Конечная группа

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В абстрактной алгебре , А конечная группа представляет собой группу , которой основное множество является конечным . Конечные группы часто возникают при рассмотрении симметрии математических или физических объектов, когда эти объекты допускают лишь конечное число преобразований, сохраняющих структуру. Важные примеры конечных групп включают циклические группы и группы перестановок .

Изучение конечных групп было неотъемлемой частью теории групп с момента ее зарождения в 19 веке. Одной из основных областей исследования была классификация: классификация конечных простых групп (без нетривиальных нормальных подгрупп ) была завершена в 2004 году.

История [ править ]

В течение двадцатого века математики очень глубоко исследовали некоторые аспекты теории конечных групп, особенно локальную теорию конечных групп и теорию разрешимых и нильпотентных групп . ^{[1] [2]} Как следствие, была достигнута полная классификация конечных простых групп , а это означает, что теперь известны все те простые группы, из которых могут быть построены все конечные группы.

Во второй половине двадцатого века математики, такие как Шевалле и Стейнберг, также расширили наше понимание конечных аналогов классических групп и других родственных групп. Одним из таких семейств групп является семейство полных линейных групп над конечными полями .

Конечные группы часто возникают при рассмотрении симметрии математических или физических объектов, когда эти объекты допускают лишь конечное число преобразований, сохраняющих структуру. Теория групп Ли , которую можно рассматривать как имеющую дело с « непрерывной симметрией », находится под сильным влиянием ассоциированных групп Вейля . Это конечные группы, порожденные отражениями, действующими в конечномерном евклидовом пространстве . Таким образом, свойства конечных групп могут играть роль в таких предметах, как теоретическая физика и химия . ^[3]

Примеры [ править ]

Группы перестановок [ править ]

Симметричная группа S _п на конечное множество из п символов является группой , элементы которой являются все перестановками этого п символов, и чья группа операция представляет собой композицию из таких перестановок, которые рассматриваются как биективная функция из набора символов , сами по себе . ^[4] Поскольку есть n ! ( n факториал ) возможных перестановок набора из n символов, отсюда следует, что порядок (количество элементов) симметрической группы S _nэто п !.

Циклические группы [ править ]

Циклическая группа Z _n - это группа, все элементы которой являются степенями определенного элемента a, где a ⁿ = a ⁰ = e , тождество. Типичная реализация этой группы - это комплексные корни n- й степени из единства . Отправка a к первообразному корню из единицы дает изоморфизм между ними. Это можно сделать с любой конечной циклической группой.

Конечные абелевы группы [ править ]

Абелева группа , которая также называется коммутативной группой , представляет собой группу , в которой результат применения групповой операции двух элементов группы не зависит от их порядка (аксиома коммутативности ). Они названы в честь Нильса Хенрика Абеля . ^[5]

Произвольная конечная абелева группа изоморфна прямой сумме конечных циклических групп степенного порядка простых чисел, и эти порядки определены однозначно, образуя полную систему инвариантов. Группа автоморфизмов конечной абелевой группы может быть непосредственно описана в терминах этих инвариантов. Эта теория была впервые развита в статье 1879 года Георга Фробениуса и Людвига Штикельбергера, а затем была упрощена и обобщена на конечно порожденные модули над областью главных идеалов, составив важную главу линейной алгебры .

Группы лиева типа [ править ]

Группа типа Ли является группой тесно связан с группой G ( K ) рациональных точек восстановительной линейной алгебраической группы G со значениями в поле к . Конечные группы лиева типа составляют основную массу неабелевых конечных простых групп . Частные случаи включают классические группы , группы Шевалле, группы Стейнберга и группы Сузуки – Ри.

Конечные группы лиева типа были среди первых групп, которые стали рассматриваться в математике после циклических , симметрических и знакопеременных групп, с проективными специальными линейными группами над простыми конечными полями, PSL (2, p ), построенными Эваристом Галуа в 1830-х годах. Систематическое исследование конечных групп лиева типа началось с теоремы Камиллы Жордана о том, что проективная специальная линейная группа PSL (2, q ) проста при q ≠ 2, 3. Эта теорема обобщается на проективные группы более высоких размерностей и дает важный бесконечное семейство PSL ( n , q) конечных простых групп . Другие классические группы изучал Леонард Диксон в начале 20 века. В 1950-х годах Клод Шевалле понял, что после соответствующей переформулировки многие теоремы о полупростых группах Ли допускают аналоги для алгебраических групп над произвольным полем k , что привело к построению того, что сейчас называется группами Шевалле . Более того, как и в случае компактных простых групп Ли, соответствующие группы оказались почти простыми, как абстрактные группы ( теорема Титса о простоте ). Хотя с 19 века было известно, что существуют и другие конечные простые группы (например, группы Матье), постепенно сформировалось убеждение, что почти все конечные простые группы могут быть объяснены соответствующими расширениями конструкции Шевалле вместе с циклическими и знакопеременными группами. Более того, исключения, спорадические группы , имеют много общих свойств с конечными группами лиева типа и, в частности, могут быть построены и охарактеризованы на основе их геометрии в смысле Титса.

