Категория (математика)

Это категория с набором объектов A, B, C и набором морфизмов, обозначенных f, g, g ∘ f , а петли - это тождественные стрелки. Эта категория обычно обозначается жирным шрифтом 3 .

В математике , А категории (иногда называют абстрактную категорию , чтобы отличить его от категории бетона ) представляет собой коллекция «объекты», которые связаны с помощью «стрелки». Категория имеет два основных свойства: способность объединять стрелки ассоциативно и наличие стрелки идентичности для каждого объекта. Простым примером является категория наборов , объекты которых являются наборами, а стрелки - функциями .

Теория категорий - это раздел математики, который стремится обобщить всю математику в терминах категорий, независимо от того, что представляют их объекты и стрелки. Практически каждую отрасль современной математики можно описать в терминах категорий, и это часто раскрывает глубокое понимание и сходство между, казалось бы, разными областями математики. Таким образом, теория категорий обеспечивает для математики альтернативную основу теории множеств и других предлагаемых аксиоматических основ. В общем, объекты и стрелки могут быть абстрактными объектами любого типа, а понятие категории обеспечивает фундаментальный и абстрактный способ описания математических объектов и их отношений.

Помимо формализации математики, теория категорий также используется для формализации многих других систем в информатике, таких как семантика языков программирования .

Две категории являются одинаковыми, если они имеют один и тот же набор объектов, один и тот же набор стрелок и один и тот же ассоциативный метод составления любой пары стрелок. Две разные категории также могут считаться « эквивалентными » для целей теории категорий, даже если они не имеют точно такой же структуры.

Общеизвестные категории обозначаются коротким словом с заглавной буквы или аббревиатурой, выделенной жирным шрифтом или курсивом: примеры включают Set , категорию множеств и функции множества ; Кольцо , категория колец и гомоморфизмы колец ; и Top - категория топологических пространств и непрерывных отображений . Все предыдущие категории имеют карту идентичности в виде стрелок идентичности и композицию в виде ассоциативной операции со стрелками.

Классический и до сих пор широко используемый текст по теории категорий - это « Категории для рабочего математика » Сондерса Мак Лейна . Другие ссылки приведены в ссылках ниже. Основные определения в этой статье содержатся в первых нескольких главах любой из этих книг.

Любой моноид можно понимать как особый вид категории (с одним объектом, самоморфизмы которого представлены элементами моноида), как и любой предварительный порядок .

Определение [ править ]

Есть много эквивалентных определений категории. ^[1] Одно из часто используемых определений выглядит следующим образом. Категория C состоит из

• класс Ob ( С ) из объектов ,
• класс hom ( C ) морфизмов , или стрелок , или отображений между объектами,
• домен , или исходный объект класса функции ,${\ Displaystyle \ mathrm {dom} \ двоеточие \ mathrm {hom} (C) \ rightarrow \ mathrm {ob} (C)}$
• кообласть или целевой объект класса функции ,${\ Displaystyle \ mathrm {cod} \ двоеточие \ mathrm {hom} (C) \ rightarrow \ mathrm {ob} (C)}$
• для каждых трех объектов a , b и c выполняется бинарная операция hom ( a , b ) × hom ( b , c ) → hom ( a , c ), называемая композицией морфизмов ; композиция f  : a → b и g  : b → c записывается как g ∘ f или gf . (Некоторые авторы используют «схематический порядок», записывая f; g или fg ).

Примечание. Здесь hom ( a , b ) обозначает подкласс морфизмов f в hom ( C ) таких, что и . Такие морфизмы часто записывают как f  : a → b .${\ Displaystyle \ mathrm {dom} (е) = а}$${\ Displaystyle \ mathrm {cod} (е) = б}$

такие, что выполняются следующие аксиомы:

• ( ассоциативность ) если f  : a → b , g  : b → c и h  : c → d, то h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f , и
• ( тождество ) для каждого объекта x существует морфизм 1 _x  : x → x (некоторые авторы пишут id _x ), называемый тождественным морфизмом для x , такой, что каждый морфизм f  : a → x удовлетворяет 1 _x ∘ f = f и для любого морфизма g  : x → b выполнено g ∘ 1 _x = g .

Мы пишем f : a → b и говорим: « f - это морфизм от a к b ». Мы пишем hom ( a , b ) (или hom _C ( a , b ), когда может возникнуть путаница относительно того, к какой категории относится hom ( a , b )) для обозначения hom-класса всех морфизмов от a до b . ^[2]С помощью этих аксиом можно доказать, что для каждого объекта существует ровно один морфизм идентичности. Некоторые авторы используют небольшую вариацию определения, в которой каждый объект идентифицируется с соответствующим морфизмом идентичности.

