Обратная полугруппа

Алгебраические структуры между магмами и группами. Инверсная полугруппа является полугруппой с обратимостью.

В группе теории, инверсная полугруппа (иногда называется инверсия полугруппы ^[1] ) S является полугруппой , в которой каждый элемент х в S имеет единственную обратную у в S в том смысле , что х = хухи и у = YXY , т.е. регулярно полугруппа, в которой каждый элемент имеет единственный обратный. Обратные полугруппы появляются в различных контекстах; например, они могут быть использованы при изучении частичных симметрий . ^[2]

(В этой статье будет использоваться соглашение о написании функции справа от ее аргумента, например, xf, а не f (x) , и составлении функций слева направо - соглашение, часто наблюдаемое в теории полугрупп.)

Истоки [ править ]

Обратные полугруппы были введены независимо Виктором Владимировичем Вагнером ^[3] в Советском Союзе в 1952 г. ^[4] и Гордоном Престоном в Соединенном Королевстве в 1954 г. ^[5] Оба автора пришли к инверсным полугруппам посредством изучения частичных биекций группы. набор : а частичное преобразование α из множества X является функцией от A до B , где и B являются подмножества X . Пусть α иβ - частичные преобразования множества X ; α и β могут быть составлены (слева направо) на самой большой области, на которой «имеет смысл» их составлять:

${\ displaystyle \ operatorname {dom} \ alpha \ beta = [\ operatorname {im} \ alpha \ cap \ operatorname {dom} \ beta] \ alpha ^ {- 1} \,}$

где α ⁻¹ обозначает прообраз при  α . Частные преобразования уже изучались в контексте псевдогрупп . ^[6] Однако именно Вагнер первым заметил, что композиция частичных преобразований является частным случаем композиции бинарных отношений . ^[7] Он также осознал, что область композиции двух частичных преобразований может быть пустым множеством , поэтому он ввел пустое преобразование, чтобы учесть это. С добавлением этого пустого преобразования композиция частичных преобразований множества становится повсюду определеннымассоциативная бинарная операция . При этой композиции совокупность всех частичных однозначных преобразований множества X образует инверсную полугруппу, называемую симметричной инверсной полугруппой (или моноидом) на X , с обратной функциональной инверсией, определенной от изображения к области (эквивалентно, обратное соотношение ). ^[8] Это «архетипическая» обратная полугруппа, точно так же, как симметричная группа является архетипической группой . Например, так же, как каждая группа может быть вложена в симметричную группу , каждая обратная полугруппа может быть вложена в симметричную инверсную полугруппу (см.${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {X}}$§ Гомоморфизмы и представления обратных полугрупп ниже).

Основы [ править ]

Обратный к элементу x инверсной полугруппы S обычно пишется x ⁻¹ . Обратные в обратной полугруппе обладают многими из тех же свойств, что и обратные в группе , например, ( ab ) ⁻¹ = b ⁻¹ a ⁻¹ . В обратном моноидном , хх ^-1 и х ^-1 х не обязательно равно единица, но они оба идемпотентные . ^[9] Обратный моноид S, в котором xx ⁻¹ = 1 = x⁻¹ x для всех x из S ( унипотентный обратный моноид), конечно, группа .

Существует ряд эквивалентных характеристик обратной полугруппы S : ^[10]

• Каждый элемент S имеет единственный обратный в указанном выше смысле.
• Каждый элемент S имеет , по меньшей мере , один обратный ( S является регулярной полугруппой ) и идемпотенты коммутируют (то есть, идемпотенты из S образуют полурешетку ).
• Каждый -класс и каждый -класс содержат ровно один идемпотент , где и являются двумя отношениями Грина .${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$

Идемпотентная в -класса из S является S ^-1 с , в то время как идемпотентная в -класса из S является сс ^-1 . Следовательно, существует простая характеристика отношений Грина в обратной полугруппе: ^[11]${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$

${\displaystyle a\,{\mathcal {L}}\,b\Longleftrightarrow a^{-1}a=b^{-1}b,\quad a\,{\mathcal {R}}\,b\Longleftrightarrow aa^{-1}=bb^{-1}}$

Если не указано иное, E (S) будет обозначать полурешетку идемпотентах инверсной полугруппы S .

