Диффеоморфизм

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , Диффеоморфизм является изоморфизмом из гладких многообразий . Это обратимая функция, которая отображает одно дифференцируемое многообразие на другое, так что и функция, и обратная к ней являются гладкими .

Определение [ править ]

Учитывая два многообразия и , дифференцирует отображение называется диффеоморфизмом , если это взаимно однозначное и обратным дифференцируем , а также. Если эти функции раз непрерывно дифференцируемы , это называется -диффеоморфизмом .${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$${\displaystyle f^{-1}\colon N\rightarrow M}$${\displaystyle r}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{r}}$

Два многообразия и являются диффеоморфен (обычно обозначается ) , если существует диффеоморфизм от до . Они - диффеоморфны, если между ними существует непрерывно дифференцируемое раз биективное отображение, обратное также раз непрерывно дифференцируемое.${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M\simeq N}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle C^{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

Диффеоморфизмы подмножеств многообразий [ править ]

Учитывая подмножество X многообразия M и подмножество Y многообразия N , функции F  : X  → Y называется гладкой , если для всех р в X существует окрестность U  ⊆ M из р и гладкая функция г  : U  → N такое, что ограничения совпадают: (заметим, что g является расширением f ). Функция f${\displaystyle g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}}$ называется диффеоморфизмом, если он биективен, гладкий и обратный к нему гладкий.

Местное описание [ править ]

Теорема Адамара-Каччопполи ^[1]

Если U , V будут подключены открытые подмножества из R ^п таким образом, что V является односвязны , A дифференцируемое отображение F  : U  → V является диффеоморфизмом , если это собственно , и если дифференциальное ДФ _х  : R ^п  → R ^п биективен (и , следовательно , линейный изоморфизм ) в каждой точке х в U .

Первое замечание

Для того чтобы функция f была глобально обратимой, необходимо, чтобы V была односвязной (при том единственном условии, что ее производная является биективным отображением в каждой точке). Например, рассмотрим "реализацию" функции комплексных квадратов

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbf {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbf {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\\(x,y)\mapsto (x^{2}-y^{2},2xy).\end{cases}}}$

Тогда F является сюръективным и она удовлетворяет

${\displaystyle \det Df_{x}=4(x^{2}+y^{2})\neq 0.}$

Таким образом, хотя Df _x биективен в каждой точке, f не обратим, потому что он не может быть инъективным (например, f (1, 0) = (1, 0) = f (−1, 0).

Второе замечание

Поскольку дифференциал в точке (для дифференцируемой функции)

${\displaystyle Df_{x}:T_{x}U\to T_{f(x)}V}$

является линейным отображением , оно имеет четко определенный обратный тогда и только тогда, когда Df _x является биекцией. Матрица представление Df _х является п  ×  п матрица первого порядка в частных производных , чей вход в я -й строке и J -го столбца . Эта так называемая матрица Якоби часто используется для явных вычислений.${\displaystyle \partial f_{i}/\partial x_{j}}$

Третье замечание

Диффеоморфизмы обязательно существуют между многообразиями одной размерности . Представьте, что f переходит из размерности n в размерность k . Если n  <  k, то Df _x никогда не может быть сюръективным, а если n  >  k, то Df _x никогда не может быть инъективным. Следовательно, в обоих случаях Df _x не может быть биекцией.

Четвертое замечание

Если Df _x - биекция в x, то f называется локальным диффеоморфизмом (поскольку по непрерывности Df _y также будет биективным для всех y, достаточно близких к x ).

Пятое замечание

Для гладкого отображения из размерности n в размерность k , если Df (или, локально, Df _x ) сюръективно, f называется субмерсией (или, локально, "локальной субмерсией"); и если Df (или локально Df _x ) инъективно, f называется иммерсией (или, локально, «локальным погружением»).

Шестое замечание

Дифференцируемая биекция не обязательно является диффеоморфизмом. Например, f ( x ) =  x ³ не является диффеоморфизмом от R к самому себе, потому что его производная равна нулю в 0 (и, следовательно, его обратный не дифференцируем в 0). Это пример гомеоморфизма, который не является диффеоморфизмом.

