В математике , A псевдогруппа представляет собой набор диффеоморфизмов между открытыми множествами пространства, удовлетворяющими группы , как и пучком-подобными свойствами. Это обобщение концепции группы , происходящее, однако, из геометрического подхода Софуса Ли [1] к исследованию симметрий дифференциальных уравнений, а не из абстрактной алгебры (такой как квазигруппа , например). Современная теория псевдогрупп была разработана Эли Картаном в начале 1900-х годов. [2] [3]
Определение
Псевдогруппа накладывает несколько условий на наборы гомеоморфизмов (соответственно, диффеоморфизмов ), определенных на открытых множествах U данного евклидова пространства или, в более общем смысле, фиксированного топологического пространства (соответственно гладкого многообразия ). Поскольку два гомеоморфизма h : U → V и g : V → W составляют гомеоморфизм из U в W , возникает вопрос, что псевдогруппа замкнута относительно композиции и инверсии. Однако, в отличие от аксиом для группы, аксиомы, определяющие псевдогруппу, не являются чисто алгебраическими; дальнейшие требования связаны с возможностью ограничения и исправления гомеоморфизмов (аналогично аксиоме склейки для секций пучка).
Более точно, псевдогруппа на топологическом пространстве S - это совокупность Γ гомеоморфизмов между открытыми подмножествами S, удовлетворяющая следующим свойствам. [4]
- Для каждого открытого множества U в S , то тождественное отображение на U в Г.
- Если f принадлежит Γ, то f −1 тоже .
- Если F в Г, то ограничение на F до произвольного открытого подмножества его области в Г.
- Если U открыто в S , U - объединение открытых множеств { U i }, f - гомеоморфизм из U в открытое подмножество S , а ограничение f на U i находится в Γ для всех i , то f находится в Γ.
- Если F : U → V и F ' : U ' → V ' в Г, а пересечение V ∩ U ' является непустым , то следующий ограничено композиция находится в Г:
Аналогично псевдогруппа на гладком многообразии X определяется как набор Γ диффеоморфизмов между открытыми подмножествами X, удовлетворяющими аналогичным свойствам (где мы заменяем гомеоморфизмы диффеоморфизмами).
Две точки в X называются находящимися на одной орбите, если элемент из Γ пересылает одну в другую. Очевидно, что орбиты псевдогруппы являются разбиением X ; псевдогруппа называется транзитивной, если она имеет только одну орбиту.
Примеры
Широко распространенный класс примеров дают псевдогруппы, сохраняющие заданную геометрическую структуру. Например, если ( X , g ) - риманово многообразие , имеется псевдогруппа его локальных изометрий ; если ( X , ω ) - симплектическое многообразие , имеется псевдогруппа его локальных симплектоморфизмов ; и т.д. Эти псевдогруппы следует рассматривать как набор локальных симметрий этих структур.
Псевдогруппы симметрий и геометрические структуры
Многообразия с дополнительными структурами часто могут быть определены с помощью псевдогрупп симметрий фиксированной локальной модели. Точнее, для данной псевдогруппы Γ Γ-атлас на топологическом пространстве M состоит из стандартного атласа на M, такого что изменения координат (т. Е. Отображения переходов) принадлежат Γ. Эквивалентно класс Г-атласы также называется Г-структура на М .
В частности, когда Γ является псевдогруппой всех локально определенных диффеоморфизмов R n , восстанавливается стандартное понятие гладкого атласа и гладкой структуры . В более общем смысле, можно определить следующие объекты как Γ-структуры на топологическом пространстве M :
- плоские римановы структуры для Γ псевдогрупп изометрий R n с канонической евклидовой метрикой;
- симплектические структуры , для Γ псевдогруппа симплектоморфизмов R 2n с канонической симплектической формой;
- аналитические структуры , для Г псевдогруппа ( в реальном масштабе) аналитических диффеоморфизмов из R н ;
- Римановых поверхностей , для Г псевдогруппу обратимых голоморфных функций одного комплексного переменного .
В более общем смысле , любая интегрируемая G -структура и любой ( G , X ) -многообразие являются частными случаями Г-структуры, для подходящих псевдогрупп Г.
Псевдогруппы и теория Ли
В общем, псевдогруппы изучались как возможная теория бесконечномерных групп Ли . Концепция локальной группы Ли , а именно псевдогруппы функций, определенных в окрестностях начала координат евклидова пространства E , на самом деле ближе к исходной концепции Ли группы Ли в случае, когда задействованные преобразования зависят от конечного числа параметров. , чем современное определение через многообразия . Одним из достижений Картана было выяснение точки участие, в том числе того, что локальная группа Ли всегда приводит к глобальной группе, в текущем смысле (аналог третьей теоремы Ли , на Ли алгебры определения группы). Формальная группа еще один подход к спецификации групп Ли, бесконечно. Однако известно, что локальные топологические группы не обязательно имеют глобальные аналоги.