Примеры инверсных полугрупп [ править ]

• Если X является набором и набором однородных отношений на X с композицией отношений как бинарной операцией, то образует инверсную полугруппу, поскольку каждое отношение имеет обратное отношение , которое служит обратным.${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$
• Каждая группа является обратной полугруппой.
• Бициклический полугруппа является обратным, с ( в , б ) ^-1 = ( Ь , ).
• Всякая полурешетка обратна.
• Полугруппа Брандта является обратным.
• Полугруппа Munn является обратным.

Пример таблицы умножения. Он ассоциативен, и каждый элемент имеет свой собственный обратный в соответствии с aba = a, bab = b. Он не имеет идентичности и не коммутативен.

Естественный частичный порядок [ править ]

Инверсная полугруппа S обладает естественным отношением частичного порядка ≤ (иногда обозначаемым ω), которое определяется следующим образом: ^[12]

${\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=eb,}$

для некоторого идемпотента е в S . Эквивалентно,

${\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=bf,}$

для некоторого (вообще говоря , разные) идемпотентного F в S . Фактически, e можно принять как aa ^−1, а f как a ⁻¹ a . ^[13]

Естественный частичный порядок совместим как с умножением, так и с инверсией, то есть ^[14]

${\displaystyle a\leq b,c\leq d\Longrightarrow ac\leq bd}$

и

${\displaystyle a\leq b\Longrightarrow a^{-1}\leq b^{-1}.}$

В группе этот частичный порядок просто сводится к равенству, поскольку тождество является единственным идемпотентом . В симметричной обратной полугруппе частичный порядок сводится к ограничению отображений, т. Е. Α ≤ β тогда и только тогда, когда область определения α содержится в области определения β и x α = x β для всех x в области из α. ^[15]

Естественный частичный порядок на обратной полугруппе взаимодействует с отношениями Грина следующим образом: если s ≤ t и s t , то s = t . Аналогично, если s t . ^[16]${\displaystyle \,{\mathcal {L}}\,}$${\displaystyle \,{\mathcal {R}}\,}$

На E (S) естественный частичный порядок становится:

${\displaystyle e\leq f\Longleftrightarrow e=ef,}$

Итак, поскольку идемпотенты образуют полурешетку при операции произведения, произведения на E (S) дают наименьшие оценки сверху относительно ≤.

Если Е (S) конечна и образует цепь (то есть, Е (S) , является вполне упорядочены по ≤), то S является объединением из групп . ^[17] Если E (S) - бесконечная цепочка, можно получить аналогичный результат при дополнительных предположениях относительно S и E (S). ^[18]

Гомоморфизмы и представления инверсных полугрупп [ править ]

Гомоморфизм (или морфизм ) инверсных полугрупп определяется точно так же, как и для любой другой полугруппы: для инверсных полугрупп S и T , в функции & thetas от S до T морфизм , если ( sθ ) ( tθ ) = ( й ) θ , для всех х , т в S . Определение морфизма инверсных полугрупп можно дополнить включением условия ( sθ ) ⁻¹ = s ⁻¹ θоднако в этом нет необходимости, поскольку это свойство следует из приведенного выше определения с помощью следующей теоремы:

Теорема. Гомоморфный образ обратной полугруппы - это обратная полугруппа; инверсия элемента всегда сопоставляется с инверсией изображения этого элемента. ^[19]

Одним из первых доказанных результатов об инверсных полугруппах была теорема Вагнера – Престона , которая является аналогом теоремы Кэли для групп :

Теорема Вагнера – Престона. Если S - обратная полугруппа, то функция φ из S в , заданная формулой${\displaystyle {\mathcal {I}}_{S}}$

dom ( a φ) = Sa ⁻¹ и x ( a φ) = xa

является верным представлением о S . ^[20]

Таким образом, любая инверсная полугруппа может быть вложена в симметричную инверсную полугруппу с замкнутым образом относительно обратной операции над частичными биекциями. Наоборот, любая подполугруппа симметрической обратной полугруппы, замкнутая относительно обратной операции, является обратной полугруппой. Следовательно, полугруппа S изоморфна подполугруппе симметрической обратной полугруппы, замкнутой относительно обратных, тогда и только тогда, когда S - обратная полугруппа.

Конгруэнции на инверсных полугруппах [ править ]

Конгруэнции определяются на инверсных полугруппах точно так же, как и для любой другой полугруппы: конгруэнция ρ - это отношение эквивалентности , которое совместимо с полугрупповым умножением, т. Е.