Седьмое замечание

Когда f является отображением дифференцируемых многообразий, диффеоморфное f является более сильным условием, чем гомеоморфное f . Для диффеоморфизма f и обратный к нему должны быть дифференцируемыми ; для гомеоморфизма f и обратный к нему должны быть только непрерывными . Каждый диффеоморфизм является гомеоморфизмом, но не всякий гомеоморфизм является диффеоморфизмом.

f  : M  → N называется диффеоморфизмом, если в координатных картах он удовлетворяет приведенному выше определению. Более точно: Выберите любую крышку M совместимыми координат графики и делать то же самое для N . Пусть φ и ψ - карты на M и N соответственно , причем U и V являются образами φ и ψ соответственно. Отображение ψ f φ ⁻¹  : U  → V является диффеоморфизмом, как в определении выше, если f (φ ⁻¹ (U)) ⊆ ψ⁻¹ (В).

Примеры [ править ]

Поскольку любое многообразие может быть локально параметрировано, мы можем рассмотреть некоторые явные карты из R ² в R ² .

• Позволять

${\displaystyle f(x,y)=\left(x^{2}+y^{3},x^{2}-y^{3}\right).}$

Мы можем вычислить матрицу Якоби:

${\displaystyle J_{f}={\begin{pmatrix}2x&3y^{2}\\2x&-3y^{2}\end{pmatrix}}.}$

Матрица Якоби имеет нулевой определитель тогда и только тогда, когда xy = 0. Мы видим, что f может быть только диффеоморфизмом, отличным от оси x и оси y . Однако f не биективен, так как f ( x ,  y ) = f (- x ,  y ), и, следовательно, не может быть диффеоморфизмом.

• Позволять

${\displaystyle g(x,y)=\left(a_{0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+\cdots ,\ b_{0}+b_{1,0}x+b_{0,1}y+\cdots \right)}$

где и - произвольные действительные числа , а пропущенные члены имеют степень не менее двух по x и y . Мы можем вычислить матрицу Якоби в 0 :${\displaystyle a_{i,j}}$${\displaystyle b_{i,j}}$

${\displaystyle J_{g}(0,0)={\begin{pmatrix}a_{1,0}&a_{0,1}\\b_{1,0}&b_{0,1}\end{pmatrix}}.}$

Мы видим, что g - локальный диффеоморфизм в 0 тогда и только тогда, когда

${\displaystyle a_{1,0}b_{0,1}-a_{0,1}b_{1,0}\neq 0,}$

т.е. линейные члены в компонентах г являются линейно независимыми , как полиномы .

• Позволять

${\displaystyle h(x,y)=\left(\sin(x^{2}+y^{2}),\cos(x^{2}+y^{2})\right).}$

Мы можем вычислить матрицу Якоби:

${\displaystyle J_{h}={\begin{pmatrix}2x\cos(x^{2}+y^{2})&2y\cos(x^{2}+y^{2})\\-2x\sin(x^{2}+y^{2})&-2y\sin(x^{2}+y^{2})\end{pmatrix}}.}$

Матрица Якоби всюду имеет нулевой определитель! Фактически мы видим, что изображение h - это единичный круг .

Деформации поверхности [ править ]

В механике трансформация, вызванная напряжением, называется деформацией и может быть описана диффеоморфизмом. Диффеоморфизм f  : U → V между двумя поверхностями U и V имеет матрицу Якоби Df, которая является обратимой матрицей . На самом деле, необходимо, чтобы для р в U , существует окрестность о р , в которой якобиан Df остается неособо . Поскольку якобиан является вещественной матрицей 2 × 2, Df можно читать какодин из трех типов комплексного числа : обычное комплексное число , разделенное комплексное число или двойное число . Предположим, что в карте поверхности${\displaystyle f(x,y)=(u,v).}$

Полный дифференциал из U является

${\displaystyle du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy}$, и аналогично для v .

Тогда изображение представляет собой линейное преобразование , фиксирующее начало координат и выражающееся как действие комплексного числа определенного типа. Когда ( dx ,  dy ) также интерпретируется как этот тип комплексного числа, действие представляет собой комплексное умножение в соответствующей плоскости комплексных чисел. Таким образом, существует тип угла ( евклидов , гиперболический или наклонный ), который сохраняется при таком умножении. Благодаря ДФ быть обратимым, тип комплексного числа равномерен по всей поверхности. Следовательно, поверхностная деформация или диффеоморфизм поверхностей обладает конформным свойством сохранения углов (соответствующего типа).${\displaystyle (du,dv)=(dx,dy)Df}$

Группа диффеоморфизмов [ править ]

Пусть M - дифференцируемое многообразие, счетное во второй и хаусдорфово . Диффеоморфизм группа из М является группой всех С ^г диффеоморфизмов М к себе, обозначим через Diff ^г ( М ) или, когда г понимается, Diff ( М ). Это «большая» группа в том смысле, что - если M не является нульмерной - она ​​не является локально компактной .

