) \ in X \ times Y | f (x) = g (y) \} = \ bigcup _ {z \ in f (X) \ cap g (Y)} f ^ {- 1} [\ {z \}] \ times g ^ {- 1} [\ {z \}],}

вместе с ограничениями в проекции карты $π 1$ и $π 2$ , чтобы $X \times Z Y$ .

В качестве альтернативы можно увидеть откат в $Set$ асимметрично:

X\times _{Z}Y\cong \coprod _{x\in X}g^{-1}[\{f(x)\}]\cong \coprod _{y\in Y}f^{-1}[\{g(y)\}]

где - несвязное объединение множеств (вовлеченные множества не являются дизъективными сами по себе, если $f$ соответственно $g$ не инъективен ). В первом случае, проекция $тг$ $1$ извлекает $й$ индекс во $П$ $2$ забывает индекс, в результате чего элементов $Y$ . $\coprod$

Этот пример побуждает еще один способ , характеризующий откате: как эквалайзер морфизмов $ф \circ р 1, г \circ р 2 : Х \times Y \to Z$ , где $X \times Y$ представляет собой бинарное произведение из $X$ и $Y$ и $р 1$ и $р 2$ являются естественные проекции. Это показывает, что откаты существуют в любой категории с бинарными продуктами и эквалайзерами. На самом деле, по теореме существования пределоввсе конечные пределы существуют в категории с конечным объектом, бинарными продуктами и эквалайзерами.

Пучки волокон [ править ]

Другой пример обратного образа исходит из теории расслоений : для отображения расслоения $π : E \to B$ и непрерывного отображения $f : X \to B$ обратный образ (сформированный в категории топологических пространств с непрерывными отображениями ) $X \times B E$ - расслоение над $X,$ называемое обратным расслоением . Соответствующая коммутативная диаграмма является морфизмом расслоений.

Прообразы и пересечения [ править ]

Прообразы множеств под функциями можно охарактеризовать как откаты следующим образом:

Пусть $F : \to B$ , $B 0 \subseteq B$ . Пусть $г$ будет отображение включения $B 0 ↪ B$ . Тогда обратный образ $f$ и $g$ (в $Set$ ) задается прообразом $f -1 [B 0]$ вместе с включением прообраза в $A$

f -1 [B 0] ↪ A

и ограничение $f$ на $f -1 [B 0]$

f -1 [B 0] \to B 0

.

Из - за этого , например, в общей категории прообраз морфизма $F$ и мономорфизм $г$ можно рассматривать как «прообраз» под $F$ от подобъекта указанного $г$ . Аналогично, обратные вызовы двух мономорфизмов можно рассматривать как «пересечение» двух подобъектов.

Наименьшее общее кратное [ править ]

Рассмотрим мультипликативный моноид натуральных чисел $Z +$ как категорию с одним объектом. В этой категории обратный вызов двух натуральных чисел $m$ и $n$ - это просто пара $(НОК (т; п) / м, НОК (т; п) / п)$ , Где числители являются как наименьшее общее кратное из $м$ и $н$ . Эта же пара также является пушаутом.

Свойства [ править ]

В любой категории с терминальным объектом $T$ , прообраз $Х \times Т У$ есть обычное продукт $Х \times Y$ . ^[2]
Мономорфизмы устойчивы по отношению к обратному вызову: если стрелка $f$ на диаграмме моническая, то стрелка $p 2$ тоже . Аналогично, если $g$ монический, то $p 1$ тоже . ^[3]
Изоморфизмы также стабильны, и, следовательно, например, $X \times X Y ≅ Y$ для любого отображения $Y \to X$ (где подразумеваемое отображение $X \to X$ - тождество).
В абелевой категории все обратные вызовы существуют ^[4] и сохраняют ядра в следующем смысле: если

- обратная диаграмма, то индуцированный морфизм

ker (p 2) \to ker (f)

является изоморфизмом, ^{[5], как} и индуцированный морфизм

ker (p 1) \to ker (g)

. Таким образом, каждая обратная диаграмма порождает коммутативную диаграмму следующего вида, в которой все строки и столбцы точны :

{\begin{array}{ccccccc}&&&&0&&0\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\&&&&L&=&L\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\0&\rightarrow &K&\rightarrow &P&\rightarrow &Y\\&&\parallel &&\downarrow &&\downarrow \\0&\rightarrow &K&\rightarrow &X&\rightarrow &Z\end{array}}

Более того, в абелевой категории, если

X \to Z

- эпиморфизм, то также и ее пулбэк

P \to Y

, и симметрично: если

Y \to Z

- эпиморфизм, то его пулбэк

P \to X

тоже . ^[6] В этих ситуациях квадрат отката также является квадратом выталкивания. ^[7]

Существует естественный изоморфизм ( × _C B ) × _B D ≅ × _C D . В явном виде это означает:
- если даны отображения f : A → C , g : B → C и h : D → B и
- обратный образ f и g задается формулами r : P → A и s : P → B , и
- обратный вызов s и h задается формулами t : Q → P и u : Q → D ,
- то прообраз F и GH задается к.т. : Q → A и U : Q → D .

Графически это означает, что два квадрата отката, помещенные рядом и разделяющие один морфизм, образуют больший квадрат отката при игнорировании внутреннего общего морфизма.

{\begin{array}{ccccc}Q&{\xrightarrow {t}}&P&{\xrightarrow {r}}&A\\\downarrow _{u}&&\downarrow _{s}&&\downarrow _{f}\\D&{\xrightarrow {h}}&B&{\xrightarrow {g}}&C\end{array}}

В любой категории с откатами и товарами есть эквалайзеры.

Слабые откаты [ править ]

Слабый откат из cospan $X \to Z \leftarrow Y$ представляет собой конус над cospan , что является лишь слабо универсальным , то есть, опосредовании морфизм $у : Q \to P$ выше, не требуется , чтобы быть уникальным.

См. Также [ править ]

Откаты в дифференциальной геометрии
Equijoin в реляционной алгебре
Волоконный продукт схем

Примечания [ править ]

^ Митчелл, стр. 9
^ Адамек, стр. 197.
^ Митчелл, стр. 9
^ Митчелл, стр. 32
^ Митчелл, стр. 15
^ Митчелл, стр. 34
^ Митчелл, стр. 39

Ссылки [ править ]

Adámek, Jiří, Herrlich, Horst , & Strecker, George E .; (1990). Абстрактные и конкретные категории (4,2 МБ PDF). Первоначально опубл. Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-60922-6 . (теперь бесплатная онлайн-версия).
Кон, Пол М .; Универсальная алгебра (1981), D. Reidel Publishing, Голландия, ISBN 90-277-1213-1 (Первоначально опубликовано в 1965 году компанией Harper & Row) .
Митчелл, Барри (1965). Теория категорий . Академическая пресса.

Внешние ссылки [ править ]

Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры откатов в категории конечных множеств. Автор Джоселин Пейн.
откат в nLab

[1] Митчелл, стр. 9

[2] Адамек, стр. 197.

[3] Митчелл, стр. 9

[4] Митчелл, стр. 32

[5] Митчелл, стр. 15

[6] Митчелл, стр. 34

[7] Митчелл, стр. 39

[1]