Малые и большие категории [ править ]

Категория C называется малой, если и ob ( C ), и hom ( C ) на самом деле являются множествами, а не собственными классами , и большой в противном случае. Локально малая категория является категорией, что для всех объектов с и б , в Хомах класс Horn ( , б ) представляет собой набор, называемый homset . Многие важные категории в математике (например, категория множеств), хотя и не малы, но по крайней мере локально малы. Поскольку в небольших категориях объекты образуют набор, небольшую категорию можно рассматривать как алгебраическую структуру.похож на моноид, но не требует закрывающих свойств. С другой стороны, большие категории можно использовать для создания «структур» алгебраических структур.

Примеры [ править ]

Класс всех множеств (как объекты) вместе со всеми функциями между ними ( в качестве морфизмов), где композиция морфизмов является обычной функцией композицией , образует большую категорию, набор . Это самая основная и наиболее часто используемая категория в математике. Категория Rel состоит из всех множеств (как объектов) с бинарными отношениями между ними (как морфизмы). Абстрагирование от отношений вместо функций дает аллегории , особый класс категорий.

Любой класс можно рассматривать как категорию, единственными морфизмами которой являются морфизмы тождества. Такие категории называются дискретными . Для любого заданного множества I , то дискретная категория на I является небольшой категорией , которая имеет элементы I в качестве объектов и только тождественных морфизмов в качестве морфизмов. Дискретные категории - это простейший вид категорий.

Любой упорядоченный набор ( P , ≤) образует небольшую категорию, где объекты являются членами P , морфизмы - это стрелки, указывающие от x к y, когда x ≤ y . Кроме того, если ≤ является антисимметричным , может быть не более одного морфизма между любыми двумя объектами. Существование тождественных морфизмов и составность морфизмов гарантируются рефлексивностью и транзитивностью предпорядка. По тому же аргументу любое частично упорядоченное множество и любое отношение эквивалентности можно рассматривать как небольшую категорию. Любойпорядковый номер можно рассматривать как категорию, если рассматривать его как упорядоченный набор .

Любой моноид (любая алгебраическая структура с единственной ассоциативной бинарной операцией и элементом идентичности ) образует небольшую категорию с единственным объектом x . (Здесь x - любое фиксированное множество.) Морфизмы из x в x - это в точности элементы моноида, тождественный морфизм x - это тождество моноида, а категориальная композиция морфизмов задается операцией моноида. Некоторые определения и теоремы о моноидах могут быть обобщены на категории.

Точно так же любую группу можно рассматривать как категорию с одним объектом, в котором каждый морфизм обратим , то есть для каждого морфизма f существует морфизм g, который является как левым, так и правым обратным к f при композиции. Обратимый в этом смысле морфизм называется изоморфизмом .

Группоидом категория , в которой каждый морфизм является изоморфизмом. Группоиды - это обобщения групп, групповых действий и отношений эквивалентности . Фактически, с точки зрения категории единственное различие между группоидом и группой состоит в том, что у группоида может быть более одного объекта, но у группы должен быть только один. Рассмотрим топологическое пространство X и зафиксировать базовую точку из X , то есть фундаментальная группа топологического пространства X и базовой точки , а как набор имеет структуру группы; если тогда пусть базовая точка проходит по всем точкам X , и возьмем объединение всех${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0})}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0})}$, То множество мы получаем имеет только структуру группоида (которая называется как фундаментальный группоид из X ): две петель (по отношению эквивалентности гомотопии) не может иметь ту же самую базовую точку , так что они могут не кратны друг с другом. На языке категории это означает, что здесь два морфизма могут не иметь одного и того же исходного объекта (или целевого объекта, потому что в этом случае для любого морфизма исходный объект и целевой объект одинаковы: базовая точка), поэтому они не могут компоноваться с друг с другом.

Любой ориентированный граф порождает небольшую категорию: объекты - это вершины графа, а морфизмы - это пути в графе (с добавлением петель по мере необходимости), где композиция морфизмов - это конкатенация путей. Такая категория называется свободной категорией, порожденной графом.

Класс всех предварительно упорядоченных множеств с монотонными функциями как морфизмами образует категорию Ord . Это конкретная категория , то есть категория, полученная путем добавления некоторого типа структуры в Set и требующая, чтобы морфизмы были функциями, которые уважают эту добавленную структуру.

Класс всех групп с гомоморфизмами групп как морфизмами и функциональной композицией как операцией композиции образует большую категорию Grp . Как и Ord , Grp - это конкретная категория. Категория Ab , состоящая из всех абелевых групп и их групповых гомоморфизмов, является полной подкатегорией в Grp и прототипом абелевой категории . Другие примеры конкретных категорий приведены в следующей таблице.

Пучки волокон с картами пучков между ними образуют конкретную категорию.

Категория Cat состоит из всех малых категорий с функторами между ними как морфизмами.