Топология [ править ]

Группа диффеоморфизмов имеет две естественные топологии : слабую и сильную ( Hirsch 1997 ). Когда многообразие компактно , эти две топологии согласуются. Слабая топология всегда метризуема . Когда многообразие не компактно, сильная топология фиксирует поведение функций «на бесконечности» и не является метризуемой. Однако это все еще Бэр .

Зафиксировав риманову метрику на M , слабая топология - это топология, индуцированная семейством метрик

${\displaystyle d_{K}(f,g)=\sup \nolimits _{x\in K}d(f(x),g(x))+\sum \nolimits _{1\leq p\leq r}\sup \nolimits _{x\in K}\left\|D^{p}f(x)-D^{p}g(x)\right\|}$

а К изменяется на компактных подмножествах М . Действительно, так как М является σ-компактно, существует последовательность компактных подмножеств К _п которого объединение является М . Потом:

${\displaystyle d(f,g)=\sum \nolimits _{n}2^{-n}{\frac {d_{K_{n}}(f,g)}{1+d_{K_{n}}(f,g)}}.}$

Группа диффеоморфизмов со своей слабой топологией локально гомеоморфна пространству векторных полей C ^r ( Leslie 1967 ). На компактном подмножестве M это следует, фиксируя риманову метрику на M и используя экспоненциальное отображение для этой метрики. Если r конечно и многообразие компактно, пространство векторных полей является банаховым пространством . Более того, отображения переходов от одной карты этого атласа к другой гладкие, что превращает группу диффеоморфизмов в банахово многообразие с гладкими правыми переносами; левые переводы и инверсия только непрерывны. Если r = ∞, пространство векторных полей является пространством Фреше . Более того, отображения переходов гладкие, что превращает группу диффеоморфизмов в многообразие Фреше и даже в регулярную группу Фреше Ли . Если многообразие σ-компактно и не компактно, полная группа диффеоморфизмов не является локально стягиваемой ни для одной из двух топологий. Чтобы получить группу диффеоморфизмов, которая является многообразием, нужно ограничить группу, контролируя отклонение от тождества вблизи бесконечности; см. ( Michor & Mumford 2013 ).

Алгебра Ли [ править ]

Алгебра Ли диффеоморфизма группы М состоит из всех векторных полей на M , снабженное скобкой Ли векторных полей . Отчасти формально это можно увидеть, сделав небольшое изменение координаты в каждой точке пространства:${\displaystyle x}$

${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\varepsilon h^{\mu }(x)}$

поэтому инфинитезимальные генераторы - это векторные поля

${\displaystyle L_{h}=h^{\mu }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}.}$

Примеры [ править ]

• При M  = G является группой Ли , существует естественное вложение G в своей собственной группе диффеоморфизмов с помощью левого перевода. Пусть Diff ( G ) обозначает группу диффеоморфизмов группы G , тогда существует расщепление Diff ( G ) ≃ G  × Diff ( G ,  e ), где Diff ( G ,  e ) - подгруппа группы Diff ( G ), фиксирующая тождество элемент группы.
• Группа диффеоморфизмов евклидова пространства R ⁿ состоит из двух компонентов, состоящих из диффеоморфизмов, сохраняющих ориентацию и меняющих ориентацию. Фактически, общая линейная группа является деформационным ретрактом подгруппы диффеоморфизмов Diff ( R ⁿ , 0), фиксирующей начало координат при отображении f ( x ) ↦ f ( tx )  / t , t  ∈ (0,1]. в частности, полная линейная группа также является деформационным ретрактом полной группы диффеоморфизмов. 
• Для конечного множества точек группа диффеоморфизмов - это просто симметрическая группа . Аналогично, если M - любое многообразие, существует расширение группы 0 → Diff ₀ ( M ) → Diff ( M ) → Σ (π ₀ ( M )). Здесь Diff ₀ ( M ) - это подгруппа в Diff ( M ), сохраняющая все компоненты M , а Σ (π ₀ ( M )) - группа перестановок множества π ₀ ( M ) (компонентов M ). Более того, изображение карты Diff (M ) → Σ (π ₀ ( M )) - биекции π ₀ ( M ), сохраняющие классы диффеоморфизмов.

