p -группа

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , в частности теории групп , учитывая простое число р , А р -группа представляет собой группу , в которой порядок каждого элемента является мощность от р . То есть, для каждого элемента г в А р -группы G , существует неотрицательное целое число п такое , что произведение р ^п копий г , а не меньше, равно единице . Порядки разных элементов могут иметь разную степень p .

Абелевы p -группы также называются p -примарными или просто примарными .

Конечная группа является р -группа тогда и только тогда , когда его порядок (число его элементов) является степенью р . Учитывая конечную группу G , то теоремы Силова гарантировать существование подгруппы из G порядка р ^п для каждого простого мощности р ^н что делит порядок G .

Остальная часть статьи посвящена конечным p -группам. Пример бесконечной абелевой p -группы см. В группе Прюфера , а для примера бесконечной простой p -группы см. Группу монстров Тарского .

Свойства [ править ]

Каждая p -группа периодична, поскольку по определению каждый элемент имеет конечный порядок .

Если p простое число и G группа порядка p ^k , то G имеет нормальную подгруппу порядка p ^m для каждого 1 ≤ m ≤ k . Это следует по индукции с использованием теоремы Коши и теоремы о соответствии для групп. Доказательство эскиз выглядит следующим образом : поскольку центр Z из G является нетривиальной (смотри ниже), в соответствии с теоремой Коши Z имеет подгруппу Н порядка р . Будучи центральным в G , Hобязательно нормальна в G . Теперь мы можем применить индуктивную гипотезу к G / H , и результат следует из теоремы соответствия.

Нетривиальный центр [ править ]

Одним из первых стандартных результатов, использующих уравнение классов, является то, что центр нетривиальной конечной p -группы не может быть тривиальной подгруппой. ^[1]

Это составляет основу многих индуктивных методов в p -группах.

Например, нормализатор Н о надлежащей подгруппы H конечного р -группа G правильно содержит H , потому что для любого контрпримера с H = N , центр Z содержится в N , а следовательно , и в H , но тогда существует меньший пример H / Z, чей нормализатор в G / Z равен N / Z = H / Z , создавая бесконечный спуск. Как следствие, каждое конечноеp -группа нильпотентна .

С другой стороны, каждая нормальная подгруппа конечной p -группы пересекает центр нетривиально, что можно доказать, рассматривая элементы группы N, которые фиксированы, когда G действует на N сопряжением. Поскольку каждая центральная подгруппа нормальна, любая минимальная нормальная подгруппа конечной p -группы является центральной и имеет порядок p . Действительно, цоколем конечной p -группы является подгруппа центра, состоящая из центральных элементов порядка p .

Если G - p -группа, то G / Z тоже имеет нетривиальный центр. Прообраз в G центра группы G / Z называется вторым центром, и эти группы начинают верхнюю центральную серию . Обобщая предыдущие комментарии о цоколе, конечная p -группа порядка p ⁿ содержит нормальные подгруппы порядка p ⁱ с 0 ≤ i ≤ n , а любая нормальная подгруппа порядка p ⁱ содержится в i-й центр Z _i . Если нормальная подгруппа не содержится в Z _i , то ее пересечение с Z _{i +1} имеет размер не менее p ^{i +1} .

Автоморфизмы [ править ]

В автоморфизмов группы р -группах хорошо изучены. Подобно тому, как каждая конечная p -группа имеет нетривиальный центр, так что группа внутренних автоморфизмов является собственным фактором группы, каждая конечная p- группа имеет нетривиальную группу внешних автоморфизмов . Каждый автоморфизм G индуцирует автоморфизм на G / Ф ( G ), где Φ ( G ) является подгруппа Фраттини из G . Фактор-группа G / Φ ( G ) является элементарной абелевой группой, а ее группа автоморфизмов являетсяобщая линейная группа , очень хорошо понятная. Отображение группы автоморфизмов группы G в эту общую линейную группу изучал Бернсайд , который показал, что ядро ​​этого отображения является p -группой.

Примеры [ править ]

p -группы одного порядка не обязательно изоморфны ; например, циклическая группа C ₄ и четырехгруппа Клейна V ₄ обе являются 2-группами порядка 4, но они не изоморфны.

При этом p -группа не обязательно должна быть абелевой ; группа диэдра DIH ₄ порядка 8 является неабелева 2-группа. Однако каждая группа порядка p ² абелева. ^{[примечание 1]}

Группы диэдра очень похожи и очень отличаются от групп кватернионов и полудиэдральных групп . Вместе группы диэдра, полудиэдра и кватернионов образуют 2-группы максимального класса , то есть группы порядка 2 ^{n +1} и класса нильпотентности n .