Создание новых категорий [ править ]

Двойная категория [ править ]

Любая категория C сама по себе может рассматриваться как новая категория по-другому: объекты такие же, как и в исходной категории, но стрелки - это стрелки исходной категории, перевернутые. Это называется двойственной или противоположной категорией и обозначается C ^op .

Категории продуктов [ править ]

Если С и D являются категории, можно образовать категорию продукта С × D : объекты представляют собой пару , состоящая из одного объекта из C и один из D , а морфизмы также пары, состоящие из одного морфизма в C и один в D . Такие пары можно составлять покомпонентно .

Типы морфизмов [ править ]

Морфизм F  : → Ь называется

• -мономорфизм (или унитарный ) , если он остается-сократимым, т.е. фг ₁ = фг ₂ следует , г ₁ = г ₂ для всех морфизмов г ₁ , г ₂  : х → .
• эпиморфизм (или эпический ) , если это право-сократимое, т.е. г ₁ е = г _- F следует , г ₁ = г ₂ для всех морфизмов г ₁ , г ₂  : б → х .
• биморфизм , если это одновременно моно- и эпиморфизмом.
• отвод , если он имеет правый обратный, т.е. если существует морфизм г  : б → а с фг = 1 _б .
• раздел , если он имеет левый обратный, т.е. если существует морфизм г  : б → с гс = 1 _в .
• изоморфизм , если он имеет обратный, т.е. если существует морфизм г  : б → а с фгом = 1 _б и гс = 1 _а .
• эндоморфизм , если = Ь . Класс эндоморфизмов a обозначается end ( a ).
• автоморфизм , если F является как Эндоморфизм и изоморфизм. Класс автоморфизмов a обозначается aut ( a ).

Всякая ретракция - это эпиморфизм. Каждое сечение - мономорфизм. Следующие три утверждения эквивалентны:

• f - мономорфизм и ретракция;
• f - эпиморфизм и сечение;
• f - изоморфизм.

Связи между морфизмами (например, fg = h ) наиболее удобно представить коммутативными диаграммами , где объекты представлены в виде точек, а морфизмы - в виде стрелок.

Типы категорий [ править ]

• Во многих категориях, например Ab или Vect K , hom-множества hom ( a , b ) являются не просто множествами, а фактически абелевыми группами , и композиция морфизмов совместима с этими групповыми структурами; т.е. является билинейным . Такая категория называется предаддитивной . Если, кроме того, в категории есть все конечные продукты и копроизведения , она называется аддитивной категорией . Если все морфизмы имеют ядро и коядро , все эпиморфизмы являются коядрами и все мономорфизмы являются ядрами, то мы говорим об абелевой категории. Типичный пример абелевой категории - категория абелевых групп.
• Категория называется полной, если в ней существуют все малые пределы . Категории множеств, абелевых групп и топологических пространств полны.
• Категория называется декартовой замкнутой, если у нее есть конечные прямые произведения, а морфизм, определенный на конечном произведении, всегда может быть представлен морфизмом, определенным только на одном из факторов. Примеры включают Set и CPO , категорию полных частичных порядков с непрерывными по Скотту функциями .
• А топос определенный тип декартовой замкнутой категории , в которой все математики могут быть сформулированы (так же , как классически все математики формулируется в категории множеств). Топос также может использоваться для представления логической теории.

См. Также [ править ]

• Обогащенная категория
• Теория высших категорий
• Квантовоид
• Таблица математических символов

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Адамек, Иржи; Герлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (1990), Абстрактные и конкретные категории (PDF) , Wiley, ISBN 0-471-60922-6(теперь бесплатная онлайн-версия, GNU FDL ).
• Асперти, Андреа; Лонго, Джузеппе (1991), Категории, типы и структуры , MIT Press, ISBN 0-262-01125-5.
• Awodey, Стив (2006), теория категорий , Оксфордские логические руководства, 49 , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856861-2.
• Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2005), Toposes, Triples and Theories , Reprints in Theory and Applications of Categories, 12 (исправленное издание), MR  2178101.
• Borceux, Francis (1994), "Справочник по категориальной алгебре", Энциклопедия математики и ее приложений , 50–52, Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 0-521-06119-9.
• "Категория" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Герлих, Хорст; Strecker, Джордж Э. (2007), теория категорий , Heldermann Verlag, ISBN 978-3-88538-001-6.
• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47187-7.
• Ловер, Уильям ; Шануэль, Стив (1997), Концептуальная математика: первое введение в категории , Cambridge University Press, ISBN 0-521-47249-0.
• Mac Lane, Saunders (1998), Категории для рабочего математика , Тексты для выпускников по математике, 5 (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8.
• Маркиз, Жан-Пьер (2006), «Теория категорий» , в Zalta, Эдвард Н. (редактор), Стэнфордская энциклопедия философии.
• Сика, Джандоменико (2006), что такое теория категорий? , Углубленное изучение математики и логики, 3 , Polimetrica, ISBN 978-88-7699-031-1.
• категория в nLab