Транзитивность [ править ]

Для связного многообразия M группа диффеоморфизмов действует на M транзитивно . В более общем смысле , группа Диффеоморфизма транзитивно действует на конфигурационном пространстве С _к М . Если М является по меньшей мере , двумерный, группа Диффеоморфизма транзитивно действует на конфигурационном пространстве F _K M и действие на М является кратной транзитивностью ( Banyaga 1997 , стр. 29).

Расширения диффеоморфизмов [ править ]

В 1926 году Тибор Радо спрашивает , может ли гармоническая расширение любого гомеоморфизма или диффеоморфизма единичного круга в единичном круге дает диффеоморфизм на открытом диске. Вскоре после этого Хельмут Кнезер предоставил элегантное доказательство . В 1945 году Гюстав Шоке , по-видимому, не подозревая об этом результате, представил совершенно другое доказательство.

Группа (сохраняющих ориентацию) диффеоморфизмов окружности линейно связна. Это можно увидеть, заметив, что любой такой диффеоморфизм можно поднять до диффеоморфизма f вещественных чисел, удовлетворяющих [ f ( x  + 1) = f ( x ) + 1]; это пространство выпукло и, следовательно, линейно связно. Гладкий, в конечном итоге постоянный путь к тождеству дает второй более элементарный способ расширения диффеоморфизма с круга на открытый единичный диск (частный случай уловки Александера ). Более того, группа диффеоморфизмов окружности имеет гомотопический тип ортогональной группы O (2).

Соответствующая проблема расширения для диффеоморфизмов многомерных сфер S ^{n −1} широко изучалась в 1950-х и 1960-х годах с заметным вкладом Рене Тома , Джона Милнора и Стивена Смейла . Препятствием к таким расширениям является конечная абелева группа Γ _n , « группа скрученных сфер », определяемая как фактор абелевой группы компонент группы диффеоморфизмов по подгруппе классов, продолжающихся до диффеоморфизмов шара B ⁿ .

Связность [ править ]

Для многообразий группа диффеоморфизмов обычно несвязна. Его группа компонентов называется группой классов отображения . В размерности 2 (т.е. поверхностях ) группа классов отображений - это конечно представленная группа, порожденная скручиваниями Дена ( Ден , Ликориш , Хэтчер ). ^{[ Править ]} Макс Ден и Якоб Нильсен показал , что он может быть идентифицирован с внешней группой автоморфизмов из фундаментальной группы поверхности.

Уильям Терстон уточнил этот анализ, разделив элементы группы классов отображений на три типа: эквивалентные периодическому диффеоморфизму; эквивалентные диффеоморфизму, оставляющему инвариантной простую замкнутую кривую; и эквивалентные псевдоаносовским диффеоморфизмам . В случае тора S ¹  ×  S ¹  = R ² / Z ² группа классов отображений - это просто модулярная группа SL (2,  Z ), и классификация становится классической в ​​терминах эллиптических , параболических игиперболические матрицы. Thurston выполнил свою классификацию, заметив , что группа классов отображений действовала естественно на компактификацию из Тайхмюллера пространства ; поскольку это увеличенное пространство гомеоморфно замкнутому шару, теорема Брауэра о неподвижной точке стала применимой. Смейл предположил, что если M - ориентированное гладкое замкнутое многообразие, то компонента единицы группы диффеоморфизмов, сохраняющих ориентацию, проста . Это было впервые доказано для продукта кругов Мишелем Германом ; это было полностью доказано Терстоном.