${\displaystyle a\,\rho \,b,\quad c\,\rho \,d\Longrightarrow ac\,\rho \,bd.}$^[21]

Особый интерес представляет отношение , определенное на обратной полугруппе S формулой${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle a\,\sigma \,b\Longleftrightarrow }$существует с ^[22]${\displaystyle c\in S}$${\displaystyle c\leq a,b.}$

Можно показать, что σ является конгруэнцией и, по сути, это групповая конгруэнция , что означает, что фактор-полугруппа S / σ является группой. В наборе всех групповых конгруэнций на полугруппе S минимальный элемент (для частичного порядка, определяемого включением множеств) не обязательно должен быть наименьшим элементом. В частном случае, когда S - обратная полугруппа, σ - наименьшая конгруэнция на S такая, что S / σ - группа, то есть если τ - любая другая конгруэнция на S с S / τгруппа, то σ содержится в τ . Конгруэнции σ называется минимальная группа конгруэнтность на S . ^[23] Минимальная групповая конгруэнция может быть использована для характеристики E -унитарных инверсных полугрупп (см. Ниже).

Конгруэнция ρ на обратной полугруппе S называется идемпотентной чистой, если

${\displaystyle a\in S,e\in E(S),a\,\rho \,e\Longrightarrow a\in E(S).}$^[24]

E -унитарные инверсные полугруппы [ править ]

Один класс инверсных полугрупп , которые были изучены в течение многих лет является класс Е -унитарна инверсных полугрупп: инверсная полугруппа S (с полурешетке Е из идемпотентами ) является E - унитарным , если для всех е в Е и всех х в S ,

${\displaystyle es\in E\Longrightarrow s\in E.}$

Эквивалентно,

${\displaystyle se\in E\Rightarrow s\in E.}$^[25]

Еще одна характеристика не давал E -унитарна инверсной полугруппы S состоит в следующем: если е в Е и е ≤ s , для некоторых х в S , то ы в Е . ^[26]

Теорема. Пусть S - обратная полугруппа с полурешеткой идемпотентов E и минимальной групповой конгруэнцией σ . Тогда следующие варианты эквивалентны: ^[27]

• S - E -унитарный;
• σ - идемпотентно чистый;
• ${\displaystyle \sim }$= σ ,

где - отношение совместимости на S , определяемое формулой${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle a\sim b\Longleftrightarrow ab^{-1},a^{-1}b}$ идемпотентны.

Теорема Макалистера о покрытии. Каждая обратная полугруппа S имеет E-унитарное покрытие; то есть существует идемпотент, отделяющий сюръективный гомоморфизм от некоторой E-унитарной полугруппы T на S. ^[28]

Центральное место в изучении E -унитарных обратных полугрупп занимает следующая конструкция. ^[29] Пусть быть частично упорядоченное множество , при заказе ≤, и пусть быть подмножеством из со свойствами${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

• ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$является нижней полурешеткой , то есть каждая пара элементов A , B in имеет точную нижнюю грань A B в (по ≤);${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$это порядковый идеал из , то есть, для A , B в , если в и B ≤ A , то B находится в .${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$

Пусть теперь G - группа , действующая на (слева) такая, что${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

• для всех g в G и всех A , B in , gA = gB тогда и только тогда, когда A = B ;${\displaystyle {\mathcal {X}}}$
• для каждого g в G и каждого B в существует такое A в , что gA = B ;${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$
• для всех A , B in , A ≤ B тогда и только тогда, когда gA ≤ gB ;${\displaystyle {\mathcal {X}}}$
• для всех г , ч в G и все А в , г ( Ха ) = ( GH ) .${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

Также предполагается, что тройка обладает следующими свойствами:${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

• для каждого X in существует g в G и A in такие, что gA = X ;${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$
• для всех g из G , g и имеют непустое пересечение.${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$

Такая тройка называется тройкой Макалистера . Тройка Макалистера используется для определения следующего:${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})=\{(A,g)\in {\mathcal {Y}}\times G:g^{-1}A\in {\mathcal {Y}}\}}$

вместе с умножением

${\displaystyle (A,g)(B,h)=(A\wedge gB,gh)}$.

