Простая группа

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , простая группа является нетривиальной группой которой только нормальные подгруппы являются единичной группой и сама группа. Непростую группу можно разбить на две меньшие группы, а именно на нетривиальную нормальную подгруппу и соответствующую фактор-группу . Этот процесс можно повторить, и для конечных групп в конце концов приходим к однозначно определенным простым группам по теореме Жордана – Гёльдера .

Полная классификация конечных простых групп , завершенная в 2004 г., является важной вехой в истории математики.

Примеры [ править ]

Конечные простые группы [ править ]

Циклическая группа G = Z / 3 Z из классов конгруэнции по модулю 3 (см модульной арифметики ) просто. Если H является подгруппой этой группы, ее порядок (количество элементов) должен быть делителем порядка группы G, равного 3. Поскольку 3 простое число, его единственные делители равны 1 и 3, поэтому либо H является G , либо H - тривиальная группа. С другой стороны, группа G = Z / 12 Z не проста. Множество Hклассов конгруэнции 0, 4 и 8 по модулю 12 является подгруппой порядка 3, и это нормальная подгруппа, поскольку любая подгруппа абелевой группы нормальна. Аналогичным образом , аддитивная группа Z из целых чисел не является простой; множество четных целых чисел - нетривиальная собственная нормальная подгруппа. ^[1]

Можно использовать те же рассуждения для любой абелевой группы, чтобы вывести, что единственными простыми абелевыми группами являются циклические группы простого порядка. Классификация неабелевых простых групп гораздо менее тривиальна. Наименьшая неабелева простая группа является знакопеременной группой ₅ порядка 60, и каждая простая группа порядка 60 изоморфна к А ₅ . ^[2] Вторая наименьшая неабелева простая группа - это проективная специальная линейная группа PSL (2,7) порядка 168, и можно доказать, что каждая простая группа порядка 168 изоморфна PSL (2,7) . ^{[3] [4]}

Бесконечные простые группы [ править ]

Бесконечная знакопеременная группа, то есть группа четных перестановок целых чисел с конечным носителем, проста. Эту группу можно записать как возрастающее объединение конечных простых групп относительно стандартных вложений. Еще одно семейство примеров бесконечных простых групп дается формулой где - бесконечное поле и${\ displaystyle A _ {\ infty}}$${\ displaystyle A_ {n}}$${\ displaystyle A_ {n} \ to A_ {n + 1}.}$${\ displaystyle \ mathrm {PSL} _ {n} (F),}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle n \ geq 2.}$

Построить конечно порожденные бесконечные простые группы гораздо сложнее . Первый результат существования не является явным; он принадлежит Грэму Хигману и состоит из простых факторов группы Хигмана . ^[5] Явные примеры, которые оказываются конечно представлены, включают в себя бесконечные Thompson группы Т и V . Конечно определенные бесконечные простые группы без кручения были построены Бургером-Мозесом. ^[6]

Классификация [ править ]

Пока нет известной классификации общих (бесконечных) простых групп, и такой классификации не ожидается.

Конечные простые группы [ править ]

В конечные простые группы имеют важное значение , потому что в определенном смысле они являются «основными строительными блоками» всех конечных групп, несколько похожие на то , как простые числа являются основными строительными блоками в целых числах . Это выражается теоремой Жордана – Гёльдера, которая утверждает, что любые две композиционные серии данной группы имеют одинаковую длину и одинаковые факторы с точностью до перестановки и изоморфизма . В результате огромных совместных усилий Даниэль Горенштейн объявил классификацию конечных простых групп выполненной в 1983 году , хотя возникли некоторые проблемы (в частности, в классификации групп).квазитиновые группы , которые были подключены в 2004 г.).

Вкратце, конечные простые группы классифицируются как принадлежащие к одному из 18 семейств или как одно из 26 исключений:

• Z _p - циклическая группа простого порядка
• A _n - переменная группа для${\ displaystyle n \ geq 5}$

  Знакопеременные группы можно рассматривать как группы лиева типа над полем с одним элементом , который объединяет это семейство со следующим, и, таким образом, все семейства неабелевых конечных простых групп можно рассматривать как группы лиева типа.

• Одно из 16 семейств групп лиева типа

  Группа Титса обычно считается такой, хотя, строго говоря, она не лиева типа, а имеет индекс 2 в группе лиева типа.

• Один из 26 исключений, в спорадических групп , из которых 20 являются подгруппами или подфакторы о группе монстров и которые упоминаются как «Счастливая семья», в то время как остальные 6 называют изгоями .

Структура конечных простых групп [ править ]

Знаменитая теорема о Фейта и Томпсона утверждает , что каждая группа нечетного порядка разрешима . Следовательно, каждая конечная простая группа имеет четный порядок, если только она не циклическая простого порядка.

Гипотеза Шрайера утверждает, что группа внешних автоморфизмов каждой конечной простой группы разрешима. Это можно доказать с помощью классификационной теоремы.