Гомотопические типы [ править ]

• Диффеоморфизм группа S ² имеет гомотопический-тип подгруппы O (3). Это доказал Стив Смейл. ^[2]
• Группа диффеоморфизмов тора имеет гомотопический тип своих линейных автоморфизмов : S ¹  ×  S ¹  × GL (2, Z ).
• Группы диффеоморфизмов ориентируемых поверхностей рода g  > 1 имеют гомотопический тип своих групп классов отображений (т. Е. Компоненты стягиваемы).
• Гомотопический тип групп диффеоморфизмов трехмерных многообразий достаточно хорошо изучен благодаря работам Иванова, Хатчера, Габая и Рубинштейна, хотя есть несколько выдающихся открытых случаев (в первую очередь трехмерных многообразий с конечными фундаментальными группами ).
• Гомотопический тип групп диффеоморфизмов n -многообразий при n  > 3 изучен плохо. Например, остается открытым вопрос, имеет ли Diff ( S ⁴ ) более двух компонентов. Однако Милнор, Кан и Антонелли знают, что при n  > 6 Diff ( S ⁿ ) не имеет гомотопического типа конечного CW-комплекса .

Гомеоморфизм и диффеоморфизм [ править ]

В отличие от недиффеоморфных гомеоморфизмов относительно сложно найти пару гомеоморфных многообразий, которые не являются диффеоморфными. В размерностях 1, 2 и 3 любая пара гладких гомеоморфных многообразий диффеоморфна. В размерности 4 и более найдены примеры гомеоморфных, но не диффеоморфных пар. Первый такой пример был построен Джоном Милнором в размерности 7. Он построил гладкое 7-мерное многообразие (называемое теперь сферой Милнора ), которое гомеоморфно стандартной 7-сфере, но не диффеоморфно ей. Фактически существует 28 классов ориентированных диффеоморфизмов многообразий, гомеоморфных 7-сфере (каждое из них является тотальным пространством расслоения над 4-сферой с 3-сферой как волокно).

Более необычные явления происходят для 4-многообразий . В начале 1980 - х годов, сочетание результатов из - за Саймона Дональдсон и Майкл Фридман привел к открытию экзотических R 4 с : существует несчетное множество попарно недиффеоморфных открытые подмножества R ⁴ , каждый из которых гомеоморфно R ⁴ , а также существует несчетное количество попарно недиффеоморфных дифференцируемых многообразий, гомеоморфных R ^4, которые не вкладываются гладко в R ⁴ .

См. Также [ править ]

• Этальный морфизм
• Большой диффеоморфизм
• Локальный диффеоморфизм
• Супердиффеоморфизм

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Кранц, Стивен Дж .; Парки, Гарольд Р. (2013). Теорема о неявной функции: история, теория и приложения . Современная классика Биркхойзера. Бостон. ISBN 978-1-4614-5980-4.
• Чаудхури, Шьямоли; Кавай, Хикару; Тай, С.-Х. Генри (1987-08-15). "Интегральная формулировка замкнутых цепочек" (PDF) . Physical Review D . 36 (4): 1148–1168. Bibcode : 1987PhRvD..36.1148C . DOI : 10.1103 / physrevd.36.1148 . ISSN  0556-2821 . PMID  9958280 .
• Баньяга, Августин (1997), Структура классических групп диффеоморфизмов , Математика и ее приложения, 400 , Kluwer Academic, ISBN 0-7923-4475-8
• Дурен, Питер Л. (2004), Гармонические отображения на плоскости , Cambridge Mathematical Tracts, 156 , Cambridge University Press, ISBN 0-521-64121-7
• "Диффеоморфизм" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Хирш, Моррис (1997), Дифференциальная топология , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90148-0
• Кригл, Андреас; Мичор, Питер (1997), Удобная настройка глобального анализа , Математические обзоры и монографии, 53 , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0780-3
• Лесли, JA (1967), "О дифференциальной структуры для группы диффеоморфизмов", Топология , 6 (2): 263-271, DOI : 10,1016 / 0040-9383 (67) 90038-9 , ISSN  0040-9383 , М.Р.  0210147
• Michor, Питер В .; Мамфорд, Дэвид (2013), "зоопарк групп диффеоморфизмов на R ^п .", Анналы глобального анализа и геометрии , 44 (4): 529-540, Arxiv : 1211.5704 , DOI : 10.1007 / s10455-013-9380-2
• Милнор, Джон В. (2007), Собрание сочинений, том. III, Дифференциальная топология , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4230-0
• Омори, Хидеки (1997), Бесконечномерные группы Ли , Переводы математических монографий, 158 , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-4575-6
• Kneser, Hellmuth (1926), "Lösung der Aufgabe 41.", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком языке), 35 (2): 123