Тогда является обратной полугруппой относительно этого умножения с ( A , g ) ⁻¹ = ( g ⁻¹ A , g ⁻¹ ). Одним из основных результатов изучения E -унитарных инверсных полугрупп является P-теорема Макалистера :${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

P-теорема Макалистера. Позвольте быть тройкой Макалистера. Тогда является E -унитарной обратной полугруппой. Наоборот, всякая E -унитарная инверсная полугруппа изоморфна полугруппе этого типа. ^[30]${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

F -инверсные полугруппы [ править ]

Обратная полугруппа называется F -обратной, если каждый элемент имеет единственный максимальный элемент над ним в естественном частичном порядке, т. Е. Каждый σ- класс имеет максимальный элемент. Каждая F -обратная полугруппа является E -унитарным моноидом. Теорема Макалистера о покрытии была уточнена М. В. Лоусоном :

Теорема. Каждая инверсная полугруппа имеет F -обратное покрытие. ^[31]

P -теорема Макалистера также использовалась для характеристики F -обратных полугрупп. Макэлистер тройной является F -inverse полугруппы тогда и только тогда , когда является главным идеалом и является полуструктурой.${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

Свободные инверсные полугруппы [ править ]

Для инверсных полугрупп возможна конструкция, аналогичная свободной группе . Презентация свободной инверсной полугруппы на множестве X можно получить, рассматривая свободную полугруппу с инволюцией , где инволюция является взятие обратного, а затем профакторизовав по конгруэнции Vagner

${\displaystyle \{(xx^{-1}x,x),\;(xx^{-1}yy^{-1},yy^{-1}xx^{-1})\;|\;x,y\in (X\cup X^{-1})^{+}\}.}$

Проблема слов для свободных инверсных полугрупп гораздо сложнее, чем для свободных групп. Знаменитый результат в этой области принадлежит В. Д. Манну, который показал, что элементы свободной обратной полугруппы можно естественным образом рассматривать как деревья, известные как деревья Манна. Умножение в свободной обратной полугруппе имеет корреспондента на деревьях Манна , который по существу состоит из перекрывающихся общих частей деревьев. (подробности см. в Lawson 1998).

Любая свободная инверсная полугруппа F -обрана. ^[31]

Связь с теорией категорий [ править ]

Приведенная выше композиция частичных преобразований множества порождает симметричную инверсную полугруппу. Существует другой способ составления частичных преобразований, который более ограничен, чем использованный выше: два частичных преобразования α и β составляются тогда и только тогда, когда изображение α равно области определения β ; в противном случае состав αβ не определен. При этой альтернативной композиции совокупность всех частичных однозначных преобразований множества образует не инверсную полугруппу, а индуктивный группоид в смысле теории категорий . Эта тесная связь между инверсными полугруппами и индуктивными группоидами воплощена в теореме Эресмана – Шейна – Намбоорипада., который утверждает, что индуктивный группоид всегда можно построить из обратной полугруппы, и наоборот. ^[32] Точнее, инверсная полугруппа - это в точности группоид в категории множеств, являющийся этальным группоидом по отношению к своей (двойственной) топологии Александрова, чье множество объектов является встречно-полурешеткой.

Обобщения инверсных полугрупп [ править ]

Как отмечалось выше, обратная полугруппа S может быть определена условиями (1) S - регулярная полугруппа и (2) идемпотенты в S коммутируют; это привело к двум различным классам обобщений обратной полугруппы: полугруппы, в которых (1) выполняется, а (2) нет, и наоборот.

Примеры регулярных обобщений обратной полугруппы: ^[33]

• Регулярные полугруппы : полугруппа S является регулярной, если каждый элемент имеет хотя бы одну обратную; эквивалентно, для каждого a в S существует x в S такой, что axa = a .
• Локально инверсные полугруппы : а регулярная полугруппа S является локально обратным , если ESE инверсной полугруппы, для каждого идемпотентных е .
• Православные полугруппы : а регулярная полугруппа S является ортодоксальным , если его подмножество идемпотентов образует подполугруппу.
• Обобщенные инверсные полугруппы : регулярная полугруппа S называется обобщенной инверсной полугруппой, если ее идемпотенты образуют нормальную ленту, т. Е. Xyzx = xzyx , для всех идемпотентов x , y , z .