История конечных простых групп [ править ]

В истории конечных простых групп есть две нити: открытие и построение конкретных простых групп и семейств, которое происходило от работ Галуа в 1820-х годах до создания Монстра в 1981 году; и доказательство того, что этот список был полным, который начался в 19 веке, наиболее значимо относился к периодам с 1955 по 1983 год (когда была первоначально объявлена ​​победа), но по общему согласию было завершено только в 2004 году. По состоянию на 2010 год ^{[Обновить]}, работа над улучшением доказательств и понимание продолжается; см. ( Silvestri 1979 ) историю простых групп в XIX веке.

Строительство [ править ]

Простые группы изучались, по крайней мере, с ранней теории Галуа , когда Эварист Галуа понял, что тот факт, что знакопеременные группы в пяти или более точках просты (и, следовательно, не разрешимы), который он доказал в 1831 году, был причиной того, что нельзя решить квинтику в радикалах. Галуа также построил проективную специальную линейную группу плоскости над простым конечным полем, PSL (2, p ), и заметил, что они были простыми для p, не 2 или 3. Это содержится в его последнем письме к Шевалье, ^[7] и являются следующим примером конечных простых групп. ^[8]

Следующие открытия были сделаны Камиллой Жордан в 1870 году. ^[9] Джордан нашел 4 семейства простых матричных групп над конечными полями простого порядка, которые теперь известны как классические группы .

Примерно в то же время было показано, что семейство из пяти групп, названное группами Матье и впервые описанное Эмилем Леонаром Матье в 1861 и 1873 годах, также было простым. Поскольку эти пять групп были построены методами, которые не давали бесконечно многих возможностей, Уильям Бернсайд назвал их « спорадическими » в своем учебнике 1897 года.

Поздние результаты Джордана на классических группах были обобщены на произвольные конечные поля по Леонарду Диксон , следуя классификации простых комплексных алгебр Ли по Wilhelm Killing . Диксон также построил группы исключений типа G ₂ и E 6 , но не типов F ₄ , E ₇ или E ₈ ( Wilson 2009 , p. 2). В 1950-х годах работа над группами лиева типа была продолжена Клодом Шевалле.дается единообразная конструкция классических групп и групп исключительного типа в статье 1955 г. При этом были исключены некоторые известные группы (проективные унитарные группы), которые были получены путем «скручивания» конструкции Шевалле. Остальные группы лиева типа были созданы Стейнбергом, Титсом и Херцигом (который произвел ³ D ₄ ( q ) и ² E ₆ ( q )) и Сузуки и Ри (группы Сузуки – Ри ).

Эти группы (группы лиева типа вместе с циклическими группами, знакопеременными группами и пятью исключительными группами Матье) считались полным списком, но после почти столетнего затишья после работ Матье в 1964 г. первая группа Янко была открыта, а остальные 20 спорадических групп были обнаружены или предположены в 1965–1975 гг., кульминацией которых стал 1981 г., когда Роберт Грисс объявил, что он построил « группу монстров » Бернда Фишера . Чудовище - самая большая спорадическая простая группа, имеющая порядок 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000. Монстр имеет точное 196 883-мерное представление в 196884-мерной алгебре Грисса., что означает, что каждый элемент Монстра может быть выражен как матрица 196 883 на 196 883.

Классификация [ править ]

Общепринято считать, что полная классификация начинается с теоремы Фейта – Томпсона 1962/63 г. и в основном действует до 1983 г., но завершена только в 2004 г.

Вскоре после создания «Чудовища» в 1981 году было предоставлено доказательство, насчитывающее более 10 000 страниц, того, что теоретики групп успешно составили список всех конечных простых групп , и победа была объявлена ​​в 1983 году Даниэлем Горенштейном. Это было преждевременно - позже были обнаружены некоторые пробелы, особенно в классификации квазитиновых групп , которые в конечном итоге были заменены в 2004 году классификацией квазитиновых групп на 1300 страницах, которая сейчас общепринята как полная.

Тесты на непростость [ править ]

Тест Силова : пусть n - натуральное непростое число, и пусть p - простой делитель n . Если 1 - единственный делитель числа n , равный 1 по модулю p, то простой группы порядка n не существует.

Доказательство: если n - степень простого числа, то группа порядка n имеет нетривиальный центр ^[10] и, следовательно, не проста. Если n не является степенью простого числа, то каждая силовская подгруппа является собственной, и, согласно третьей теореме Силова , мы знаем, что количество силовских p-подгрупп в группе порядка n равно 1 по модулю p и делит n . Так как 1 - единственное такое число, силовская p-подгруппа уникальна и, следовательно, нормальна. Поскольку это собственная неединичная подгруппа, группа не проста.

Бернсайд : неабелева конечная простая группа имеет порядок, который делится по крайней мере на три различных простых числа. Это следует из теоремы Бернсайда о pq .

См. Также [ править ]

• Почти простая группа
• Характерно простая группа
• Квазипростая группа
• Полупростая группа
• Список конечных простых групп

Ссылки [ править ]

Примечания [ править ]

Учебники [ править ]

• Кнапп, Энтони В. (2006), Основы алгебры , Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
• Ротман, Джозеф Дж. (1995), Введение в теорию групп , Тексты для выпускников по математике, 148 , Springer, ISBN 978-0-387-94285-8
• Смит, Джефф; Табачникова, Ольга (2000), Темы теории групп , Серия математических программ для студентов Springer (2-е изд.), Springer, ISBN 978-1-85233-235-8

Статьи [ править ]