Итерированные венки [ править ]

Итерированные сплетения циклических групп порядка p являются очень важными примерами p -групп. Обозначим циклическую группу порядка p как W (1), а сплетение W ( n ) с W (1) как W ( n  + 1). Тогда W ( n ) - силовская p -подгруппа симметрической группы Sym ( p ⁿ ). Максимальные p -подгруппы полной линейной группы GL ( n , Q ) являются прямыми произведениями различных W( п ). Он имеет порядок p ^k, где k  = ( p ⁿ  - 1) / ( p  - 1). Он имеет класс нильпотентности p ^{n −1} , и его нижний центральный ряд, верхний центральный ряд, центральный ряд нижнего показателя p и центральный ряд верхнего показателя p равны. Он порождается элементами порядка p , но его показатель равен p ⁿ . Вторая такая группа, W (2), также является p -группой максимального класса, поскольку имеет порядок p ^{p +1} и класс нильпотентности p, но не является регулярной p -группой . Поскольку группы порядка p ^p всегда являются регулярными группами, это также минимальный такой пример.

Обобщенные группы диэдра [ править ]

Когда p  = 2 и n  = 2, W ( n ) является группой диэдра порядка 8, поэтому в некотором смысле W ( n ) представляет собой аналог группы диэдра для всех простых чисел p при n  = 2. Однако для более высоких n аналогия становится натянутой. Существует другое семейство примеров, которое более точно имитирует группы диэдра порядка 2 ⁿ , но для этого требуется немного больше настроек. Пусть ζ обозначает примитивный корень p- й степени из единицы комплексных чисел, пусть Z [ζ] - порожденное им кольцо круговых целых чисел , и пусть P- первичный идеал, порожденный 1 - ζ. Пусть G - циклическая группа порядка p, порожденная элементом z . Сформируйте полупрямое произведение E ( p ) групп Z [ζ] и G, где z действует как умножение на ζ. Степени P ⁿ являются нормальными подгруппами в E ( p ), а примеры групп - E ( p , n ) =  E ( p ) / P ⁿ . E ( p ,n ) имеет порядок p ^{n +1} и класс нильпотентности n , поэтому является p -группой максимального класса. Когда p  = 2, E (2, n ) - группа диэдра порядка 2 ⁿ . Когда p нечетно, и W (2), и E ( p , p ) являются нерегулярными группами максимального класса и порядка p ^{p +1} , но не изоморфны.

Группы унитреугольных матриц [ править ]

Силовские подгруппы общих линейных групп - еще одно фундаментальное семейство примеров. Пусть V - векторное пространство размерности n с базой { e ₁ , e ₂ , ..., e _n }, и определим V _i как векторное пространство, порожденное { e _i , e _{i +1} , ..., e _n } для 1 ≤ i ≤ n , и определим V _i = 0, когда i > n . Для каждого 1 ≤ m ≤ n, множество обратимых линейных преобразований V, которые переводят каждое V _i в V _{i + m,} образуют подгруппу Aut ( V ), обозначенную U _m . Если V - векторное пространство над Z / p Z , то U ₁ - силовская p -подгруппа в Aut ( V ) = GL ( n , p ), а члены ее нижнего центрального ряда - это просто U _m . В терминах матриц U _m- те верхнетреугольные матрицы с единицами на одной диагонали и нулями на первых m −1 супердиагоналях. Группа U ₁ имеет порядок p ^{n · ( n −1) / 2} , класс нильпотентности n и показатель p ^k, где k - наименьшее целое число, по крайней мере, такое же большое, как основание p логарифма числа n .

Классификация [ править ]

Группы порядка p ⁿ для 0 ≤ n ≤ 4 были классифицированы на ранних этапах истории теории групп ^[2], и современные работы распространили эти классификации на группы, порядок которых делит p ⁷ , хотя само число семейств таких групп растет. настолько быстро, что человеческому разуму становится трудно понять дальнейшие классификации по этим линиям. ^[3] Например, Маршалл Холл-младший и Джеймс К. Старший классифицировали группы порядка 2 ⁿ для n ≤ 6 в 1964 г. ^[4]

Вместо того, чтобы классифицировать группы по порядку, Филип Холл предложил использовать понятие изоклинизма групп, которые собирают конечные p -группы в семейства, основанные на больших факторах и подгруппах. ^[5]

Совершенно другой метод классифицирует конечные p -группы по их коклассу , то есть разнице между их составной длиной и их классом нильпотентности . Так называемые гипотезы кокласса описывают множество всех конечных p -групп фиксированного кокласса как возмущения конечного числа про-p групп . Гипотезы кокласса были доказаны в 1980-х годах с использованием техники, связанной с алгебрами Ли и мощными p-группами . ^[6] Окончательные доказательства теорем кокласса.принадлежат А. Шалеву и независимо от Ч. Р. Лидхэму-Грину, оба в 1994 г. Они допускают классификацию конечных p -групп в ориентированных коклассовых графах, состоящих только из конечного числа коклассовых деревьев, чьи (бесконечно много) элементы характеризуются конечным числом параметризованных презентации.