Класс обобщенных инверсных полугрупп является пересечением класса локально инверсных полугрупп и класс ортодоксальных полугрупп. ^[34]

Среди нерегулярных обобщений обратной полугруппы: ^[35]

• (Левая, правая, двусторонняя) адекватные полугруппы.
• (Левая, правая, двусторонняя) обильные полугруппы.
• (Левая, правая, двусторонняя) полуадекватные полугруппы.
• Слабо (левая, правая, двусторонняя) обильные полугруппы.

Обратная категория [ править ]

Это понятие обратного также легко обобщается на категории . Инверсная категория является просто категория , в которой каждый морфизм F  : X → Y имеет обобщенный обратный г  : Y → X такие , что FGF = е и GFG = г . Обратная категория самодвойственна . Категория множеств и частичные взаимные однозначности - яркий тому пример. ^[36]

Обратные категории нашли различные применения в теоретической информатике . ^[37]

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Клиффорд, AH; Престон, Великобритания (1967). Алгебраическая теория полугрупп . Математические обзоры Американского математического общества. 7 . ISBN 978-0-8218-0272-4.
• Фонтан, JB (1979). «Адекватные полугруппы» . Труды Эдинбургского математического общества . 22 (2): 113–125. DOI : 10.1017 / S0013091500016230 .
• Голаб, ул. (1939). "Убер ден Бегриф дер" Псевдогруппа фон трансформации " ". Mathematische Annalen (на немецком языке). 116 : 768–780. DOI : 10.1007 / BF01597390 .
• Exel, R. (1998). «Частичные действия групп и действия инверсных полугрупп». Труды Американского математического общества . 126 (12): 3481–4. arXiv : функция-ан / 9511003 . DOI : 10.1090 / S0002-9939-98-04575-4 .
• Гулд В. "(Слабо) E-обильные слева полугруппы" . Архивировано из оригинала (Postscript) 26 августа 2005 года . Проверено 28 августа 2006 .
• Хауи, JM (1995). Основы теории полугрупп . Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 0198511949.
• Лоусон, М.В. (1998). Обратные полугруппы: теория частных симметрий . World Scientific. ISBN 9810233167.
• Макалистер, Д. Б. (1974a). «Группы, полурешетки и обратные полугруппы». Труды Американского математического общества . 192 : 227–244. DOI : 10.2307 / 1996831 . JSTOR  1996831 .
• Макалистер, Д. Б. (1974b). «Группы, полурешетки и обратные полугруппы II» . Труды Американского математического общества . 196 : 351–370. DOI : 10.2307 / 1997032 . JSTOR  1997032 .
• Петрич, М. (1984). Обратные полугруппы . Вайли. ISBN 0471875457.
• Престон, Великобритания (1954a). «Обратные полугруппы». Журнал Лондонского математического общества . 29 (4): 396–403. DOI : 10,1112 / jlms / s1-29.4.396 .
• Престон, Великобритания (1954b). «Обратные полугруппы с минимальными правыми идеалами». Журнал Лондонского математического общества . 29 (4): 404–411. DOI : 10,1112 / jlms / s1-29.4.404 .
• Престон, Великобритания (1954c). «Представления обратных полугрупп». Журнал Лондонского математического общества . 29 (4): 411–9. DOI : 10,1112 / jlms / s1-29.4.411 .
• Шейн, Б.М. (1981). «Некролог: Виктор Владимирович Вагнер (1908–1981)». Полугруппа Форум . 28 : 189–200. DOI : 10.1007 / BF02676643 .
• Шейн, Б.М. (2002). "Рецензия на книгу:" Обратные полугруппы: теория частных симметрий "Марка В. Лоусона". Полугруппа Форум . 65 : 149–158. DOI : 10.1007 / s002330010132 .
• Вагнер, В.В. (1952). «Обобщенные группы». Известия Академии наук СССР . 84 : 1119–1122. Английский перевод (PDF)
• Вагнер, В.В. (1953). «Теория обобщенных куч и обобщенных групп». Математический сборник . Новая серия. 32 (74): 545–632.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Краткое введение в инверсные полугруппы см. В Clifford & Preston 1967 , глава 7 или Howie 1995 , глава 5.
• Более подробные введения можно найти в Petrich 1984 и Lawson 1998 .
• Линкельманн, М. (2012). «Об обратных категориях и переносе в когомологиях» (PDF) . Труды Эдинбургского математического общества . 56 : 187. DOI : 10,1017 / S0013091512000211 . Препринт в открытом доступе