Вера теперь превратилась в теорему - классификацию конечных простых групп . Изучение списка конечных простых групп показывает, что группы лиева типа над конечным полем включают все конечные простые группы, кроме циклических, знакопеременных групп, группы Титса и 26 спорадических простых групп .

Основные теоремы [ править ]

Теорема Лагранжа [ править ]

Для любой конечной группы G , то порядок (число элементов) каждой подгруппы H из G делит порядок G . Теорема названа в честь Жозефа-Луи Лагранжа .

Теоремы Силова [ править ]

Это обеспечивает частичное обращение к теореме дает информацию Лагранжа о том , сколько подгрупп данного порядка содержится в G .

Теорема Кэли [ править ]

Теорема Кэли , названная в честь Артура Кэли , утверждает , что каждая группа G является изоморфной к подгруппе из симметрической группы , действующей на G . ^[6] Это может быть понято как пример действия группы из G на элементах G . ^[7]

Теорема Бернсайда [ править ]

Теорема Бернсайд в теории групп утверждают , что если G является конечной группой порядка р ^а Q ^б , где р и д являются простыми числами , а и б являются неотрицательными целыми числами , то G является разрешимой . Следовательно, каждая неабелева конечная простая группа имеет порядок, кратный по крайней мере на три различных простых числа.

Теорема Фейта – Томпсона [ править ]

Теорема Фейта-Томпсона , или теорема нечетный порядок , утверждает , что любая конечная группа нечетного порядка является разрешимой . Это доказали Уолтер Фейт и Джон Григгс Томпсон  ( 1962 , 1963 ).

Классификация конечных простых групп [ править ]

Классификация конечных простых групп является теорема о том , что каждая конечная простая группа принадлежит к одному из следующих семейств:

• Циклическая группа с простым порядком;
• Знакопеременной группой степени по меньшей мере , 5;
• Простая группа Ли типа ;
• Одна из 26 спорадических простых групп ;
• Группа Титсов (иногда считается 27-й спорадической группой).

Конечные простые группы можно рассматривать как основные строительные блоки всех конечных групп, что напоминает способ, которым простые числа являются основными строительными блоками натуральных чисел . Теорема Жордана – Гёльдера - более точный способ сформулировать этот факт о конечных группах. Однако существенное отличие от случая целочисленной факторизации состоит в том, что такие «строительные блоки» не обязательно определяют группу однозначно, поскольку может быть много неизоморфных групп с одним и тем же композиционным рядом или, другими словами, проблема расширения не имеет однозначного решения.

Доказательство теоремы состоит из десятков тысяч страниц в нескольких сотнях журнальных статей, написанных примерно 100 авторами, опубликованных в основном в период с 1955 по 2004 год. Горенштейн (ум. 1992), Лайонс и Соломон постепенно публикуют упрощенную и исправленную версию доказательство.

Количество групп данного порядка [ править ]

Учитывая положительное целое число n , определение количества типов изоморфизма групп порядка n вовсе не является рутинным делом . Каждая группа простого порядка является циклической , поскольку из теоремы Лагранжа следует, что циклическая подгруппа, порожденная любым из ее неединичных элементов, является всей группой. Если n - квадрат простого числа, то существует ровно два возможных типа изоморфизма группы порядка n , оба из которых абелевы. Если n - более высокая степень простого числа, то результаты Грэма Хигмана и Чарльза Симсадают асимптотически правильные оценки количества типов изоморфизма групп порядка n , и это число очень быстро растет с увеличением степени.

В зависимости от факторизации n на простые множители могут быть наложены некоторые ограничения на структуру групп порядка n , как следствие, например, таких результатов, как теоремы Силова . Например, каждая группа порядка pq является циклической, если q < p - простые числа с p - 1, не делящимся на q . О необходимых и достаточных условиях см. Циклическое число .

Если п является бесквадратным , то любая группа порядка п разрешима. Теорема Бернсайда , доказанная с использованием групповых характеров , утверждает, что каждая группа порядка n разрешима, когда n делится менее чем на три различных простых числа, то есть если n = p ^a q ^b , где p и q - простые числа, а a и b - неотрицательные целые числа. По теореме Фейта – Томпсона , имеющей длинное и сложное доказательство, любая группа порядка n разрешима, когдаn нечетное.

Для любого натурального п , большинство групп порядка п являются разрешимы . Увидеть это для любого конкретного порядка обычно нетрудно (например, существует с точностью до изоморфизма одна неразрешимая группа и 12 разрешимых групп порядка 60), но для доказательства этого для всех порядков используется классификация конечных простых групп . Для любого натурального числа n существует не более двух простых групп порядка n , и существует бесконечно много натуральных чисел n, для которых существуют две неизоморфные простые группы порядка n .

Таблица отдельных групп порядка n [ править ]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Последовательность OEIS A000001 (Количество групп порядка n)
• Последовательность OEIS A000688 (количество абелевых групп порядка n )
• Последовательность OEIS A060689 (количество неабелевых групп порядка n)
• Небольшие группы на GroupNames
• Классификатор для групп малого порядка