Каждая группа порядка р ⁵ является метабелевой . ^[7]

До стр. ³ [ править ]

Тривиальная группа - единственная группа порядка один, а циклическая группа C _p - единственная группа порядка p . Существует ровно две группы порядка p ² , обе абелевы, а именно C _{p ²} и C _p  ×  C _p . Например, циклическая группа C ₄ и четырехгруппа Клейна V _4, которая представляет собой C ₂  ×  C _2, являются 2-группами порядка 4.

Существует три абелевых группы порядка p ³ , а именно C _{p ³} , C _{p ²} × C _p и C _p × C _p × C _p . Также есть две неабелевы группы.

При p  ≠ 2 один является полупрямым произведением C _p × C _p на C _p , а другой - полупрямым произведением C _{p ²} на C _p . Первую можно описать другими терминами как группу UT (3, p ) унитреугольных матриц над конечным полем с p элементами, также называемую группой Гейзенберга mod p .

При p  = 2 оба упомянутых выше полупрямых произведения изоморфны группе диэдра Dih ₄ порядка 8. Другой неабелевой группой порядка 8 является группа кватернионов Q ₈ .

Распространенность [ править ]

Среди групп [ править ]

Число классов изоморфизма групп порядка p ⁿ растет по мере роста , и среди них преобладают классы, которые являются двухступенчатыми нильпотентными. ^[8] Из-за этого быстрого роста существует фольклорная гипотеза, утверждающая, что почти все конечные группы являются 2-группами: считается, что доля классов изоморфизма 2-групп среди классов изоморфизма групп порядка не выше n стремится к 1 поскольку n стремится к бесконечности. Например, из 49 910 529 484 различных групп порядка не более 2000, 49 487 365 422 или чуть более 99% составляют 2 группы порядка 1024. ^[9]${\ displaystyle p ^ {{\ frac {2} {27}} n ^ {3} + O (n ^ {8/3})}}$

Внутри группы [ править ]

Каждая конечная группа, порядок которой делится на p, содержит подгруппу, которая является нетривиальной p -группой, а именно циклическую группу порядка p, порожденную элементом порядка p, полученным из теоремы Коши . Фактически, она содержит p -группу максимально возможного порядка: если где p не делит m, то в G есть подгруппа P порядка, называемая силовской p -подгруппой. Эта подгруппа не обязательно должна быть единственной, но любые подгруппы этого порядка сопряжены, и любая p -подгруппа группы G содержится в силовском${\ Displaystyle | G | = п = p ^ {k} m}$${\ displaystyle p ^ {k},}$p -подгруппа. Это и другие свойства доказаны в теоремах Силова .

Приложение к структуре группы [ править ]

p -группы являются фундаментальными инструментами для понимания структуры групп и классификации конечных простых групп . p -группы возникают как как подгруппы, так и как фактор-группы. В качестве подгрупп для данного простого p имеется силовская p -подгруппа P (наибольшая p -подгруппа не единственная, но все сопряженные) и p- ядро (единственная наибольшая нормальная p -подгруппа) и различные другие. В качестве факторов наибольший фактор p -группы - это фактор-группа G по p -вычетной подгруппе${\ displaystyle O_ {p} (G)}$ ${\ displaystyle O ^ {p} (G).}$Эти группы связаны (для разных простых чисел), обладают важными свойствами, такими как теорема о фокальной подгруппе , и позволяют определять многие аспекты структуры группы.

Местное управление [ править ]

Большая часть структуры конечной группы переносится в структуре ее так называемых локальных подгрупп , нормализаторов нетождественных p -подгрупп. ^[10]

Большие элементарные абелевы подгруппы конечной группы осуществляют контроль над группой, что использовалось при доказательстве теоремы Фейта – Томпсона . Некоторые центральные расширения элементарных абелевых групп, называемые экстраспециальными группами, помогают описать структуру групп как действующих на симплектических векторных пространствах .

Ричард Брауэр классифицировал все группы, силовские 2-подгруппы которых являются прямым произведением двух циклических групп порядка 4, а Джон Уолтер , Дэниел Горенштейн , Гельмут Бендер , Мичио Сузуки , Джордж Глауберман и другие классифицировали те простые группы, силовские 2-подгруппы которых были абелев, двугранный, полудиэдральный или кватернион.

См. Также [ править ]

• Элементарная группа
• Прюфер ранг
• Регулярная p-группа

Сноски [ править ]

Примечания [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Роуленд, Тодд и Вайсштейн, Эрик В. "p-Group" . MathWorld .