Примеры бесконечномерным псевдогрупп имеются в большом количестве, начиная с псевдогруппы всех диффеоморфизмов из Е . В основном интерес представляют субпсевдогруппы диффеоморфизмов и, следовательно, объекты, имеющие аналог векторных полей в алгебре Ли . Методы, предложенные Ли и Картаном для изучения этих объектов, стали более практичными с развитием компьютерной алгебры .
В 1950-х годах теория Картана была переформулирована Шиинг-Шеном Черном , а общая теория деформации псевдогрупп была развита Кунихико Кодайрой [5] и Д.К. Спенсером . [6] В 1960-х годах гомологическая алгебра была применена к основным вовлеченным вопросам PDE - сверхдетерминации; однако это показало, что алгебра теории потенциально очень тяжелая. В это же десятилетие впервые проявился интерес к теоретической физике бесконечномерной теории Ли в форме алгебры токов .
Интуитивно псевдогруппа Ли должна быть псевдогруппой, которая «происходит» из системы PDE. В литературе есть много похожих, но неэквивалентных понятий; [7] [8] [9] [10] [11] "правильный" зависит от того, какое приложение вы имеете в виду. Однако все эти различные подходы включают (конечномерные или бесконечномерные) расслоения струй Γ, которые считаются группоидом Ли . В частности, псевдогруппа Ли называется конечным порядком k, если ее можно «реконструировать» по пространству своих k- струй .
Рекомендации
- ^ Софус, Ли (1888–93). Theorie der Transformationsgruppen . Б. Г. Тойбнер. OCLC 6056947 .CS1 maint: формат даты ( ссылка )
- ^ Картан, Эли (1904). "Структура бесконечных групп преобразований" (PDF) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 21 : 153–206. DOI : 10,24033 / asens.538 .
- ^ Картан, Эли (1909). «Группы преобразований континуум, бесконечность, простота» (PDF) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 26 : 93–161. DOI : 10,24033 / asens.603 .
- ^ Kobayashi, Shoshichi & Номидз, Катсуй. Основы дифференциальной геометрии, Том I . Библиотека Wiley Classics. John Wiley & Sons Inc., Нью-Йорк, 1996. Перепечатка оригинала 1969 года, A Wiley-Interscience Publication. ISBN 0-471-15733-3 .
- ^ Кодаира, К. (1960). «О деформациях некоторых сложных псевдогрупповых структур» . Анналы математики . 71 (2): 224–302. DOI : 10.2307 / 1970083 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1970083 .
- ^ Гийемен, Виктор; Штернберг, Шломо (1966). «Теория деформации псевдогрупповых структур» . Мемуары Американского математического общества . 0 (64): 0. doi : 10.1090 / memo / 0064 . ISSN 0065-9266 .
- ^ Кумпера, Антонио; Спенсер, Дональд Клейтон (1 января 1973). Уравнения Ли, т. Я . Издательство Принстонского университета. DOI : 10.1515 / 9781400881734 . ISBN 978-1-4008-8173-4.
- ^ Певица, ИМ; Штернберг, Шломо (1965). «Бесконечные группы Ли и Картана, часть I (транзитивные группы)» . Журнал d'Analyse Mathématique . 15 (1): 1–114. DOI : 10.1007 / bf02787690 . ISSN 0021-7670 . S2CID 123124081 .
- ^ Клод., Альберт (1984–1987). Псевдогруппы транзита Ли . Германн. OCLC 715985799 .CS1 maint: формат даты ( ссылка )
- ^ Кураниши, Масатаке (1959). «К локальной теории непрерывных бесконечных псевдогрупп I» . Нагойский математический журнал . 15 : 225–260. DOI : 10.1017 / s0027763000006747 . ISSN 0027-7630 .
- ^ Олвер, Питер Дж .; Похьянпелто, Юха (2005). «Формы Маурера – Картана и строение псевдогрупп Ли» . Selecta Mathematica . 11 (1): 99–126. DOI : 10.1007 / s00029-005-0008-7 . ISSN 1022-1824 . S2CID 14712181 .
- Санкт-Голаб (1939). "Убер ден Бегриф дер" Псевдогруппа фон трансформации " ". Mathematische Annalen . 116 : 768–780. DOI : 10.1007 / BF01597390 . S2CID 124962440 .
Внешние ссылки
- Алексеевский, Д.В. (2001) [1994], "Псевдогруппы" , Энциклопедия математики , EMS Press